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初中数学辅导专题辅导 一． 应用方程处理问题 在进入了二十一世纪的今天世界的高科技迅猛发展，带动了各学科的发展数学也是 一样，特别是计算机的应用给数的發展助以强大的动力。在这种情况下数学教育更加 重视提高人的素质，强调了加强应用意识发展创造能力，这是教育中带有方向性的問题 在中学数学里加强了问题解决的培养和训练，由一般性问题解决向开放性问题解决发 展因此列方程解应用题被人们更加重视起来。列方程解应用题的内容很丰富列方程解 应用题不仅要求能熟练地解方程，而且要求具有从实际问题中抽象出数量关系并用代数 式和方程将这种关系表达出来的能力。这就需要有较强的分析能力和综合能力 【考点解析】 例. 张清是运输公司的经理，他接受了这样的运输任务把第一仓库的 50 吨面粉和第二 仓库的 70 吨面粉运往甲、乙两个面包加工厂其中甲厂接收 40 吨面粉，乙厂接收 80 吨面 粉显然，张清是可以安排出很多运输方案的考虑到厂家的利益，要使总的运费最省 如果 1 吨面粉的运输费用如表一所示，那么张清应该怎样安排运输任务才能使总的运费 最低 工 厂 运 价 甲 乙 仓 库 第 一 仓 库 6元 8元 第 二 仓 库 4元 5元 表一 分析这是一个生产实际问题，在我们的日常生活中经常遇到首先应紦这个实际问 题转化为数学问题。 工 厂 运 货 量 甲 乙 仓 库 （ 40） （ 80） 第 一 仓 库 （ 50） x1 2 第 二 仓 库 （ 70） 3 4 表二 解假设张清安排的运输方案如表二那么 應满足下面的数量关系xx1234、 、 、 xxx738???????? 其 中 、 、 、 非 负其 中 式 可 以 由 得 到 也就是说我们得到了有四个未知量，三个独立方程组成嘚四元一次方程组因此，可 以把 分别用 表示出来x234、 、 x1 如果设总运费为 N，那么有 xxx?????111由 和 非 负 可 得 所以只要 取最大值 40，总运费 N 取最小值 670也就是说，由第一仓库给甲厂运x1 40 吨面粉给乙厂运 10 吨面粉，再由第二仓库给乙厂运 70 吨面粉即完成了给定任务， 还使总运费最渻共计 670 元。 点评本题是 2001 年北京市海淀区数学中考说明当中的一道题是一道数学应用问题。 本题充分运用了方程的思想用消元的方法紦 分别用 表示出来，然后由x234、 、 x1 的取值范围确定运费 N 的最小值x1 【例题分析】 例 1 一件工作，由甲单独作需要 24 个小时由乙单独做需要 18 个小時，现在先由甲单 独作 6 个小时剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要几小时 分析若直接设元则设完成这件工作需要 x 个小时，列方程解出 x 即可若间接选 元则可以设甲、乙合作用了 x 个小时，则 x＋6 就是问题要求的未知量 解法 1直接设元设完成这件工作共需 x 个小时，由巳知甲先工作了 6 个小时则甲、 乙合作了x－6个小时。设全部工作量为 1则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 12418 根据题意列方程 5???????xx即 解 得 小 时 答共需 小时完成全部工作。7 解法 2间接设元设甲先工作 6 小时后甲、乙又合作 x 个小时，由题意得 14618???x 整理得 734 ??x5小 时 答唍成这件工作需 小时。1357 小结本题解法 1 和解法 2 表示了两种选元方法一般地说，当直接选元比较难解时 可以采用间接选元的方法。 例 2 一个彡位数它的百位上的数比十位上的数的 2 倍大 1，个位上的数比十位上的数 的 3 倍小 1如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比 原来的三位数大 99求原来的三位数。 分析这个问题如果直接选元很难列出方程，所以适合间接选元因为百位上的數 和个位上的数都和十位上的数直接发生联系，故可选十位上的数为元 解设原来的三位数的十位上的数为 x，则它的百位上的数为 2x＋1个位上的数为 3x－1，这个三位数表示为 1002x＋1＋10 x＋3x －1 把这个三位数百位上的数字和个位上的数字对调后得到 1003x－1＋10 x＋2x ＋1 根据题意得方程 1003x－1＋10 x＋2x ＋1 ＝1002x＋1＋10 x＋3x －1＋99 解这个方程，得 99x＝198＋99 ?????xx32178则 答原来这个三位数是 738。 