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世界50个经典的数学难题
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新形势下提出数学问题的重要性及策略
上传: 宋申霞 &&&&更新时间： 12:07:59
新形势下提出数学问题的重要性及策略 宋申霞 从2004年开始，高中新课程改革在全国范围内逐步推广，新课程将培养学生创新能力作为教育的重要内容，并提出了一些新的教学模式，如研究性学习、课题研究等。创新从问题开始，特别是像数学这样一门以培养学生思维能力为己任的课程，更应该以问题作为教学的主要线索。美国数学家哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力；有了问题，思维才有创新。问题是思维的发动机。 新课程理念认为，教学必须以学生为主体，通过如何让学生发现问题、分析问题，通过问题去探索去解决问题，从而获得知识，并学会学习。这就突现新形势下&问题教学&的重要。问题教学有两个方面，即问题解决和问题提出。目前在教学中存在的突出问题就是问题提出方面的问题。前不久，我们对某校高二年级学生在学习数学过程中提出数学问题的现状调查中，发现有相当一部分学生不善于提出数学问题或不提出数学问题，相当一部分学生认为所谓提出数学问题仅仅是指向老师或者同学提出不会做的题、听不懂的内容。因此，为了更好地适应新课程的教学，对&问题提出&进行研究是很有必要的。 一、提出数学问题的重要性 教育部师范司副司长袁振国曾提出了一个基础教育领域中非常值得思考的一个问题：即不会提问的学生不是好学生。他认为要培养学生的创新意识和创新能力，就必须保护学生的提问意识。爱因斯坦也曾说：&提出一个问题往往比解决问题更重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上的或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。&李政道教授也说过：&我们学习知识，目的是要做&学问&，学习，就是学习问题，学习怎样问问题。&这无疑是告诉我们，在学习过程中提出问题是极其重要的。 对个人发展而言，提出数学问题至少有以下几个方面的价值。 第一、可以激发学习数学的兴趣，活跃思维，能形成发散思维和创造性思维能力。亚里士多德说过：&思维自疑问和惊奇开始。&疑是思维的开端，是创造的基础，是产生求知欲望和兴趣的源泉。正是因为在学习中有疑问，才有可能在解决问题的过程中获得成功的喜悦从而激发兴趣。而要提出一个好的问题、一个有创造性的问题，需要活跃大脑，多角度思考，从而有利于发散思维和创造性思维能力的形成。 第二、有助于加深对所学知识的印象，有助于理解和巩固数学知识，扩大知识面，更深层次地理解所学的内容。数学知识结构严密，逻辑性强，各部分知识之间有着密切联系。对同一知识点从不同的角度提出问题不仅可以加深对知识点的理解，而且因为各知识点紧密联系，在提出问题的过程中会涉及到其它的知识，从而扩大知识面，知识之间相互转化，对新知识的学习又进一步理解了旧知识。 第三、有助于探索发现，培养分析、解决问题的能力，提高解题的能力，还有助于学习更多的思考问题的方法。在提出数学问题时，特别是针对一道习题时要思考这道题怎么解，解出来后还要考虑是否还有其它解法，这些解法有什么规律，相比之下，哪种方法更简便，以后在什么条件下使用，从而提高解决问题的能力。 第四、能促进交流，发现学习中的不足。学生对知识的理解程度，对难点、重点内容、各知识群之间的联系的掌握情况，以及学生的个别差异和个性特点都可以在提问的过程中反映出来。通过向老师提问，老师可以知道学生的学习情况，可以帮助学生改善学习方法，也有利于改善老师的教学方法和提高老师的教学水平；而学生之间彼此提问，可以了解对方的思维方式和学习方法，在提问中共同进步。 二、提出数学问题的方法 尽管提出问题对学好数学有很大的帮助，但目前却很少有学生提出数学问题。