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已知函数，.(Ⅰ) 求函数在点处的切线方程；(Ⅱ) 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；(Ⅲ) 若方程有唯一解,试求实数的值.
答案(Ⅰ)&(Ⅱ)&(Ⅲ)
解析试题分析：(Ⅰ)因为,所以切线的斜率&&&&&& 2分又,故所求切线方程为,即&&&&&&&&&&&& 4分(Ⅱ)因为,又,所以当时,；当时, .即在上递增,在上递减&&&&5分又,所以在上递增,在上递减&&&&&&6分欲与在区间上均为增函数,则,解得&&&&8分(Ⅲ) 原方程等价于,令,则原方程即为.&&&&&&&&&&&&&&&&&9分因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在轴右侧有唯一的交点&&&&&&&&& 10分又,且，所以当时,，函数单调递增；当时, ，函数单调递减.故在处取得最小值．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&12分从而当时原方程有唯一解的充要条件是．&&&&&13分考点：函数单调性最值点评：第一问利用导数的几何意义可求出切线斜率，进而得到直线方程，由导数大于零可求得增区间，导数小于零可得减区间，第三问将方程有一个根转化为两函数图像只有唯一交点，结合图像需求函数最值查看: 2425|回复: 27
求两圆的外公切线方程及切点
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两圆的方程分别是\[\left(x-a_1\right){}^2+\left(y-b_1\right){}^2=r_1^2\] \[\left(x-a_2\right){}^2+\left(y-b_2\right){}^2=r_2^2\]
尽可能用含`a_1,b_1,r_1, a_2,b_2,r2`的式子表示
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1）已知两个圆心$O_1,O_2$的坐标，那么过这两个圆心的距离$r=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}$，以及直线的方程$C$可以得知。
2）已知两个圆心的半径，那么两个公切点的距离$d$可以求得 $d=\sqrt{r^2+(r_1-r_2)^2}$。
假设$r_1&r_2$,那么公切线的方程相当于 直线$C$绕$O_1$逆时针旋转$\arcsin(\frac{r_2-r_1}{r})$，再沿法向方向(外侧，内侧) 分别平移 $r_1$个单位即可
切点的坐标 同理，可通过旋转求得。
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在其中一个圆上选一个点为反演中心，反演之后一个圆变成了直线，另外一个圆还是圆，作直线和圆的公切圆，其方程也不难求得，然后再反演回来。
（这大概也是尺规作图的步骤吧，反演尺规作图可以实现）
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直接设公切线方程为：
\[y=kx-b\]
与第一个圆 \((x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2\)相切的条件为：
\[k^2r_1^2-k^2a_1^2+2bka_1+2ka_1b_1-b^2-2bb_1+r_1^2-b_1^2=0\]
与第二个圆 \((x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2\)相切的条件为：
\[k^2r_2^2-k^2a_2^2+2bka_2+2ka_2b_2-b^2-2bb_2+r_2^2-b_2^2=0\]
将上面两个相切条件消元得到：
两圆的公内切线：
\[(b_2+r_1-b_1+r_2)(-b_2+r_1+b_1+r_2)+(2(b_1-b_2))(a_1-a_2)k+(a_2+r_1-a_1+r_2)(-a_2+r_1+a_1+r_2)k^2=0\]
\[r_1^2a_2^2+r_1^2b_2^2+2r_1r_2a_1a_2+2r_1r_2b_1b_2+r_2^2a_1^2+r_2^2b_1^2-a_1^2b_2^2+2a_1a_2b_1b_2-a_2^2b_1^2+(2r_1^2b_2+2r_1r_2b_1+2r_1r_2b_2+2r_2^2b_1-2a_1^2b_2+2a_1a_2b_1+2a_1a_2b_2-2a_2^2b_1)b+(a_2+r_1-a_1+r_2)(-a_2+r_1+a_1+r_2)b^2=0\]
两圆的公外切线：
\[(b_2+r_1-b_1-r_2)(-b_2+r_1+b_1-r_2)+(2(b_1-b_2))(a_1-a_2)k+(-a_2+a_1+r_1-r_2)(a_2-a_1+r_1-r_2)k^2=0\]
\[ r_1^2a_2^2+r_1^2b_2^2-2r_1r_2a_1a_2-2r_1r_2b_1b_2+r_2^2a_1^2+r_2^2b_1^2-a_1^2b_2^2+2a_1a_2b_1b_2-a_2^2b_1^2+(2r_1^2b_2-2r_1r_2b_1-2r_1r_2b_2+2r_2^2b_1-2a_1^2b_2+2a_1a_2b_1+2a_1a_2b_2-2a_2^2b_1)b+(-a_2+a_1+r_1-r_2)(a_2-a_1+r_1-r_2)b^2=0\]