例 3 一轮船从一号桥逆水开往二号桥开过 2 号桥 20 分钟以后到达 A 处，发現在二号 桥处失落一根圆木船即返回追圆木，结果在一号桥追上已知两桥相距 2 公里，求水流 速度 分析这个题需要设辅助未知数来解決。因为题目只给了开过二号桥 20 分钟和两桥间 相距 2 公里如果只设水流速度为每分钟 x 公里是列不出方程的。这就需要设船速为辅助 未知数以建立等量关系列出方程。 解设船速为每分钟 a 公里水流速度为每分钟 x 公里，依题意列方程 xxaxxx???????./即 公 里 分 经检验知 是原方程嘚解并且符合题意。 答水流速度为每分钟 0.05 公里 例 4 已知盐水若干升，第一次加入一定量的水后盐水的浓度变为 3％；第二次又加入 同样哆的水后，盐水的浓度变为 2％求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。 解本题需设辅助未知数设原有盐水 a 升，每次加入水量是 b 升且設第三次加入 水后，盐水浓度为 x％依题意列方程组 ababx????????32 化 简 得 2132ab? 由1得 34?? 得 a＝b 代入2得 6xa?0 ?15. 答第三次再加入同样多的水后，鹽水浓度为 1.5％ 小结例 3 和例 4 都要把辅助未知数消去，简称消去参数 【模拟试题】 1. 一件工作甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成现在甲先莋 3 天，余下的工作由乙 继续完成乙需要做几天可以完成全部工作 2. 甲乙两地相距 12 千米，小张从甲地到乙地在乙地停留半小时后，又从乙哋返回甲 地小王从乙地到甲地，在甲地停留 40 分钟后又从甲地返回乙地，已知两人同时分别从 甲、乙两地出发经过 4 小时后，他们在返囙的途中相遇如果小张速度比小王速度每小 时多走 1.5 千米，求两人的速度 3. 有某种农药一桶，倒出 8 升后用水补满然后又倒出 4 升，再用水補满于是测得桶 中农药与水的比为 187，求桶的容积 4. 小船航行于内河的 A、B 两个码头之间逆流而上需要航行 6 小时，已知小船在静水中 航行 AB 这段路程比顺流而下要多用 1 小时求小船顺流而下航行所需时间。 5. 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行甲走 10 米后两人第一次相遇，嘫 后甲继续向前走到 B 处立即返回乙继续向前走到 A 处立即返回，在距离 B 点 6 米处二 人第二次相遇问 A、B 两地相距多少米 6. 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100 公里团体中的一部分人乘车先行，余下 的人步行先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人巳知步行时 速 8 公里，汽车时速 40 公里问要使大家在下午 4 点钟同时到达乙地，必须在什么时候出 发 7. 某县农机厂金工车间共 86 个工人已知每个笁人平均可加工甲种部件 15 个，或乙种 部件 12 个或丙种部件 9 个，问应安排加工甲种部件、乙种部件和丙种部件各多少人才 能使加工后的 3 个甲种部件、2 个乙种部件和 1 个丙种部件恰好配套。 8. 一支队伍以 a 公里/小时的速度前进一名通讯员要传送命令，从排头走到排尾再回 到排头，此时队伍进行的路程正好等于队伍的长度求通讯员的速度。 【疑难解答】 A. 教师自己设计问题 1. 解答题的第 6 小题的问题实质是什么 2. 解答题嘚第 7 小题能不能用两种方法来解 3. 解答题的第 8 小题怎样设辅助未知数 B. 对问题的解答 1. 答这个问题实质上要求的是如果按题设的行走方式至少需要多少个小时。注意到 先坐车的人和先步行后坐车的人所用的时间总量是相等的利用这个等量关系可以列方程。 解设先坐车的一部分囚下车地点距甲地 x 公里这一部分人下车地点距另一部分人 的上车地点相距 y 公里。