浅谈开放性数学问题及其设计
欧宪胜【摘要】开放性数学问题能调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣，拓宽学生的数学思维空间，有利于学生创新精神和创造能力以及解决实际问题能力的培养。本文讨论数学课堂教学中开放性数学问题的设计，从生活实际中取材、教材习题中改编以及让学生主动参与设计三方面进行论述。【关键词】数学问题 开放性数学问题 问题设计 数学教学中图分类号：G633.6开放性数学问题是相对于传统的“条件完备、结论确定”的封闭性练习题而言的。它只是“问题”，而不是有现成的解决模式可套的“习题”。开放性数学问题中，可能所提供的条件不完备，需要在求解过程中不断充实和增添假设；也可能是答案不唯一确定，结论或结果一般是丰富多彩的；解决问题的思想和途径可能因人而异，灵活多样；开放性问题可以是纯数学的，也可以是从实际生活中提出来的。正因为这样，开放性数学问题给学生留下的探索空间很大，有助于开发学生的发散性数学思维。一、关于开放性数学问题的重要性开放性问题由于其自身的开放特征，一改封闭性问题的条件、答案唯一的特点，吸引学生不依赖于教师、不依赖于书本，独立地去探索和发现问题的各种各样的答案，使学生能在不同水平的答案交流中共同的讨论，互相学习，不断进步。随着新课程改革的落实，各种新题型纷纷出现，特别随着近年来中考和高考开放题的相继出现，开放性数学问题在中国已受到了广大数学教师的普遍关注，学生对开放型问题非常欢迎。开放题有利于培养学生运用数学的意识和探索的精神，开放题有利于培养学生良好的思维品质，能保障学生的主体地位，有助于学生主体意识的形成，有利于全体学生的主动参与，有利于实现教学的民主性和合作性，有利于学生树立信心、产生学习数学的兴趣以及提高学生解决实际问题的能力等，因此在中学数学课堂教学中应该适当地引进开放性数学问题。二、开放性数学问题的设计原则开放性数学问题可以培养学生在解题过程中的创新思维，可以使学生在解题中形成积极探索和创造的心理态势，从而使他们对数学的本质产生一种新的领悟，进而主动地参与到“做数学”的过程中来。设计开放性数学问题应遵循以下原则：（1）参与对象的层次性原则开放性数学问题的设计应考虑到学生的知识水平，让不同层次的学生能多层次、多角度地进行探索分析，从而作出不同层次的解答。例如：学生学完公倍数以后，教师可以出这样一道开放题：小红有一堆积木，若2块分一组，剩下1块，3块分一组，也剩下1块，4块分一组，还是剩下1块。问小红一共有多少块积木？这道题最一般的解法是试误法，这是最低层次；学生能运用2、3、4的公倍数进行解答，这一方法是第二层次；最高层次的解法是学生能运用3、4的公倍数，这是因为他能看出2、3、4的公倍数其实就是3、4的公倍数，所以这是最高层次。一个好的开放题要能分出这样的层次，让不同程度的学生都可以进行探索和尝试，从而使所有的学生都能参与到教学中来。（2）问题内容的宽广性原则问题内容的宽广性是指问题涉及的事件不仅为学生所熟悉，而且知识面也应当宽广。它不仅仅涉及数学内容，还要涉及日常生活与其他学科内容，将学生在日常生活与社会活动中接触过的与数学知识有关的内容加以提炼，设计成开放性问题。例如：小明要给自己的房间的地板安上瓷砖，已知房间长6米，宽3.5米，又知道边长为50厘米的瓷砖3.8元/块，边长为10厘米的瓷砖0.8元/块，请问选择哪种瓷砖可以使小明花钱更少？（3）设计角度的动态性原则设计角度的动态性原则是指同一知识点，采用不同的角度、不同的方式设计成不同的问题。例如：学校的教学楼、图书馆、学生公寓楼在同一条校道上，教学楼与图书馆相距200米，图书馆与学生公寓楼相距1000米：①若教学楼和学生公寓樓分别在图书馆的两侧，请问教学楼与学生公寓楼相距多少米？②教学楼与学生公寓楼相距多少米？问题①是封闭性数学问题，而问题②由于没有规定教学楼与学生公寓楼的位置的限定就变为开放性问题了。由于问题设计的角度新颖，方式丰富多彩，使学生对问题感兴趣，产生好奇心，从而激发学生创造力。（4）解答途径的探索性原则目前的数学练习中程式化、技能化的问题较多，学生只要记忆加苦练再加细心就能解决问题，数学开放题的解答途径却是开放的，具有探索性，它能调动学生追求成功的潜在动机，培养学生勇于探索的精神。例如：如果将一块形状为三角形的木板切去一个角，那么剩下的木板还有几个角？如果这块木板不是三角形而是四边形或五边形，那么结果又如何呢？对这样的问题，学生不能只是根据所学知识或模仿教师传授的某种现成方法就能马上作出解答，而只有通过他们自己亲身实践、亲自探索才能解决问题。（5）解答方法的多样性原则它要求学生将所学知识融会贯通，善于通过多渠道来解决问题，发表自己的独特的见解。例如：请在8、2、5、4、9这几个数字中间添上+、-、×、÷，使其能得到不同的结果。这个题目并没有规定+、-、×、÷四个符号的顺序，因此学生可以根据添加的四个符号的不同的顺序，从而得出不一样的解答方法和结果。由于开放题解题方法和结果的多样性，不同的学生常常有不同的解题策略，这为“数学交流”提供了很大的“参与空间”。（6）开放性与封闭性相结合的原则开放性问题是相对于封闭性问题而言的，因此开放性数学问题与封闭性数学问题应该并存而不是相互排斥。在数学教学中应以一般练习题为基础，在以一般习题为主体的训练下引进开放性数学问题，以弥补封闭性练习题的不足之处。