注意：由于每个\(k\)和\(b\)均有两个根，分别取同大或者同小取得两组\(\{k,b\}\)即可。
至于切点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，只需将每组\(\{k,b\}\)代入下式计算：
\[x_1=\frac{a_1+(b+b_1)k}{1+k^2},y_1=kx_1-b\]
\[x_2=\frac{a_2+(b+b_2)k}{1+k^2},y_2=kx_2-b\]
同样的方法，也可以求：两球的公切圆锥面&
我指的是切线斜率可能不存在&
不需要分类讨论，只需要b,k同取大根和同取小根即可，当然可以直接用求根公式表示出来。&
这种设法貌似要分类讨论&
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搜到一个不错的链接(不过文章中的公式某个符号好像写错了)，可以用Mathematica验证：
Manipulate[
Block[{deta, p1, p2, q, a1, b1, a2, b2, line1, line2},
&&{{a1, b1}, {a2, b2}} =
&&deta = (a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2 - (r1 - r2)^2;
&&p1 = r1 (a2^2 + b2^2 - a1 a2 - b1 b2);
&&p2 = r2 (a1^2 + b1^2 - a1 a2 - b1 b2);
&&q = a1 b2 - a2 b1;
&&line1 = ((a2 - a1) (r1 - r2)+(b1 - b2) Sqrt[deta]) x + ((b2 - b1) (r1 - r2) + (a2 - a1) Sqrt[deta]) y - p1 - p2 + q Sqrt[deta]==0;
&&line2 = ((a2 - a1) (r1 - r2)-(b1 - b2) Sqrt[deta]) x + ((b2 - b1) (r1 - r2) - (a2 - a1) Sqrt[deta]) y - p1 - p2 - q Sqrt[deta]==0;
&&Show[Graphics[{Circle[{a1, b1}, r1], Circle[{a2, b2}, r2]},
& & PlotRange -& 6, Frame -& 1],
& &ContourPlot[Evaluate@{line1, line2}, {x, -9, 9}, {y, -9, 9}]]
&&], {{p, {{-3, 1}, {3, 0}}}, Locator}, {{r1, 1}, 1, 3}, {{r2, 2}, 1,
&&3}]复制代码
已更新，内外公切线都有了
Manipulate[
Block[{deta1, deta2, p1, p2, q, a1, b1, a2, b2, outerLine1,
& &outerLine2, innerLine1, innerLine2},
&&{{a1, b1}, {a2, b2}} =
&&deta1 = (a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2 - (r1 + r2)^2;
&&deta2 = (a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2 - (r1 - r2)^2;
&&p1 = r1 (a2^2 + b2^2 - a1 a2 - b1 b2);
&&p2 = r2 (a1^2 + b1^2 - a1 a2 - b1 b2);
&&q = a1 b2 - a2 b1;
&&innerLine1 = ((a2 - a1) (r1 + r2) + (b1 - b2) Sqrt[
& && && &deta1]) x + ((b2 - b1) (r1 + r2) + (a2 - a1) Sqrt[deta1]) y -
& && &p1 + p2 + q Sqrt[deta1] == 0;
&&innerLine2 = ((a2 - a1) (r1 + r2) - (b1 - b2) Sqrt[
& && && &deta1]) x + ((b2 - b1) (r1 + r2) - (a2 - a1) Sqrt[deta1]) y -
& && &p1 + p2 - q Sqrt[deta1] == 0;
&&outerLine1 = ((a2 - a1) (r1 - r2) + (b1 - b2) Sqrt[
& && && &deta2]) x + ((b2 - b1) (r1 - r2) + (a2 - a1) Sqrt[deta2]) y -
& && &p1 - p2 + q Sqrt[deta2] == 0;
&&outerLine2 = ((a2 - a1) (r1 - r2) - (b1 - b2) Sqrt[
& && && &deta2]) x + ((b2 - b1) (r1 - r2) - (a2 - a1) Sqrt[deta2]) y -
& && &p1 - p2 - q Sqrt[deta2] == 0;
