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论一阶线性微分方程中的常数变易法
常数变易法是解常微分方程的重要工具.本文以一阶线性非齐式微分方程为例,从常数变易法的定义数学原理和本质上分析,认为常数变易法是解一阶线性非齐式微分方程的简捷方法的形象名称.
作者单位：
鄂东职业技术学院,湖北,黄州,438000
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万方数据电子出版社非齐次高阶常微分方程解的常数变易法
常数变易法的由来
原文地址：
注： 本方法是对崔士襄教授写的《常数变易法来历的探讨》论文的解释。思路并非本人原创。特此注明。背景详见本人前一篇博文。
我们来看下面的式子：
对于这个式子最正常的思路就是分离变量（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。所以我们的思维就集中在如何将（）式的和分离上来
起初的一些尝试和启示
先直接分离看一下：
从中看出不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决齐次方程时用过的招数：设＝＝＝将＝代入式
这时又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样变量分离不出这个矛盾就消失了整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（）式，如果＝－，那么那一项就消失了；再比如说，对于（）式，如果＝，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为和等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。，好戏开场了。
进一步：变量代换法
筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。＝就是这么符合要求的一个函数。其中和都是关于的函数。这样求对应于的函数关系就转变成分别求对应于的函数关系和对应于的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现非也，和都非常有用，看到下面就知道了。
让我们看看讲代换＝代入（）式会出现什么：
如果现在利用分离变量法来求对应于的函数关系，那么＋就是我们刚刚遇到的没法把单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变？这是的用处就有了。令＋＝，解出对应的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。
现在解出来了，接下来该处理了，实际上当解出来后就十分好处理了。把（）式代入（）式，则＋这一项便被消掉了。剩下的是
而这也是一个可以分离变量的微分方程。同样可以十分容易地解出来：
现在和都已求出，那么＝也迎刃而解：
＝＋这里＝
这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。这个方法不是没有名字的，它叫变量代换法（挺大众的一名字），即用代换了。这时在你脑中不得不油然生出这么一种感觉：想了十一年想出来的法子，还真不是盖的。
再进一步：常数变易法
再进一步观察我们可以看出，求的微分方程（即＋＝）其实就是求
＋＝当＝时的齐次方程。所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。即解出＋＝的解来。得：
注意这里的并非最终答案，从上一环节我们知道这其实是而已。而最终答案是，仅是其中一部分。因此这里的并不是我们要的，因此还要继续。
把（）式和上面提到的（）式比较一下：
（）式是最终的结论，（）式是目前我们可以到达的地方。那我们偷下懒好了：把（）式的那个换成，再把这个解出来，不就了么。所谓的常数变易法就是这么来的，即把常数硬生生地变成了。接下来的事情就简单多了，和前面是一个思路，把代换＝代入（）式，由于是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得＝。从中解出，再带回＝便可得到最终答案。
个人觉得这个方法在思路上并无多大突破，只是利用变量代换法现成的结论倒推回去，抄了一条近路，但这么一抄不要紧，不解释清楚的话还真不知道这条路到底从哪冒出来的。所以就会引起我们较劲的冲动：为什么非齐次要当齐次来解，道理何在？为什么就可以换成，道理何在？这么想想的话教科书（同济版）也真不厚道，你不解释清楚就算了，好歹说两句交代背景的话啊。
：常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势（因为就是一个思路的正逆推导而已），但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。因此倒不能说常数变易法是鸡肋（我开始的想法就是这样的）。
教科书上最后把方程的解拆成了一个齐次方程的通解和一个非齐次方程的特解之和，我看来简直有点脑残的表现，再往后看才知道，原来在解决高阶非齐次线性方程是要用到这个结构的，怪不得。
因此关于中国的教科书以及中国的正统教育我突然有个结论（一排脑瓜子即灵光一现那种）：中国的大多数学生之所以不喜欢学数学是因为觉得难，其实倒不是数学本身难，而是教科书缺少必要的说明逻辑。真正难的不是知识，而是读懂这些教育家企图教给我们的知识。
常数变易法
以下摘自《常微分方程讲义》王长有
阶非齐次线性方程
阶齐次线性方程
当，非齐次方程变为齐次线性方程（） 。两者之间解的性质和通解结构有
非齐次线性方程解的性质
如果是方程（）的解，而 是（）的解，则也是方程（）的解。
, y 2是方程（）的解，则 1-y2 是（）的解。
(i = 1,2,...,
n)是方程，的解，则是方程的解。
非齐次线性方程的通解结构
定理 （通解结构定理）设1(x)
,y2(x),..., yn(x
)是方程（）的基本解组，而 是方程（）的某一解，则方程（）的通解可表为
其中为任意常数，而且这个通解包含了方程（）的所有解
常数变易法
在研究一阶线性方程时，我们由齐次线性方程的通解，利用常数变易法得到非齐次线性方程的通解，对于阶线性方程，也有类似的常数变易法。
已知齐次方程（）的基本解组为1(x)
,y2(x),..., yn(x
)，则它的通解为
把其中的任意常数 视为的特定函数，（即常数变易的过程）则有非齐次微分方程的解结构形式：
将（）代入方程（） ，就得到，必须满足的一个方程。但是，待定的函数有个。要确定这个函数，还必须再有个限制条件。它们可按下述方法给出（为了方便，下面都不写自变量） 。
将（）的两端分别对求导得
可得： （）
1 的两端分别对求导得
重复上面的做法次，得到个条件：
对（）1再求一次导数
将（）（），（），（），即：
由于i(x)（）是齐次方程（）的解，所以应有：
这是一个线性代数方程组，其系数行列式就是 。由于 ，方程组的解可唯一确定。设所得解为
积分可得：
其中，为任意常数，将i的表达式代入（），可得：
为齐次方程的基本解
由此我们看到，要求非齐次线性方程（）的通解关键在于求出它对应的齐次线性方程（）的基本解组。
高阶常微分方程其他相关内容
以下摘自《数学手册》高等数学小组
阶常系数常微分方程通解结构：
非齐次常微分方程的特解求解
常数变易法
待定系数法
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。一阶线性微分方程
义项指多义词的不同概念，如的义项：网球运动员、歌手等；的义项：冯小刚执导电影、江苏卫视交友节目等。
类 当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)
义 形如y'+P(x)y=Q(x)的微分
法 一阶线性微分方程的求解一般采
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。（这里所谓的一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。）
当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性方程。（这里所谓的线性，指的是方程的每一项关于y、y'、y"的次数相等。因为y'和P(x)y都是一次的，所以为齐次。）当Q(x)≠0时，称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性方程。（由于Q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。）一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法。
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