我们对这一现象进行调查，发现有以下几个方面的原因：胆小不敢提；不想浪费时间，想自己多做点题；不好意思打扰老师；不知道提出什么数学问题。我们认为不知道怎么提出数学问题才是最主要的原因。高中数学新课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的&再创造&过程。那么在新课程理念下怎样才能提出好的数学问题呢？ 1、培养问题意识 &所谓问题意识就是指认知活动中对一些难以解决的问题产生探究的心理状态，并进而提出问题、分析问题、解决问题的心理品质。譬如瓦特见到水开时壶盖会跳，便产生质疑：壶盖为什么会跳？又如牛顿见到苹果落地，便产生思考：苹果为什么朝下落？问题意识是培养创新精神的起点，是造就创新性人才的关键之一。在数学学习中，即使是看到一个简单的数学事实或一个简单的数学概念，我们都应该对其质疑。 如在学习指数函数、对数函数时，可以质疑：为什么要学习这些知识？这两种函数各自代表了怎样的运动变化情况？函数的性质可以解决哪些常见的实际问题？又如在学习向量时可以质疑：向量和力有什么相同和不同？为什么要规定向量的起点是任意的？向量和数量有什么不同的特点？再如在学习直线的斜率时可以质疑：为什么要引进斜率这一概念？倾斜角是客观存在的吗？斜率是客观存在的吗？为什么要对倾斜角的范围进行规定？ 2、从生活中提出数学问题 《数学课程标准》指出：&要重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习数学和理解数学&。数学与生活的联系是普遍存在的，其呈现形式又是多种多样的。生活是现实的、丰富的，而数学的特征之一就是高度的抽象性，把数学与现实生活联系起来，从生活中提出数学问题，从而有利于数学学习。 如在生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。例如学校分给每班一名参加学校演讲的名额，班主任经过层层选拔后， 名选手实力相当，班主任决定以抽签的方式从 名选手中产生 名去参加演讲比赛。如果你是其中的一员，你是准备先抽还是后抽？先抽还是后抽对于每个人是公平的吗？（后抽人不知道先抽人抽出的结果）。又如，现实生活中的买房买车很多都采取分期付款的方式。如：一套住房总价值为 万元，购买当天首付 万元，月利率为 （按复利计算），两年付清，每月应付多少钱？等等，这样一些实际问题充分体现了数学与现实生活是紧密联系的，从中可以提出很多数学问题。随着新课改的推进，用数学知识解决实际问题在近几年的高考试题中频频出现。 3、从阅读自学中提出数学问题 一个人在学校中学习的时间是有限的，能在课堂中学到的知识更是十分有限的，因此阅读自学是一种很好的学习方法。而在阅读过程中，发现问题和提出问题是不可避免的。那怎样发现问题，又怎么提出问题呢？ 首先，不管学习什么内容，最好养成&多疑&的习惯，多动脑，对事情追根究底，多问几个&为什么&，具有怀疑精神，尽信&书&，不如无&书&。 例如在人教版高二数学第二册（下 ）第 页有这样一个问题：已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量。作点 在上 的射影 ，作点 在上 的射影 ，则 叫做向量 在轴上 或在 方向上的正射影，简称射影。可以证明： = ， = & ， 你认为式中的 表示什么？距离还是数量？ 其次，预习在整个学习知识的过程中有着不可低估的作用。古人讲究&凡事预则立，不预则废&，教师讲课要备课，学生上课也要备学，这就是预习。预习也是一种重要的自学方式，其主要任务是复习、巩固有关的旧知识，初步感知新知识。在预习过程中我们可以就旧知识新内容提出数学问题。例如：椭圆的定义：平面上到两定点 、 的距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间的距离）。看到这个定义你有什么疑问，你能联想到什么知识？