从等差（比）数列的前n项和公式谈起——教学实录
这是高三“数列求和”的一节复习课教学实录，本节课的基础是学生已掌握等差（比）数列的概念与求和公式，掌握导数与积分的概念与运算公式，掌握不等式的基本性质与证明方法；学生已具备一定的分析问题和解决问题的能力．
【教学实录】
师 ：让我们先来回忆一下等差数列的前n项和的公式以及它的推导方法．
生1：，也可以表示为．
师 ：很好！（屏幕显示两个公式）有谁能说出它们的推导方法吗？
生2：由高斯算法的启示，利用“倒序相加法”，可以推导出第一个公式．
（随着同学的叙述，屏幕逐行显示下列推导过程）
&，&&&&&&&
&&&&&．&&&&&&
由①＋②，得
由此得到等差数列的前n项和公式．
如果代入等差数列的通项公式，也可以表示为．
师 ：如果我们把等差数列的各项看作堆成梯形的排水管的各层的个数．
（取出两个重叠的全等的梯形模型，如图1，将它们水平分离后，一个旋转180°，
再将它们拼成一个平行四边形）
所以，等差数列的前n项和公式的第一种形式
可以类比为梯形的面积，即上底a1加下底an，乘以高n，再除以2．
我们再来观察等差数列的前n项和公式的第二种形式．
如果把它看成是关于n的多项式，那么它是几次多项式？系数分别是多少？
生3：它是二次多项式，二次项系数是，一次项系数是，常数项是0．
师 ：（追问生3）二次项系数可能是0吗？一次项系数可能是0吗？
生3：可能．
师 ：所以，等差数列的前n项和是关于n的常数项是0的（等侍生3的回答）
生3：次数不超过2次的多项式．
师 ：很好！（话峰一转）同学们，如果我们假定等差数列的前n项和是关于的次数不超过2次的多项式
，那么我们能根据一般数列的通项与前n项和的关系（一边叙述一边板书公式）
）侍定出这里的系数A，B，C 吗？
（同学们陷入沉思，但很快就有了答案，随着同学的叙述板书下列内容）
生4：因为n≥2时，，
所以，对，n≥2成立．
由多项式恒等，得，解之，得，．
又，所以，从而．
师 ：很好！从这个假定出发，我们能够给出等差数列的前n项和公式的新的推导方法吗？
（同学们给出各种写法，经过一番争论和修订，板书出下列共识）
因为是公差为d的等差数列，所以，．
设，．则，且对任意的，，
师 ：上述证法启发我们重新思考“求数列的前n项和”的方法．同学们有什么新的思考呢？
生5：如果我能求出某数列的前n项和，我就能给出该数列前n项和的证明方法．
生6：（与生5争辩）如果你求出了某数列的前n项和，那还需要再证明吗？求法不就是证明吗？
生5：（与生6争辩）我的求法如果是严格的推导，当然就不需要再证明。但如果是猜想，是通过不完全归纳法
或其它不严格的方法得到的呢？就需要再证明．
生6：（显得语塞）但，如何猜想一个数列的前n项和呢？你能给出一般的思路吗？
师 ：两位同学作了很好的讨论，给了我很大的启发，归纳一下，我们是不是可以作出下列结论：
（屏幕逐行显示）
已知数列，如果存在数列，满足，，其中，，
显然就是数列的前n项和，这种求前n项和的方法称为差分法（或裂项法），
我们可以把数列称为数列的原数列或和数列．
师 ：同学们想想，能用差分法求一个数列的前n项和的关键是什么？
生7：寻找到数列的原数列．
师 ：（接着生7的话茬）也就是数列的前n项和的表达式．
&（追问生7）所以从解题这个意义上讲，我们可以解决什么问题了？
生7：可以轻松解决所有有关数列求和的恒等式证明问题．
师 ：（很兴奋）说得太好了，“轻松解决”，能举一例吗？
生7：已知是公比为q的等比数列，且q≠1，证明：．
（老师将同学所叙述的内容逐一板书出来）
证明：因为是公比为q的等比数列，所以，．
设，q≠1，，则，且对任意的，，
师 ：用完全类似的步骤，我们可以“轻松解决”下面一系列有关数列求和的恒等式的证明：
（屏幕显示）
（1）；；；…；
（2）；；；…；
（4）；…；（5）；…．
这些恒等式已经呈现出某些规律性，这些规律性是可以作为我们猜想某类数列的前n项和表达式的依据的．
如是关于n的五次多项式；；等等．
师 ：下面我们从另一个角度来探讨数列的前n项和．
我们知道，数列是一类特殊的函数，用图象表示等差数列的项，如下．
（屏幕显示下列图2），谁能告诉我们，你从图象中读出了哪些信息？
生8：等差数列的图象是同一条直线上的点列．
师 ：很好！请继续观察屏幕（屏幕上，分别以a1，a2，a3，…，an为一边，生成一个个矩形，如图3），
注意这里每个矩形的的宽为1．现在，谁又能从图中又读出了哪些信息？
生9：各个矩形的面积在数值上表示等差数列的各项．
师 ：（重复生9的话）“数值上”，叙述十分准确！那么，等差数列的前n项和呢？
生9：数值上也就是前n个矩形的面积和．
师 ：很好！请你再注意观察．
（屏幕上，x轴向上缓慢平移，最后形成图4）
师 ：（追问生9）现在，a1，a2均小于零，你的叙述该怎样修改能更准确呢？
生9：前n个矩形的面积的代数和在数值上表示等差数列的前n项和．
师 ：代数和，说得太好了！
也就是说，等差数列的前n项和在数值上等于x轴上方的矩形面积减去x轴下方的矩形面积．
这让我们联想起了什么？
（同学们七嘴八舌议论开了，生10显得特别兴奋）
生10：我想到了定积分，记得定积分曾有类似的几何性质．
：那么，我们能够将等差数列的前n项和用一个与通项有关的积分等式表示出来吗？
（同学们跃跃欲试，老师板书出几个有代表性的定积分等式）
：我们先来验证一下生13的等式：（板书）
&左边＝右边．所以生13给出的等式成立．
& 那么，生11、生12的等式呢？（同学们很快否定了生6、生5的等式，并指出生5的积分变量n是离散的，