&&Show[Graphics[{Circle[{a1, b1}, r1], Circle[{a2, b2}, r2]},&&PlotRange -& 6, Frame -& 1],
& &ContourPlot[ Evaluate@{outerLine1, outerLine2, innerLine1, innerLine2}, {x, -5,5}, {y, -5, 5}]]
&&], {{p, {{-3, 1}, {3, 0}}}, Locator}, {{r1, 1}, 1, 3}, {{r2, 2}, 1,
&&3}]复制代码
_220233.png (17.1 KB, 下载次数: 0)
22:02 上传
你这里只求出了外切线方程，内切线方程好像要修改一下，并且切点坐标也没有给出哈。&
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楼主或许应该讲明白，到底是想要结果，还是想要方法。
还有一点，尽可能使列出的方程适合Mathematica、Maple等求解&
都想啊，有点贪心(^o^)，主要想找一个计算量不大、不用分类讨论的方法&
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设公切线与两圆的切点分别是：\((a_1+r_1\cos\theta, b_1+r_1\sin\theta)\)和\((a_2+r_2\cos\theta, b_2+r_2\sin\theta)\), 那么公切线的斜率就是\(-\cot\theta\), 公切线方程就是
\[(x-a_1)\cos\theta+(y-b_1)\sin\theta-r_1=0\]为了消去参数，与\[(a_2-a_1)\cos\theta+(b_2-b_1)\sin\theta+(r_2-r_1)=0\]联立消去 `\theta` 即可得到公切线方程。`r_1, r_2`可正可负，正负4种组合即得4条公切线方程。
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用Mathematica10试了一下楼上的方法,直接带三角函数消元不行，也许另有命令？我用X,Y 代替余弦和正弦，加了一个方程X^2+Y^2=1, 消元成功。
Manipulate[
Block[{a1, b1, a2, b2, CommonTangents}, {{a1, b1}, {a2, b2}} =
&&CommonTangents[r2_]:=Eliminate[{x X + y Y == a1 X + b1 Y + r1 == a2 X + b2 Y + r2, X^2 + Y^2 == 1}, {X, Y}];
&&Show[Graphics[{Circle[{a1, b1}, r1], Circle[{a2, b2}, r2]}, PlotRange -& 6, Frame -& 1],
&&ContourPlot[Evaluate@(CommonTangents/@{r2,-r2}), {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]]],
{{p, {{-3, 1}, {3, 0}}}, Locator}, {{r1, 1}, 1,3}, {{r2, 2}, 1, 3}]复制代码
楼上的用来消元的两个等式可以简写为一个连等式： \(x\cos\theta+y\sin\theta=a_1\cos\theta+b_1\sin\theta+r_1=a_2\cos\theta+b_2\sin\theta+r_2\)
从中消元得到的实际上是一条退化的二次曲线，包含两条公切线。 r1,r2同号时为两条外公切线，异号时为两条内公切线。
这个可以三角消元啊，不过Mathematica确实更擅长多项式消元&
要注意身体哈！&
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外公切线倾斜角=圆心连线倾斜角±反正切(半径差/圆心距离)
代入7#公式
内公切线倾斜角=圆心连线倾斜角±反正切(半径和/圆心距离)
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设切线方程为\(a x+b y+1=0\)，根据点到直线距离公式得
GroebnerBasis[{(a a1 + b b1 + 1)^2 ==&&r1^2 (a^2 + b^2), (a a2 + b b2 + 1)^2 == r2^2 (a^2 + b^2),&&a x + b y + 1 == 0},
{a, b}][[1]] // Factor // FullSimplify[#, ComplexityFunction -& LeafCount] &复制代码
