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向量a(n)=( cos(nπ/7), sin(nπ/7) )
向量 b = ( cosθ, sinθ )
|a(k) + b|^2
=[cos(kπ/7)+cosθ]^2 + [sin(kπ/7) + sinθ]^2
=2 +2cos(kπ/7 -θ)
∵cos(π+θ) + cosθ =0
&k= 1 to 14&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=15 to 28&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=29 to 42&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=43 to 56&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=57 to 70&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=71 to 84&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=85 to 98&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=99 to 112&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=113 to 126&∑[2
向量a(n)=( cos(nπ/7), sin(nπ/7) )
向量 b = ( cosθ, sinθ )
|a(k) + b|^2
=[cos(kπ/7)+cosθ]^2 + [sin(kπ/7) + sinθ]^2
=2 +2cos(kπ/7 -θ)
∵cos(π+θ) + cosθ =0
&k= 1 to 14&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=15 to 28&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=29 to 42&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=43 to 56&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=57 to 70&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=71 to 84&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=85 to 98&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=99 to 112&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=113 to 126&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
&k=127 to 140&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]= 2*14
y =&k=1 to 141&∑[2 +2cos(kπ/7 -θ)]
= 2*141 + 2cos(π/7 -θ)]
函数的最大值是
2*142 =284 .
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生成一个随机数字不难，有谁知道可以生成若干个不重复的随机向量的办法吗？比如生成10000个不重复的二维随机向量c（i，j），生成10000个c（k，l，m）。。。。。。。假定限制i、j、k、l、m。。。。。。。都不超过1500
载入中......
独立精神，自由意志！
若是多元正态随机向量，可用mvrnorm产生。
另外安装mvtnorm包之后也可以产生非中心的t分布。
..................
x&-sample(1:)
y&-sample(1:)
randxy&-as.data.frame(cbind(x,y))
每一行是一个所要的随机向量，共1000行。
不重复的要求有点不合理，如果真要这样需结合具体要求来生成
http://www.pinggu.org/bbs/images/logo2.gif[/IMG][/URL]
楼主的意思生成的向量是要整点吗
如果不要求是整点那就很简单 因为R生成的浮点型随机数是不重复的
y &- runif(1e4)
length(y) == length(unique(y))
一维不重复&&高维自然就不重复了
如果是要求整点(i,j), i,j整数，i,j&=1500可以用穷举法
i &- j &- c(1:1500)
mat &- expand.grid(i,j)
y &- mat[sample(1e4),]
这样的y就是不重复的二维整点随机数
鼓励积极发帖讨论
总评分:&学术水平 + 1&
热心指数 + 1&
信用等级 + 1&
上面code有个typo，改正：
i &- j &- c(1:1500)
mat &- expand.grid(i,j)
y &- mat[sample(1:nrow(mat),1e4),]
如果为了以后能抽相同的随机样本(to reproduce your results)，可以在y &- ...前面加上“set.seed(8);”，8可以是任意数字
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论坛法律顾问：王进律师《编程珠玑》里面典型的向量旋转问题。
直接转载的，认为写的比较好
--------------------------------------------------------
问题描述如下：Rotate vector&x[n]&left by&d&positions. 把x[n]向左旋转d个位置。
例如：当n=8, d=3, 把abcdefgh向左旋转3位成defghabc.
首先d=d%n:
解法一：Pricey Solutions& 时间复杂度和空间复杂度均为0(n)
用O(d)的临时空间存储x[1-d], 把剩余元素向左移动, 然后再把临时空间移到x后面去。
时间复杂度：O(n); 空间复杂度为 O(d) = O(n);
解法二：A Juggling Algorithm
移动x[0]到temp, 移动x[d]到x[0]的位置, 移动x[2d]到x[d]的位置,x[(k+1)d%n]移动到x[kd%n]的位置，如下图所示。
解法三：Block-swap Algorithm
旋转向量x其实就是交换向量ab的二段得到ba，其中a代表x的前d个元素。例如abcdefgh向左旋转3位成defghabc，即交换(abc)和(defgh).