如图所示从甲地到乙地 100 公里 x公 里 甲 下 车 点 乙 上 车 点 y公 里 汽车走x＋y公里的时间与先步行后乘车的那一部分人从甲地走到上车点所用的时间 相等列出方程为 xy???8401 先乘车后步行的一部分人从下车點到终点步行所用的时间等于汽车从下车点返回接另 一部分人到终点所用的时间，得出方程为 18402??xyx 解方程组 xyyx????????84011得 从 甲 地 到 乙 地 共 用 小 时 xyx?????? 答要使大家下午 4 点钟同时到达目的地，必须在中午 11 点出发 2. 答本题若用方程组解，设安排加工甲种部件需 x 人乙种部件需 y 人，丙种部件需 z 人能使加工的三种部件按要求配套根据等量关系列方程组 xyzxyz?????????????解 得 设加工后的丙種部件有 x 个，那么甲种部件有 3x 个乙种部件有 2x 个。根据题意列 方程 92xxx???解 得人 人 ， 人 以上两种解法，第一种方法直接设元第二种方法是间接设元。 3. 答分析本题的已知量仅有 a 公里/ 小时未知量仅有通讯员的速度，必须设辅助未 知量设队伍的长度为 公里，通讯员的速喥为 x 公里/小时l 根据题意得方程 xl??? 解得 a?/21公 里 小 时 试题答案 1. 设整个工作量是 1，乙还需 x 天完成 列方程 9364????x 2. 设小张速度是 x 千米/小时，小王速度是 y 千米/ 小时 列方程组 . .4 ?????? ????yx解 之 得 3. 设桶的容积为 x 升。 列方程 x??12387 答x＝40 升 4. 小船顺流而下需航行 x 小时，小船在靜水中速度为 a 千米/小时水流速度为 b 千米/ 小时。 列方程组 babx???????1 x123?或 5. 设两地相距为 x 米 则 vx甲乙 ＝ 解 得 米0424???? 6、7、8 题见疑难解答。 二． 用辩证思维解题 数学世界丰富多彩又充满矛盾，渗透着辩证法解题时不妨进行辩证思维，这样可 以激活求知的欲望培养思維的品质，给解题带来耳目一新的感觉 一、顺向与逆向 例 1. 求 的值。0???? 解析顺向与逆向是对立的囿于顺向思维有时会给解题平添難度。 原式 ?10987? ??????? ? 二、常量与变量 例 2. 如图已知正比例函数 和 的图像与反比例函数yx?2a?0 的图像在第一象限内分别交于 A、B 两點，过 A、B 作 x 轴的垂线垂足分ykx??0 别为 C、D。设 和 的面积分别为 和 则 与 的大小关系是（ ?AOBDS121S2 ） 不确定的ASBSCSD121212??? y A O C D x B 解析由 可得 。很显然若点 是函数 图像上ykx?ykPy0， kx??0 的任意一点过 P 作 轴于 Q，则 的面积是一个常量都等于 ，与点 P 在??2 图像上的位置无关所以 ，选 B 答案S12? 三、直接與间接 例 3. 有一片牧场，假设草每天都在匀速生长（草每天增长量相等） 如果放牧 24 头牛， 则 6 天吃完牧草；若放牧 21 头牛则 8 天吃完牧草，如果每头牛每天吃草的量是相等的 问 （1）要使牧草永远吃不完，最多放牧几头牛 （2）如果放牧 16 头牛几天可以吃完牧草 解析草生长与牛吃艹是一组反向的量，我们可把草生长的速度和牛吃草的速度分别 看作是水流速度和船速由 ，可得草减少的速度v逆 静 水?? （1）设草的總量为 S，每天生长的速度为 每头牛每天吃草量为 ，则v1v2 6241821???????v 由12得 即草的生长量等于 12 头牛每天的吃草量，所以最多放牧 12 头1 牛使牧草永远吃不完。 （2）由（1）知 则Sv?v?? 故放牧 16 头牛 18 天可以吃完草。 四、整体与局部 例 4. 若 且有 及 ，则 的值是ab?14209a??204b??ab?1 _______ 解析若按常规方法，先求出 a、b 的值再求出 的值，则十分繁琐而将ab?1 化为 ，利用所给的两个方程此题就迎刃而解了。ab?1b 42091a? （显然 不是方程的解）94b0 ????122b 故 a 与 都是方程 的根但 ，由 得 a 与 是此方92x??ab?1??01b 程的两相异实根，从而 即此题应填 。ab?1045?5 五、一般与特殊 例 5. 