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基于加权一阶局域法的低压PLC信道预测研究
河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）目录一 前言 ..................................................... 11.1 研究背景 .................................................1 1.2 研究意义 ..
...............................................1二 预测算法 ................................................. 32.1 基础理论介绍 .............................................3 2.1.1 低压电力线噪声序列的测量 ...............................3 2.1.2 相空间重构理论 .........................................4 2.1.3 关联维数和 G-P 算法 .....................................5 2.1.4 互信息法确定延迟时间 ...................................6 2.2 混沌时间序列预测算法介绍 .................................7 2.2.1 全域法 .................................................7 2.2.2 局域法 .................................................9 2.2.3 加权零阶局域法 ........................................10 2.3 加权一阶局域法 ..........................................11三 基于加权一阶局域法的低压电力线信道预测................... 133.1Lorenz 数据预测 ..........................................13 3.2 实验室数据的混沌特性分析 ................................15 3.3 实验室数据预测 ..........................................15四 总结 .................................................... 21 谢辞 ....................................................... 22 参考文献 ................................................... 23河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）一1.1 研究背景前言电力线载波通信（Power Line Carrier，简称 PLC） ，是利用配电网低压线路传输高速 话音信号p数据p图像等多媒体业务的一种通信方式。利用中高压电力线载波进行通信在 电力系统已有几十年历史，而低压 PLC 通信技术直到上世纪九十年代才受到广泛重视。低 压电力配电网在目前具有最大的覆盖范围， 如果目前的电力网能够可靠地进行数据、 语音、 图像等信息传输，将会大大扩大现有通信网的覆盖范围，因此而产生的经济效益将非常可 观。相比目前广泛使用的信息传输的媒介，如通信网、有线电视网以及计算机网等，低压 电力网具有投资少、覆盖面大、使用方便等优点。它可广泛地应用到 Internet 接入、安 全监控系统、工业自动化控制、家庭智能网络管理以及计算机终端接口等领域[1]。 在国外，电力线通信经历了很长的发展历史。但由于受到稳定性、干扰性等问题的困 扰，电力线通信发展缓慢，并且其应用也限制在窄带宽和低传输速率传输上。也正因此， 电力线通信技术长期被局限在与电网调度管理相关的特定专业市场应用方面，如电力负荷 的控制和监视，低速数据通信，各种自控系统和远程抄表系统，及模拟话音信号传输等。 电力线载波通信是其典型应用领域，它是在中压、高压甚至超高压电力线上，使用高频载 波信号传输信息，基本载波频带 4kHz/2.5kHz，载波频率范围 40kHz-500kHz，用于传送电 力调度电话和远动信号。进入 21 世纪后，PLC 芯片的制造技术迅速发展，它的传输速率从 原来的 1Mbit/s 发展到了 45Mbit/s。与此同时，瑞士、西班牙、德国、韩国进行了在 PLC 的产品和网络解决方案上的多项研究实验。2001 年 7 月 1 日起，德国的 RWE 公司已经把 PLC 技术正式商业化，致力于德国电力线接入市场的运营，数字化家居和电力线数字学校 的建设。根据使用的协议和核心芯片的不同，现在市场上的高速电力线通信设备的通信带 宽，通常有 2M、14M、45M 等多种标准。综合比较承载业务能力、投资经济性和成熟度， 14M 产品成为当之无愧的发展主流，也是目前得到应用最多的产品。近年来，在市场竞争 的推动下，以及新型 PLC 芯片和调制技术的出现，在传输速率和服务质量上电力线通信取 得了重大突破，已经可以在技术上实现利用电力线宽带接入网络访问 Internet 的服务、 远程视频点播、家电远程控制等数字化小区服务。21 世纪，电力线载波通信技术势必会为 通信领域做出更大贡献[2][3][4][5]。1.2 研究意义由于对信道特性的不明了，我们需要根据已得到的数据对待处理信道做出预测，估计 出其特性。这种研究方法在目前的通信领域广泛采用，并且已经应用显示出了明显的优越 性，而且已经发展成为很成熟的理论研究方法。