转动惯量公式_百度知道
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转动惯量公式
求转动惯量的公式怎么有 mr^2 和 0.5mr^2，哪个对？
我只是问公式啊。是不是单个质点用前面的，而圆盘什么的用后面的。
M/r=m*dv/dt
dw/dt=a 我的意思是说 知道前面的公式 可以自己变形出转动惯量的表达式 M=Ja 即转动惯量是牛顿第二定律推出的 便于理解记忆
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根据物体形状~ mr~2是定义~ 但是物体各部分离转轴距离不等 需要积分~
不是的J=1/2M(r^2加R^2)
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转动惯量公式的积分限m是什么意思
我有更好的答案
代表这个刚体的质量。
为什么没有积分上限?
它本身是一个取值范围，也就是说是用来表示r关于某一处的质量的函数。这是一个曲线积分。
采纳率：70%
来自团队：
表示对所有质元积分。
请问∫m写成这个样子(没有积分上限)是不是和代表所有质元有关?
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三线摆实验的数据处理我做的三线摆实验中的圆柱体转动惯量的实验值和理论值的百分误差居然达到180%.这是为什么呢?
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在做三线摆实验时,往往出现实验结果与理论值比较的误差较大,这是正常的,现在就来分析一下,到底哪些会影响最终结果.1．各种近似对测量结果的影响.(1)忽略平动动能的影响.下圆盘在扭动过程中,其质心作升降运动的速度为V=dh/dt=d〔2Rr(1-cosΘ)/2H〕/dt=RrwsinΘ/H 则平动动能为EK平=1/2m*V2= m0R2*r2*w2*sin2Θ/2H2 下圆盘的转动动能为EK转=1/2*1/2*m0R2*w2 平动动能与转动动能之比的值为2r2*sin2Θ/H2 增大H可以减小由于忽略平动动能带来的影响,另外,该比值还与角位移有关.现以我校所用的三线摆为例,讨论角位移对比值的影响,H取50．Ocm,r=4．Ocm,R =7．Ocm Θ 5 10 15 20 【EK平／EK转)／9l61 0．010 0．039 0．086 0．15 从表中看出,当角位移增大时,比值也增大,但是当角位移达到20 时,平动动能也有转动动能的0．15％ ,所以,若使最大角位移 ≤20.,忽略平动动能对量量结果的影响不大.(2)采用BCl≈BC=H近似的影响.采用这种近似所引起的相对误差为Er(BC-BC1)/BC=h/H≈2Rrsin2(Θ/2)/H2 看出,增大H可以减小由于采用该种近似引起的误差,同时其误差也与角位移有关.关系见表2.Θ 5 10 15 20 E/% 0.004 0.017 0.038 0.068 即使角位移为2 .其误差也只有0．068％ ,只要使 Θ≤20．,这一近似对测量结果的影响也不大.(3)采用 sin(Θ/2)≈Θ/2的影响.采用这种近似引起的相对误差为Er=((Θ/2)2-sinΘ/2)/(sin2Θ/2) 不同的角位移 对应的误差见表3 Θ 5 10 15 20 E/% 0.004 0.017 0.038 0.068 看出,在得到式(2)的各种近似中,该种近似引起的误差最大,当角位移为20‘,由此引起的误差将达到1．021％.需要说明的是,角位移在下圆盘扭动的过程中是变化的,所以对于整个振动,由于采用近似引起的误差应是角位移在0.之间引起误差的平均结果,则由于采用各种近似引起的误差是很小的.但是在实验的过程中,即使保证最大角位移 ≤20",得到的结果与理论值相比往往误差也大于1％ ,这是什么原因呢?一方面,以上所讨论的各种近似引起的误差,只是就某一量的近似引起该量误差的大小,而实验结果的误差是各种误差的综合结果；另一方面,由于操作的原因引起的误差也是至关重要的.2．