如何证明一个直角三角形在为等腰直角三角形时面积最大
设三角形的三边为 abc c为斜 所以面积就是 S=ab/2
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等腰直角三角形
等腰直角是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等 直角边夹一直角45°，上中线角平分线垂线 ，等腰直角三角形斜边上的高为的半径R，那么设的半径r为1，则外接圆的半径R就为√2+1，所以r:R=1:(√2+1)。
等腰直角三角形等腰直角三角形的性质
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如、、等）。
当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如、、、等。
等腰直角三角形三边比例为
等腰直角三角形等腰直角三角形的判定
根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
三边比例为
的三角形是等腰直角三角形。
证明：可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。
有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
证明同方法三。
直角边和斜边的比例为
的直角三角形是等腰直角三角形。
证明：根据勾股定理求出另一条直角边也是1，利用方法二判定。或根据反三角函数求出直角边所对角为45°，利用方法四判定。
有一个角是45°，并且这个角两边长度比为
的三角形是等腰直角三角形。
证明：根据馀弦定理可求出第三边长为1，利用方法二判定。
有一个角是45°，并且这个角所对的边和它的一条边长度比为
的三角形是等腰直角三角形。
证明：和方法六不同，如果长度为1的边不是45°角的邻边而是对边，则根据正弦定理求出长度为√2的边所对角为90°，再利用方法四判定。
等腰直角三角形特殊等腰
斜边相等的直角三角形中，以等腰直角三角形的面积和周长最大。
解:首先证明面积最大的是它
将等腰Rt△ACB,任意Rt△AC'B都画出外接圆,AB为圆的直径.(其实这样做是为了满足斜边AB相等,且是直角三角形).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(蓝色辅助线)
由三线合一可知O和F重合，且易证OC&C'F'(根据垂径定理和直径是最长的弦得到).
而CF是△ABC的高,C'F'是△ABC'的高,由面积公式
可知等腰Rt△ABC面积最大.
其次解:证明周长最大的还是它
延长BC到E,使CE=CA.延长BC'到D,使C'D=C'A.连接DE,AD,AE.
∵AC'⊥BD,AC⊥BE
∴△AC'D,△ACE都是等腰直角三角形
∴∠AEB=∠ADB=45°
∵D,E在线段AB同侧
∵AC=BC=CE
∴∠EAB=90°(直角三角形斜边中线定理逆定理)
∴∠EDB=90°
又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.
∴AC+CB&AC'+C'B.
∵Rt△ACB=AB+(AC+CB).
Rt△AC'B周长=AB+(AC'+C'B).
∴等腰Rt△ABC周长最大
企业信用信息周长一定的三角形中，什么样的三角形面积最大？为什么？ - 爱问知识人
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三角形面积最大
正三角形。
设三角形周长2p（定值），
三角形三边分别长a,b,c，p=(a+b+c)/2，
由海伦公式，三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，
因为(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p为定值，
所以当且仅当p-a=p-b=p-c，即a=b=c时，
(p-a)(p-b)(p-c)值最大，
此时，S值最大。
所以这三角形为正三角形时，面积最大。
，面积为S，斜边长为z。可推出：S=1/2*C*(1/2*C-z)，即周长一定的直角三角形的面积只和斜边长有关，斜边越短，面积越大。
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设直角边长为X,则另一直角边长也是X.由勾骨定理得,X+X=4即X=8所以X=2√2,就是说直角边长为2√2,所以周长为2√2+2√2+4=4√2+4
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D．正弦值为
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设直角三角形为ABC，角C为直角，则由题意可得 a 2 +b 2 为定值，本题即求当a+b+c最大时，它的一个锐角的值．不妨设斜边c=
=1，则a=sinA，b=cosA．此时，三角形的周长为 a+b+1=sinA+cosA+1=
）+1，显然，当A=
时，周长最大为
+1，故选B．
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