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高等数学常微分方程9|高​等​数​学
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论常微分方程在数学建模中的应用
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘要：常微分方程的形成和发展与去多学科密切相关，诸如力学、天文学等。如果想用数学解决实际问题，就必须建立模型。本文重点介绍了常微分方程理论与数学建模结合起来，在人口预测中的应用。中国论文网 /9/view-3558730.htm　　关键词：常微分方程 数学建模 人口预测　　引言　　纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量。微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式。在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。常微分方程是解决实际问题的重要工具。　　常微分方程在数学建模中的应用举例　　微分方程在数学建模中的应用大体是：首先，建立数学模型，根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；然后按照规律列出微分方程，求出方程的解；最后将实际对象带入结果中，对问题进行描述、分析、预测和控制。　　2.1人口指数增长模型　　最简单的人口增长模型是：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则(4.1)　　这个公式的基本前提是年增长率保持不变。　　二百多年前英国人口学家马尔萨斯调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。　　记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻的人口为，假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量与的比例系数。考虑到时间内人口的增量，显然有　　令取极限，得到满足的微分方程(2.2)　　由这个线性常系数微分方程很容易解出(2.3)　　表明人口将按指数规律随时间无限增长()。因此，(2.3)式称为人口指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型。　　由微分学的理论知，当时，．这样将以年为单位离散化，由公式(2.3)得到前面所讨论的公式(2.1)，即　　由此可见公式(2.1)只是人口指数增长模型(2.3)的离散近似形式。　　历史上，人口指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果。这是因为在这些情况下，模型的基本假设“人口增长率是常数”大致成立。　　但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小。因此为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设。　　2.2人口阻滞增长模型　　由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，因此人口增长到一定数量后增长率会下降。人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素。　　阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数，则它应是减函数，于是方程(2.2)改写为(2.7)　　对的一个最简单的假设是，设为的线性减函数，即(2.8)　　这里称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称为人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入(2.8)式得.于是(2.8)式化为(2.9)　　其中，是根据人口统计数据或经验确定的常数，(2.9)式的另一种解释是：增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率。　　将(2.9)式代入方程(2.7)得(2.10)　　方程(2.10)右端因子体现人口自身的增长趋势，因子()则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。方程(2.10)称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic模型。　　用分离变量法解方程(2.10)得(2.11)　　用该预测模型对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，除了19世纪中叶到20世纪中叶的拟合效果不很好外，其余部分拟合的都不错.　　结论　　通过以上的实例分析可以看出，常微分方程与数学建模结合起来，对解决人口预测的问题有着非常重要的实际作用。本文所做的分析只是众多应用中的一个方面，随着现代科学技术的飞速发展，有理由相信基于微分方程的数学建模有着更加广阔的前景。　　参考文献　　[1]常广平.常微分方程的思想方法与应用[J]　　[2]唐焕文,贺明峰.数学模型引论[M]　　[3]朱道元等编．数学建模案例精选[M]
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