结果\(\left(r_1^2 \left(\left(x-a_2\right){}^2+\left(y-b_2\right){}^2\right)-2 r_2 r_1 \left(\left(x-a_1\right) \left(x-a_2\right)+\left(y-b_1\right) \left(y-b_2\right)\right)+r_2^2 \left(\left(x-a_1\right){}^2+\left(y-b_1\right){}^2\right)-\left(a_1 y-a_1 b_2-a_2 y-x b_1+a_2 b_1+x b_2\right){}^2\right) \left(r_2^2 \left(\left(x-a_1\right){}^2+\left(y-b_1\right){}^2\right)+2 r_1 r_2 \left(\left(x-a_1\right) \left(x-a_2\right)+\left(y-b_1\right) \left(y-b_2\right)\right)+\text{r1}^2 \left(\left(x-a_2\right){}^2+\left(y-b_2\right){}^2\right)-\left(a_1 y-a_1 b_2-a_2 y-x b_1+a_2 b_1+x b_2\right){}^2\right)\)
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利用导数研究曲线上某点切线：1、利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在{{x}_{0}}处的导数f′(x)；利用方程的点斜式写出切线方程为y-{{y}_{0}} =f′({{x}_{0}})（x-{{x}_{0}}）．2、若函数在x={{x}_{0}}处可导，则图象在({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处一定有切线，但若函数在x={{x}_{0}}处不可导，则图象在（{{x}_{0}}，f({{x}_{0}}））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．3、注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，4、显然f′（{{x}_{0}}）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（{{x}_{0}}）＜o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f({{x}_{0}}) =0，切线与x轴平行；f′({{x}_{0}})不存在，切线与y轴平行．
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:（1）求函数y=f\left({x}\right)在\left({a,b}\right)内的极值；（2）将函数y=f\left({x}\right)在各极值与端点处的函数值f\left({a}\right)，f\left({b}\right)比较，其中最大一个是最大值，最小的一个是最小值．
在中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有： 1,一元二次方程根的判别式;
2,参数大于最大值或小于最小值;
3,变更主元利用函数与方程的思想求解。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知y=f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的图象在...”，相似的试题还有：
已知y=f(x)=xlnx．(1)求函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程；(2)设实数a＞0，求函数F(x)=\frac{f(x)}{a}在[a，2a]上的最大值．
已知y=f(x)=xlnx．(1)求函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程；(2)设实数a＞0，求函数在[a，2a]上的最大值．
已知f(x)=xlnx．(1)求函数f(x)在[t，t+2](t＞0)上的最小值；(2)已知对任意x∈(0，1)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有成立． 上传我的文档
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关于求空间曲线切线的多种方法
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关于求空间曲线切线的多种方法
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谢谢啦，帮我大忙啦
60.168.66.*
题目有问题，Y=X平方怎么会过（2，3)点呢？更不会过此点找切线方程了
不厌不倦之人
你也懂得怎样过曲线外一点求曲线的切线了，我真高兴！
118.74.8.*
你学没学数学啊“在这点的切线”与“过这点的切线是两道题目”！
60.168.66.*
不好意思，我错了，我看错题目了
60.168.66.*
题目有问题，Y=X平方怎么会过（2，3)点呢？更不会过此点找切线方程了
你不觉得Y=4X-5与Y=X^2不相切么?
DELTA&0,连交点都没有
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1.f(x)=x/x的连续区间是（-∞，0）∪（0，+∞）就是x&&0.
2.f'(x)=2x/(1+x^2)=0---&x=0,所以驻点是x=0
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