目前有很多信道预测算法在移动信道下获 得了可靠的性能，例如最大熵方法 MEM，长距离预测算法 LRP 和 ESPR IT(Estimation Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)算法，利用卡尔曼滤波器 实现均衡器的方法，MUSIC(Multiple Signal Classification)算法，基于预测器的神经1河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）网络算法，非线性伏尔泰拉自适应预测，普朗尼算法和高阶累积量的方法，时变信道递归 最小二乘(RLS)预测算法等。其中，ESPR IT 算法利用信道模型自身的特点进行预测，然后 进行插值，算法能可靠地预测一个波长，虽然运算量较前两种方法大，但预测的精确度较 高[6]。 由于低压电力配电网恶劣的工作环境，使得通信信道衰减大、干扰强、阻抗变化复杂， 要实现安全、可靠、高速的数据通信还有许多复杂的问题需要研究和解决。信道预测显得 尤为重要，传统预测方法是通过插入导频对信道的实时观测，依据一定的模型预测信道变 化。这种方法的主要缺陷是:预测长度有限，超过一定个波长时，预测性能下降很快；导 频插入频率需大于 2 倍最大 Doppler 频率。随着通信系统载波频率的提高，信道预测在这 两方面将有更加严重的局限。预测不精确会造成信道资源的浪费，甚至导致误码率很大程 度上超出规定值，造成传输的错误，所以精确度高的预测方法能更好地保障自适应传输方 法的实际应用。虽然低压 PLC 信道特性研究已经取得了一系列成果，但存在着明显的局限 性。经过对 PLC 信道一段时间的研究，逐渐将目光聚集在混沌理论分析应用上。抛弃了之 前的动力学分析手段和数理统计手段，对电力线通信有了新的认识，将目前比较先进的混 沌理论工具应用到信道预测方面，并取得了显著成果。 传统的预测方法主要有动力学方法和数理统计方法，它们的共同特点是先建立数据序 列的主观模型，再根据建立的模型进行计算和预测。借助于混沌科学的发展，可以避免这 些可能引入的主观错误，可不必事先建立主观模型，而直接根据数据序列本身所计算出来 的客观规律进行预测，这样就避免了人为主观性，提高预测的精度和可信度。同时，已经 证明低压 PLC 系统既非纯随机系统，又非确定性系统，而是在综合特性表现为很强的不规 则性的同时，其内部显示出确定的和简单的性质。低压 PLC 系统这种貌似随机但又存在内 在规律性的系统，可以用混沌理论来描述。本课题将引入混沌理论工具，对低压 PLC 信道 进行研究，重点是在考虑电力线通信信道特性下进行信道预测，以此提高通信质量。信道 问题的解决，将为低压 PLC 技术提供新的方法论和新的技术途径，对促进低压 PLC 技术的 发展有重要的意义。本课题的成功研究也对相关项目的向前进一步发展起到极大的推动作 用。2河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）二预测算法混沌系统是一种能从复杂和无序中产生出规律和有序的系统，它介于随机和规律之 间。一个混沌系统的行为是由许多有序行为组合成的，且在一般情况下，任何一个单独的 行为均不在系统中占主导地位[7]。 混沌系统都具有“蝴蝶效应”的基本特点，所以混沌时间序列是长期不可预测的。但 这并不等于说混沌系统是绝对不可预测的。事实上在短期内，由于系统运动轨道发散应该 较小，从而完全可以利用观测资料进行短期预报。D.J.Farmer 等提出了时间延迟相空间重 构方法，Takens 用拓扑学为之奠定了坚实的基础，这种方法为时间序列预测提供了一条崭 新的途径[7]。 对混沌时间序列进行预测时，首先应该注意到混沌是确定的，即服从一定的规则。实 际上它具有有限的预测能力，同时也不可能得到完全准确的测量，然而它们的可预测能力 丢失之前，对一个短的时间长度，预测误差是比较小的，还是可以获得它们的可预测性的， 并相比基于一般统计的方法可能预测能力要好[7]。2.1 基础理论介绍首先介绍一下前期的准备理论知识，包括低压电力线噪声序列的测量，相空间重构及 与其相关的关联维数和时间延迟 ? 的计算，然后再简要介绍时间序列预测的一些方法，重 点是加权一阶局域法的预测。2.1.1 低压电力线噪声序列的测量为了研究低压 PLC 信道的混沌特性，我们需要研究对象的实体。通过下图 2-1 所示电 路测量无信号输入时低压 PLC 信道的噪声情况。0.1?FC11 :1数字存储 式示波器电网RPC机图 2-1 数据测量电路图USB接口耦合线圈匝数比为 1 : 1 ，为了将原系统的特性最大可能地耦合过来，将初级和次级线 圈绞在一起缠绕在磁芯上。 C1 为 0.1?F ，与耦合线圈一起构成高通滤波器，滤掉低频中的 工频信号。 R 是一个金属氧化变阻器(MOV)，用于过压保护，其阻值随着两端的电压而变 化。正常电压时，阻值很大；当电压远大于正常电压值时，阻值迅速变小，可以分流大部3河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）分电流，以保护后级电路，避免电容和耦合线圈被突发高电压冲击。同时，当改变 C1 的值 大小的时候， 其与 R 所组成的高通滤波器的截止频率也不同。 改变数字示波器的采样频率， 得到几组不同的 2400 点噪声数据。用 MATLAB 做出的噪声如下图 2-2。图 2-2 实验室实测噪声序列2.1.2 相空间重构理论重构相空间的目的在于在高维相空间恢复混沌吸引子。混沌吸引子体现混沌系统的规 律性，它表示混沌系统最终会落入一特定的轨迹中。系统任一分量的演化受其它与之作用 的相关分量的影响，这些相关分量的信息隐含在该分量的发展过程中。因此，可从某分量 的一批时间序列中提取恢复出系统原规律，而这种规律存在于高维空间中。在实际中得到 的经常是间隔为 ? t 的单变量时间序列 {x1 , x 2 ,?, x N } ，它是一维时间序列。这个序列是许多 物理因素相互作用的综合结果，包含着全部参与运动的信息的变化，直接从这个序列分析 其时间演变往往并不能得到令人满意的结果。所以，必须将该时间序列扩展到高维的相空 间中，在高维相空间把它蕴涵的信息充分显露出来，这就是时间序列的相空间重构，即由 低维时间序列重构出一个多维的确定性相空间，这就是研究混沌时间序列的基础。 如果得到的时间序列具有混沌特性，是由混沌轨迹(混沌吸引子)相互拉伸和折叠，对 应而成的时间序列，具有自相似的结构，由于策动因素的影响，该时间序列的各个点是相 互关联的。