章节 第十一章 高等数学曲线积分汾和曲面积分 §1 对弧长的高等数学曲线积分分 课时 2 教 学 目 的 理解对弧长的高等数学曲线积分分的概念、性质与计算；掌握对弧长的高等数學曲线积分分的计算方法 教学 重点 及 突出 方法 对弧长的高等数学曲线积分分的计算。 教学 难点 及 突破 方法 对弧长的高等数学曲线积分分嘚计算高等数学曲线积分分与定积分的定义虽然不同，但都是和的极限且高等数学曲线积分分可化为定积分计算，且两者的性质相似高等数学曲线积分分的定义可以类似地推广到积分曲线为空间曲线弧的情形。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类）文丽，吴良大编北京大学出版社 P262-P268 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林谭泽光编,清华大学出版社，P578-P584 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 11.1 第一类高等数学曲线积分分 定义： 公式： 应用前提:1.曲线L光滑,方程可以写成为: 2.函数f(x,y,z)在L上有定义，且连续 公式变形：若L为平面曲线，L方程为y=y(x),x∈[a,b]则公式可以写成为： 对弧长高等数学曲线积分分的性质：1. 2. 3. ， （L=L1 +L2 ）L可以写成为参数形式的可直接套用公式． ２．对于平面曲线，可以用公式的变形． ３．计算中根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz． 4.当Ｌ是简单的折线段时可以将Ｌ分为几个连续线段嘚和，然后分别求积分再求和。（注意：由于折线段不连续所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则公式中的将有无意义的点． 公式推导及证明的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和最后取极限。推导过程中要用到：中值定理弧长公式及连续函数的一些极限性质． 分割：在Ｌ上插入n个分割点，令α=t0<t1<t2<…<tn=β,（t∈[α, β]）； 记d＝max（ti-ti-1），Δsi为［ti ,ti-1］上的弧长ξi为［ti ,ti-1］上任意一点． 求和：利用积分定义， 由弧长公式： 由中值定理： 其中ξi*是由中值定理确定的［ti ,ti-1］上的一点Δti= ti -ti-1；于是： 利用f(x,y,z),x/(t), y/(t), z/(t)的连续性，有： 取极限得公式： 第一型高等数学曲线积分分与定积分和重积分不同的是高等数学曲线积分分的积分区域是曲线段。第一型高等数学曲线积分 分弧长无方向性定义中的Δsi〉0。 章节 第十一章 高等数学曲线积分分与曲面积分 §2 对坐标的高等数学曲线积分分 课时 2 教 学 目 的 理解对坐标的高等数学曲线积分分的定義、性质、物理意义及计算掌握对坐标的高等数学曲线积分分的计算方法。了解其对积分路径的可加性和有方向性质两类高等数学曲線积分分的联系。 教学 重点 及 突出 方法 对坐标的高等数学曲线积分分的计算方法及物理意义 教学 难点 及 突破 方法 对坐标的高等数学曲线積分分的计算方法及物理意义。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类）文丽，吴良大编北京大学出版社 P269-P280 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林谭泽光编,清华大学出版社，P579-P584 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 11.2 第二类高等数学曲线积分分 以上这两个积分称为第二类高等数学曲线积分分。 第二类高等数学曲线积分分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形 第二类高等数学曲线积分分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j作用，在xoy平面内从点Ａ沿光滑曲线L移动到点Ｂ时变力Ｆ所做的功，即 ,其中ds=dxi+dyj 类似地可以推广到空间情形。 第二类高等数学曲线积分分的性质： 1. 2. （L=L1 +L2 ） 第二类高等数学曲线积分分的计算方法： （1） 把积分曲线的参數方程代入高等数学曲线积分分中，使其化为定积分再计算 ①??? 曲线L由方程x=x(t),y=y(t),给出则 注意：下限α对应曲线L的起点，上限β对应曲线L的终点 ②??? 曲线L由方程y=f(x),()给出，则 ③??? 曲线L由方程x=g(y),()给出则 两类高等数学曲线积分分的关系： 其中{cosα,cosβ}为有向曲线L在点(x,y)处的单位切向量（空间曲线类姒）。 章节 第十一章 高等数学曲线积分分和曲面积分 §3 格林公式及其应用 课时 2 教 学 目 的 掌握格林公式和高等数学曲线积分分与路径无关的4個等价命题利用格林公式计算第二类高等数学曲线积分分和利用高等数学曲线积分分与路径无关来计算第二类高等数学曲线积分分。 教學 重点 及 突出 方法 格林公式和高等数学曲线积分分与路径无关的4个等价命题利用格林公式计算第二类高等数学曲线积分分，利用高等数學曲线积分分与路径无关来计算第二类高等数学曲线积分分 教学 难点 及 突破 方法 利用格林公式计算第二类高等数学曲线积分分，利用高等数学曲线积分分与路径无关来计算第二类高等数学曲线积分分 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽吴良大编