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&如何计算这个积分？
如何计算这个积分？
式中Hm()为m阶Hermite多项式，Hn()为n阶Hermite多项式。
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心好诚啊，金币全都拿出来了？
计算这个积分的高效方法是使用Hermite多项式的母函数公式，请自行试试。
引用回帖:: Originally posted by racoon01 at
心好诚啊，金币全都拿出来了？
计算这个积分的高效方法是使用Hermite多项式的母函数公式，请自行试试。 根据Racoon01大牛指引的方向,我们可以这样试一下.
由于[latex]\exp(2xt-t^2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_n(x)t^n}{n!}[/latex], 所以
[latex]\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^m z^n}{m!n!}\int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(ax)\exp(-\frac{(1+a^2)x^2}{2})dx[/latex]
等于[latex]\int_{-\infty}^{\infty}\exp(2xt-t^2+2axz-z^2-\frac{(1+a^2)x^2}{2})dx[/latex]
由于[latex]\int_{-\infty}^{\infty}e^{2ax-x^2}dx=\sqrt{\pi}e^{a^2}[/latex], 于是上式等于
[latex]\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{1+a^2}}\exp(\frac{2(t+az)^2}{1+a^2}-t^2-z^2)=\sqrt{\frac{2\pi}{1+a^2}}\exp(\frac{1-a^2}{1+a^2}(t^2-z^2)+\frac{4a}{1+a^2}tz)[/latex]
其中[latex]\frac{t^m z^n}{m!n!}[/latex] 的系数当n-m是奇数时, 答案明显是0. 当n-m是偶数时,
比如m&=n时, 系数为[latex]\sqrt{\frac{2\pi}{1+a^2}}\sum_{j=0}^{[m/2]}\frac{(4a)^{m-2j}(1-a^2)^j(-1+a^2)^{\frac{n-m}{2}+j}n!m!}{(1+a^2)^{\frac{n+m}{2}}j!(m-2j)!(\frac{n-m}{2}+j)!}[/latex], 貌似杂乱无章, 束手无策了
引用回帖:: Originally posted by hank612 at
根据Racoon01大牛指引的方向,我们可以这样试一下.
由于\exp(2xt-t^2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_n(x)t^n}{n!}, 所以
\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^m z^n}{m!n!}\int_{-\infty}^{\infty}H_m( ... 此racoon非彼Ox，不可同日而语额。
hank612是真正的Ox, 上面的计算几乎接近完美了，只是最后一步出了偏差，可惜。
等有空时，若是这个积分还保持现状，某愿与hank612交流一下。多谢。
引用回帖:: Originally posted by racoon01 at
心好诚啊，金币全都拿出来了？
计算这个积分的高效方法是使用Hermite多项式的母函数公式，请自行试试。 感谢版主鼓励！
厄米多项式的积分1.png
厄米多项式的积分2.png
厄米多项式的积分3.png
厄米多项式的积分4.png
引用回帖:: Originally posted by racoon01 at
感谢版主鼓励！
厄米多项式的积分1.png
厄米多项式的积分2.png
厄米多项式的积分3.png
厄米多项式的积分4.png
... 楼主的每一步都写得无比清楚，我来鸡蛋里挑个骨头：
（22）式的前两个展示 次方分别是[latex]t^{2m}, s^{2n}[/latex],
代入（23）式里，楼主不小心写成了[latex]t^m, s^n[/latex],
这样一来，（24）会略有偏差， 算是个瑕疵吧。
不过，整体上楼主的解题过程字字珠玑，叹为观止。
其实我想问问你们是怎么打出来这些符号的。。。
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这个积分怎么求收藏
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你永远都不会懂这些字是什么意思
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这个定积分怎么算?函数F=1/(1+2^(1/X))积分限（-1,1）请问这个定积分怎么算,具体解法怎样?
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其实有个很简单的方法：原式=1 ∫1/(1+2^(1/X))dx+00∫1/(1+2^(1/X))dx-1而 0∫1/(1+2^(1/X))dx=-11∫1/(1+2^(-1/X))dx0所以原式=1∫1/(1+2^(1/X))+1/(1+2^(-1/X))dx=0而1/(1+2^(1/X))+1/(1+2^(-1/X))=(1+1+2^(1/X)+2^(-1/X))/(1+1+2^(1/X)+2^(-1/X))=1所以原式=1∫1dx=10
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求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。先来说导数：导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。一阶导数几何意义：曲线在某一点的变化率—斜率；二阶导数几何意义--斜率的变化率，又可以用来判断曲线的凹凸性；三阶导数几何意义--斜率的变化率的变化率；……。高阶导数是对曲线随x变化而变化的速度的大小、快慢的刻画，并随着阶数的增加，这种刻画也就越来越精确，这一点可从泰勒公式中看出。接下来说说积分积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。不定积分积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。用公式表示是:定积分而相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为&&&&。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。定积分的定义式为：其中，&&&&为分点。直观地说，对于一个给定的正实值函数&&&&在一个实数区间&&&&上的定积分&&&&可以理解为在坐标平面上，由曲线&&&&、直线&&&&以及&&&&轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果&&那么&&但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。现在没时间了，之后我会补充关于其他的比如卷积和傅里叶变换等知识。请问这个复杂的积分怎么求？ - 知乎有问题，上知乎。知乎作为中文互联网最大的知识分享平台，以「知识连接一切」为愿景，致力于构建一个人人都可以便捷接入的知识分享网络，让人们便捷地与世界分享知识、经验和见解，发现更大的世界。4被浏览182分享邀请回答赞同 1 条评论分享收藏感谢收起写回答}