Packard 提出了用原始系统中某变量的延迟坐标来重构相空间的方法。Takens 证明了可以找到一个合适的嵌入维，如果延迟坐标的维数 m ? 2d ? 1 ( d 是动力系统维数) 时， 在这个嵌入空间中可以把原系统有规律的轨线(吸引子)恢复出来。 也即在重构的 R 空 间中的轨线上与原动力系统保持微分同胚。 在介绍 Takens 定理之前，首先先介绍两个定义。 定义 1 设 ?N , ? ? ， ?N1 , ?1 ? 两个度量空间，如果存在映射 ? : N ? N1 满足：(1) ? 满 射;(2) ? ( x, y) ? ?1 (? ( x), ? ( y)) (? x, y ? N ) ，则称 ?N , ? ? ， ?N1 , ?1 ? 是等距同构的[7]。 定义 2 如果 ?N1 , ?1 ? 于另一个度量空间 ?N 2 , ? 2 ? 的子空间 ?N 0 , ? 2 ? 是等距同构的，则称m4河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）?N1 , ?1 ? 可以嵌入 ?N 2 , ? 2 ?Takens 定理[7]。设 M 是 d 维流形， ? : M ? M ，其中 ? 是一个光滑的微分同胚，y : M ? R ， 其 中 y 具 有 二 阶 连 续 的 微 分 ， ? (? , y) : M ? R 2 d ?1 ， 其 中? (? , y) ? ( y( x), y(? ( x)), y(? 2 ( x)), ?, y(? 2 d ( x))) ，则称 ? (? , y) 是 M 到 R 2 d ?1 的嵌入[7]。根据 Takens 定理，一维时间序列 {x1 , x2 ,?, x N } ，若能取得合适的嵌入维数 m 和延迟时 间 ? ，就可以得到重构的相空间Yi ? [ xi , xi ?? ,?, xi ?( m?1)? ] , i ? 1, 2 ,? N(2.1)由 Takens 定理，就可在拓扑等价的意义下恢复原来系统的动力学特性。在得到的重构相空 间中可以计算原系统的一些不变量， 如分维数等， 这样就可以判断时间序列 {x1 , x2 ,?, x N } 的 性质。 在重构相空间时，需要选择合适的时间延迟 ? 和嵌入维数 m ，这在重构过程中是非常 重要的，但这也是最困难的。有观点认为二者之间没有什么关系，而同样有观点认为二者 的选取相互依赖。另外，参数的选取方法也是不同的。在此，我们采用互信息法求延迟时 间 ? 。而对于参数 m ，为了求取时间序列的饱和关联维数，用 G-P 算法，可让嵌入维数 m 从一个较小值开始逐渐增大到一定范围，当关联维数不再大幅度波动时， m 不再变化，就 可以得到关联维数，也就得到相应的嵌入维数[7]。2.1.3 关联维数和 G-P 算法非线性系统的相空间的维数可能很高， 有的甚至是无穷， 有时还不能确定维数是多少， 而混沌吸引子的维数一般都低于相空间的维数。为得到相空间的维数，我们使用一个时间 间隔一定的时间序列，构造其相应的 m 维的矢量，就可支起一个嵌入空间。根据之前介绍 的 Takens 定理，当嵌入维数 m 足够大，大于 2d ? 1( d 是吸引子的维数)时，就可以在拓扑 等价意义下恢复原系统的动力学特性[7]。 基于此，Grassberger 和 Procaccia 在 1983 年提出了由时间序列计算吸引子关联维数的 一种方法，也就是以他们名字命名的 G-P 算法。 对于时间序列 ?x1 , x2 , x3 ,? x N ?，在得到时间延迟 ? 和嵌入维数 m 的基础上，先利用延 迟时间的方法对其进行嵌入维为 m 的相空间重构，得Yi ? ?xi , xi ?? , x i ? 2? ,?, xi ?( m?1)? ?, i ? 1, 2 , 3 , ? N(2.2)然后定义矢量之间的距离，在这里采用两个矢量的最大的分差量作为距离，即| Yi ? Y j |? ma x | Yik ? Y jk | 。并称距离小于一个正数 r 的量为有关联的矢量。1? k ? m设相空间中共有 N 个矢量点，在最多有 N 2 个可能的有关联矢量。设定距离为 r ，称计5河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）算有关联的矢量占所有的 N 2 种可能的矢量配对中的比例的式子为关联积分。即1 C m (r ) ? 2 Ni , j ?1? ?r ? ? | Y ? Y |?N i j(2.3)其中 ? 为 Heaviside 函数，当 r ? 0 时， ?(r ) ? 1 ;当 r ? 0 时， ?(r ) ? 0 。 从上式的计算中可以看出， r 的选取是得到合适的关联积分的关键。如果 r 选的不合 适将直接影响能不能正确的反映系统的内部联系。 r 的某个适当的范围内， C m (r ) 与 r 存 在 在以下近似关系C m (r ) ? r D2(2.4)其中 D2 即关联维数，这时它能够正确地描述混沌系统内部混沌吸引子的自相似结构。 由上式可知D2 ? ln C m (r ) ln r(2.5)在实际应用当中，我们通常让 m 值从小到大在一定范围变化，由 Takens 定理可知，当 通过的做法是做出 ln C(r ) ~ ln r 图， 找到最佳拟和线性区间， m ? 2D ? 1 时，D 值不再变化。 对该区间拟合得到的直线斜率就是 D2 的值。 关联维数是混沌系统非常重要的一个特征参量，是系统复杂度的估计，对于相空间重 构时嵌入维的选取有着重要的参考价值。2.1.4 互信息法确定延迟时间根据前面的内容， 延迟时间的选取对相空间重构同样重要， 要得到正确的重构相空间， 延迟时间 ? 必须能够使得重构相空间的各分量保持独立。其计算有两种方法：自相关函数 法和互信息法。由于两种方法得到的结果相差不大，本课题只介绍并采用自相关函数法。 自相关函数法与互信息类似，互信息为I ( X , Y ) ? H ( X ) ? H (Y ) ? H ( X , Y )它作为一个总体关联量，相似于线性相关系数 r 。 将时间序列 {x1 , x2 ,?, x N } 延迟时间 ? 后，形成序列(2.6){ y1 , y 2 ,?, y N ?? } ? {x1?? , x2?? ,?, x( N ?? )?? } 。 