其实我们至少可以联想到圆的定义，因而可以复习、巩固有关圆的知识，并可以提出一些问题，如圆的定义是什么，圆与椭圆有什么关系呢？为什么该定值一定要大于焦距呢，而且还要特别注明？如果该定值小于或等于焦距，那么点的轨迹还是椭圆吗？如果不是，那它的轨迹又是什么呢？这个定值有什么用？焦距有什么用？焦距与该定值的关系又是什么？圆的某些性质是否适合椭圆呢？等等。带着这些问题去学习，你会有很多收获。 最后，学完一节或一章内容后，可以这样问自己：这一章或一节的重点和难点是什么？概念、公式、定理有什么含义？有什么条件？如何应用？我该怎么把它们串起来，形成一个知识框架？在这一章或这一节学的知识与以前的知识有何联系？等等。 4、在自主探索、动手实践的过程中提出数学问题 新课程提出新的学习方式，特别是提倡自主、探究的学习方式，让学生成为学习的主人，使学生的主体意识、能动性和创造性不断得到发展，培养学生的创新意识和实践能力。能否提出问题是检验自主、探究学习效果的重要方法，也是进一步学习的基础。 如在学习&平面与平面垂直&这节内容时，可以提出一些问题：线面垂直是如何定义的？线面垂直的判定定理的文字简述、符号表示蕴涵怎样的数学思想？能从身边发现平面与平面垂直的实例吗？从长方体中能发现平面与平面垂直的例子吗？为解决问题便需要进一步探究，如可以通过将长方形纸片进行折叠，使折叠后两部分所在的平面相互垂直。寻找折叠方法，并证明这一方法是可行的来解决一些问题。 又如学习数学，习题的学习是必不可少。课堂上老师讲的例题毕竟少，于是自主探索学习习题意义重大。对于同一道题目从不同的角度加以思考，探求不同的解答方案；对于解决某一题目的方法进行归纳、总结，形成技巧，幷用以解决其它问题；从一道习题出发，改变题目条件：变化题型、变数字、变字母、变符号，使原来的一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，幷通过对变式题的研究、解决，形成完整的知识结构。或者改变结论或逆向变式。例如：&光线从点 射到 轴上一点 后被 轴反射，求反射光线所在的直线方程。&这道题有很多种变式，你能设计几种变式呢？ 5、在合作交流中提出数学问题 长期以来，在传统教学活动中缺少教师和学生、学生和学生间的合作与交流，学生合作精神欠缺，交往能力差。新课程提倡新的学习方式，具有极强的针对性。因为，合作学习能让学生在独立探索的基础上，互相沟通见解，展示自己的思考方法与过程，在交流中反思，使自己的见解更加丰富和全面。同时，在民主互动的和谐氛围内进行合作学习，有利于创新思维和实践能力的培养。 例如正弦函数 的图像和性质是高中数学的重点和难点之一。采用合作的方式学习是不错的选择。可以将任务分工以合作方式进行学习，如有的学生研究 的性质和图像，有的研究 的性质和图像，有的研究 的性质和图像，有的研究 的性质和图像，有的研究 的性质和图像，有的研究 的性质和图像。然后进行交流。于是可以发现许多问题： 与 对于同一个 ， ，这是什么影响了 的值呢？而 与 ，函数的最值没变，但 的周期变短了，这又是什么影响了函数的周期呢？又发现只要将 的图像向左平移就可得到 的图像，那函数的图像跟 有什么关系？将它们依个比较就会发现所有的函数图像都可归结到 与 之间的关系，也即函数的最值由 决定，周期由 决定。进一步提出问题： 的图像经过怎样的平移、伸缩变换得到 的图像？笔者认为，通过以上各组的通力合作、互相交流，研究函数 的图像和性质这一重点、难点问题在相互交流和合作的快乐中迎刃而解。 &总之，数学知识是抽象的，富有挑战性的。学习过程中多提出数学问题是非常有益的。提出问题是对课本的再创造，对题目的再创造，通过提问可以发现数学知识的规律，可以培养创新能力，使思维能力得到提高。因此在学习过程中我们应该形成积极主动的、多样的学习方式，激发数学学习的兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯。 &
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