无限循环小数化分数_百度百科
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无限循环小数是有理数，既然是有理数就可以化成分数。
循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。
混循环小数可以*10^n（n为小数点后非循环位数），所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……
则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……
前n项和为：0.3(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)
当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0
因此0.3333……=0.3/0.9=1/3
注意：m^n的意义为m的n次方。
再如：0.999999.......
则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9^10(-n)+……
前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)
当n趋向无穷时（0.1）^n=0
因此：0.99999.....=0.9/0.9=1无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：
10x-x=1.1111……-0.1111……
例：0.999999.......=1
设x=0.9999999......
10x-x=9.999999.....-0.999999.....
关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。
例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：
解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，
即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，
将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，
100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99
例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：
解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，
即0.123(··)= X ——1式，令(0.123+0.000123(··))，
.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：
+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，
∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333
为了公式化，我们可以这样表示：
x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。这适合所有纯循环小数例：0.12111…… 1的循环，同样，我们设此小数为x，可得：
x=121.111……-12.111……
例：将无限循环小数0.123(·)化成分数：
解题：已知无限循环小数：0.123(·)，将已知无限循环小数0.123(·)的未知分数设为X,
∴X=0.123(·)——1式，（1式）两边同时乘以10得：
10X=1.23(·)——2式，（2式）-（1式）得：9X=1.11，X =1.11/9，
X =0.37/3，X =37/300，∴X=0.123(·)=37/300，即：0.123(·)=37/300
它的公式是：
X·10∧（a+c）-x·10∧a，这里的a是小数点后的循环节前的数字的位数，c代表循环节位数。
带小数也适用！！纯循环小数和混循环小数在化分数时公式存在差异，但理论上X·10∧（a+c）-x·10∧a适用于全部循环小数。因为（）无公度比，因此无限不循环小数（无理数）不能化成分数形式、即不能表达为n/m的形式，…。用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654， 0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。先来看几个例子
例：把混循环小数0.228˙化为分数：
解：0.228˙
=[（228/1000）+8/9000）]
=228/（900+100）+8/9000
=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）
=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]
=（228/900）-（22/900）
=（228-22）/900
=103/450；
例：把混循环小数0.123˙68˙化成分数：
解：0.123˙68˙=(0.00˙68˙)
=()+（68/9900000）
=[（）-（）]+（68/9900000）
=（）+[（68/9900000）-（0）]
=（）-（0）
用9和0做分母，首先有一个循环节有几位数字就几个9，接着有几个没加入循环的数就加几个0，再用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子，比如0.43，3的循环，有一位数没加入循环，就在9后面加一个0做分母，再用43减4做分子，得 90分之39，0.145，5的循环就用9后面加2个0做分母，再用145减14做分子，得900分之131，0.549，49的循环，就 用99后面加1个0做分母，用549减5做分子，最后得990分之545，以此类推，能约分的要化简。1、有限小数化成分数：分母的首位数是1后面是0，0的个数与小数位数的个数相同，分子是把有限小数取作整数，把小数点右边的数看作整数作为分子，但不包括小数点右边十分位、百分位、千分位，...上的0，能约分的要化简，譬如：将0.678化为分数，即678/，0.000，0.087=87/8=78/0，...；
2、带小数（混小数）化成分数：
譬如：将2.18化成分数，解：因为2.18=2+0.18，所以，2.18=2+0.18=2+（18/100）=2+（9/50）=109/50，把3.1415化成分数，∵3..1415，∴3.1415=3+（）=3+（283/2000）=，等等以此类推，能约分的一定要化简；
3、负小数化成分数其法则、方法与以上相同：
譬如：-0. ˙186˙=-186/999=-62/333，-0.0˙87˙=-87/990=-29/330，-0./1/5000，等等依次类推，能约分的一定要化为最简分数。把下列化成：
（1）0.368˙616˙，（2）0.˙，（3）0. ˙18˙，0. ˙168˙,0. ˙1787˙,(4)0.0˙869˙,0.00˙716˙,(5)0.357，0.0065，(6)2.18，3.1415，3. ˙54˙
（1）0.368˙616˙=（）/248/31/124875，
（2）0.˙=（）/612/1/832500，
（3）0. ˙18˙=18/99=2/11，0. ˙168˙=168/999=56/333，0. ˙1787˙=，
(4)0.0˙869˙=869/˙716˙=716/975，
(5)0./198/
=07=687/15=65/0，
(6)2.18=109/50，3.00，3. ˙54˙=3+（54/99）=3+（6/11）
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试验与探究：我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设=x，由=0.7777…，可知，10x﹣x=7.77…﹣0.777…=7，即 10x﹣x=7，解方程得于是得，．请仿照上述例题完成下列各题：（1）请你能把无限循环小数写成分数，即=．（2）你能化无限循环小数为分数吗？请仿照上述例子求解之．
题型：探究题难度：中档来源：江苏省期中题
解：（1）∵=x，由=0.7777…，可知，10x﹣x=7.77…﹣0.777…=7，∴写成分数，设=y，即 10y﹣y=5.555…﹣0.55555=5．∴10y﹣y=5解方程得：y=，即：=故填：；（2）∵=x，由=0.7777…，可知，10x﹣x=7.77…﹣0.777…=7，∴成分数，设=y，即 100y﹣y=73.73…﹣0.7373=73，∵100y﹣y=99y=73，解得：y=．即这个分数是．
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据魔方格专家权威分析，试题“试验与探究：我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数..”主要考查你对&&一元一次方程的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元一次方程的应用
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。列一元一次方程解应用题的一般步骤：列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：&⑴审题：理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。&&⑵设元（未知数）：找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； ①直接未知数：设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。&&⑶用含未知数的代数式表示相关的量。&&⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。&&⑸解方程及检验。&&⑹答题。&&综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。一元一次方程应用题型及技巧：列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧： （1）和差倍分问题： ①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。③基本数量关系：增长量＝原有量×增长率，现在量＝原有量＋增长量。 （2）行程问题： 基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间， 路程=速度×时间。 ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距； ②追及问题：快行距－慢行距＝原距； ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度， 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ 两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ 两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。) 323
（3）劳力分配问题：抓住劳力调配后，从甲处人数与乙处人数之间的关系来考虑。 这类问题要搞清人数的变化。例.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？（4）工程问题： 三个基本量：工作量、工作时间、工作效率； 其基本关系为：工作量=工作效率×工作时间；相关关系：各部分工作量之和为1。 例：一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？（5）利润问题： 基本关系：①商品利润=商品售价-商品进价； ②商品利润率=商品利润/商品进价×100%； ③商品销售额＝商品销售价×商品销售量； ④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量。 ⑤商品售价=商品标价×折扣率例.例：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？ （6）数字问题：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a，然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。例：有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。（7）盈亏问题：“盈”表示分配中的多余情况；“亏”表示不足或缺少部分。 （8）储蓄问题：其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；：（注意：利息税）。 本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。&（9）溶液配制问题：其基本数量关系是：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。&
（10）比例分配问题：&这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和＝总量。&还有劳力调配问题、配套问题、年龄问题、比赛积分问题、增长率问题等都会有涉及。
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