先对这两个数列做归一化处理(0 均值， 振幅为 1)，再分别计算各自的概率 P( xi ) ，P( y j ) 及联合概率 P( xi , y j ) 。 然后， 对于不同的延迟时间 ? 分6河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）别计算其互信息 I (? )I (? ) ? H ( X ) ? H (Y ) ? H ( X , Y ) ? ?? P ( xi ) ln P ( xi ) ? (? ? P ( y j ) ln P ( y j ))i ?1 j ?1 N N ??(2.7)? (? ? P ( xi , xi ?? ) ln P ( xi , xi ?? ))i ?1N ??最后， 绘出 ? ~ I (? ) 的曲线图。 图中当曲线第一次降低到极小值时， 将其对应的延迟时间 ? min 作为最佳延迟时间 ? 的取值。如图 2-3 所示，使用实验室数据得到其 ? ? 2 。图 2-3 互信息法求 ?2.2 混沌时间序列预测算法介绍混沌时间序列预测的常用方法有：全域法、局域法、加权零阶局域法、加权一阶局域 法等的时间序列预测方法[7]。2.2.1 全域法设嵌入维数为 m ，时间延迟为 ? ，对时间序列 x(t )，t ? 1， ? 重构相空间为 2，Y (t ) ? ( x(t ), x(t ? ? ), ?, x(t ? (m ? 1)? )) ? R m，t ? 1,2,?，N 。 根据Takens定理， 当嵌入维数 m及时间延迟 ? 选取的合适时，在微分同胚意义下，重构的相空间在嵌入空间中的“轨线” 与原系统“动力学等价” 。据此，存在一个光滑映射 f : R m ? R m ，相空间轨迹为Y (t ? 1) ? f (Y (t ))，t ? 1,2?上述映射表示成时间序列为( x(t ? ? )，x(t ? 2? )， ，x(t ? m? )) ? f ( x(t )，x(t ? ? )， ，x(t ? (m ? 1)? )) ? ?(2.8)采用相空间重构来预测时间序列有多种方法，根据拟合相空间中吸引子的方式可分为7河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）全域法和局域法两种[7]。全域法是把轨迹中的全部点作为拟合对象，找出其规律，也就是 得到 f (?) ， 根据它来预测轨迹的走向。 理论上这种方法是可行的， 但实际数据总是有限的， 而且对应的相空间轨迹可能很复杂，这样就不可能求出真正的映射 f 。通常采用由给定的 数据构造映射 f : R m ? R m ，并使 f 逼近理论的 f ，即t ?0? ? ??[Y (t ? 1) ? f (Y (t ))] 2?N?(2.9)达到最小值的 f : R m ? R m 。但是在具体计算中要规定具体的 f 的形式。 在维数 d 较低时，用较高阶的多项式进行全域近似我们还可以考虑；但若 d 较高时， 高阶多项式已不适用，通常采用的是使用一阶线性模型，即典型自回归分析xt ?1 ? ? at xt ?1?i ? Ai ?1d(2.10)然而系统往往是非线性的，于是令A ? k? t ?1(2.11)其中 A 表示系统未知部分的影响。其中 ? t 是一个服从 N (0,1) 分布的高斯随机变量， k 是用 来调整随机性引入的强度的一个较小的定常因子。ai (i ? 1，?，d ) 是从时间序列本身求出来的，并且为了使得 A 部分的影响尽量达到最 2，小，则可以使得系统的 a i 实现下式的误差平方和最小Qd ? ? ( xt ? ? ai xt ?i ) 2t ?d i ?1 N d(2.12)对每个 a i 求偏导并令它等于零，则有i ?1? ai ( ? xt ?i xt ? j ) ? ? xt xt ? j，j ? 1， ?，d ) ( 2，t ?d t ?ddNN(2.13)变形之后，得到i ?1? ai C (i ? j ) ? C ( j )，j ? 1， ?，d ) ( 2，d(2.14)2， 其中 C (i ? j ) 、 C ( j ) 是自相关函数，由式（2.14）可以求出系数 ai (i ? 1，?，d ) 。再回头看式（2.12） ，考虑 A 部分，可以令 k ? 则式（2.12）的预测能力较高。Qd ，已知 ? t 是服从高斯分布的随机的变量， N ?d全域法预测的缺点显而易见：往往计算比较复杂，尤其是在嵌入维数很高或者 f 很复?8河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）?杂时。由于混沌只能是由非线性系统产生， f 常取有理式、多项式等形式，这对较低的嵌 入维数是可行的。但如果系统的嵌入维数较高，再用高阶多项式很不实际，因此常用典型 的线性回归分析方法。此外，如果系统的嵌入维数较高，重构相空间预测算法的预测精度 就会迅速下降。这是因为当嵌入维数越高时，预测算法所利用的信息的历史越长，而对于 Lyapunov指数谱具有正分量的动力系统所生成的混沌时间序列，历史对未来的影响是依时 间指数衰减的，所以预测精度会下降。 由此可以看出，一般全域法适用于 f 不是很复杂，同时噪声干扰比较小的时候。对于 其他情况，我们可以考虑即将提到的局域预测法。2.2.2 局域法顾名思义，所谓局域法是将相空间轨迹的最后一点作为中心点，把与中心点距离最近 的若干轨迹点作为相关点，然后对这些相关点作出拟合，根据拟合结果再估计下一点的走 向，最后在预测出的轨迹点的坐标中分离出所需要的预测值。相对于全域法来说，局域法 更适用于大多数情况。 首先介绍一阶近似， 它是指以 Y (t ? 1) ? a ? bY (t ) 来拟合第n点周围的小邻域。 下面就用? 一阶近似拟合的局域法来简单说明局域法的预测方法。 设等n点的邻域包括点 t1，t 2， ，t p ，则上式可表示为?Y (t1 ? 1) ? ?Y (t1 ) ?Y (t ? 1) ? ? ? 2 ? ? a ? b ?Y (t 2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?Y (t p ? 