概率论概率密度函数ppt与分布函数习题
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时间：2018-08-22 19:17
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概率论关于分布函数的问题X的分布函数称为F（x),求Y=-2lnF（X)的概率密度函数
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1.F(y)=P{YF^(-1)(exp(-2y))}=1-P{X=02.F(y)=0,y
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概率论与数理统计习题解答
概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 1 页 (共 96 页)第一章随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品 都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2&1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v&0} 2. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下(1) A B C (5) ABC (2) A B C (3) ABC (4) A B C(6 ) A ? B ? C(7) A B ? B C ? AC (8 ) AB ? BC ? CA3．在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生 是三年级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则 （1）事件 AB 表示什么？ （2）在什么条件下 ABC=C 成立？ （3）在什么条件下关系式 C ? B 是正确的？ （4）在什么条件下 A ? B 成立？ 解 所求的事件表示如下 （1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式 C ? B 是正确的. （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时， A ? B 成立. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 2 页 (共 96 页)4．设 P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求 P ( A B ) 解 由于 A?B = A C AB, P(A)=0.7 所以 P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 P ( A B ) = 1?0.4 = 0.6. 5. 对事件 A、B 和 C，已知 P(A) = P(B)＝P(C)＝ 求 A、B、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于 A B C ? A B , P ( A B ) ? 0, 故 P(ABC) = 0 则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) CP(AB) CP(BC) CP(AC)+P(ABC)? 1 4 ? 1 4 ? 1 1 5 ?0?0? ?0 ? 4 8 81 4，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=1 86. 设盒中有 α 只红球和 b 只白球， 现从中随机地取出两只球， 试求下列事件的概率： A＝{两球颜色相同}， B＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为 A a ? b ，有利于 A 的事件数为 A a ? Ab ，有利于 B 的事2 2 2件数为 Aa Ab ? Ab Aa ? 2 Aa Ab ,1 1 1 1 1 1则P ( A) ?A a ? Ab22Aa ? b2P(B) ?2 A a Ab Aa ? b2117. 若 10 件产品中有 7 件正品，3 件次品, （1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设 A={取得三件次品} 则P ( A) ? C33 3?1 12027 1000或 者 P ( A) ?A333?6 720.C1033 3A1 0（2）设 B={取到三个次品}, 则P ( A) ? ?.108. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语， 人会讲日语， 人会讲日语和英语， 35 32 9 人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、 日、 法三种语言中的一种， 求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率. 解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得 (1) P ( A B C ) ? P ( A B ) ? P ( A B C ) ? (2) P ( A BC ) ? P ( A B ) ? P ( A B C )? P(A ? B) ? 0 ? 1? P(A ? B)? 1 ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB )32 100?9 100?23 100 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 3 页 (共 96 页)? 1?43 100?35 100?32 100?54 1009. 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求： （1） 取到的都是白子的概率； （2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解 (1) 设 A={取到的都是白子} 则P ( A) ? C83C12C8 C4 C123 2 13?14 55? 