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一阶微分方程学习中的几个注意问题
2012年第30期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
摘要 本文分析了求解一阶常微分方程时容易产生疑惑的几个问题,提出了正确处理的方法。中国论文网 /8/view-3749005.htm 关键词 一阶微分方程 通解 积分常数 中图分类号:G642 文献标识码:A 同济大学版《高等数学》从第五版改到第六版后,常微分方程的内容从最后一章调整到了一元微积分之后,多元微积分之前,内容也有所调整,少了全微分方程的内容。这样,一阶常微分方程的学习内容也从三大类型改为了两大类型,即可分离变量方程和一阶线性方程,这两类方程的求解方法也是求解齐次方程,贝努里方程,高阶可降阶微分方程的基本方法,学好这两类方程的求解,就可以为学好整章书打下坚实的基础。下面,就求解两类方程的学习中容易出现的问题做一些分析。 1 求解可分离变量微分方程的注意问题 在求解可分离变量方程中,比较容易引出问题的地方是把变量分离之后做积分时,积分常数是用还是用,两者都是任意常数,一般认为,如果积分后出现了变量的对数时,常数就用,这样可以使后续的化简较为简单,但实际情况并不如此,我们以文献[1] 的例题为例。 对于积分后不出现变量的对数的可分离变量方程,常数用即可。 在求解一阶线性微分方程 + () = ()的学习中,由于文献[1] 是在推导出求解公式后,再用常数变异法去求解紧接的例题,而没有直接用公式解,这无疑给学生(特别是有些自学能力强的学生)一个错误的信息,即只能用常数变异法去求解一阶线性微分方程而忽略用推导出的公式这一强大的工具去求解,这对于学习求解一阶线性微分方程来说是不完美的,最好的办法是用常数变异法解完后,再用公式解一次,让学生体会两种方法的优劣而选用自己认为合适的一种。 而且,在公式的使用上,有两个地方需要注意,一是公式里出现的所有不定积分都不带常数,因为推导公式时所有的积分常数与积分是分开写的,这才出现常数变异法,如果常数放在积分里面,就无法常数变异了,再一个是凡出现型的积分结果都不带绝对值,如果带上绝对值,就会影响到接下来的化简,我们以例题来说明。 对上面的解答作以下的分析:如果积分的结果用,那么②就应该为[],积分号里的∣∣与不能约去,必然影响到积分的运算。但仔细观察,如果>0,结果就是[],如果<0,结果就是[],即[,由于是任意常数,-仍为任意常数,还是写为,这样不管是正还是负,都能写成[],即积分的结果绝对值符号是可以消去的,类似的问题也可以这样来处理。 上面的解答中,的结果如果是不定积分的计算,结果应是,但在解一阶线性微分方程的公式里,就直接写成,这样解答过程就简化了许多。 综上所述,在解一阶微分方程的过程中,无论是分离变量方程还是一阶线性方程,当积分的结果出现对数时,不写绝对值可以使化简的过程简单,掌握了这一点,一阶微分方程的求解就变得容易了。 参考文献 [1] 同济大学应用数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007. [2] 朱来义.微积分中的典型例题分析与习题(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2009.