1)? ?Y (t p ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2.15)根据最小二乘法，可以求解到 a ， b ，然后通过 Y (n ? 1) ? a ? bY (n) 得到相空间中的轨 迹趋势，再从 Y (n ? 1) 中分离出预测值。 由于零阶局域法在实际应用中具有较大的局限性，一般将阶数提高到更高阶来做近 似， 常用的是一阶局域法。 一个显而易见的问题就是在预测过程中如何确定参考点的个数， 其实， 并不需要太多的点， 甚至于太多的点数反而会影响预测的效果， 一般而言选 k ? m ? 1 即可。 一阶近似的优点是要拟合的参数随嵌入维数的递增而增加缓慢，其缺点是一阶近似是 线性的近似。但还会碰到更复杂的情况，如有时增加局域法的阶数并不一定能保证精度就 高，这时就可采用分段线性方法提高预测精度。 同时，还要注意到在局域法中，在将中心点邻域中的几个点进行拟合时，没有考虑邻 域中各点与中心点的空间距离这个参数，而此参数却是决定着预测的准确性。因此，为了9河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）实现在一定程度上提高预测精度，可将此参数作为一个拟合参数引入预侧过程，且还有一 定的消噪能力[7]。2.2.3 加权零阶局域法在上述局域法预测算法中，找到中心点的邻域之后，便将邻域中的几个点进行拟合， 而没有考虑邻域中各点与中心点之间的空间距离对预测的影响。但是，相空间中各点与中 心点之间的空间距离是一个非常重要的参数，往往与中心点的空间距离最近的那几个点决 定着预测的准确性。因此，为了在一定程度上可以提高预测的精度，将中心点的空间距离 作为一个拟合参数引入预测过程，并它还有一定的消噪能力。改进后的相空间轨迹的加权 零阶局域预测为Y'??Yi ?1 N i ?1Nkie ?l ( d i ? d m )l ( di ?d m )?e（2.16）其中 Y ' 是预测得到的空间轨迹点， Yki 表示为中心点 Yk 邻域中的各点， N 表示邻域中 点的数目， d i ， d m 分别表示邻域中各点到中心点的空间距离和最小空间距离。可以看出， 邻域中的点到中心点的空间距离越小，则它在预测中所占的比例就越大。 l 为参数，一般 情况下 l ? 1 。 加权零阶局域法的具体算法简述为： (1)预处理。 (2)重构相空间。 (3)寻找邻近点。 (4)计算出 Y (M ? 1) 。据上述（2.16）式有Y ( M ? 1) ??Yi ?1 q i ?1qMie ?l ( d i ? d m )（2.17）?e?l ( d i ? d m )(5)从 Y (M ? 1) 中得到 x(M ? 1) 的预测结果。由式（2.17）得到Y (M ? 1) ? ( x(M ? 1)，x(M ? 1 ? ? )， ，x(M ? 1 ? (m ? 1)? )) ?(2.18)在进行一点预测时，将 ? ? 1 代入式（2.18）即可得到 x(M ? 1) 的预测值。 通过进行大量的数值实验和应用，结果表明这种加权零阶局域法的预测效果要好于零 阶局域法[7]。10河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）2.3 加权一阶局域法大量的数值实验和实际应用表明：一般情况下，局域法的预测效果好于全域法；一阶 局域法的预测效果好于零阶局域法；加权零阶局域法在这几种方法中预测效果最好。设想 加权一阶局域法的预测效果应当比一阶局域法和加权零阶局域法的预测效果要好。基于此 设想，我们提出了加权一阶局域法的思想，并且通过数值实验证实其预测效果确实要明显 优于一阶局域法和加权零阶局域法[7][8][9][10][11]。? 设中心点 Yk 的邻近点为 Yki，i ? 1，2， ，q ，且到 Yk 的距离分别为 d t ，设 d m 是 d i 中的最小值，定义各个邻近点 Yki 的权值为Pi ? exp( ?a(d i ? d m ))i ?1 q(2.19)? exp( ?a(d i ? d m ))2? a 为参数，一般取 a ? 1 。则一阶局域线性拟合为 Yki ?1 ? ae ? bYki，i ? 1， ， ，q1， 1) 其中， e ? (1，?，T当嵌入维数 m ? 1 时，运用加权最小二乘法有i ?1? Pi ( xki ?1 ? a ? bxki ) 2 ? minq(2.20)虽然可直接求解上述方程，但我们通常不采用，而是将其转化为更方便的普通最小二 乘法模型。这样，所有最小二乘法的结论就均适用于加权最小二乘法。此即加权一阶局域 法。 加权一阶局域法的具体算法表述如下[7][12][13][14][15]： (1)重构相空间。由G-P算法计算得到时间序列的关联维数 d ，再根据Takens定理选取 嵌入维数 m ? 2d ? 1 ，得到重构的相空间为Y (t ) ? ( x(t ), x(t ? ? ), ?, x(t ? (m ? 1)? )) ? R m，t ? 1,2,?，M ，其中 M 为重构相空间点的个数， M ? N ? (m ? 1)? 。 (2)寻找邻近点。计算相空间中各点与中心点 Yk 之间的空间距离，找出 Yk 的参考向量? 集 Yki，i ? 1，2， ，q ，并且点 Yki 与 Yk 间的距离为 d i ，设 d m 是 d i 中的最小值，定义点 Yki的权值为Pi ? exp( ?a(d i ? d m ))i ?1? exp( ?a(d i ? d m ))q(2.21)a 为参数，一般取 a ? 1 。(3)进行计算预测。一阶加权局域法线性拟合为11河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）?Yk1?1 ? ?e Yk1 ? ?1 ? ?Y ? ?e Y ? ? ? ? k 2?1 ? ? ? k 2 ? ?a ?，其中e ? ?1 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?b ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?Ykq ?1 ? ?e Ykq ? ?1 ? m ? ? ? ?(2.22)下面讨论 m ? 1 的情况， m ? 