& 被积函数不连续，不符合定积分的要求）
&：同学们，我们现在得到的等式是不是具有一般性呢？
（多数同学都迫不急待的来验证，但此等式并不成立，调整积分的上下限也无
& 济于事．因为计算右边积分时，得到的原函数中出现，同学们的脸上已显出泄气的神情）
师& ：在且时，，
这确实是一件很遗憾的事．不过这个结果，应该是可预见到的．从下面这张图中我们能够观察到什么？
（屏幕显示图5）
生14：每个矩形位于曲线上方的曲边三角形的面积不等于位于曲线下方的所缺的曲边三角
形的面积．
（屏幕上对图5中的局部进行放大，形成图6）
师& ：具体的说，是大于还是小于？
生14：小于．
师& ：为什么？
生14：因为函数增长的速度很快．
师& ：在什么前提条件下？
生14：，．
师 &：所以，（板书）当，时，
（其中的“＞”号由生14回答后再填写）．
（同学们有点满足感，但仍然未消除内心的遗憾）
师 ：上述不等式整理后，可化为（板书）当时，．
这是通过将数列问题的研究转化为函数问题的研究，将离散变量连续化，由定积分的几何意义得到的．
如果改变前提条件，或调整积分的上下限，我们还可以得到许多相关的不等式，这些不等式都可以利用导
数来证明．
（屏幕显示）构造不等式的意义远大于对不等式的证明！
师 ：下面我们来研究一道试题．
（屏幕显示）
（2011广州二模第21题）已知数列和满足，且对任意都有，
（1）求数列和的通项公式；
（2）证明：．
（同学们很快就解决了第1小题，下面是视频展台上展示的生15的解答）
∵，，∴，，即（常数），
∴是以为首项，以1为公差的等差数列．又,，∴，
∴，数列和的通项公式分别为，，．
师 ：很好！由（1）得．
&故所证不等式化为．
谁能给出这个证明呢？
（同学们异常兴奋，有的画出了图7，并给出了左边不等式的证明：如图7，因为时，函数
的下降速度越来越慢，所以
但利用图7，却无法给出右边不等式的证明）
（经过一番探索和研究，很快有同学作出了图8和图9，并给出了证明）
（下面是视频展台上展示的生16和生17的解答）
由图8，得；
由图9，得．
（酣畅淋漓，同学们十分享受上述证明）
师 ：我们再来看一看命题者给出的标准解答．
（屏幕逐行显示下列解答）
①先证右边不等式：．
当时，，所以函数在上单调递减．
∴当时，，即．分别取，，，…，．
也即．即．
②再证左边不等式：．
当时，，所以函数在上单调递增．
∴当时，，即．分别取，，，…，．
&也即．即．
（看完解答，同学们一遍感叹声）
&：显然，命题者给出了一个普遍能接受但较复杂的证明，而将他构造该命题的原先出发点给隐藏了起来．
最后，谁来将本节课的内容归纳一下？
生18：本节课主要解决了两个问题：
第一，数列求和的差分法，它可以帮助我们解决与数列前n项和有关的恒等式证明问题，或者可以猜想出
表达式的数列前n项和的计算问题；
第二，将离散变量连续化，利用定积分的几何意义研究与数列前n项和有关的等式或不等式问题．
：需要说明的是，这里的研究还可以继续，比如定积分的结构与和式的关系．当然，任何思路都会有一定
的局限性，如果定积分我们无法求，上述做法也就难以进行．但只要我们用研究性方法来学习数学，就
会发现天涯处处有芳草．本节课到此结束，谢谢！
【教学反思】如何既巩固旧知识概念，又能让同学有新的感悟；既理清旧方法结构，又能引导同学形成新的突破；既立足点的专项复习，又照顾面的覆盖和综合引伸；既强化基本技能训练，又高屋建瓴培养研究能力．这一直是高三数学复习课教学的瓶颈，本课在这方面作了初步尝试．但对于如何猜想数列的前n项和的表达式，本节课未作进一步的探讨，另外对各类常见数列的前n项和的计算方法也未作出很好的归纳总结．
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。线性代数疑问，求解……_百度知道
建议认真阅读教材。多样基本概念基本定理模糊。 (A,b)是增广矩阵（也就是你所说延伸组），是系数矩阵加上常数列形成。 A有4行，故(A,b)也只有4行。故r(A,b)小于等于4，（秩总不大于行数也不大于列数） 又r(A,b)大于等于r(A)=4，（加一列或行，秩不会变小） 故r(A,b)=r(A)
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出门在外也不愁斐波那契数列的通式求解
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下面通过线性代数的方法来求得斐波那契数列的通式Fn。
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求解，可得A的特征根分别为：、，相应的特征向量为、，则有：。
因此，斐波那契数列第n和n+1项为
由上面的通式可以看出，当n→∞时，，相邻两项之比，即是当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618。
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由数学归纳法可以得到：，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
[1] /view/816.htm
[2] Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra, 4th edition.
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