0 .2 5 5 .(2) 设 B={取到两颗白子, 一颗黑子}P(B) ? ? 0 .5 0 9 .(3) 设 C={取三颗子中至少的一颗黑子} P ( C ) ? 1? P ( A )? 0 . 7 4 5 . (4) 设 D={取到三颗子颜色相同}P(D ) ? C8 ? C43 3C123? 0 .2 7 3 .10.（1） 人中， 500 至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？ （2）6 个人中，恰好有 4 个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解 (1) 设 A = {至少有一个人生日在 7 月 1 日}, 则P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? 364 365500 500? 0 .7 4 6(2)设所求的概率为 P(B)P(B) ? C6 ? C4 1 6 1 2? 112? 0 .0 0 7 31211. 将 C，C，E，E，I，N，S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的 概率 p. 解 由于两个 C，两个 E 共有 A 2 A 2 种排法，而基本事件总数为 A 7 ，因此有p ? A2 A2 A77 2 22 2 7? 0 .0 0 0 7 9 412. 解从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率. 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有 C 5 ? 2 中C5 ? 2 C 104 4 444取法. 设 A={4 只手套都不配对}，则有P(A ) ?? 80 21013.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 4 页 (共 96 页)率为 p i ? 少？1 1?i，i=1，2，3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多解 设 Ai = {第 i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则 P ( Ai ) ? p i ? 所以 P ( Ai ) ? 1 ? p i ?i 1? i1 1? iP ( x ? 2 ) ? P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 A 2 A3 )由于零件制造相互独立，有：P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 ) ， P ( A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 ) P ( A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 )所 以 , P ( x ? 2) ? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 2 ? 2 3 ? 1 4 ? 1 2 ? 1 3 ? 3 4 ? 11 24假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求 两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解 设 A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第 i 次击中目标}, i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式 14.P ( B ) ? P ( A B ) ? P ( AB ) ? P ( AB ) ? P ( A)P (B | A) ? P ( A ) P (( B1 ? B 2 ) | A )另外, 由于两次射击是独立的, 故 P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式 P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2， 3，4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检 查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设 Ai ={一批产品中有 i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取 10 件检查出一件次 品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意 15. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 5 页 (共 96 页)P ( B | A0 ) ? 0 P ( B | A1 ) ? P ( B | A2 ) ? P ( B | A3 ) ? P ( B | A1 ) ? C1 C 49 C 501 10 10 9 1 9?1 5C 2 C 48 C 501 9?16 49C 3 C 47 C 501 10 10 9?39 98C 4 C 46 C 50?988 2303由于 A0, A1, A2, A3, A4 构成了一个完备的事件组, 由全概率公式P ( B )??4P Ai P B( A i| ? ) ( )0 .1 9 6i?0由 Bayes 公式P ( A0 | B ) ? P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ? P ( A0 ) P ( B | A0 ) P(B) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P(B) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P(B) ? 0 .3 3 3 ? 0 .2 5 5 ? 0故P (C ) ??2P ( A i | B ) ? 