三、课堂教学中数学开放题的设计开放性数学问题能调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣，拓宽学生数学思维空间，有利于学生创新精神和创造能力以及解决实际问题能力的培养，因此，我们应该改变当前的数学教育强调封闭型题的教学，加强开放型问题的研究，在數学教学中重视开放题的设计，以培养学生的发散性思维和创新思维，激励学生主动参与到问题解决活动中去，从而提高学生解决问题的能力。设计数学开放题时，应注意以下几个问题。1. 从实际生活中取材现实生活是数学问题永不枯竭的源泉，特别是学生身边的实际生活中提出数学问题，可以使学生有一种亲切感和解题的欲望。例如，一位工人师傅在加工时，需要找出一个圆形木板的圆心，请你帮他想出一个能找出圆心位置的方法。再如，如图，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，需添加什么条件？理由是什么？通过在现实生活中提出问题，可以把数学问题形象化，让学生了解数学与现实生活的关系是密不可分的，从而激发学生学习数学的兴趣，并能使学生在实际生活中注意发现问题，把从课本上学到的知识很好地运用到实际中来。2. 从教材的例题和习题中改编在数学课堂教学中，教师可以根据教学的内容，在进行某一知识点的教学后，根据知识点的特征，结合学生的实际情况，有意识、有目的地改造封闭型练习题，设计开放性数学问题。（1）改变原命题的条件，要求从中探索新的结论例如：已知正方形 的边长为1米，将其分为 个相同的三角形，求出每个三角形的面积。可以将命题设计为：已知有一块正方形的空地，现要将其分为面积相等、形状相同的八块，以便种上八种不同的花草，请问该如何设计？你能设计出几种不同的方案？例如：学习了两个三角形全等的条件后，把书本的练习改为：如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加什么条件可使△ADF≌△CBE这样在原命题的已有条件的基础上，再增减条件，使解题者要选择部分条件或运用全部条件才能得出结果，使得题目成为开放性问题。（2）保留原命题的结论，要求寻找得到结论的新条件对一个封闭性问题，保留其原来的结论，要求学生寻找使其结论成立的各种可能条件，从而得到开放性问题。例如： 已知一个二次函数的图象经过 、 、 三点，求这个二次函数的解析式。将二次函数的图象经过“点 ”变为“对称轴为 轴”，问题就变为开放性问题了。根据教材的封闭型例题、习题改编的开放性问题与原题之间有一定的联系，又由于改编后的题目解答途径和结果的多样性，相比之下，学生对开放性问题更有兴趣，而从解决这些开放性问题的过程中，学生也能获得更多的乐趣，这样就大大地提高了学生学习的主动性，从而也提高了教学的质量。3.让学生主动参与设计在数学课堂教学中，给出一个问题，让学生在课堂内或在课后自己动手，设计新的问题，再由学生自己解决问题，或者让学生相互交换问题进行解决。例如：要求学生对问题“用一个平面去截正方体，可得到截面的情况如何？”进行思考，再根据自己思考得到的答案设计新的问题，再对问题进行解答或学生之间交换问题进行解答。这样，学生就可以根据可得到的截面为三角形、四边形、五边形、六边形等情况进行设计新的问题，例如：能否截出正三角形、怎么截、可以截出多少个、能否截出菱形、能否截出六边形、截出的六边形会有什么样的特性等各式各样的问题。此外，学生还可以对截面的面积等问题进行探讨。通过这一有趣的练习，不但可以提高学生学习数学的主动性，培养学生的创造、创新能力，还能激起学生学习数学的积极性，从而大大地提高了教学的质量。随着时代的发展，社会的需求，培养创新人才在现代教育中越来越重要。数学开放题的设计在数学课堂教学工作中是一项创造性的工作，它要求我们广大教师不断充实和提升自己，并结合学生的实际情况，设计可以真正开发学生创造性思维而又提高学生学习数学的积极性的数学开放性问题。【参考文献】[1]王光生.问题设计与数学教学[N].数学教育学报）：29-31。[2]冯晓平.数学教学中开放性问题的设计[J].教学与管理，2001，（8）：62-64。[3]黄根初.数学开放题及其教学[J].数学通讯，2003，（10）：7[4]李玉苹.设计开放性问题的原则[M].云南教育，2001，（13）：29-30。
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世界上现在还没有解决的数学难题