操作对测量结果的影响.(1)测量周期数的选择.若测量周期数太少.将使所得周期的偶然误差增大；若测量周期数太多,虽然可以减小计时起、停时的误差.但由于三线摆在扭动过程中受空气等阻力的作用,实际为一阻尼振动,相应的周期将会变长.使所测周期的误差变大.并且由于I0∞T02,所以测量周期引起的误差是非常重要的一个方面.如用秒表测周期.若计50个周期的时间是50s.其绝对误差为0．5s(0．5s的误差在手动计时中是可能的)则周期的相对误差为l％ ,由式(2)得到的转动惯量的相对误差将大于1％.(2)晃动对测量结果的影响.当三线摆在扭动的同时产生晃动时.这时下圆盘的运动已不是一个简谐振动,从而运用式(2)测出的转动惯量将与理论值产生误差,其误差的大小是与晃动的轨迹以及幅度有关的.(3)长度的测量.由式(2)看出,R.r.H 的测量误差将直接影响转动惯量的测量结果,尤其是在测量上圆盘的r时,由于其数值较,若测量不准确,将引起较大的相对误差.如r的真值为4．0cm,若测量结果为4．1cm,将引起2．5％的相对误差.减小误差的方法 (1)对于推导式(2)过程中所采用的各种近似引起的误差,可以通过尽量加大两盘之间的距离H,以及使下圆盘的最大角位移小一些来减小它们的影响.如 ≤15.,可使误差小于0．6％ .(2)对于测量周期数,应根据计时所采用的方式及仪表的精度合理选择.如用秒表人工计时,考虑到人的手动误差,可选择的周期数多一些(如100)；如用电子计时,为减小阻尼的影响,可选择的周期数少一些(如20).(3)对于三线摆的晃动,在实验中,一定要掌握正确的启动方法,以保证三线摆的稳定扭动状态.(4)对于长度的测量,在测r和尺时,最好采用高级精度的工具进行.另外要注意,一般三线摆中下圆盘的悬点并不在盘的边缘,所以要区分式(2)中的R和理论计算公式中I0=1/2*mR2的R0.总之,对于三线摆tlllfl体转动惯量的误差来源,主要是扭动的最大角位移当过大时和操作误差引起的.所以在做实验时一定要注意这两点.以上分析数值均属保守值,有两位数的误差实属正常,但超过100%有点过~
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用扭摆法测刚体转动惯量
转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。刚体的转动惯量与刚体的总质量、形状大小和转轴的位置有关。对于形状较简单的刚体，可以通过数学方法算出它绕特定轴的转动惯量。但是对于形状较复杂的刚体，应用数学方法计算它的转动惯量非常困难，故大都用实验方法测定。刚体的转动惯量在机械动平衡方面有着广泛的应用，凡是涉及往复式直线运动与旋转运动的相互转换，都必须借助具有较大转动惯量的“飞轮”才能实现，其中典型的例子是蒸汽机和内燃机。此外，为了让机械转动更平稳，最简单的方法就是在其转动轴上加上一个形状规则、质量分布均匀，且具有一定转动惯量的飞轮。因此，学会刚体转动惯量的测定方法，具有重要的实际意义。
【实验目的】
1. 了解ZG-2型转动惯量测定仪测刚体转动惯量的原理和方法。
2. 测定弹簧的扭转常数及几种不同形状刚体的转动惯量。
3. 验证刚体转动的平行轴定理。
【实验原理】
1. 弹簧的扭转常数及刚体的转动惯量
ZG-2转动惯量测定仪
将待测物体在水平面内转过一定角度后，在弹簧恢复力矩的作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。忽略轴承的摩擦阻力矩，根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩与所转过的角度成正比，即
式中为弹簧的扭转常数。根据转动定律
式中为物体绕转轴的转动惯量，为角加速度，由此可得
令ω2=，由(2)式得
上述微分方程表示转动惯量仪运动具有角谐振动的特性，即角加速度与角位移成正比，并且方向相反。此微分方程的解为：
式中为角位移，Ａ为谐振动的角振幅， 为初相位角，ω为圆频率。此谐振动的周期为