0 .5 8 8i?0由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分 别为 0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这 批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概 率）. 解 设 B={三件都是好的}，A1={损坏 2%}, A2={损坏 10%}, A3={损坏 90%}，则 A1, A2, A3 是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=Ω , P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式 16.P(B) ??3P ( Ai ) P ( B | Ai )3 3 3i ?1? 0 .8 ? 0 .9 8 ? 0 .1 5 ? 0 .9 0 ? 0 .0 5 ? 0 .1 0? 0 .8 6 2 4由 Bayes 公式, 这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为P ( A1 | B ) ? P ( A2 |B ) ? P ( A3 | B ) ? P ( A i )P B ( P(B ) P ( A i )P B ( P(B ) P ( A i )P B ( P(B ) Ai | Ai | Ai | ) 0 .8 ? 0 .9 8 ? ? 0 .8 7 3 1 0 .8 6 2 43) 0 .1? 5 0 .9 0 ? ? 0 .1 2 6 8 0 .8 6 2 43) 0 .0? 5 0 .1 0 ? ? 0 .0 0 0 1 0 .8 6 2 43由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2. 17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残 次品，且含 0， 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱， 1 随意检查其中 4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 6 页 (共 96 页)次品，试求： （1）一次通过验收的概率α ； （2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β . 解 设 Hi={箱中实际有的次品数}, i ? 0,1, 2 , A={通过验收} 则 P(H0)=0.8,P ( A | H 0 ) ? 1, P( A | H1) ? P(A | H 2) ? C 23 C 24 C 22 C 244 4 4 4P(H1)=0.15,5 6 ? 95 138P(H2)=0.05, 那么有：?,(1)由全概率公式? ? P ( A) ??2P ( H i ) P ( A | H i ) ? 0 .9 6i?0(2)由 Bayes 公式 得? ? P (H i | A) ?P(H 0 ) P( A | H 0 ) P ( A) ? 0 .8 ? 1 0 .9 6 ? 0 .8 3一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为 0.1，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？ 解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是 5 重伯努 利试验. 由题意，有 p=0.1, q=1?p=0.9, 故 18. (1) (2)P1 ? P5 ( 2 ) ? C 5 (0 .1) (0 .9 )2 2 3? 0 .0 7 2 9P2 ? P5 (3) ? P5 ( 4 ) ? P5 (5 )? C 5 (0.1) (0.9) ? C 5 (0.1) (0.9) ? C 5 (0.1) (0.9) ? 0.008563 3 2 4 4 1 5 5 019.解甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为 0.6， 乙胜的概率为 0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比 赛制度下甲获胜的可能性较大？ 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为PA ? P3 ( 2 ) ? P3 (3) ? C 3 ( 0 .6 ) ( 0 .4 ) ? C 3 ( 0 .6 ) ( 0 .4 )2 2 1 3 3 0? 0 .6 4 8在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为PB ? P5 (3) ? P5 ( 4 ) ? P5 (5 ) ? C 5 ( 0 .6 ) ( 0 .4 ) ? C 5 ( 0 .6 ) ( 0 .4 ) ? C 5 ( 0 .6 ) ( 0 .4 )3 3 2 4 4 1 5 5 0? 0 .6 8 2因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大. 20. 4 次重复独立试验中事件 A 至少出现一次的概率为65 81，求在一次试验中 A 出现的概率. 解 设在一次独立试验中 A 出现一次的概率为 p, 则由题意P4 ( 0 ) ? C 4 p q0 0 4? (1 ? p )4? 1?65 81解得 p=1/3. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 7 页 (共 96 页)21.（87，2 分）三个箱子，第一个箱子中有 4 只黑球 1 只白球，第二个箱子中有 3 只黑球 3 只白球，第三个箱子有 3 只黑球 5 只白球. 现随机地取一个箱子，再从这 个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此 球属于第二个箱子的概率为解设 B ? “取出白球” A i ? “球取自第 i 个箱子” i ? 1, 2 , 3 . A1 , A 2 , A 3 是一个 ， ，P ( B | A1 ) ? 1 / 5 ， P ( B | A 2 ) ? 