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哥德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士.1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和.如6＝3＋3,12＝5＋7等等.日,哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉,并请他帮助作出证明.欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意.他们对一个个偶数开始进行验算,一直算到3．3亿,都表明猜想是正确的.但是对于更大的数目,猜想也应是对的,然而不能作出证明.欧拉一直到死也没有对此作出证明.从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意.200年过去了,没有人证明它.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近.1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99).这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫”.1924年,数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年,数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年,数学家布赫斯塔勃证明了(5十5),1940年,他又证明了(4＋4)；1956年,数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年,我国数学家王元证明了(2十3).随后,我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中,经过10年的刻苦钻研,终于在前人研究的基础上取得重大的突破,率先证明了(l十2).至此,哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了.陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上,这一成果受到国际数学界的重视,从而使中国的数论研究跃居世界领先地位,陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”.1996年3月下旬,当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠,“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时,他却体力不支倒下去了……”在他身后,将会有更多的人去攀登这座高峰.
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数学问题！！！
一个学生向爸爸借了500，向妈妈借了500，买了双皮鞋用了970.还剩下30元。还爸爸10块，还妈妈10块，自己剩下10块。欠爸爸490.欠妈妈490.490+490=980再加上自己10块=990.还有10块钱去哪里了呢？
我有更好的答案
这是一个误导性的问题。总共借钱980元，花了970元，剩下10元。即980=970+10与1000没有关系。这个问题乍看是这样的，但是实际要是490+490+10这样算的话就是偷换概念了。你这样想，你从爸妈那里的借来的钱做什么了，是不是买了鞋子，那么鞋子的钱和你手里的钱加一起就是1000.你把剩的30进行分配，还给爸妈每人10的话，就等于你欠爸妈每人490，就是980，这980的总和就是你手里的10元和鞋子的钱。所以没有差10元钱。这个和我看过的一个小智力题是一样的。说有三个人一起住店。老板说每人10元，他们就每个人付了10元。老板告诉服务员说，今年因为是节日可以给那三人优惠，收25就可以，把这5元还给那三个人。服务员觉得5元钱他们三个不好分，就自己留了2元，退给他们3元。这样他们就是每人拿出9元，一共是拿出27元，加上服务员手里的2元钱是29元钱！问题来了，那1元钱哪里去了？这个问题刚出来的时候，让人们都吓了一跳，按照出题者的思路就是他们明明拿出来30元钱，服务员还给他们每人1元，加上服务员的2元，就是29元钱。大家都弄不清楚。其实问题不是这样的。他们一共拿出27块钱，这27块钱在谁手里呢？一个老板手里的25，一个是服务员手里的2元钱，这样一算明白了！这样的问题有很多！挺有意思的！
采纳率：51%
这是逻辑上的错误：向妈妈和爸爸都借了500元，然后又各还了10元，实际上都借了490元，490+490=980元，而用970元买了双皮鞋，还有10元自己拿了，970+10=980元，刚好相等。不能按题目来算，那是逻辑错误，那样加起来无实际意义
一楼正解、。。
还有十块被他拿去买东西啦
买鞋用970，父母各借500，又各还10元。此时各欠父母2×500-970÷2-10×2=495(元)再验算一下，因为自己拿10元，所以495×2+10=1000(元)由此得出，这只是题目在忽悠别人，弄乱别人的逻辑而已。
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