假设a比b短，则可以将b分为二段[bl]和[br]其中[br]长度和a相同。交换ab即为交换a[bl][br]，则可首先交换a和[br]得到[br][bl]a，a已经处于正确位置，接下来可递归需交换[br][bl]，从而得[bl][br]a即ba。
解法四：The Reversal Algorithm
从解法三看到交换ab，其实可以先翻转a得到a'然后翻转b得到b‘，最后将a'b'整体翻转ba。
例如：abcdefgh=&[cba][hgfed]=&[defghabc]
代码如下：
/**** &Rotate vector x[n] left by d positions***/#include &stdio.h&/*** Algorithm 1: pricey algorithm* O(n) time and O(n) extra space**/ & void pricey(int x[], int n, int d){& & d = d % n;& & int * temp = new int[d];& & for(int i = 0; i & d; i++) &//move the first d elements into the temp& & {& & & & temp[i] = x[i];& & }& & for(int i = d; i & n; i++) &//move the last n-d elements into the first n-d places& & {& & & & x[i-d] = x[i];& & }& & for(int i = 0 ; i & d; i++) //move the temp into the last d elements& & {& & & & x[n-1-i] = temp[d-1-i];& & }& & delete[] temp;}/*** Algorithm 2: A juggling algorithm* O(n) time and O(1) extra space**/void swap(int * a, int *b){& & int temp = *a;& & *a = *b;& & *b = temp;}int gcd(int n, int d){& & if(n & d) swap(&n, &d);& & if(n % d == 0) return d;& & else return gcd(d, n/d);}void juggling(int x[], int n, int d){& & int temp; //store the x[i]& & int j;& & for(int i = 0; i & gcd(n, d); i++)& & {& & & & temp = x[i];& & & & j = i;& & & & while(1)& & & & {& & & & & & int k = (j + d)%n;& & & & & & if( k == i) break;& & & & & & x[j] = x[k];& & & & & & j = k;& & & & }& & & & x[j] = temp;& & }}/***Algorithm 3: The Block-Swap Algorithm*The idea: change ab to ba*If a is shorter, divide b into bl and br*Swap a and br to change a[bl][br] into [br][bl]a*Then recusive to change [br][bl]* O(n) time and O(1) extra space**///swap x[a,a+len-1]and x[b,b+len-1]void swap_block(int x[], int a, int b, int len){& & for(int i = 0; i & len; i++)& & {& & & & swap(x+a+i,x+b+i);& & }}void blockswap(int x[], int n, int d){& & d = d % n;& & if( n ==d || d == 0 ) return;& & else& & {& & & & int a = 0;& & & & int b = d;& & & & int a_len = d;& & & & int b_len = n - d;& & & & while(1)& & & & {& & & & & & if( a_len & b_len)& & & & & & {& & & & & & & & swap_block(x, a, b, b_len);& & & & & & & & a = &a + b_len;& & & & & & & & a_len = a_len - b_len;& & & & & & }& & & & & & else if( a_len & b_len)& & & & & & {& & & & & & & & swap_block(x, a, b + b_len - a_len, a_len);& & & & & & & & b_len = b_len - a_len;& & & & & & }& & & & & & else& & & & & & {& & & & & & & & swap_block(x, a, b + b_len - a_len, a_len);& & & & & & & & break;& & & & & & }& & & & }& & }}/***Algorithm 4: The Reversal Algorithm*The Idea*Reverse a to get a rb.*Reverse b to get a rb r .*Reverse all to get (a rb r ) r = ba.*O(n) time and O(1) extra space**/void reverse(int x[], int start, int end){& & for(int i = start, j = end; i & j; i++, j--)& & {& & & & swap(x+i, x+j);& & }}void reversal(int x[], int n, int d){& & reverse(x, 0, d-1);& & reverse(x, d, n-1);& & reverse(x, 0, n-1);}int main(){& & int x[] = {'a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h'};& & int n = 8;& & int d = 3;& & reversal(x, n, d);& & for(int i = 0; i & n; i++)& & {& & & & printf(&%c & , x[i]);& & }& & printf(&\n&);& & return 0;}
---------------------------------------------------------
第二种方法时，用到了gcd，循环次数是n和d的最大公约数，如果n和d最大公约数是1，那么循环只要执行一次就能将所有的字符移动到指定位置，这里还是非常巧妙的。