1 / 2 ，完 全 事 件 组 ， P ( A i ) ? 1 / 3 , i ? 1, 2 ,3 .P ( B | A 3 ) ? 5 / 8 ，应用全概率公式与贝叶斯公式P(B) ?? P(Ai ?13i) P ( B | Ai ) ?1 1 1 5 53 ( ? ? ) ? , 3 5 2 8 12020 53P ( A2 | B ) ?P ( A2 ) P ( B | A2 ) P(B)?.22. 89， 分） （ 2 已知随机事件 A 的概率 P ( A ) ? 0 . 5 ， 随机事件 B 的概率 P ( B ) ? 0 . 6 及条件概率 P ( B | A ) ? 0 . 8 ，则和事件 A ? B 的概率 P ( A ? B ) ? 解P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( A ) P ( B | A ) ? 0 . 7 .23. 90， 分） （ 2 设随机事件 A ，B 及其和事件 A ? B 的概率分别是 0 . 4 ，0 . 3 和 0 . 6 . 若 B 表示 B 的对立事件，那么积事件 A B 的概率 P ( A B ) ? 解A B 与 B 互不相容，且 A ? B ? A B ? B . 于是P ( A B ) ? P ( A ? B ) ? P ( B ) ? 0 .3 .24. （ 92 ， 3分 ） 已 知 P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ?1 161 4， P ( AB ) ? 0 ，P ( AC ) ? P ( BC ) ?，则事件 A ， B ， C 全不发生的概率为解从 P ( AB ) ? 0 可知， P ( ABC ) ? 0 .P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) P ( AB ) ? P ( AC ) ? P ( BC ) ? P ( ABC )?1 4?1 4?1 4?0?1 16?1 16?0 ?5 8. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 8 页 (共 96 页)25.（93，3 分）一批产品共有 10 件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件， 抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 解 设事件 B i ? “第 i 次抽出次品” i ? 1, 2 . 则 P ( B1 ) ? 2 / 12 , P ( B1 ) ? 10 / 12 ， ，P ( B 2 | B1 ) ? 1 / 11 , P ( B 2 | B1 ) ? 2 / 11 . 应用全概率公式 P ( B 2 ) ? P ( B1 ) P ( B 2 | B 1 ) ? P ( B1 ) P ( B 2 | B1 )?2 12?1 11?10 12?2 11?1 6.26.（94，3 分）已知 A ， B 两个事件满足条件 P ( AB ) ? P ( A B ) ，且 P ( A ) ? p ， 则 P(B) ?解P ( A B ) ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB ). 因 P ( AB ) ? P ( A B ) ，故有P ( A ) ? P ( B ) ? 1, P ( B ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ? p .27.（06，4 分）设 A ， B 为随机事件，且 P ( B ) ? 0 ， P ( A | B ) ? 1 ，则必有（ A． P ( A ? B ) ? P ( A ) B． P ( A ? B ) ? P ( B ) C． P ( A ? B ) ? P ( A ) D． P ( A ? B ) ? P ( B ) 解 选（C））28.（05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X ，再从 1，2，?， X 中任 取一个数，记为 Y ，则 P (Y ? 2 ) ? 解 填13 48 .29.（96，3 分）设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1 % 和 2 % ，现从由 A 和 B 的产品分别占 60 % 和 40 % 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品 属 A 生产的概率是 解 设事件 C ? “抽取的产品是次品” 事件 D ? “抽取的产品是 A 生产的” 则 D ， ， 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 9 页 (共 96 页)表示“抽取的产品是工厂 B 生产的”. 依题意有P ( D ) ? 0 . 60 , P ( D ) ? 0 . 40 , P ( C | D ) ? 0 . 01 , P ( C | D ) ? 0 . 02 .应用贝叶斯可以求得条件概率P(D | C ) ? P ( D ) P (C | D ) P ( D ) P (C | D ) ? P ( D ) P (C | D ) ? 0 . 6 ? 0 . 01 0 . 6 ? 0 . 01 ? 0 . 4 ? 0 . 02 ? 3 7 .30.（97，3 分）袋中有 50 只乒乓球，其中 20 只是黄球，30 只是白球，今有两人依 次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件 Ai ? “第 i 个人取得黄球” i ? 1, 2 . 根据题设条件可知 ，P ( A1 ) ? 20 50 , P ( A1 ) ? 30 50 , P ( A 2 | A1 ) ? 19 49 20 50 , P ( A 2 | A1 ) ? 20 49 2 5 .应用全概率公式P ( A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 | A1 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 | A1 ) ? ? 19 49 ? 30 50 ? 