根据(3)式，只要测得转动惯量仪的摆动周期，在和中任何一个量已知时就可计算出另一个量。
本实验先利用一个几何形状规则的物体（其转动惯量根据质量和几何尺寸由理论公式求得）测定弹簧的扭转常数，然后以测定得到的弹簧的扭转常数为基础，就可以测量其他任意形状物体的转动惯量。
假设转动惯量仪上只放置金属载物圆盘时的转动惯量为，周期为，则
若在载物圆盘上放置已知转动惯量为的塑料圆柱后，周期为，总的转动惯量为+，则
由（4）式可求出弹簧的扭转常数，从而只需测出任何一种物体的摆动周期，就可算出其转动惯量，即
为使计算简便，可令，则有
2. 转动惯量的平行轴定理：
若质量为的刚体对过质心轴C的转动惯量为
，可以证明，当转轴平行移动的距离为时，刚体对新轴的转动惯量将变为：。
本实验利用金属细杆和两个对称放置在细杆两边凹槽内的滑块来验证平行轴定理。根据平行轴定理，整个系统对中心轴转动惯量（忽略夹具的转动惯量）的理论计算公式应为：
其中为滑块在金属细杆上移动的距离。
如果测量值与理论计算值相吻合，则说明平行轴定理得到了验证。
【实验仪器】
ZG-2型转动惯量测定仪、ZG-2型周期测定仪、电子天平、米尺和游标卡尺。
【仪器说明】
1. ZG-2型转动惯量测定仪
本实验所用的ZG-2型转动惯量测定仪如图１所示，它由一根薄片状的螺旋弹簧将一根垂直轴装在三脚支架上而成，支架底座有三个水平调节螺丝，支架顶部有一用以检测整个支架是否水平的水准气泡。
2. ZG-2型周期测定仪
ZG-2型周期测量仪由主机和光电探头构成。光电探头所用的红外发射管和红外接收管分别镶嵌在探头的Ｕ形缺口两边。当挡光杆从Ｕ形缺口中通过，就会遮断红外光线，使主机计时器开始计时，根据挡光次数自动判断是否已达到所设定的周期数。当达到预定周期数后，便自动停止计时，主机前面板上的液晶“数码显示屏”，直接显示所测得的时间间隔值，测时精度为0.01s。按动主机前面板上的“周期选择”，可以设定5个或10个周期。按动“复位”按钮可以使数码显示屏上的数字“复零”为0.00s。测量前应调节光电探头的Ｕ形缺口的高度，使挡光杆能够从Ｕ形缺口中顺利地通过。在使用时光电探头不能放置在强光下，否则会影响其正常工作。实验时采用窗帘遮光，确保计时的准确。
3. 电子天平
电子天平是利用数字电路和压力传感器组成的一种精密质量测试仪器。其最大特点是操作简单，测量快捷，数秒钟便可显示结果，重复性好，性能稳定。此外，它还具有多种功能，如自动校准功能，确保称量高准确度；全自动故障检测，便于故障诊断与维修；超载自动保护；与打印机连接，自动打印；计算机接口，称量信息输入计算机，进行数据处理等。天平使用前应开机预热一段时间才能稳定地工作。为提高称量的准确性，应定期用标准砝码进行检查，如有误差应立刻进行校准。
本实验所用的YP3000型电子天平最大称量为3000g，读数精度为0.1g。先开机预热10min左右，称量时应检查数码显示是否回复到“0.0g”，否则按清零键T清零。然后将待测物体轻轻放在称盘上，即可从显示屏上直接读出物体的质量。天平应定期进行校验，以保证结果的准确。
4. 米尺和游标卡尺
在尺寸较大及测量精度要求不高的情况下，通常采用米尺对长度进行测量。各种米尺量程大小不同，但最小分度值均为1mm。
游标卡尺也是一种常用的长度测量工具，由主尺和游标两部分组成，其精度介于米尺和螺旋测微器之间，它可以测量物体的长度、深度、内径和外径等。其游标读数法常被其它非长度测量仪器所采用，如分光测角仪等。测量时，先读出游标O线与主尺O线之间的毫米整数，余下的不足1㎜的小数部分则利用游标读取。方法是观察游标上与主尺某刻度（具体是多少刻度不管）对准的刻线数乘以游标卡尺的精度（0.02㎜或0.05㎜，具体数值已在产品出厂前标于卡尺上），结果取两位，最后再将两者相加。为便于游标读数，制造厂采用在游标上每5格标一个数字，此数值已是相应的刻线数与精度的乘积，只是去掉了整数部分的O、小数点以及数值后的O。对于游标上未标数值的刻线，则仍须将其刻线数乘以精度，值得注意的是，此时刻线数的计数起点是游标上处于该刻线左侧标有数值的刻线，而不是游标O线。