1 的情况类似，即? x k1?1 ? ?e x k1 ? ? x ? ?e x ? ? k 2?1 ? ? ? k 2 ? ?a ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?b ? ?? ? ? ? ? ? x kq ?1 ? ?e x kq ? ? ? ? ?(2.23)应用加权最小二乘法有i ?1? Pi ( xki ?1 ? a ? bxki ) 2 ? minq(2.24)将(2.24)式看成是关于未知数 a ， b 的二元函数，对两边求偏导可得?q ?? P ( x ? a ? bxki ) ? 0 ?i ?1 i ki ?1 ?q ?? P ( x ? a ? bx ) x ? 0 ki ki ?i ?1 i ki ?1 ?(2.25)化简后，得到关于未知数 a ， b 的方程组为q q ? q 2 a ? Pi x ki ? b ? Pi x ki ? ? Pi x ki x ki ?1 ? i ?1 ? i ?1 i ?1 ? q q ?a ? b ? P x ? ? P x i ki i ki ?1 ? i ?1 i ?1 ?(2.26)解方程组(2.26)得到 a ， b 的解，然后代入(2.22)式。? (4)根据预测公式进行预测。其中，参考向量集为 Yki，i ? 1，2， ，q 的一步预 2? 测， Yki ?1，i ? 1， ， ，q 。12河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）三基于加权一阶局域法的低压电力线信道预测3.1Lorenz 数据预测为了验证算法的有效性，首先使用具有典型混沌特性的 Lorenz 数据来证实。根据算 法，首先要计算出 Lorenz 数据的关联维数。本课题采用 MATLAB 编程实现，计算结果如下 图 3-1 所示。图 3-1计算 Lorenz 数据关联维数由上图中 ln_ C (r ) ? ln_ r 图可以看出， 线性区域在[18:25]之间， 对这段区域进行拟合。 运行程序后得到关联维数 d ? 2.5052 ，嵌入维数 m ? 2d ? 1 ? 6 。同样采用编程计算延迟时 间，如图 3-2，得到 ? ? 17 。图 3-2 计算延迟时间利用之前提到的重构相空间理论进行重构。在重构相空间中找到中心点的邻近点矢量 集，计算各自的权值，编程实现算法，就可进行预测。 我们选用 3000 个数据，使用 2900 个点作为已知点来预测之后的 100 个点。采用单步 预测方式，第一步，以 2900 个点作为已知点，预测第 2901 个点，将预测得到的数据存入13河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）MATLAB 矩阵 A 当中的第一个点，原始的第 2901 个点存入矩阵 B 的第一个点；第二步，以 2901 个点作为已知点，预测第 2902 个点，将预测得到的数据存入 MATLAB 矩阵 A 当中的第 二个点，原始的第 2902 个点存入矩阵 B 的第二个点。以此类推，将得到的两个各包含 100 个点的矩阵绘出图形，观察预测的结果与原始数据的差异。两组数据的部分数据对比如下 表 1，结果如下图 3-3 所示。表 1 部分原始数据与预测数据比较表 点位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原始 数据 23.493 23.223 22.975 22.751 22.552 22.379 22.235 22.121 22.039 21.992 预测 数据 23.413 23.143 22.882 22.672 22.494 22.291 22.18 22.062 21.991 21.95 误差百分 比(小数) 0..........00191 点位置 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 原始 数据 27.561 28.199 28.823 29.423 29.987 30.505 30.966 31.362 31.686 31.934 预测 数据 27.659 28.311 28.949 29.558 30.127 30.641 31.094 31.475 31.769 31.992 误差百分 比(小数) 0.97 0.59 0.46 0.6 0.82图 3-3 Lorenz 原始数据与预测数据比较图结合表 1 与图 3-3，我们可以得出这样的结论：加权一阶局域法在用于预测混沌数据 时具有有效性，从数据分析可以看出其绝对误差百分比的小数形式在 10-3 数量级内，均方 误差 MSE 为 0.0045，可以认为预测真实可信，这一分析充分证实了加权一阶局域法在预测 混沌数据的有效性。14河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）3.2实验室数据的混沌特性分析接下来对实验室(河北大学C2楼210室)测得的数据进行分析，根据之前实验室对数据 的分析及发表的相关论文资料(见参考文献[16])的论证，证实本课题所采用的数据真实可 信，并且具有混沌特性。在此，不再赘述其验证过程，仅将其作为已知数据来运用。这里 只给出噪声图，见第二部分的图2-2。3.3实验室数据预测上述两节已经证实了加权一阶局域法的有效性及实验室数据的混沌特性。运用加权一 阶局域法的算法，可以对实际测得的低压电力线通信信道值进行预测研究。以此，我们可 以从加权一阶局域法算法的实际应用，更加直观认识到算法的优劣。用实验室测得的数据 进行预测，实验室的一组数据为2400个点，我们使用2300个点作为已知点，对剩下的100 个点进行预测，再将预测得到的值与实际测得的数据进行比较分析，计算两者误差，从而 得到预测算法的精度。本课题中，我们采用MATLAB编程工具来实现加权一阶局域法算法。 通过编程实现软件上的模拟，由此认识算法的优劣[16] [17][18][19][20]。分析实验室测得的不同采 样间隔的数据， 分别进行预测， 研究其不同之处。 实验数据分别为data11、 data21和data51， 采样间隔分别为 5?s 、 10 ?s 和 25 ?s 。 根据加权一阶局域法算法，首先需要根据G-P算法求出关联维数。