20 49 ? .31.（87，2 分）设在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p 。现进行 n 次独立试验， 则 A 至少发生一次的概率为 解 ；而事件 A 至多发生一次的概率为 .由于每次试验中事件 A 发生的概率都是 p ，并且 n 次试验相互独立. 这是 n 重伯努利试验概型. 若 B i ? “ n 次试验中事件 A 发生 k 次” ，则P ( B k ) ? C n p (1 ? q )k k n?k, k ? 0 ,1, 2 , ? , n .事件 A 至少发生一次的概率为1 ? P ( B 0 ) ? 1 ? (1 ? p ) .n事件 A 至多发生一次的概率为P ( B 0 ) ? P ( B1 ) ? (1 ? p ) ? np (1 ? p )n n ?1.32.（88，2 分）设三次独立实验中，事件 A 出现的概率相等. 若已知 A 至少出现一 次的概率等于 解19 27，则事件 A 在一次试验中出现的概率为.设事件 A 在一次试验中出现的概率为 p ，这是一个 3 重伯努利试验概型. 因此3在三次独立试验中，事件 A 至少出现一次的概率为 1 ? (1 ? p ) . 依题意，有1 ? (1 ? p ) ?319 27,解之得 p ? 1 / 3 . 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 10 页 (共 96 页)33.（89，2 分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5. 现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 解 设事件 A ?“甲射中” B ?“乙射中” 依题意 P ( A ) ? 0 . 6 , P ( B ) ? 0 . 5 , A 与 B ， ，相互独立. P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) ? 0 . 3 . 因此P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB ) ? 0 . 8 ,P ( A | ( A ? B )) ?P ( A ( A ? B )) P(A ? B)?P ( A) P(A ? B)? 0 . 75 .34. （ 98 ， 3 分 ） 设 A ， B 是 两 个 随 机 事 件 ， 且 0 ? P ( A ) ? 1 ， P ( B ) ? 0 ，P ( B | A ) ? P ( B | A ) ，则必有（）A． P ( A | B ) ? P ( A | B ) B． P ( A | B ) ? P ( A | B ) C． P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) D． P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) 解 应用条件概率定义，从 P ( B | A ) ? P ( B | A ) 可得P ( AB ) P ( A) ? P(A B) P(A),即(1 ? P ( A )) P ( AB ) ? P ( A )( P ( B ) ? P ( AB ))化简得 P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) ，应选（C）35.（99，3 分）设两两相互独立的三事件 A ， B 和 C 满足条件： ABC ? ? ，P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ? 1 2，且已知 P ( A ? B ? C ) ?9 16，则 P ( A ) ?解由于 A ， B ， C 两两独立，且 P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) ，所以 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 11 页 (共 96 页)P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) ? ( P ( A )) ,2P ( AC ) ? P ( A ) P ( C ) ? ( P ( A )) ,2P ( BC ) ? P ( B ) P ( C ) ? ( P ( A )) ,2P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) ? P ( AB ) ? P ( AC ) ? P ( BC ) ? P ( ABC )? 3 P ( A ) ? 3 ( P ( A )) .3依题意，有3 P ( A ) ? 3 ( P ( A )) ?29 16,( P ( A )) ? P ( A ) ?23 16? 0解之，得 P ( A ) ? 1 / 4 ,P ( A ) ? 3 / 4 （舍去）36.（00，3 分）设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P ( A ) ? 解1 9， A 发生 B 不依 题 意 P ( A B ) ? P ( A B ) ， 故 P ( AB ) ? P ( A B ) ? P ( AB ) ? P ( A B ).即P ( A ) ? P ( B ).又因 A 与 B 独立，故 A 与 B 独立.P ( A B ) ? P ( A ) P ( B ) ? ( P ( A )) ? 1 / 9 .2解得 P ( A ) ? 1 / 3 ,P ( A) ? 2 / 3 .37.（07，4 分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p ，0 ? p ? 1 ，则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为（）A． 3 p (1 ? p ) B． 6 p (1 ? p )222C． 3 p (1 ? p ) D． 6 p (1 ? p )222解选（C）6 538.（88，2 分）在区间 ( 0 , 1) 中随机取两个数，则事件“两数之和小于”的概 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 12 页 (共 96 页)率为解这是一个几何概型的计算问题. 