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随笔 - 81, 文章 - 0, 评论 - 80, 引用 - 0
1 问题描述
这是从《编程珠玑(第 2 版)》的第 8 章&算法设计技术&中看到的一个问题。问题的描述是这样的，
&问题的输入是具有 n 个浮点数的向量 x，输出是输入向量的任何连续子向量中的最大和。例如，如果输入向量包含下面 10个元素:(31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84) 那么该程序的输出为x[2...6] 的总和，即 187。&
当所有的数都是正数时，问题很容易解决，此时最大的子向量就是输入向量本身。但如果输入向量中含有负数时就不好处理了。另外，为了使问题的定义更加完整，我们认为当所有的输入都是负数时，总和最大的子向量为空向量，总和为 0。
2 问题分析
2.1 最简单直接算法
看到问题,想到的最简单直接的算法就是双层嵌套循环遍历所有的连续子向量，记录下遇到过的最大和,并持续更新。该算法的伪代码为，
1 maxSum = 0;
2 for i = 0 -& n-1
subVecSum = 0;
for j = i+1 -& n-1
subVecSum = subVecSum + x[j];
if (subVecSum & maxSum) then
maxSum = subVecSum;
这是一种简单粗暴的算法，算法复杂度为 O(n2 )，效率太低了。
如何进行改进呢？在上述的双层循环中，除了含有输入向量首元素的连续子向量只被扫描 1 次之外，其他连续子向量都至少被扫描过 2 次。例如，子向量 (-41,59) 被扫描了两次,、，在扫描子向量 (31,-41,59) 处理过一次(未特殊处理，也没有记录)，在扫描子向量 (-41,59) 本身时又被处理了一次。实际上，连续子向量被处理的次数跟该子向量的首元素所在输入向量中的位置有关，如果连续子向量首元素在输入向量的第 m 位(从 1 开始)，则该子向量被处理过 m 次，其中 m-1 次没有进行记录。通过上面分析，我们发现这种简单算法的大部分效率消耗在了连续子向量的重复处理上。那么，我们进行算法优化的思路就是如何减少连续子向量的重复处理?
2.2 扫描算法
我们用 sum(i . . . j) 来表示连续子向量 x[i . . . j] 的总和。我们假设连续子向量 x[m . . . k] 的总和是最大，即
sum(m & 1 . . . k) & sum(m . . . k) & sum(m . . . k + 1)
也就是说，
sum(h . . . k) & sum(m . . . k)&&&& & h & [m, k)&&&&& & & (1)
sum(l . . . k) & sum(m . . . k) & & & l & [0, m) & & & & & & (2)
对于表达式 (1)，我们得到下面的推导：
0 + sum(h . . . k) & sum(m . . . h) + sum(h . . . k)
表达式两边减去 sum(h . . . k)，得到
0 & sum(m . . . h)
于是,我们得到结论 1：如果某个连续子向量的和大于零，则以该子向量为前缀的连续子向量的和可能会更大。
对于表达式 (2)，我们得到下面的推导：
sum(l . . . m & 1) + sum(m . . . k) & 0 + sum(m . . . k)
表达式两边减去 sum(m . . . k)，得到
sum(l . . . m & 1) & 0
于是,我们得到结论 2：如果某个连续子向量的和小于或等于零，则以该子向量为前缀的连续子向量的和不可能大于去掉该子向量前缀之后的子向量的和。
根据结论 1 和结论 2，我们就可以得到下面这个只需要扫描一遍输入向量 x 的算法。
1 maxVecBegin = maxVecEnd = -1;
2 maxSum = 0;
3 cursorVecBegin = cursorVecEnd = 0;
4 cursorVecSum = 0;
5 while (cursorVecEnd & n)
cursorVecSum = cursorVecSum + x[cursorVecEnd];
if (cursorVecSum & maxSum) then
maxSum = cursorVecSum;
maxVecBegin = cursorVecBegin;
maxVecEnd = cursorVecEnd;
else if (cursorVecSum &= 0) then
cursorVecSum = 0;
cursorVecBegin = cursorVecEnd + 1;
cursorVecEnd = cursorVecEnd + 1;
17 endwhile
以 maxSum 记录连续子向量的最大和，maxVecBegin 和 maxVecEnd 记录和最大的连续子向量开始位置和结束位置。另外有个游标向量用于扫描输入向量，游标向量的结束位置从输入向量的首元素移动到末尾元素，而游标向量的开始位置则随着扫描情况可能需要进行向后调整。
每将游标向量的结束位置 cursorVecEnd 向后移动一位时，做以下处理：
1. 计算游标向量的和 cursorVecSum；
2. 根据游标向量的和 cursorVecSum，做以下处理，
&&& & 游标向量总和 cursorVecSum 大于最大和 maxVecSum，更新最大和 maxVecSum 为游标向量的和 cursorVecSum，并更新最大和连续子向量为游标向量(即 maxVecBegin=cursorVecBegin和 maxVecEnd=cursorVecEnd)；
&&& & 或者,游标向量的和小于或等于零，抛弃该游标向量,将游标向量开始位置调整当前扫描位置之后，即 cursorVecBegin=cursorVecEnd+1(根据结论 2)；
&&& & 否则保留当前游标向量,继续将游标向量结束位置后移一位(根据结论 1)。
我们以问题描述中给的输入向量用例
(31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84)
来 对 上 述 算 法 进 行 验 证。 表 格 (1) 根 据 游 标 向 量 结 束 位 置 cursorVecEnd 来列表各轮循环中 cursorVecSum的值，以及该轮循环之后cursorVecBegin、cursorVecSum、maxVecBegin、maxVecEnd和 maxVecSum 的值。
cursorVecEnd
cursorVecSum
cursorVecBegin
cursorVecSum
maxVecBegin
根据最后的结果得出，和最大的连续子向量即为 x[2 . . . 6],总和为187。
该算法只扫描了输入向量一遍，则该算法的复杂度为 O(n)。这是一个线性算法，已经是最优的了。
3 问题来历
该问题出现在布朗大学的 Ulf Grenander 所面对的一个模式识别问题中,问题的最初形式为下面的二维形式。
&给定 n & n 的实数数组,求出矩形子数组的最大总和。&
在二维形式的问题中，最大总和子数组是数字图像中某种特定模式的最大似然估计量。因为二维问题的求解需要太多时间，所以 Grenander 将它简化为一维问题，以深入了解其结构。