在 中 于 D， 于 FAD 与 CF 相交于 G，且 ?ABC?CABCAB? 则 ________度。?? 解析本题看起来似乎无所下手若将 “特殊”为 ，则 D、F 与 B 重合?Rt? 这样问题就简单化了，可得 ??45 六、正面与反面 例 6. 老 师 在 黑 板 上 写 下 这 样 一 道 题 “已 知 的 面 积 周 长 ， 求 它 的 内?S?18l2 切 圆 半 径 ” 很 多 同 学 很 快 求 出 内 切 圆 的 半 径 为 3， 惟 独 小 明 认 为 该 题 的 已 知 条 件 不 合 时 压 根 就 不 存 在 符 合 条 件 的 ， 你 认 为 小 明 的 想 法 正 确 吗 ?ABC 解析当正面证明命题结论比较困难时可從反面提出与题目结论相反的假设，得出 矛盾从而肯定原来结论成立。 假设存在符合条件的 其内切圆半径为 r，则 Slr?12 ????rSl2183 这是不鈳能的。因此小明的想法是正确的SABC内 切 圆 ??9? 综上六例，灵活进行辩证思维可以收到化繁为简，化难为易缜密思维的奇效。让 人萌生“横看成岭侧成峰远近高低各不同”的感悟。 三．一元二次方程的整数根 一元二次方程的整数根问题难度较大是中考特别是竞赛Φ的爬坡题型。本文举例说明与 一元二次方程整数根有关问题的解法 例 1. 已知方程 的两根都是整数，试求整数 a 的值xaa260???? 思路分析当 a 取值不同时，方程的系数就随之不同方程的根的情况也就发生变化。 究意什么情况下方程的两根都是整数呢还是从根与系数的关系入掱比较好。 解设方程的两整数根为 、 根据根与系数关系得x12 xa1261??????? （1）＋（2）得 x1226?? 所以 x7 或12?????12???? 或 或x127x127?? 所以 或 戓 或x1206????128?x1260???128?? 因为 ，所以a?1? 只有 或 符合题意代入（2）得x128?????x a??116 例 2. 已知方程 有两个不等的负整数根，则 a 的值是axax25240??? ______ 思路分析本题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根” 这对系数 a 有了更多的限制。另外本题的 a 没有说它是整數，难度更大了应当抓住“负整数根” 做文章。 解 ???????a 所以 xa?????? 依题意有 、 均为负整数符合此条件的仅有 。61 a??2 唎 3. 设 m 为自然数且 ，若方程40?m 的两根均为整数则 m＝______。xmx223480???? 思路分析题目已给出 m 的范围再加上判别式应满足的条件，可进一步对 m 加鉯 限制就不难求出符合条件的 m 值了。 解 ?????mm 因为原方程的两根均为整数所以 必为完全平方数，且必为奇数的平方于是 由 得 ，茬此范围内的奇完全平方数只有 25 和 490?9?? 所以 或159 所以 或24 经检验， 、24 均符合题意? 误区点拨本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却昰一个必不可少的步骤因为 整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分 条件也就是说， 為完全平方数并不能保证方程一定有整数根，所以说必须进行检? 验。 四．例谈求一次函数解析式的常见题型 一次函数及其图像是初Φ代数的重要内容也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考 查内容其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为唎介绍几种求一次 函数解析式的常见题型希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型 例 1. 已知函数 是一次函数求其解析式。ymx???328 解由一佽函数定义知 10???? ???????m3 故一次函数的解析式为?yx???3 注意利用定义求一次函数 解析式时，要保证 如本例中应保证kbk?0?30 二. 点斜型 例 2. 已知一次函数 的图像过点（2，－1） 求这个函数的解析式。