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xzbu发布此信息目的在于传播更多信息,与本网站立场无关。xzbu不保证该信息(包括但不限于文字、数据及图表)准确性、真实性、完整性等。 摘 要: 针对四类一阶常微分方程,分别是变量可分离或可化为变量可分离的一阶常微分方程;一阶线性微分方程;全微分方程;有" />
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几类一阶常微分方程及其解法
2014年63期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
摘 要: 针对四类一阶常微分方程,分别是变量可分离或可化为变量可分离的一阶常微分方程;一阶线性微分方程;全微分方程;有幂级数解的一阶微分方程,对其先概括要点,再选取例题,逐层剖析,从而教给学生一种解题的规律. 中国论文网 /9/view-6181846.htm 关键词: 变量可分离 一阶线性微分方程 全微分方程 幂级数解 引言 含有自变量、未知函数及导数(或微分)的关系式称为微分方程.通过解微分方程,可以得到所需的函数.微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系,其形式千变万化.微分方程的解有时候可以通过观察法直接得到,绝大部分微分方程的解用观察法是很难得到的,只有部分类型的微分方程可以通过特定的方法求出来.因此,在学习微分方程的内容时,应熟练掌握可求解的微分方程的类型.微分方程类型不同,其解法也大不一样. 1.变量可分离或可化为变量可分离的一阶常微分方程 1.1如果一阶微分方程可写成g(y)dy=f(x)dx,则称为可分离变量微分方程.此时,两边积分,得: ?蘩g(y)dy=?蘩f(x)dx+C为微分方程的通解. 例1:求(y+1)■■+x■=0的通解. 解:原方程分离变量,得:(y+1)■dy=-x■dx, 两端积分得■(y+1)■=-■x■+C, 故而原方程的通解为:3x■+4(y+1)■=C■(C■=12c). 1.2如果一阶微分方程可写成■=f(ax+by+c), 令u=ax+by+c,则■=a+b■,从而■=■(■-a), 代入原方程,得到du=(bf(u)+a)dx,再利用可分离变量微分方程求解,得到原函数后用u=ax+by+c代换即可得到原方程的通解. 例2:求y′=sin■(x-y+1)的通解. 解:令u=x-y+1,则■=1-■,从而■=■-1, 代入原方程,得到:■=dx, 解得tanu=x+C,故所求通解为tan(x-y+1)=x+C. 1.3如果一阶微分方程可写成■=φ(■),称为一阶齐次方程,此时 令y=ux,则■=u+x■, 代入原方程,得到:u+x■=φ(u),即■=■,然后用可分离变量微分方程求解,得到原函数后用u=■代换即可得到原方程的通解. 例3:求y′=■+tan■的通解. 解:令y=ux,则■=u+x■, 代入原方程,得到:u+x■=u+tanu,即■=■, 两边积分,得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|,即sinu=xC, 故所求通解为sin■=xC. 1.4如果一阶微分方程可写成■=f(■),其中c■,c■不全为零,且■≠■, 则可通过解方程组a■x+b■y+c■=0a■x+b■y+c■=0,解得x=x■y=y■. 做变量替换x=X+x■y=Y+y■,则■=■, 代入原方程,得■=f(■),此为齐次方程,在得到原函数后,变量替换即可得到原方程的通解. 例4:求■=f(■)的通解. 解:令x+y+4=0x-y-6=0,解得x=1y=-5. 做变量替换x=X+1y=Y-5,则■=■,代入原方程,得■=f(■), 令Y=uX,则原方程化为■du=■, 其解为:arctanu-■ln(1+u■)=ln|CX|. 代回原变量得通解:arctan(■)-■ln(1+(■)■)=ln|C(x-1)|. 2.一阶线性微分方程 2.1一阶线性齐次方程■+p(x)y=0的通解为y=Ce■. 2.2一阶线性非齐次方程■+p(x)y=Q(x)的通解为: y=e■(?蘩Q(x)e■dx+C). 例5:求■+y=cosx的通解. 解:这里p(x)=1,Q(x)=cosx 代入上面公式,可知方程解为: y=e■(?蘩cosxe■dx+C)=e■(?蘩cosxe■dx+C) =e■(■+C)=■+Ce■ 2.3伯努利(Bernoulli)方程■+p(x)y=Q(x)y■,解法是令z=y■, 代回原方程,得到:■+(1-n)p(x)y=(1-n)Q(x),此方程为一阶线性非齐次方程,求出通解后,用z=y■代回,就可得到原方程的通解. 