由之前介绍的相关 基础理论，我们可以通过MATLAB求出关联维数。三组数据分别如下图3-4，3-5和3-6。图3-4 实验室数据data11的关联维数对于data11，由图3-4可以看出 ln_ r 和 ln_ C 线性区在[18:25]范围内，对这段进行拟 合之后可得到直线，该直线的斜率即为关联维数 d ? 4.0764 ，相应的嵌入维数m ? 2d ? 1 ? 9.1258 ，取 m ? 10 。延迟时间 ? ? 9 。15河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）图3-5 实验室数据data21的关联维数对于data21，由图3-5可以看出 ln_ r 和 ln_ C 线性区在[18:25]范围内，对这段进行拟 合之后可得到直线，该直线的斜率即为关联维数 d ? 5.1684 ，相应的嵌入维数m ? 2d ? 1 ? 11.3368 ，取 m ? 12 。延迟时间 ? ? 3 。图3-6 实验室数据data51的关联维数对于data51，由图3-6可以看出 ln_ r 和 ln_ C 线性区在[18:25]范围内，对这段进行拟 合之后可得到直线，该直线的斜率即为关联维数 d ? 5.2611 ，相应的嵌入维数m ? 2d ? 1 ? 11.5222 ，取 m ? 12 。延迟时间 ? ? 2 。重构相空间之后我们需要找出中心点的临近点集，它有 m ? 1个点，根据之前的公式得16河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）到权值，编程实现信道预测。 下面我们来具体研究实验室单步预测时加权一阶局域法的性能。以预测data11数据为 例，该组数据包含2400个数据。第一步，使用其中的2300个点作为已知点，来预测第2301 个点， 将预测得到的数据存到一个预测数据矩阵A中的第一位， 同时也将原始数据的第2301 个点存到另外的一个原始数据矩阵B当中的第一位。第二步，将原始数据的2301个点作为 已知点，来预测下一步，即第2302个点，将预测得到的数据放到矩阵A的第二位，同时再 将原始数据的第2302位放到矩阵B当中的第二位。以此类推，我们可以得到一个包含100个 点的预测数据矩阵A和一个包含100个点的原始数据矩阵B。通过MATLAB我们可以将两个矩 阵绘到一个图中，图3-7、3-8和3-9分别为实验室数据data11、data21和data51进行100点 预测的数据与原始数据的对比图，数据对比分别如表2、表3和表4。图3-7 data11原始数据与预测数据比较 表2 实验室data11数据对比 点位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原始 数据 -0.08 -0.06 -0.06 -0.04 -0.04 -0.04 -0.04 -0.04 -0.04 -0.04 预测 数据 -0.009 -0.043 -0.055 -0.069 -0.096 误差百分 比(小数) 0....525 0..875 0..050917点位置 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100原始 数据 -0.04 0.04 0.06 0.08 0.14 0.18 0.22 0.24 0.24 0.24预测 数据 -0.028 0.898 0.02 0.62 0.32误差百分 比(小数) 0..83 0..444 0.75 0.167河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）分析data11，由图3-7和表2可以看出，用加权一阶局域法预测时，预测值和实际值差 别较小，误差百分比的小数形式基本控制在10-2和10-3之间，均方误差MSE=6.，预 测可信。图3-8 data21原始数据与预测数据比较 表3 实验室data21数据对比 点位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原始 数据 -0.28 -0.28 -0.12 0.02 0.14 0.24 0.28 0.32 0.26 0.2 预测 数据 -0.291 -0.445 0.19 0.69 0.67 误差百分 比(小数) 0...75 0.08 0.....04665 点位置 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 原始 数据 0.02 0.04 0.04 0.1 0.16 0.18 0.2 0.26 0.3 0.3 预测 数据 0.....69 0.38 0.13 误差百分 比(小数) 0.325 0.51 0...923 0.9分析data21，由图3-8和表3可以看出，用加权一阶局域法预测时，预测值和实际值同 样差别较小，误差百分比的小数形式基本控制在10-2数量级，均方误差MSE=2.， 预测可信。18河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）图3-9 data51原始数据与预测数据比较 表4 实验室data51数据对比 点位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 原始 数据 -0.08 -0.08 0.04 0.16 -0.04 -0.24 -0.32 -0.4 -0.32 -0.28 预测 数据 0...791 0...054 -0.143 误差百分 比(小数) 1.296 1.056 1....719 0.780596 点位置 24 44 45 53 69 81 129 138 145 161 原始 数据 0.04 0.08 0.16 0.2 0.24 0.24 0.04 -0.2 0.44 1.04 预测 数据 0...136 0.08 0.505 -0.36 0.64555 误差百分 比(小数) 0.1 0.15 0. 0..095 0..379279分析data51，由图3-9和表4可以看出，用加权一阶局域法预测时，预测值和实际值同 样差别较大，表4中前10个数据中误差较大，误差百分比的小数形式超过1，后面的数据基 本在零点几，均方误差MSE=0.0108，预测效果差。