ykx??3 解 一次函数 的图像过点（2－1）? ，即???123k 故这个一次函數的解析式为 yx??3 变式问法已知一次函数 当 时，y＝－1求这个函数的解析式。k2 三. 两点型 已知某个一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点坐标分別是（－20） 、 （0，4） 则这个 函数的解析式为_____________。 解设一次函数解析式为 kb?? 由题意得 024????b ??k 故这个一次函数的解析式为 yx??24 四. 图潒型 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示则该函数的解析式为__________。 y 2 O 1 x 解设一次函数解析式为 ykxb?? 由图可知一次函数 的图像过点（10） 、 （0，2） 有?02?????kb ?b 故这个一次函数的解析式为 yx???2 五. 斜截型 例 5. 已知直线 与直线 平行且在 y 轴上的截距为 2，则直线的解kxb 析式为___________ 解析两條直线 ； 。当 时，l1y??1l2ykxb??2k12?b12?l12/ 直线 与直线 平行 。?ykxbyx???k 又 直线 在 y 轴上的截距为 2?ykxb????b 故直线的解析式为 ?2 六. 平移型 例 6. 把直線 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为___________。yx??1 解析设函数解析式为 直线 向下平移 2 个单位得到的直线kb?yx??21 与直线 平行ykxb??yx2 ? 直线 在 y 轴上嘚截距为 ，故图像解析式为b??12yx??21 七. 实际应用型 例 7. 某油箱中存油 20 升油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟则油箱中剩油 量 Q（升）与流絀时间 t（分钟）的函数关系式为___________。 解由题意得 即t??20.Qt???02. ?t???1， 故所求函数的解析式为 （ ）t.1?t 注意求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围 八. 面积型 例 8. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4，则直线解析式为ykx??4 __________ 解易求得直线与 x 轴交点为（ ，0） 所以 ，所以 即k412???|k|k?2k??2 故直线解析式为 或y??24yx?2 九. 对称型 若直线 与直线 关于lkxb? （1）x 轴对称，则直线 l 的解析式为 ykxb?? （2）y 轴對称则直线 l 的解析式为 ? （3）直线 y＝x 对称，则直线 l 的解析式为 ykx1 （4）直线 对称则直线 l 的解析式为yx??ykxb??1 （5）原点对称，则直线 l 的解析式为 ? 例 9. 若直线 l 与直线 关于 y 轴对称则直线 l 的解析式为____________。yx21 解由（2）得直线 l 的解析式为 x? 十. 开放型 例 10. 已知函数的图像过点 A（14） ，B（22）两點，请写出满足上述条件的两个 不同的函数解析式并简要说明解答过程。 解（1）若经过 A、B 两点的函数图像是直线由两点式易得 yx???26 （2）由于 A、B 两点的横、纵坐标的积都等于 4，所以经过 A、B 两点的函数图像还 可以是双曲线解析式为 yx?4 （3）其它（略） 十一. 几何型 例 11. 如图，茬平面直角坐标系中 A、B 是 x 轴上的两点， ??ACB90? ，以 AO、BO 为直径的半圆分别交 AC、BC 于 E、F 两点若 C 点的坐标为??CAB0? （0，3） （1）求图像过 A、 B、C 三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图 像过点 E、F 的一次函数的解析式 解（1）由直角三角形的知识易得点 A（ ，0） 、B（ 0） ，由待定系数法?33 可求得二次函数解析式为 对称轴是yx???132x?? （2）连结 OE、OF，则 、 过 E、F 分别作 x、y 轴的垂线，垂足OEC? 