关于二阶常系数齐次线性微分方程特解的问题？
如图。我是大一学生。刚学了这个，我就好奇那个y=e^rx。是怎么出来的，百度到了一个回答。但是看得不太明白。我在想，我们后面的解都是这个假设出来的。那么如果我们把特解形式换下。应该也是能出来的啊。那么答案不会就是有无数了个吗？
谢邀。虽然没看到图，但看叙述大概能猜到在干什么。二阶线性齐次方程的解是二维线性空间，确定它的一个方法就是找一组基。为什么用指数呢？不要看到指数就觉得很神奇，其实你一点也不熟悉指数。同样的二阶线性齐次方程的解还有很多，勒让德多项式切比雪夫多项式贝塞尔函数等等等等等等。换言之，给一个特殊的方程（自共轭算子），就有一个特殊的函数出现，指数函数也可以理解为方程y''=y（或者类似的东西）定义的函数。具体细节参见斯图姆-刘维尔边值问题。任一个常系数二阶线性方程必定能化为上述形式，具体方法就是所谓的特征根法。特征根是用来干什么的？把方程变成y''=y。然后你把这个方程的解写成指数的形式，再变回去。就是这样，其实和指数没什么特别的关系，只是大家以前对指数有接触罢了。
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《常微分方程》习题解答
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微分方程的例题分析及解法
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