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习题12。4 求下列微分方程的通解
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内容提示：习题12。4 求下列微分方程的通解
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已知齐次线性微分方程的基本解组x1,x2,求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解（x“x）=
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提问人：匿名网友
发布时间：
已知齐次线性微分方程的基本解组x1,x2,求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解（x“-x）=cost，x1=e^t,x2=e^-t
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网友回答（共1条）
匿名网友&&&&lv1&&&&提问收益：0.00&答案豆
解：∵x1=e^t和x2=e^(-t)是齐次方程x&-x=0的基本解组∴此齐次方程的通解是x=C1x1+C2x2=C1e^t+C2e^(-t) (C1,C2是常数)∵设x=Acost+Bsint是原方程x&-x=cost的解代入原方程，化简得-2(Acost+Bsint)=cost==&-2A=1，-2B=0&==&A=-1/2，B=0∴x=-cost/2是原方程的一个特解故方程x&-x=cost的通解是x=C1e^t+C2e^(-t)-cost/2。
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设y'=p,则y''=pdp/dy代入原方程得ypdp/dy-2p²-yp=0==>p(ydp/dy-2p-y)=0∴p=0,或ydp/dy-2p-y=0当p=0时,y'=0 ==>y=C (C是积分常数)当ydp/dy-2p-y=0时,∵由ydp/dy-2p=0 ==>dp/p=2dy/y==>ln│p│=2ln│y│+ln│C│ (C是积分常数)==>p=Cy²∴根据常数变易法,设ydp/dy-2p-y=0的解是p=C(y)y² (C(y)表示关于y的函数)∵dp/dy=C'(y)y²+2yC(y)代入方程得C'(y)=1/y² ==>C(y)=-1/y+C1 (C1是积分常数)==>p=C1y²-y∴ydp/dy-2p-y=0的通解是p=C1y²-y==>y'=C1y²-y==>dy/[y(C1y-1)]=dx==>[C1/(C1y-1)-1/y]dy=dx==>ln│C1y-1│-ln│y│=x+ln│C2│ (C2是积分常数)==>y/(C1y-1)=C2e^x==>y=C2(C1y-1)e^x故原方程的通解是y=C或y=C2(C1y-1)e^x （C,C1,C2都是积分常数）.
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