最近看到这个问题问题才想起来,两年前毕业找工作的时候，就被一个面试官问到过这个二维问题。那时胡乱讲了一通，最后面试当然就悲剧了。后面找个空闲时间再好好思考一下吧。&&&&&&&&&&&&
高考数学平面向量
平面向量知识结构高考能力要求1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．　　2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．　　3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．　　4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．　　5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．　　6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．　　7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．　　高考热点分析　　向量由于具有几何形式与代数形式的"双重身份"，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．　　　　主要考查：　　1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．　　2．向量的坐标运算及应用．　　3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．　　4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．　　高考复习建议　　根据本章近年高考试题的分析及最新命题立意的发展变化，宜用以下应试对策：　　1．在复习中要把知识点和训练目标有机结合．重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等，正确掌握这些基本知识是学好本章的关键．　　2．明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标进行有机结合，注意"数"与"形"的相互转换．　　3．在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算又要把向量知识和其它知识，如曲线、数列、函数、三角等知识进行横向联系，以体现向量的工具性．5．1
向量的概念与几何运算知识要点1．向量的有关概念　　⑴ 既有
的量叫向量．的向量叫零向量．
的向量，叫单位向量．　　⑵
叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量
的向量叫相等向量．　　2．向量的加法与减法　　⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按
法则进行．加法满足
律．　　⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的
重合，连结两向量的
，方向指向
．　　3．实数与向量的积　　⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：　　① |
．　　② 当＞0时，的方向与的方向
当＜0时，的方向与的方向
．　　⑵ (μ)＝
．　　⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得
．　　4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得
．　　⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是
．例题讲练【例1】
已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．　　【例2】
已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．　　【例3】
已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和．【例4】
设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？小结归纳1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．　　2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．　　3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．　　4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．基础训练题一、选择题1． 若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是
）　　A．　　B．　　C．　　D．2． 化简等于
）　　A．2
B．　　C．－2
D．23． 如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于
）　　A．－＋　　B．－－　　C．－　　D．＋4． 在△ABC中，有命题：①若；②；③若＝0，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形上述命题正确的是
B．①④C．②③
D．②③④5． 已知正方形ABCD边长为1，＝，＝， ＝，则＋＋的模等于
D．6．已知向量、，且＝＋2，＝－5＋6， ＝7－2，则一定共线的三点是
）A．A、B、D
B．A、B、CC．B、C、D
D．A、C、D　　二、填空题7． ＝"向东走4km"，＝"向南走3km"，则 |＋|＝
．8． 若＋＝，且 ||＝||＝， 与垂直，则 ||＝
．9． 在平行四边形ABCD中，，，，M为BC的中点，则＝
.(用，表示)10．已知 ||＝8，||＝5，则 || 的取值范围是
．　　三、解答题11．已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：12．某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，当水的流速为2公里/小时时，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？13．如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．提高训练题14．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求的最小值．15．如图所示，PQ过△OAB的重心G，＝，＝，＝m，＝n，求证：5．2
平面向量的坐标运算知识要点1．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作
．并且||＝
．　　2．向量的坐标表示与起点为