与此同时，我们也看到了，加权一阶局 域法具有自适应性，本身能够适应数据的变化，使得后来的数据逐渐趋近于真实数据。 相比较与Lorenz数据的预测，实验室数据data11的预测结果最好，data21次之，而 data51的效果差，结果不能令人满意，预测不准确。这说明加权一阶局域法在处理实验室 数据时存在一定的局限性，它对数据采样间隔有要求。采样间隔越小，越能反应出数据的 变化趋势，数据之间的相关性越强，间隔过大时这种相关性变差，会导致预测不准确。 再简略研究一下多步预测时的有效预测长度，以实验室数据data11为例，预测结果如19河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）图3-10，可以看出预测在开始的10步之内误差相对较小，之后的偏差较大，预测结果不可 信，有效步长约在10步内。图3-10 data11的多步预测综合上述两项实验内容，可以看出，该算法在处理典型混沌系统的数据时具有比较好 的有效性，其预测误差控制在10-3数量级内，而且我们还看到了算法的自适应性，可以认 为是比较适合的算法。在处理实验室数据时，在采样间隔比较小时，误差较小；但当采样 间隔较大时结果与预期相差比较大，虽然预测数据的总体趋势近似于实测数据的变化，然 而数值偏差大，这说明它对于一般的混沌数据的采样间隔有一定的要求。同时，在多步预 测时具有有限的步长，说明混沌系统具有长期不可预测性。参考一些文献资料发现，印证 了加权一阶局域法确实存在局限性的结论。因此，现在很多学者开始对其进行改进，如有 观点提出只用延迟矢量的第一个分量进行一阶拟合[9]，有的引入了加权度的概念改变了权 值[15]，还有通过采用矩阵、向量拟合取代单一变量拟合来修正预测模型[14]。通过对这些文 献资料的学习，发现加权一阶局域法在实际应用中还有待改进，但瑕不掩瑜，这也充分说 明了该算法在处理混沌数据方面的优良特性，同时它也是信道预测研究的重要理论方法。20河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）四总结本课题涉及电力线通信和混沌理论，由于理论知识准备不足，在对课题的认识方面花 费的时间较多，在课题开始之初遇到的困难很大。在指导老师及师兄的帮助下，通过翻阅 有关文献资料，对这一课题逐渐有了认识。由于低压电力配电网恶劣的工作环境，使得通 信信道衰减大、干扰强、阻抗变化复杂，要实现安全、可靠、高速的数据通信还有许多复 杂的问题需要研究和解决。这就对信道预测提出了很高的要求。通过借助混沌理论的细致 分析我们找到了一种比较可行且比较准确的分析预测方法，使得在一定程度上信道预测成 为可能。 近年来混沌与分形的理论发展十分迅速，通过研究和混沌系统理论，人们在很多领域 都有了比较新颖的认识，取得了可喜的成果，如:电力系统短期负荷预测，证券市场股价 波动，水文预测，计算机软件失效等方面。而对于混沌分形理论涉足到低压PLC信道分析 这一领域才刚刚起步，虽然混沌理论目前正日趋成熟，但其应用于由低压PLC信道获得的 时间序列的分析研究还需要长期深入的研究工作。本论文旨在以低压电力线信道特性研究 为基础，用混沌理论对从低压电力线上采集的时间序列数据进行研究分析，并以它为基础 进行信道预测的研究。 纵观全文，本文研究的主要方面如下： (1)介绍了电力线载波通信的一些情况，重点分析了低压PLC信道的特性，为后面的信 道预测提供了背景。 (2)介绍了混沌时间序列的一些情况，介绍了相空间重构理论和关联维数及G-P算法。 其中还涉及到用互信息法求时间序列的延迟时间 ? ，计算了时间序列的饱和关联维数，同 时说明了低压PLC信道的混沌性。重点是几种混沌时间序列的预测，尤为重要的是加权一 阶局域法，我们对比了几种算法的优劣，从中理解了加权一阶局域法特点。对不同采样间 隔的分析加深了对该算法的认识，认识到了其应用的局限性。 (3)使用MATLAB软件实现了加权一阶局域法算法等。 但是，本文需要改进的地方也有很多： (1) G－P算法的实现，但是其中 r 和线性拟合区间的选取由于没有理论的支持，而是 依赖于人眼的选择，引入了主观因素，从而不同的人得出饱和关联维数值可能是不同的。 互信息法求取延迟时间 ? 计算量很大，需要找到一种更加简便的方法。 (2)加权一阶局域法的实现方面还有很多的不足之处，在预测方面还有较大的误差， 还尚待改进。21河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）谢辞本文的研究与撰写是在王振朝教授、2007级研究生张士兵师兄的悉心指导下完成的。 在设计过程中，王老师渊博的知识，严谨、求实的治学态度，以及敏锐的学术洞察力和吃 苦耐劳的敬业精神，都使我受益非浅，我将奉为终生效仿的楷模。张士兵师兄为我提供了 很多的相关文献资料，帮我借了相关的书籍，不厌其烦地给我讲解知识，使我少走了不少 弯路，并且还一遍遍地帮我检查修改错误，使我的这篇论文的错误降到了最低。他们一丝 不苟的工作态度，勇于创新、积极进取的精神，正直坦诚的人格，宽厚待人、为人师长表 率的优秀品质，都给我留下了深刻的印象，并将对我今后的学习工作产生巨大的影响。课 题的研究工作及论文的撰写过程中，每一步都倾注了王老师和张师兄的心血。值此论文完 成之际，谨向辛勤培育和时刻关心鼓励我的王老师和张师兄致以崇高的敬意和衷心的感 谢。感谢他们这段时间中对我学业上的指导、生活上的关心与爱护，使我能够顺利完成本 课题的研究以及论文的撰写。 另外，在本课题和论文的撰写过程中，得到了许多其他老师和同学的帮助。他们对我 所遇到的问题都一一做了解答，将经验毫不保留地传给了我，在此对他们一并致谢。22河北大学 2009 届本科生毕业论文（设计）参考文献[1] Eric R.Wade and Haruhiko Harry Asada.Design of a Broadcasting Modem for a DC PLC Scheme[J].IEEE/ASME TRANSACTIONS ON MECHATRONICS,):533-540. 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