设 x , y 分别表示在区间 ( 0 , 1) 中随机地取两个数，则试验的样本空间 ? 为第一象限中的单位正方形区域，即? ? {( x , y ) | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1}. 设 事 件 A ? “ 两 个 数 之 和 小 于6 5” 则 ，A ? {( x , y ) | x ? y ?6 5, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1} . 由于点落在 ? 内的任何区域的概率与区域的面积成正比，故P ( A) ? SA S? ?1? 1 4 2 17 ( ) ? , 2 5 25其中 S A 与 S ? 分别表示集合 A 与集合 ? 的面积.39.（91，3 分）随机地向半圆 0 ? y ?2 ax ? x2（ a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴的夹 ? 角小于 的概率为4解设事件 A ? “掷的点和原点连线与 x 轴夹角小于?4” ，这是一个几何概型的计算问题. 由几何概率公式P ( A) ? SD S?其中S D ? S ? ABC ? S 1 / 4 circle ?1 a ?21 2a ?21 4?a ,2S? ?1 2?a .21 4?a2故 P ( A) ? 21 2?1 2?1a2?.40.（07，4 分）在区间 ( 0 , 1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为 解 参考 38 题解得这两个数之差的绝对值小于1 21 2的概率为 .43 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 13 页 (共 96 页)第二章 随机变量及其分布1. 有 10 件产品，其中正品 8 件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数 X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示： X 0 1 2 p 28/45 16/45 1/453 4 1 42. 进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：?1? P(X ? k) ? ? ? ?4?k ?1?3? ? ? , k ? 1, 2, 3, ? ?4?X 取偶数的概率：P{ X 为 偶 数 } ??k=1??1? P ( X ? 2k ) ? ? ? ? k=1 ? 4 ??2 k ?1?3? ? ? ?4?k 1 ? ? 1 ? 16 ? 1 ? 3? ? ? 3? ? 5 1? 1 k=1 ? 1 6 ? 163. 从 5 个数 1，2，3，4，5 中任取三个为数 x1 , x 2 , x 3 .求： X＝max ( x1 , x 2 , x 3 )的分布律及 P(X≤4)； Y＝min ( x1 , x 2 , x 3 )的分布律及 P(Y&3). 解 基本事件总数为： C 5 ? 1 0 ，3(1)X 的分布律为： X p P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为 Y p P(X&3) =0?k3 0.14 0.35 0.61 0.62 0.33 0.14. C 应取何值，函数 f(k) = C，k＝1，2，?，λ &0 成为分布律？k!解 由题意,??f (x) ? 1 , 即k ?1 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 14 页 (共 96 页)??C?kk ?1k!? C???k ?10 ? ? ?k ? ? ? ? C ?? ? ? ? C ( e ? 1) ? 1 k! k! 0! ? ? k ?0 k解得： C ?1 ( e ? 1)?5. 已知 X 的分布律 X P －11 612 623 6求： （1）X 的分布函数； （2） P ? X ? ??1? ? 2?； （3） P ? 1 ? X ? ??3? ? 2?.解(1) X 的分布函数为 F ( x ) ? P ( X ? x ) ?? 0 , ? ?1 / 6 , F ( x) ? ? ? 1 / 2, ?1, ? x? ? 1 ? ? x? 1 1? x ? 2 x? 2xk ? x?pk;1(2) P ? X ?? ? ??1? 1 ? ? P ( X ? ? 1) ? 2? 6 3? ? ? P (? ) ? 0 2?(3) P ? 1 ? X ?6. 设某运动员投篮投中的概率为 P＝0.6，求一次投篮时投中次数 X 的分布函数，并作出 其图形. 解 X 的分布函数 F(x)? 0 ? F ( x ) ? ? 0 .6 ? 1 ? x? 0 0 ? x ?1 x ?11 0.6 0 1 x7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为 p，求： （1）三次射击中恰好命中两次的概率； （2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设 A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则 (1) P(A) = P3 (2) ? C 3 p (1 ? p )2 2 3? 2? 3 p (1 ? p )2(2) P(B) = P3 (2) ? P3 (3) ? C 3 p (1 ? p )2 23? 2? C 3 p (1 ? p )3 33?3? 3p ? 2p238. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求： （1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率； （2）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率. 解 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 15 页 (共 96 页)(1) P(X=6) = P(X=6) =??kek???46e?4? 