的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：　　若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：　　＋＝　　－＝　　λ＝　　已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝
．　　4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是
．　　例题讲练　　【例1】
已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】
已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】
已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．　　(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标；　　(2) 当||＝||时，求点P的轨迹．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小结归纳　　1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了"形"与"数"的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．　　2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．基础训练题　　一、选择题1． 若＝（3，2），＝（0，－1），则2－＝（
）　　A．（3，－4）
B．（－3，4）　　C．（3，4）
D．（－3，－4）2． 已知两点A（4，1），B（7，－3），则与向量同向的单位向量是
）A．(，－)
B．(－，)C．(－，)
D．(，－)3． 设向量＝(－1，2)， ＝(2，－1)，则(?)(＋)等于
）　　A．(1，1)
B．(－4，－4)　　C．－4
D．(－2，－2)4． 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量＝(4, －3) (即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为||个单位)，设开始时点P的坐标为(－10, 10)，则5秒后点P的坐标为
）A．(－2, 4)
B．(－30, 25)C．(10, －5)
D．(5, －10)5． 已知向量集合M＝{＝(1, 2)＋(3, 4) ∈R}，N＝{＝(－2, －2)＋(4, 5)
∈R }，则M∩N等于
）A．{(1, 1)}
B．{(1, 1) (－2, －2)}　　C．{(－2, －2)}
D．φ6． 设向量＝(1，2)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)，若表示向量4，4－2，2(－)，的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为
）A．（2，6）
B．（－2，6）C．（2，－6）
D．（－2，－6）二、填空题7． 已知＝（1，2），＝（－1，0），则＝
．8． 已知点A（1，2），若向量与＝（2，3）同向，||＝2，则点B的坐标为
．9． 已知向量＝(cosθ, sinθ)，向量＝(，－1)，则 |2－| 的最大值是
．10．直角坐标系中，若定点A(1, 2)与动点P(x, y)满足＝4，则点P的轨迹方程是
.三、解答题11．设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥．12．已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．13．在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标．提高训练题14．已知向量)，且x∈[](1) 若f (x)＝()2，求f (x)的解析式；(2) 求函数f (x)的最大值和最小值.15．已知向量＝（x, y）与向量＝（y, 2y－x）的对应关系用＝f ()表示．(1) 设＝(1, 0)，求f ()(2) 设 f ()＝(1, 1)，求．(3) 证明：对任意向量，及常数m，n恒有f (m＋n)＝mf ()＋nf ()5．3
平面向量的数量积知识要点　　1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的
．当θ＝0°时，与
；当θ＝180°时，与
；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作
．　　2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量
叫做与的数量积（或内积），记作?，即?＝
．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则?＝
．　　3．向量的数量积的几何意义：　　||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)．　　?的几何意义是，数量?等于．　　4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．　　⑴ ?＝?＝　　⑵ ⊥　　⑶ 当与同向时，?＝
；当与反向时，?＝
．　　⑷ cosθ＝
．　　⑸ |?|≤　　5．向量数量积的运算律：　　⑴ ?＝
；　　⑵ (λ)?＝
＝?(λ)　　⑶ (＋)?＝例题讲练【例1】
已知||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)?(3－2)．　　【例2】
已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．　　(1) 若a⊥b，求；　　(2) 求|＋|的最大值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】
已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)?(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ)
θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值.小结归纳1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．　　2．注意?与ab的区别．?＝0≠＞＝，或＝．　　3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．基础训练题一、选择题1． 已知向量、满足：||＝1，||＝2，|－|＝2，则|＋|等于
）　　A．1
D．2． 设、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|＋3|＝
C． D．43． 已知，，为非零向量，甲：?＝?，乙：＝，则甲是乙的
）A．充分非必要条件
B．必要非充分条件C．充分且必要条件
D．非充分非必要条件4． 点O是△ABC所在平面上一点，满足，则点O是△ABC的（
B．垂心C．重心
D．外心5． 若||＝1, ||＝2, ，且，则向量与的夹角为
B．60°C．120°
