如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．
（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC；
（2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答；
（3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．
解：（1）MN=BM+NC，理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBM=∠DMB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
在△DMN和△DEN中，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；
（2）利用（1）中的结论得出：
△AMN的周长=AM+MN+AN
=（AM+BM）+（NC+AN）
（3）按要求作出图形，如图2所示，
（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM，理由如下：
在CA上截取CE=BM，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
在△BMD和△CED中，
∴△BMD≌△CED（SAS），
在△MDN和△EDN中，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NE-BM．如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC为等腰三角形,顶角∠BDC=120°,M,N分别是线段AB,AC上的点,且∠MDN=60°,延长AC到T,使CT=BM.（1）求证∠CTD=∠BMD；（2）求△AMN的周长.
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(1)证明:连接DT.BD=CD,∠BDC=120°,则:∠DBC=∠DCB=30°;则:∠ABD=∠ACD=90°;∵∠DBM=∠DCT=90°;DB=DC;BM=CT.∴ ⊿DBM≌ΔDCT(SAS),∠CTD=∠BMD.⊿DBM≌ΔDCT(已证),则DT=DM;∠CDT=∠BDM.∠CDT+∠CDN=∠BDM+∠CDN=∠BDC-∠MDN=60°,故∠TDN=∠MDN;又DN=DN,则⊿TDN≌ΔMDN(SAS),TN=MN.∴AM+AN+MN=AM+AN+TN=AM+AN+(NC+CT)=AM+AN+(NC+BM)=AB+AC=2.
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解：作M点关于AC的对称点M′，连接M’N，则与AC的交点即是P点的位置，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC，∴=，∴PM′=PN，即：当PM+PN最小时P在AC的中点，∴MN=AC∴PM=PN=1，MN=∴AC=2，AB=BC=2PM=2PN=2∴△ABC的周长为：2+2+2=4+2．故答案为：4+2 ．本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．正确确定P点的位置是解题的关键．
方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______．
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旗下成员公司> 【答案带解析】如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD...
如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．
（2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．
（1）CD=BE．理由如下：（1分）
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=...
考点分析：
考点1：全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
考点2：等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
考点3：勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
考点4：旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
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探究问题：（1）阅读理【解析】①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABoCD+BCoDA=ACoBD．此为托勒密定理；（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC=PA；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120&）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+______；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段______的长度即为△ABC的费马距离．（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120&），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
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在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．
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难度：中等
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①PM＝PN.（中位线性质；等量代换）②仍然PM＝PN.证：连接BE,AD；则PM＝½BE,PN＝½AD.△BCE≌△ACE（两边夹一角相等）,且△AEC≌△ADC（两边夹一角相等）,AD＝AE＝BE(对应边相等）.∴PM＝PN（等量代换）.
怎么求∠MPN等于90°？
再证：已知∠C＝90º；PM∥CB，PN∥CA，（中位线性质）
∴∠MPN＝∠C＝90º（二角两边分别平行则二角相等）。
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