高中函数求值域的九种方法和例题讲解
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高中函数求值域的九种方法和例题讲解
高中函数值域和定义域的大小,是常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.
一．观察法
　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
　　例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
　　解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
　　故3+√(2－3x)≥3。
　　∴函数的知域为.
　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
　　二．反函数法
　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y&－1或y&1｝）
　　三．配方法
　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
　　例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
　　解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
　　∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
　　练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
　　四．判别式法
　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
　　解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）
　　当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
　　当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
　　练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y&0）。
　　五．最值法
　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
　　解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
　　当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
　　∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）
　　A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）
　　（答案：D）。
　　六．图象法
　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
　　例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。
　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
　　解：原函数化为－2x+1(x≤1)
　　y=3(-1&x≤2)
　　2x-1(x&2)
　　它的图象如图所示。
　　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域
七．单调法
　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
　　例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
　　解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x
　　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
　　练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
　　八．换元法
　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
　　例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。
　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
　　解：设t=√2x+1（t≥0）,则
　　x=1/2(t2-1)。
　　于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
　　所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
　　练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
　　九．构造法
　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
　　例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
　　解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
　　正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,
　　KC=√(x+2)2+1。
　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
　　线时取等号。
　　∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
　　点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
　　练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）
以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.
十．比例法
　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
　　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
　　∴x=3+4k,y=1+3k,
　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
　　当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
　　函数的值域为｛z|z≥1｝.
　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
　　练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
　　十一．利用多项式的除法
　　例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
　　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
　　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
　　十二．不等式法
　　例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
　　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
　　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
　　由对数函数的定义知x/(1-x)＞0
　　1-x≠0
　　解得，0＜x&1。
　　∴函数的值域（0，1）。
　　点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
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定义啊，这就是最简单方法，
答案就是按照定义来的，然后对应系数
f'（0）=0即可
简单？带数值啊
劝楼主撕掉这个教辅资料 误人子弟！即便用这个定义法也是可以把ln那个式子化简为-3ax的。换个资料吧！
这道函数的题是什么书上的？
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高一数学2.1.3函数的简单性质练习题（附答案）
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文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
&数学•必修1(苏教版)&
2．1　函数的概念和图象2.1.3　函数的简单性质 在初中，我们学习了二次函数，通过二次函数的图象，知道x在某个范围内取值时，y的值随着x的增加而增加(或减小)，在高中，我们学习了函数的符号语言，那么如何用符号语言来定量地描述函数这一增减性质呢？
&基础巩固1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　)A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数 C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数解析：f(－x)＝(－x)3＝－x3在R上单调递减，且是奇函数．答案：B
2．函数y＝1x＋2的大致图象只能是(　　)&
&3．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　)A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．∴f(x)为偶函数，g(x)为奇函数．答案：B&4．函数f(x)＝4x＋12x的图象(　　)A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称 解析：∵f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)．∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．答案：D
5．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是(　　)A．f－34≤f(a2－a＋1)B．f－34≥f(a2－a＋1)C．f－34＝f(a2－a＋1)D．以上关系均不确定&
6．函数①y＝|x|；②y＝|x|x；③y＝x2|x|；④y＝x＋x|x|在(－∞，0)上为增函数的有______(填序号)．&
7．已知f(x)是奇函数，且x≥0时，f(x)＝x(1－x)，则x&0时，f(x)＝________.
解析：当x&0时，－x&0，又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．答案：x(1＋x)8．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝________.
解析：a＝±1时，f(x)不是奇函数，∴f(±1)有意义，由f(－1)＝－f(1)可解得a＝12.答案：12
9．已知函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵f(x)为偶函数∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f(x)＝－x2＋3，其单调递增区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)&
10．判断函数f(x)＝x2－2x＋3，x＞0，0，x＝0，－x2－2x－3，x＜0的奇偶性．
解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称．①当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)；②当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；③当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．∴由①②③可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
能力提升11．定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a&0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝(　　)A．2&&& B.174&& C.154&&&& D．a2
解析：由条件得f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2即－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，两式相加得g(2)＝2.∴a＝2，f(2)＝a2－a－2＝4－14＝154.答案：C
12．设f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)A．f(x)＋gx是偶函数B．f(x)－gx是奇函数C.fx＋g(x)是偶函数D.fx－g(x)是奇函数
解析：∵f(x)和|g(x)|均为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数． 答案：A&
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且知其定义域为[a－1,2a]，则(　　)A．a＝3，b＝0&&&& B．a＝－1，b＝0
C．a＝1，b＝0&&&& D．a＝13，b＝0
解析：∵b＝0；又a－1＝－2a，∴a＝13.答案：D
14．如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是(　　)A．增函数，最小值为－5B．增函数，最大值为－5C．减函数，最小值为－5D．减函数，最大值为－5
解析：奇函数在定义域及对应定义域上的单调性一致，f(－3)＝－f(3)＝－5.答案：B&
15．函数y＝－x2＋|x|的单调减区间为________．&
解析：作出函数的图象．答案：－12，0和12，＋∞特别提醒：切忌写成－12，0∪12，＋∞
16．给定四个函数：①y＝x3＋3x；②y＝1x(x＞0)；③y＝x3＋1；④y＝x2＋1x.其中是奇函数的有________(填序号)．&
答案：①④&
17．定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x，y∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，求证：f(x)为奇函数．
证明：由x＝y＝0得f(0)＋f(0)＝f0＋01＋0×0＝f(0)，∴f(0)＝0，任取x∈(－1,1)，则－x∈(－1,1)f(x)＋f(－x)＝fx－x1＋－x•x＝f(0)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在(－1,1)上是奇函数．
18．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
解析：∵f(x)在[－2,2]上为偶函数，∴|1－m|＞|m|，|1－m|≤2，∴－1≤m＜12.∴实数m的取值范围是－1，12.&文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
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学习啦【高一数学】 编辑：文娟
　　对数是高中必考的重要知识点，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。下面是学习啦小编为大家整理的对数函数练习题，希望对大家有所帮助!
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