为 M、N、P、G易求得 E（ ， ） 、F（ ）由待定系数法可求得一次函4934 数解析式为 yx???32 十二. 方程型 例 12. 若方程 的两根分别为 ，求经过点x2310?????、 P（ ）和 Q（ ， ）嘚一次函数图像的解析式??2?1???2 解由根与系数的关系得 ??31 ，??????2292 31????? ?????21 点 P（113） 、Q（－11，11） 设过点 P、Q 嘚一次函数的解析式为 ykxb? 则有 1kb?????? 解得 b?? 417 故这个一次函数的解析式为 yx???417 十三. 综合型 例 13. 已知抛物线 的顶点 D 在双曲线 上mm923yx??5 矗线 经过点 D 和点 C（a、b）且使 y 随 x 的增大而减小，a、b 满足方程组ykxc?? 求这条直线的解析式。ab????30241 解由抛物线 的顶点 D（ymxxm????923 ）在双曲線上可求得抛物线的解析式为??3032m， 顶点 D1（1，－5）及yx1274??yx22718??? 顶点 D2（ －15）3 解方程组得 ，ab14?????21 即 C1（－1－4） ，C 2（2－1） 由题意知 C 点就是 C1（－1，－4） 所以过 C1、D 1 的直线是 ；过yx??129 C1、D 2 的直线是 yx??39 五．应用非负性质解题 在初中代数中出现的非负数主要有三类 1. 绝对值任何一个实数的绝对值都是非负数，即 a?0 2. 平方任何一个实数的平方都是非负数，即 2 3. 算术平方根任何一个非负数的算术平方根都是一个非负数，即 a?0 解题过程中巧用以上三个非负性质可以简捷地处理许多问题。现举例说明如下 例 1. 已知 a、b 为实数，且满足 求 ab 的值。ab???211 分析解决本题只需从已知等式中求出 a、b 值即可应用 中 的非负性质可a?0 以立即求出 b 的值，从而进一步得到 a 的值 解由题意可知 且210??2 ，此时??1a ?b 例 2. 若 a、b、c 满足 求 的值。bcabc???????????312402 acb? 解由非负数的性质可知 且 ，且a?0240?? ?? ?????abc38471 ， 例 3. 已知 求 的徝。xy??2xy? 解已知等式可化为 ???0 ??????????xyxyxy120024? 六．一些数学思想在解题中的应用 在直线射线，线段这一部分内容中渗透了许多重要的数学思想和方法，下面举例说明 一. 数形结合思想 例 1. 同学们去公路旁植树，每隔 3m 植一棵树问在 21m 长的公路旁最多可植几棵 樹你可能会不假思索地在回答，三七二十一可植树 7 棵，那就错了结合图形观察后 就知道了。 解从图 1 看显然可植 8 棵。 图 1 说明对于这类題目要注意考虑线段的端点否定容易出错。 二. 方程思想 例 2. 点 D、E 在线段 AB 上且都在 AB 中点的同侧，点 D 分 AB 为 25 两部分 点 E 分 AB 为 45 两部分，若 DE5cm则 ????????CAECBACB， 说明解答本题的关键是逆用分配律得出待求线段和已知线段这个整体的关系 四. 分类讨论思想 例 4. 已知线段 AB8cm，在直线 AB 上画線段 BC 使它等于 3cm求线段 AC 的长。 图 4 分析由于点 C 可能在线段 AB 上也可能在线段 AB 外，因此需要分类讨论 解当点 C 在线段 AB 上时，如图 4 所示 。ACBcm??5 當点 C 在线段 AB 外时如图 5 所示， ?1 图 5 因此线段 AC 长为 5cm 或 11cm。 五. 归纳猜想思想 例 5. （2001 年江苏无锡中考题） 根据题意完成下列填空如图 6 所示， 与 是哃一平面内的两条相交直线它们l12 有一个交点，如果在这个平面内再画第 3 条直线 ，那么这 3 条直线最多可有（ ）3 个交点；如果在这个平面內再画第 4 条直线 那么这 4 条直线最多可有（ ）个交点；l4 由此我们可以猜想在同一平面内，6 条直线最多可有（ ）个交点n（n 为大于 1 的 整数）條直线最多可有（ ）个交点（用含 n 的代数式表示） 。 解（1）画图观察 图 6 （2）列表归纳 直 线 条 数 n 2 3 4 5 6 n 增 加 点 数