例6:求■-3xy=xy■的通解. 解:此方程为伯努利方程,令z=y■,则■=-y■■,代入原方程,得: ■+3xz=-x, 其通解为z=e■(?蘩-xe■dx+C)=e■(?蘩-xe■dx+C) =e■(-■e■+C)=-■+Ce■, 用z=y■代入上式,得原方程的通解为:y■=-■+Ce■. 3.全微分方程 若微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dx=0 (1)的左端恰好是某二元函数的全微分,即du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则方程称为全微分方程.全微分方程的通解为u(x,y)=C;而当P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内具有连续偏导数,且■=■时,方程(1)为全微分方程,此时微分方程通解为: u(x,y)=?蘩■■P(x,y)dx+Q(x,y)dy =■P(x,y)dx+Q(x,y)dy=?蘩■■P(x,y■)dx+?蘩■■Q(x,y)dy
=■P(x,y)dx+Q(x,y)dy=?蘩■■Q(x■,y)dy+?蘩■■P(x,y)dx =C 其中(x■,y■)为单连通区域D内任意一点. 例7:求xy■dx+x■y=0的通解. 解:这里P(x,y)=xy■,Q(x,y)=x■y 显然在整个xoy面上,P(x,y),Q(x,y)都有连续的一阶偏导数,且■=■=2xy, 取x■=0,y■=0,则原方程的通解为: u(x,y)=?蘩■■xy■dx+x■ydy==?蘩■■0dx+?蘩■■x■ydy=■=C. 4.有幂级数解的一阶微分方程 在微分方程■=f(x,y) (2)中,若(x■,y■)在f(x,y)的定义域内,且f(x,y)是(x-x■),(y-y■)的多项式: f(x,y)=a■+a■(x-x■)+a■(y-y■)+…+a■(x-x■)■(y-y■)■ 则微分方程的通解可展开为x-x■的幂级数: y=a■+a■(x-x■)+a■(x-x■)■+…+a■(x-x■)■+… (3) 其中a■,a■,…,a■,…为待定系数,将(3)代入(2)中,恒等式两端x-x■同次幂的系数相等,就可得到常数a■,a■,…,a■,…的值,以这些常数为系数的级数(3)在收敛区间内就是方程(2)的解. 例8:试用幂级数求微分方程y′=xy+x+1的通解. 解:记f(x,y)=xy+x+1,则(0,0)在其定义域内,且f(x,y)是x,y的多项式,故而微分方程存在幂级数形式的通解,记为y=∑■■a■x■, 代入原方程,得到:∑■■na■x■=∑■■a■x■+x+1, 比较等式两端x的同次幂的系数,得到: a■=12a■=a■+1(n+1)a■=a■, 从而得到a■=1 a■=■a■=■ a■=■, 由于∑■■a■x■与∑■■a■x■的收敛域都为(-∞,+∞),故 y=∑■■a■x■+∑■■a■x■ =∑■■■x■+(a■+1)∑■■■-1 x∈(-∞,+∞)为微分方程的通解. 5.建议 在解一阶常微分方程时,要将所求方程与相应的方法对应起来,从而正确地解决问题.具体地说,常常是根据所给方程的特点,设法做适当变换,将其化为易于求解的方程类型.对于同一个方程,可能有不同的解法,我们要注意比较哪种解法更简单,当然,这需要仔细观察及大量练习.因此我们在教学时,要求学生要注意认真审题,认清方程的类型,还要掌握各种类型方程的具体解法.只有这样,才能使学生熟练掌握解题技巧,提高应变能力,开阔解题思路,为后续课程的学习打好基础. 参考文献: [1]同济大学数学系.高等数学(下册)[M].北京:高等教育出版社,3. [2]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,6. [3]张义富.关于常微分方程通解定义的讨论[J].大学数学,1989(1):53-57. [4]冯世强,高大鹏等.一阶常微分方程若干解题技巧[J].西华师范大学学报(自然科学版),):190-192.
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&&利​用​迭​代​分​析​方​法​讨​论​了​一​类​一​阶​微​分​方​程​周​期​解​的​存​在​性​,​并​得​到​一​些​新​的​结​果​。
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