证明:函数f(x)=x^2-1/x在区间(0,正无穷)上是增函数_百度知道
证明:函数f(x)=x^2-1/x在区间(0,正无穷)上是增函数
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(x)&gt：采用求导得f&#39解析;(x^2)令f'0解得x&(x)=2x+1&#47
求导没学过，设0＜x1＜x2的方法这么做
任取0&x1&x2有x1-x2&0,则f(x1)-f(x2)=xi^2-1/x1-x2^2+1/x2=(x1+x2)(x1-x2)-(1/x1-1/x2)=(x1+x2)(x1-x2)-[(x2-x1)/(xi*x2)]又因为x1-x2&0,x1+x2&0,x1*x2&0所以f(x1)-f(x2)&0即f(x1)&f(x2)函数f(x)=x^2-1/x在区间(0,正无穷)上是增函数
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出门在外也不愁考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用
分析：（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率k=f′(12)=-65，再求出f（12）的值，代入直线方程的点斜式得答案；（2）令t（x）=f（x）-g（x），求导后得到导函数的零点，进一步得到函数的极小值点，求得t(x)min=t(12)=0说明ln(x+1x)≥-65x+35+ln52；（3）由（1）知f′(1n)=n-n31+n2，求出f（x）在(1n，ln(n+1n))处的切线方程，然后证明f(x)≥n-n3n2+1x-1-n21+n2+ln(n+1n)，得到ln(ai+1ai)≥n-n31+n2ai-1-n21+n2+ln(n+1n)，进一步得到ni=1ln(ai+1ai)≥n-n3n2+1ni=1ai-n(1-n2)1+n2+nln(n+1n)=nln(n+1n)，则结论得证．
（1）解：由f（x）=ln（x+1x），得f′(x)=xx2+1(1-1x2)=x2-1x3+x，∴切线的斜率k=f′(12)=-65．又f（12）=ln52，∴f（x）在x=12处的切线方程为y-ln52=-65(x-12)，即y=g（x）=-65x+35+ln52；（2）证明：令t（x）=f（x）-g（x）=ln(x+1x)+65x-35-ln52(x＞0)，∵t′(x)=x2-1x3+x+65=(x-12)(6x2+8x+10)5(x3+x)．∴当0＜x＜12时，t′（x）0，∴t(x)min=t(12)=0．故t（x）≥0，即ln(x+1x)≥-65x+35+ln52；（3）证明：由（1）知，f′(1n)=n-n31+n2，故f（x）在(1n，ln(n+1n))处的切线方程为y-ln(n+1n)=n-n3n2+1(x-1n)，即y=n-n3n2+1x-1-n21+n2+ln(n+1n)．先证f(x)≥n-n3n2+1x-1-n21+n2+ln(n+1n)，令h（x）=ln(x+1x)-n-n3n2+1x+1-n21+n2-ln(n+1n)（x＞0），∵h′(x)=x2-1x3+x-n-n3n2+1=(n3-n)x3+(n2+1)x2+(n3-n)x-n2-1(n2+1)(x3+x)=(x-1n)[(n3-n)x2+2n2x+n3+n](x3+x)(n2+1)．∴0＜x＜1n时h′（x）0．∴h(x)min=h(1n)=0．∴f(x)≥n-n3n2+1x-1-n21+n2+ln(n+1n)，∵ai＞0，∴ln(ai+1ai)≥n-n31+n2ai-1-n21+n2+ln(n+1n)．∴ni=1ln(ai+1ai)≥n-n3n2+1ni=1ai-n(1-n2)1+n2+nln(n+1n)=nln(n+1n)．∴（a1+1a1）（a2+1a2）…（an+1an）≥（n2+1n）n ．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（3）的证明，关键在于对f(x)≥n-n3n2+1x-1-n21+n2+ln(n+1n)的证明，体现了数学转化思想方法，本题对于学生的计算能力要求过高，是难度较大的题目．
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设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.
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设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.
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证明函数f(x)=x+1/x在区间（0,1]上是减函数
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用定义法即可证明：令0&x1&x2&=1,
x1-x2&0则f(x1)-f(x2)=x1-x2+1/x1-1/x2=(x1-x2)[1-1/(x1x2)]1/(x1x2)&11-1/(x1x2)&0因此f(x1)-f(x2)&0所以在此区间为减函数。
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解：f'(x)=1-1/x²
因为， 0&x《1
所以，f'(x)=1-1/x²《0
所以，f'(x)在区间(0, 1] 是减函数
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主讲：吴野
解：(1)由已知得，∴an＋1＋1＝(an＋1)2．∵a1＝2，∴an＋1＞1，两边取对数得：lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即．∴{lg(1＋an)}是公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝，∴．(*)∴Tn＝(1＋a1)·(1＋a2)·…·(1＋an)＝．由(*)式得．(3)∵，∴an＋1＝an(an＋2)．∴，∴．又，∴．∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝．∵，a1＝2，，∴．又，∴．
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