已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）在（1，f（1））的切线方程．（Ⅱ）求函数f（x）的极值．（Ⅲ）对于曲线上的不同两点P1（x_答案网
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&已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）在（1，f（1））的切线方程．（Ⅱ）求函数f（x）的极值．（Ⅲ）对于曲线上的不同两点P1（x时间:&&分类:&&&【来自ip:&11.182.14.195&的&热心网友&咨询】
&问题补充：
已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）在（1，f（1））的切线方程．（Ⅱ）求函数f（x）的极值．（Ⅲ）对于曲线上的不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲线上的点Q（x0，y0），且x1＜x0＜x2，使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2，则称l为弦P1P2的伴随切线．当a=2时，已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的伴随切线l的方程．
&（此问题共154人浏览过）我要回答:
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&网友答案：
解：（I）当a=3时，f（x）=3x-2lnx，则f（1）=3，∴f'（1）=1∴切线方程为y-3=x-1即x-y+2=0…（4分）（Ⅱ）．当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，∴函数f（x）没有极值．????????…（6分）当a＞0时，令f'（x）=0，得．当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：?xf'（x）-0+f（x）单调递减极小值单调递增∴当时，f（x）取得极小值．综上，当a≤0时，f（x）没有极值；当a＞0时，f（x）的极小值为，没有极小值．…（9分）（Ⅲ）当a=2时，设切点Q（x0，y0），则切线l的斜率为．弦AB的斜率为．?…（10分）由已知得，l∥AB，则=，解得x0=e-1，…（12分）所以，弦AB的伴随切线l的方程为：．…（14分）解析分析：（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）首先对函数求导，使得导函数等于0，解出x的值，分两种情况讨论：当a≤0时，当a＞0时，列表做出函数的极值点，求出极值．（III）设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，根据伴随切线的含义写出弦AB的伴随切线l的方程即可；点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数极值的求法，本题解题的关键是对函数求导，求出导函数等于0时对应的变量的取值，再进行讨论，本题是一个中档题目，这个知识点一般出现在综合题目中．
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＞＞＞已知函数f(x)=a+lnxx(a∈R)．（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处..
已知函数f(x)=a+lnxx(a∈R)．（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵a=4，∴f(x)=lnx+4x且f(e)=5e．（1分）又∵f′(x)=(lnx+4)′x-(lnx+4)x′x2=-3-lnxx2，∴f′(e)=-3-lnee2=-4e2．（3分）∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y-5e=-4e2(x-e)，即4x+e2y-9e=0．（4分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-(lnx+a)x2，（5分）令f'（x）=0得x=e1-a．当x∈（0，e1-a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（e1-a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（7分）∴f（x）在x=e1-a处取得极大值，即f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1．（8分）（Ⅲ）（i）当e1-a＜e2，即a＞-1时，由（Ⅱ）知f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2]上是减函数，∴当x=e1-a时，f（x）取得最大值，即f（x）max=ea-1．又当x=e-a时，f（x）=0，当x∈（0，e-a]时，f（x）＜0，当x∈（e-a，e2]时，f（x）∈（0，ea-1]，所以，f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e2]上有公共点，等价于ea-1≥1，解得a≥1，又因为a＞-1，所以a≥1．（11分）（ii）当e1-a≥e2，即a≤-1时，f（x）在（0，e2]上是增函数，∴f（x）在（0，e2]上的最大值为f(e2)=2+ae2，∴原问题等价于2+ae2≥1，解得a≥e2-2，又∵a≤-1∴无解综上，a的取值范围是a≥1．（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=a+lnxx(a∈R)．（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f(x)=a+lnxx(a∈R)．（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处..”考查相似的试题有：
263954305110413869406401620792567977已知函数f（x）＝
－ax．（1）若f（x）在x＝0处取得极值，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥
＋ax＋1在x≥
时恒成立，试求实数a的取值范围．
的取值范围是
试题分析：（Ⅰ）由题可知，函数的导函数在
处函数值为零，故可求得
的值，故而得到函数的解析式，然后利用导数求出（1，f（1））的斜率，利用点斜式写出切线方程；（II）由（Ⅰ）已知了函数解析式，将给出的不等式分离参数，构造函数求出参数的范围.试题解析：（Ⅰ）
处取得极值，
，&&&&&&&2分则
处的切线方程为：
.&&&&&&&5分（II）由
，&&&&&&7分令
．&&&&&8分令
上单调递增，&&&&&&10分∴
上单调递增，则
的取值范围是
． &&&&12分
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3秒自动关闭窗口（2014o武昌区模拟）已知函数f（x）=x2-（a2-a）lnx-x（a≤）．（1）若函数f（x）在2处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=a2lnx2-x，若f（x）＞g（x）对?x＞1恒成立，求a的取值范围．
（1）由f′（x）=x--1，f′（2）=0，得a=-1或a=2（舍去）．经检验当a=-1时，函数f（x）在2处取得极值．a=-1时，f（x）=2-2lnx-x，f′（x）=x--1，f（1）=，f′（1）=-2，∴所求的切线方程为y+=-2（x-1），整理得4x+2y-3=0．（2）f′（x）=x-2-ax-1=2-x-(a2-a)x＝(x-a)(x+a-1)x，令f′（x）=0，得x=a，或x=1-a．a≤时，a≤1-a，且1-a＞0．①当a=时，a=1-a=＞0，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，+∞）上递增；②当a≤0时，f（x）在（0，1-a）是单调递减；在（1-a，+∞）上单调递增；③当0＜a＜时，f（x）在（0，a）（1-a，+∞）上单调递增，在（a，1-a）上单调递减．（3）由题意，2-(a2-a)lnx-x＞a2lnx2-x，即2-(a2-a)lnx＞2a2olnx，即2-a＜x22lnx对任意?x＞1恒成立，令h（x）=22lnx，则h′（x）=2x．令h′（x）=0，得x=，当x∈（1，
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（1）首先通过f（x）在2处取得极值求出a，然后对f（x）求导，得到x=1处的导数，从而得到切线斜率；（2）令f′（x）=0，讨论a的范围；（3）整理f（x）＞g（x），分离a与x，构造h（x）=22lnx，通过求导求h（x）的最小值，只要3a2-a＜h（x）min即可．
本题考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评：
本题考查了导数的运用，利用导数求切线方程，求函数的单调区间以及恒成立问题．
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