原标题：高等数学《不定积分经典例题分与定积分》知识点与题型求解

一、与定积分定义与性质有关的问题

● 用定积分的定义求数列极限的基本原则与使用方法

依据：基於以上结论和定积分的定义于是对于特定分割（均分为n份）和区间上特殊取点（统一取为左端点或者统一取为右端点），从而可以用定積分的定义来求无穷项和的极限.

原则、步骤与方法：如果考虑使用定积分的定义来求无穷项和的数列的极限则首先将极限式写成∑求和形式；然后提出一个1/n，再将剩下部分中包含的n与k（或者i）转换为i/n或k/n的函数表达式（这个过程可能需要经过放缩结合夹逼定理），即最终嘚极限式可以写成∑f(i/n)(1/n)的结构则可以把最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[0,1]的定积分形式. 具体过程参见课件中的例题和后面的参考閱读！

【注】如果希望构建积分区间为[a,b]则需要提出(b-a)/n，并将剩余部分转换为a+(b-a)i/n即极限式转换为∑f[a+(b-a)i/n](b-a)/n的结构，则最终的极限描述为被积函数为f(x)积分区间为[a,b]的定积分形式.

● 定积分性质命题相关的注意事项

(1) 与定积分不等式命题相关的证明考虑积分性质中的保号性中的几个结论

(2) 与定積分、被积函数和积分区间相关的命题的证明，考虑定积分的积分中值定理；定积分中值定理架起了定积分与被积函数和积分区间之间的橋梁使得定积分的研究可以转换为被积函数来研究.

二. 与变限积分函数有关的问题

积分上限函数为被积函数的一个原函数，因此积分上限函数是连续可导函数

● 在已知条件或者结论中包含有积分上限函数的问题，一般直接的思路就是先对积分上限函数求导

● 积分上限函数吔称为变上限函数因此，有变下限函数以及上下积分限都为函数的积分限函数，对于它们都可以转换为变上限函数来处理于是结合積分上限函数的复合函数可以得到以上变限函数的导数表达式

● 对于积分变限函数求导的基本原则是在求导之前将被积表达式要变换成与求导变量无关，而仅仅与积分变量相关的表达式；积分上下限为求导变量的函数的结构这样就可以直接使用变限积分求导公式直接套用！即将被积函数的积分变量替换为变限表达式，然后乘以变限函数的导数即得导数结果即依据课件及上面的公式将最终所求的变限积分式子转换如下，并有如下求导结果

即如果被积表达式中包含有求导变量则要提出来，如果提不出来则通过积分的换元法的方式转换，使得其不包含有求导变量.

三. 不定积分经典例题分和定积分的计算及证明

定积分的计算步骤（不定积分经典例题分计算思路从step3开始）小结

Step1：汾析积分区间是否关于原点对称即为[-a,a]，如果是则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有则考虑使鼡“偶倍奇零”性质简化定积分计算.

Step2：考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果昰则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算.

Step3：考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”伍类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是可考虑使用定积分的分部積分法计算定积分.

Step4：考察被积函数是否包含有特定结构的函数，比如根号下有平方和、或者平方差（或者可以转换为两项的平和或差的结構）是否有一次根式，对于有理式是否分母次数比分子次数高2次以上；是否包含有指数函数或对数函数对于具有这样结构的积分，考慮使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换等；换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分经典例题分不同的是在变量換元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积汾即为最终结果，不再需要逆变换换元！

【注1】不管是分部积分法还是换元法（第一类换元法）一般是将被积函数分解为两个函数的乘積，然后考察简单函数的原函数一般思路为（假设函数h(x)为简单函数）：

【注2】对于两个函数的乘积，在寻找h(x)的原函数的过程中注意观察可能的原函数结构与余下函数的关系，通过构造函数（加、减、乘、除函数项弥补需求）得到函数的原函数

【注3】考虑简单函数的导數来寻找余下函数的关系来构造合适的换元方式与计算方法。

【注4】记得三角代换的三个三角形用来逆代换三角函数表达式

可用定积分模型求解的问题类型及基本解题思路与步骤：

(1) 定型：判定所求量是否适合使用定积分模型求解

依据：需要计算的量具有可加性，即可以对所求量进行分割总量等于各部分量之和。

定线：将所求量分布到一条有限长度的线段上使得可以通过对线段的分割，实现对所求量的汾割量的分割方式可以就为线段上的点(如细棒的质量、变力沿直线段位移作功、变速直线运动的路程计算，直线型构件对质点的引力等)；也可以通过在线段上取点做垂直于线段的直线（如静压力、平面区域的面积等）或者平面（如立体体积的计算）实现对所求量的分割。

【注】线段的选取不唯一

(3) 定限：过选择的直线段，指定合适位置为原点和一个方向建立数轴（或为坐标系中的一个坐标轴），从而線段在数轴上占有的区间[a,b]（即所求量就分布在[a,b]对应的线段上或者分布在过a，b两点垂直于数轴的两直线或两平面之间）即为定积分的积分區间

【注】：对于给出了函数或者变量范围的实际问题区间直接给出。比如求圆心角为a半径为R，线密度为μ的圆弧形物体对位于圆心位置，质量为m的质点的引力则变量的范围可以直接取为[0,a]或[-a/2,a/2]，等坐标系建立的不同而不同。这也就是说同样的变量取值范围可能对应鈈同的积分区间。(该题可以通过分割圆心角范围计算对应小段的弧长，从而得到相应的质量计算得到小段的引力然后通过力的分解，萣积分分别求指定方向的力本题建立的坐标系主要是为力的分解服务的)。

(分割)近似：在确定使用的变量范围内任取x∈[a,b]，给一个增量dx則以两端点位置采取合适方式（点分割、线分割、面分割）分割总量，并用x位置属性代替小区间对应部分量的整体属性(如高、密度、力、距离等)构建函数f(x)，将不规则问题规则化近似描述小区间[x,x+dx]对应的部分量为f(x)dx。

(5) (求和取极限)建模：以[a,b]为积分限f(x)dx为积分表达式，写出总量U计算的积分模型即

(6) 计算：计算定积分。

【注】其中(4)(5)就是元素法（或称为微元法）的基本思想即“分割取近似，作和求极限”

【注1】：洳果对于整个区间[a,b]不能建立统一的被积表达式，可以考虑对区间进行分割分成几个区间分别重复“元素法”的步骤建立积分模型，分别計算定积分然后借助量的可加性，求和得到最终的总量

【注2】定积分只能是数量（标量）的求和，因此对于矢量的计算应该分解为变量进行分量的计算来计算比如引力的计算。

1、定义法求积分值与判定积分的敛散性

定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限

即首先通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的萣积分计算；然后对积分结果求极限；最后根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性

2、反常积分收敛性的判定方法

判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分

(1) 无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论

(2) 无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法基于q-积分的结论

【注1】对于同时包含两类反常积分嘚积分，借助积分对积分区间的可加性分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。

【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时值得注意的是，只要一项积分发散则整个积分发散。

【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”囮简积分计算注意能够使用的前提是反常积分收敛。

【注4】具体内容与方法参考以下课件的部分内容和教材中的例题

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