D．150°6． 若O为坐标原点，抛物线y2＝2x与过其焦点的直线交 于A、B两点，则?等于
）A． B．－
D．－4二、填空题7． 已知＝(－1, 3)，＝(2, －1)，若(k＋)⊥(－2)，则k＝
．8． 已知||＝3，||＝5，且?＝12，则向量在向量的方向上的投影为
．9． 已知△ABC中，?＜0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则∠BAC＝
．10．设G是△ABC所在平面一点，且，则G是△ABC的
．三、解答题11．已知||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值．12．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||=4，||=5，求：?+?+?的值．13．已知非零向量与满足?＝0，且?＝，判断△ABC的形状．提高训练题14．已知，都是非零向量，且＋3与7－5垂直，－4与7－2垂直，求与的夹角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15．如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，?的值最大？并求出这个最大值．5．4
线段的定比分点和平移知识要点　　1． 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ使＝λ，λ叫做
．　　2． 设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是λ时，定比分点坐标公式：　　中点坐标公式：　　3． 平移公式：将点P（x、y）按向量＝（h、k）平移得到点P'（x'，y'），则
．例题讲练　　【例1】 已知点A(－1, －4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分所成的比.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】 将函数y＝2sin（2x＋）＋3的图象C进行平移后得到图象C'，使C上面的一点P（、2）移至点P'（、1），求图像C'对应的函数解析式．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】 设＝(sinx－1, cosx－1)，，f (x)＝，且函数y＝f (x)的图象是由y＝sinx的图象按向量平移而得，求.　　【例4】 已知△ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、－4)，点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC的面积的一半，求N点的坐标．小结归纳　　1．在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比．　　2．平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量＝(h，k)三者之间的关系．它的本质是＝．平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆．基础训练题一、选择题1． 已知A(4, －3)，B(－2，6)，点P在直线AB上，且||＝3||，则P点坐标是
）　　A．（2，0）　　B．（0，3）　　C．（2，0）或（6，－6）　　D．（6，0）或（，－）2． 函数y＝＋3的图象按向量平移可得y＝，则向量为
）A．（2，3）
B．（2，－3）C．（－2，3）
D．（－2，－3）3． 若直线2x－y＋c＝0按向量＝(1, －1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为
）A．8或－2
B．6或－4C．4或－6
D．2或－84． 已知点A(, 1)， B(0, 0)， C(, 0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，则＝
C．－3 D．－5．已知p是△ABC所在平面内的一点，若＝(∈R)，则点p一定在
）A．△ABC的内部
B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上
D．BC边所在直线上6． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋、∈[0, ＋，则P的轨迹一定通过△ABC的（
）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心二、填空题7． 已知点P在线段P1P2的延长线上，如图所示，那么关于定比有以下三个结论：① 若||＝2，||＝3，则P1分P2P所成的比λ＝－；② P分P1P2所成的比的取值范围是(－∞,－1)；③ 若P1分PP2的比为，则P分P2P1所成的比是.其中正确的结论是
.8． 将y＝sin2x的图象向右按作最小的平移，使得平移后的图象在[kπ＋, kπ＋π] (k∈Z)上递减，则＝
．9． 已知抛物线按向量＝(－2，2)平移后，图象的解析式为y＝2(x＋2)2＋2，则原解析式为
．10．设|AB|＝5，点p在直线AB上，且|PA|＝1，则p分所成的比为
．三、解答题11．已知在
ABCD中，点A(1，1)，B(2，3)，CD的中点为E(4，1)，将
ABCD按向量平移，使C点移至原点O．(1)求向量；(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标．12．已知△ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）．(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；　　(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把△ABC的面积分成45两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标．13．将函数y＝log2(x＋3)＋2的图象按向量＝（3，－3）平移后，得到y＝f (x)的反函数图象，求y＝f (x)的解析式．提高训练题14．已知M（2，3），N（8，4），点P在线段MN上且，求的值及P点坐标．15．过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P（0，m）（m>0），作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．设点P分有向线段所成的比为λ，证明：⊥()．5．5
三角形中的有关问题知识要点1．正弦定理：　　利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：　　⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；　　⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．　　2．余弦定理：　　利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．　　⑴ 已知三边，求三角；　　⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．　　3．三角形的面积公式：例题讲练【例1】
