文科导数及其应用(一)变化率与导数 菁优网_百度文库
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你可能喜欢已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围．考点：；．专题：．分析：（1）当a=-2e时，我们易得到函数的解析式，进而求出函数的导函数，列表讨论导函数的符号，即可得到函数f（x）的单调区间；（2）若函数在[1，3]上是减函数，则g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此转化为函数恒成立问题，并转化为a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当．（2分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
由上表可知，函数；单调递增区间是．极小值是．（6分）（2）由2+alnx+2x，得g′(x)=2x+ax-2x2．又函数2+alnx+2x为[1，3]上单调减函数，则g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式2+ax≤0在[1，3]上恒成立．即2在[1，3]上恒成立．（10分）又2在[1，3]为减函数，所以．所以．（12分）点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的单调性与导数的关系，其中根据原函数的解析式，求出导函数的解析式是解答本题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷&
解析质量好解析质量中解析质量差把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．考点：；．专题：．分析：（Ⅰ）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V（x）的解析式，函数的定义域；（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可．解答：解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为----（1分）．则2x．-------------------------（3分）函数的定义域为．-------------------------（4分）（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．先求V（x）的极值点．在开区间内，2-6ax+34a2--------------------（6分）令V'（x）=0，即令2-6ax+34a2=0，解得1=318a，x2=36a（舍去）．因为1=318a在区间内，x1可能是极值点．当0＜x＜x1时，V'（x）＞0；当1＜x＜36a时，V'（x）＜0．---------------------（8分）因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以1=318a是V（x）的最大值点，并且最大值&3即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为3．-------------------（10分）点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是求出体积，利用导数知识求解．单峰函数，极值就是最值．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷&
解析质量好解析质量中解析质量差（2010o肇庆二模）已知函数4+13ax3+2x2+b．（1）若函数f（x）仅有一个极值点x=0，求实数a的取值范围；（2）若对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0当x∈[-1，1]时恒成立，求实数b的取值范围．考点：；；．专题：；．分析：（1）可以求出函数的导数，利用导数研究知x2+ax+4≥0恒成立，求出a的取值范围即可．（2）对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0当x∈[-1，1]时恒成立，利用函数的单调性．通过求出b的范围．解答：解：（1）f′（x）=x3+ax2+4x=x（x2+ax+4），（2分）依题意知x2+ax+4≥0恒成立．&&&&（3分）故实数a的取值范围是[-4，4]．&&&（5分）（2）因为当a∈[-1，1]时，△=a2-16＜0，所以x2+ax+4＞0．（6分）于是当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0；（7分）所以f（x）在[-1，0]为减函数，在[0，1]上为增函数．&&&（8分）要使f（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，只需满足（10分）即（12分）故实数b的取值范围是．（14分）点评：本题考查函数的导数及其应用，求函数的极值，判断函数取得极值的条件以及应用，利用导数研究含一个参数a的函数的单调区间问题，考查了分类讨论思想．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差已知函数2(a∈R，a≠0)．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）已知点1，y1)(x1＞1)是曲线C：y=f(x)图角上的点，曲线C上是否存在点M（x0，y0）满足：①0=1+x12；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由．考点：；．专题：．分析：（I）f（x）的定义域是（0，+∞），对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调区间；（II）假设存在满足条件的点M，根据A在曲线C上，求出直线AB的斜率，根据导数与斜率的关系KAB=f′（x0），对其进行化简，从而进行判断；解答：解：（I）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=-ax=2x，①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，由f′（x）＞0和x＞0得0＜x＜f（x）在（0，）内单调递增，由f′（x）＜0和x＞0得x＞，f（x）在（，+∞）内单调递减，综上所述：当a＞0时，f（x）的单调增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）；（II）假设存在满足条件的点M，∵A在曲线C上，∴KAB=1+12ax1-1=1-12ax21+12ax1-1，f′（x）=-ax，∴f′（x0）=f′（1+12）=1+1-ao1+12，由已知KAB=f′（x0），∴1-12ax21+12ax1-a=1+1-aox1+12，化简整理可得lnx1=1-1)x1+1=2-1+1，即lnx1+1+1＞2∴lnx1+1+1＞2∴lnx1=2-1+1不成立，即满足条件的点M是不存在的；点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及导数与斜率的关系，第二问是存在性问题，难度有些大，此题是一道中档题；声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
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