例如，在图2中，游标卡尺的游标上的8（即第40刻线）与主尺的刻线对准了，所以其读数应为：
L=32.00mm+0.02mm×40=32.80mm
图2 游标卡尺的读数
【预习思考题】
1. 在待测的空心钢圈柱和塑料圆柱的半径都大于游标卡尺测量口深度的情况下，你能用什么方法准确测量前两者的直径？
2. 在实验操作中，你打算将待测物的初始摆角取多大？
3. 在测量摆杆质量时，为什么必须去掉夹头？
4. 在测摆杆转动惯量的操作中，用摆杆端头挡光与用夹头上的挡光杆挡光，二者有无区别？
【实验内容】
1. 测定弹簧的扭转系数；
2. 测定金属圆筒对中心垂直轴的转动惯量；
3. 测定金属球对中心垂直轴的转动惯量；
4. 测定金属细杆对中心垂直轴的转动惯量；
5. 验证转动惯量的平行轴定理。
【注意事项】
1. 弹簧有一定的使用寿命和强度，不可随意玩弄；测量时摆动角度不宜过大或过小，以接近90°为佳。
2. 上夹具时一定将螺钉拧紧。
3. 在称量金属细杆的质量时，应将细杆上的夹具取下，否则会带来极大误差。
4. 验证平行轴定理时，滑块一定要置于细杆的凹槽处。
【实验步骤】
1. 测定物体的几何尺寸及质量
记录金属圆球的直径和质量（见球上标签），用游标尺分别测出塑料圆柱的直径、金属圆筒的内径和外径，各测三次；再用游标尺测两个滑块的外径、内径及柱长，均单次测量；用钢卷尺单次测量金属细杆的长度；用电子天平单次称量塑料圆柱、金属圆筒、金属细杆及两个金属滑块的质量。
2. 调节仪器水平
调整转动惯量仪底座上的水平调节螺丝，使支架上的水准气泡居中。
3. 借助塑料圆柱测弹簧的扭转常数
将金属载物圆盘安装在垂直转轴上，并用紧固螺钉拧紧。调整光电探头的位置，使其处于挡光杆的平衡位置，挡光杆应位于光电探头Ｕ形缺口的中央，并能遮住发射接收红外线的小孔。设定主机的“周期选择”为10个周期，测量载物圆盘的摆动周期 ，重复三次。将塑料圆柱放在载物圆盘上，用相同方法测其周期三次，并由公式（4）求出弹簧的扭转系数。
4. 将空心金属圆筒放在载物圆盘上，测量摆动周期三次。将上面求出的 代入公式(5)求出金属圆筒的转动惯量
5. 将金属圆球安装在垂直转轴上，测量摆动周期三次，利用公式(5)求出金属圆球的转动惯量
6. 金属细杆用夹具固定在垂直转轴上，细杆的中点必须与仪器转轴重合，并用紧固螺钉拧紧。测量摆动周期三次，将测得的周期值代入公式（5）得
7. 将两个金属滑块对称地放置在金属细杆的两边，滑块中点的定位螺钉须位于金属细杆的凹槽内（轻轻移动滑块，用手可以感触到），相邻两凹槽的距离为5cm。滑块离转轴的距离分别取5cm、15cm、25cm，摆动周期数设为5，测量出整个系统的摆动周期，重复测三次。代入公式（5）中计算整个系统的转动惯量值 。
【实验数据记录及处理】
计算弹簧的扭转常数及几种物体的转动惯量，并与理论值相比较，算出百分偏差。
表1 几种物体的测量数据及处理
空心金属圆筒
质量（Kg）
转动惯量理论值I理（Kg.m2）
转动惯量实验值（Kg.m2）
几种几何形状规则的物体对中心垂直轴的转动惯量理论计算公式：
金属圆球：
实心圆柱：
无底金属圆筒：
（夹具的转动惯量很小，忽略不计）
圆柱形滑块：
值得注意的是，虽然塑料圆柱与金属圆筒的外径、高度和质量基本相同，但由于质量分布不同，二者的转动惯量明显不同。
2. 验证平行轴定理
表2 细杆、滑块系统的摆动周期及数据处理
滑块质心移轴距离　χ (cm)
　实验测量值（Kg.m2）
理论计算值 (Kg.m2)
百分偏差×100%
滑块质量：＝
滑块长度：Ｌ＝
滑块外径： ＝
滑块孔径： ＝
分析值的大小与质量分布的关系，比较与距离的关系,得出平行轴定理的验证结论。
【思考题】
1. 若圆环的外径与圆盘的直径相等，而且质量相同，二者的转动惯量相同吗？为什么？
2. 分析导致转动惯量的实验值与理论值不一致的因素。
【参考资料】
1. 张兆奎主编. 大学物理实验. 华东化工学院出版社. 8
2. 黄建群主编. 大学物理实验. 四川大学出版社.}