在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c．　　【例2】
在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．　　【例3】
已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()．　　(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；　　(2)求y＝的最大值与最小值．小结归纳1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．　　2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．　　3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题。基础训练题一、选择题1． 钝角三角形的三边为a、a＋1、a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是
）A．0＜a＜3
B．≤a＜3C．2＜a≤3
D．1≤a＜2． 在△ABC中，若sinA＋cosA＝，则三角形是（
）A．钝角三角形
B．等腰直角三角形C．锐角三角形
D．无相等边的直角三角形3． 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则
）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形4． 设△ABC的三边a、b、c成等差数列，则B的取值范围是
D．5． 用长度分别为2、3、4、5、6的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为
D．206． 在△ABC中，如果4sinA＋2cosB＝1，2sinB＋4cosA＝3，则∠C的大小是
B．150°C．30°或150°
D．60°或120°　　　　二、填空题7．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝2:3:4，则∠ABC＝
．8． 在△ABC中，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则∠A＝
．9． 已知△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则过BC边上的中线AD为
．10． 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝
；外接圆半径＝
；内切圆半径＝
．三、解答题11．△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，求AC边上的高．12．△ABC中a＋c＝2b，A－C＝，求sinB的值．13．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角（炮台底部与船只在同一个水平面上），求两条船相距多少米？提高训练题14．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝．　　(1) 求AB的值；　　(2) 求sin(2A＋C)的值．15．在△ABC中，∠C＝2∠A，cosA＝，?＝，(1) 求cosB；(2) 求边AC的长．单 元 测 试一、选择题1． △ABC中，已知A＝60°，a＝4，解三角形．当此题有唯一解时，b满足的条件为
）A．0＜b＜4
B．b＝8C．0＜b＜4或b＝8
D．0＜b≤4或b＝82． 已知向量＝(3，4)，＝(sin，cos)，且||，则tan等于
D．－3． 在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则＋＋2＋等于
D．4． 已知向量＝(，1)，是不平行于x轴的单位向量，且?＝，则＝
B．(，)C．(，)
D．(1，0)5． 设平面向量，，的和＋＋＝，如果平面向量，，满足||＝2||，且顺时针旋转30°后同向，其中i＝1、2、3，则 （
）A．－＋＋＝ B．－＋＝C．＋－＝
D．＋＋＝6． 下列各组向量中：① ＝(－1，2)，＝(5, 7)；② ＝(3，5)，＝(6, 10)；③ ＝(2，－3)，＝(,－)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的有（
B．①②C．②③
D．①②③7． 某曲线按向量＝(h, k)平移后的解析式为y＝f(x)，则平移之前的解析式为
）A．y＝f(x－h)＋k
B．y＝f(x－h)－kC．y＝f(x＋h)－k
D．y＝f(x＋h)＋k8． △ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设向量＝(a＋c、b)，＝(b－a，c－a)，若∥，则角c的大小为
D．9． 已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则AP＝
）　　A．(＋)，∈(0，1)　　B．(＋)，∈(0，)　　C．(－)，∈(0，1)　　D．(－)，∈(0，)10．已知向量与的夹角是60°，||＝4，(＋2)?( －3)＝－72，则||等于
D．12二、填空题11．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y＝mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3:2，则m等于
．12．已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，且≠±，那么＋与－的夹角的大小是
.13．已知||＝2，||＝，与的夹角为45°，要使－与垂直，则λ＝
．14．△ABC中，若∠A＝30°，a＝，b＝2，则∠B＝
．15． 设向量与的夹角为θ，我们称×为向量与的"向量积"，×是一个向量，它的长度|×|＝||||sinθ．如果||＝3，||＝2，?＝－2，则|×|＝
．三、解答题16．△ABC中，||＝3，||＝5，?＝－9，求||．17．在直角△ABC中，＝(－2, 3)，＝(1, k)，求实数k的值．18．在△ABC中，已知b＝()a，∠C＝30°，求∠A和∠B．19．已知A、B、C是△ABC三内角，向量＝(－1，)，＝(cosA，sinA)，且?＝1．(1) 求角A；(2) 若＝－3，求tanC．20．已知点O（0，0）、A（a，0）、B（0，a），a是正常数，点P在直线AB上，且（0≤t≤1），求的最大值．21．已知函数f (x)＝a＋b sin2x＋c cos2x (a<1)的图象经过点A(0, 1)和点B(，1)，且当x∈[0，]时，f(x)取最大值2－1．(1) 求f (x)的解析式；(2) 写出一个向量，使得将f (x)的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象并给予证明．}