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高等数学习题课指导第三章
导数的应用
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3秒自动关闭窗口导数表 _百度百科
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对于shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的时通过查阅导数表和运用开头的与 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。使&&&&用数学领&&&&域代数
这里将几个基本的的以及它们的过程：
⒈y=c(c为常数） y'=0
⒉y=x^n y'=nx^(n-1）
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
⒋y=logax(a为底数，x为真数） y'=1/x*lna
y=lnx y'=1/x
⒌y=sinx y'=cosx
⒍y=cosx y'=-sinx
⒎y=tanx y'=1/cos^2x
⒏y=cotx y'=-1/sin^2x
⒐y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）
⒑y=arccosx y'=-1/√（1-x^2）
⒒y=arctanx y'=1/（1+x^2）
⒓y=arccotx y'=-1/（1+x^2）
⒔y=u^v ==& y'=v' * u^v * lnu + u' * u^(v-1） * v在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
⒈y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x）『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x）中把x看作变量』
⒉y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2
⒊y=f(x）的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。
⒉这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用的求导给予证明。
△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1）
△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x
如果直接令△x→0，是不能导出的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。
所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β
显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。
△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[（1+△x/x)^x]/x
△y/△x=loga[（1+△x/x)^(x/△x)]/x
因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有
lim△x→0△y/△x=logae/x。
可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1）的推导了。因为y=x^n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx·（nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1）。
△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）
△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）/△x=cos(x+△x/2）sin（△x/2）/（△x/2）
所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2）·lim△x→0sin（△x/2）/（△x/2）=cosx
⒍类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。
⒎y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
⒏y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
⒐y=arcsinx
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
⒑y=arccosx
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
⒒y=arctanx
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
⒓y=arccotx
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
①（ln(u^v))'=(v * lnu)'
②（ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)
另外在对shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数时通过查阅导数表和运用开头的与
⒋y=u土v,y'=u'土v'
⒌y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果。
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看利用导数的定义，求函数y=x+1/x在x=x.处的导数，并据此求函数在x=1处的导数。现在要答案，拜托了，急？_百度知道
利用导数的定义，求函数y=x+1/x在x=x.处的导数，并据此求函数在x=1处的导数。现在要答案，拜托了，急？
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f'(x0)=limΔx [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx=limΔx [(x0+Δx)+1/(x0+Δx)-(xo+1/x0)]/Δx=limΔx[Δx-Δx/(x0+Δx)x0]/Δx=limΔx [1-1/(x0+Δx)x0]=1-1/x0^2当x0=1时，代入有f'(1)=0
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38 复合函数的导数[法则4] 如果函数y=f(u)对u可导,函数u=g(x
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