4发现相似题已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．（1）若函数y=f（x）有三个极值点，求t的取值范围；（2）若f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值，且a+c=2b2，求f（x）的零点；（3）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，试求正整数m的最大值．
戒吥掉伱的噯
（1）∵f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．∴f′（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）=（x3-3x2-9x+t+3）ex，∵f（x）有3个极值点，∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个不同的根，（2分）令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，则g′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），从而函数g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减．∵g（x）有3个零点，∴，∴-8＜t＜24．（4分）（2）∵a，b，c是f（x）的三个极值点∴x3-3x2-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc，（6分）∴2，∴b=1或b=-（舍，∵b∈（-1，3））∴，∴f（x）的零点分别为1-2，1，1+2．（10分）（3）不等式f（x）≤x，等价于（x3-6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe-x-x3+6x2-3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立．即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1，m]上恒成立．即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．（12分）设φ（x）=e-x-x2+6x-3，则φ′（x）=-e-x-2x+6．设r（x）=φ′（x）=-e-x-2x+6，则r′（x）=e-x-2．因为1≤x≤m，有r′（x）＜0．所以r（x）在区间[1，m]上是减函数．又r（1）=4-e-1＞0，r（2）=2-e-2＞0，r（3）=-3-3＜0，故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ′（x）＞0，当x＞x0时，有φ′（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e-1+4＞0，φ（2）=e-2+5＞0，φ（3）=e-3+6＞0，φ（4）=e-4+5＞0，φ（5）=e-5+2＞0，φ（6）=e-6-3＜0．所以，当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0．故使命题成立的正整数m的最大值为5．（16分）
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（1）由已知得f′（x）=（x3-3x2-9x+t+3）ex，令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，由此能求出t的取值范围．（2）由已知得x3-3x2-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc，由此能求出f（x）的零点．（3）不等式f（x）≤x等价于（x3-6x2+3x+t）ex≤x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立．设φ（x）=e-x-x2+6x-3，则φ′（x）=-e-x-2x+6．由此能求出使命题成立的正整数m的最大值为5．
本题考点：
导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
考点点评：
本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的零点的求法，考查正整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．
扫描下载二维码一道关于三次函数零点的问题函数fx=1/3x^3-mx^2+(m^2-4)反正大概是这个函数有三个零点：0.a.b (a0然后就求出m的取值范围实在不理解为什么要列这两个，，，是有三个零点的充要条件吗？？？？这2个式子表示的意义是，除了这种方法，还有什么求三次函数零点问题的？？？= =求助求助 高考
枫默管管h16
1/3x{x^2-3mx+3(m^2-4)}1/3X里面不是一个1元2次方程吗要有2个不同的解a.b那就要判别式大于0才有两个不同的解
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扫描下载二维码（本小题满分12分）已知函数
处取到极值2（Ⅰ）求
的解析式；（Ⅱ）设函数
.若对任意的
，总存在唯一的
的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
解: （Ⅰ）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2分)由
处取到极值2，故
，经检验，此时
处取得极值.故
&&&& (4分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知
上单调递增，在
上单调递减,由
&& (6分)依题意
上单调递减，依题意由
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (8分)（ⅱ）当
，即<img src="/zhidao/pic/item/d439bbc
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