0 .1 0 4 或者?4k!e??6!?k!??4ke??kk ?6k!?e?4?4ke?4= 0.21487 C 0.11067 = 0.1042.k ?7k!(2) P(X≤10) ??104ke?4k ?0k!? 1??4? 1 ? 0.00284 = 0.99716k ? 11k!9. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X＝1)＝P(X＝2)，求 P(X＝4) 解 由已知可得，?1e????2e??,1!242!解得λ =2， (λ =0 不合题意)因 此 , P ( X ? 4) ? e?2= 0.094!10. 商店订购 1000 瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为 0.003，求商店收到的玻璃 瓶， （1）恰有两只； （2）小于两只； （3）多于两只； （4）至少有一只的概率. 解 设 X={1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则 X 服从参数为 n=1000, p=0.003 的二项分布，即 X~B(), 由于 n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊 松分布来近似, 即 X~π (3). 因此 (1) P(X=2) ? (2) P ( X32e?3? 0 .2 2 4?2!? 2) ? 1 ? P ( X ? 2) ? 1 ? ? 3ke?3?3? 1 ? 0.8008 ? 0.1992k ?2k!(3) P ( X ? 2 ) ? P ( X ? 2 ) ? (4) P ( X ? 1) ???3ke? 0 .5 7 6 8k ?3k!??3ke?3? 0.9502k ?1k!11. 设连续型随机变量 X 的分布函数为? 0, ? 2 F ( x ) ? ? kx , ? 1, ? x?0 0 ? x ?1 x ?1求： （1）系数 k； （2）P(0.25&X&0.75)； （3）X 的密度函数； （4）四次独立试验中有三 次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率. 解 (1) 由于当 0≤x≤1 时，有 F(x)=P(X≤x)=P(X&0)+P(0≤X≤x)=kx2 又 F(1) =1, 所以 k×12=1 因此 k=1. (2) P(0.25&X&0.75) = F(0.75)?F(0.25) = 0.752?0.252=0.5 (3) X 的密度函数为? 2 x, 0 ? x ? 1 f ( x ) ? F '( x ) ? ? ? 0, O ther(4) 由(2)知，P(0.25&X&0.75) = 0.5， 故 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 16 页 (共 96 页)P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} = C 43 0.5 3 (1 ? 0.5) 4 ? 3 ? 0.25 .12. 设连续型随机变量 X 的密度函数为? ? F (x) ? ? ? ? k 1? x 0,2,x ?1 x ?1求： （1）系数 k； （2） P ? ??X ?1? ? 2?； （3）X 的分布函数. 因此1 ak r c s i n x ? ? ?1 k? 1解(1)由题意， ? ????f ( x )d x ? 1 ,?? ? ? ?f ( x) d x ? 1?1 ? 1 ?k 1? x2d? x解得: k ?? ??(2) P ? x ?1? ?? 2??1/ 2 ?1 / 2k 1? x2dx ?11/ 2 arcsin x ?1 / 2??1 ?? ?? ? 1 ? ? ?? ? ? 6 6 ? 3(3) X 的分布函数x ??F (x) ??? 0 ? f ( x )d x ? ?1 / 2 ? arcsin x / ? ?1 ?x ? ?1 ?1? x ? 1 x ?1解得: k ? 1/?13. 某城市每天用电量不超过 100 万千瓦时，以 Z 表示每天的耗电率(即用电量除以 100 万 千瓦时)，它具有分布密度为?1 2 x (1 ? x ) 2 , F (x) ? ? ? 0, 0? x ?1 其他若该城市每天的供电量仅有 80 万千瓦时， 求供电量不够需要的概率是多少？如每天供 电量为 90 万千瓦时又是怎样的？ 解 如果供电量只有 80 万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z&80/100)=P(Z&0.8)= ?1 0 .81 2 x (1 ? x ) d x ? 0 .0 2 7 22如果供电量只有 90 万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z&90/100)=P(Z&0.9)= ?1 0 .91 2 x (1 ? x ) d x ? 0 .0 0 3 7214. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 布，分布密度为x ? 1 600 e , ? F ( x) ? ? 600 ? 0, ?小时)都服从同一指数分0? x 0? x试求在仪器使用的最初 200 小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率. 解 设 X 表示该型号电子元件的寿命，则 X 服从指数分布，设 A={X≤200}，则 概率论与数理统计x 600习题参考答案（仅供参考）1 3第二章第 17 页 (共 96 页)P(A)= ?200 01 600?edx ? 1 ? e?设 Y={三只电子元件在 200 小时内损坏的数量}，则所求的概率为：P ( Y ? 1 ) ? 1? P ( ? 0 )? Y 13C ?0P0( ) ? 1P A (? 3A(0)) ??1 33 ? 1e1 ( ? ) ? 1 e15. 设 X 为正态随机变量，且 X～N(2， ? )，又 P(2&X&4) = 0.3，求 P(X&0) 解 由题意知2?2? 2 P ( 2? X ? 4 )? P ? ? ?X ? 2 ???4? 2 ? ? ? ?? 2? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?00.3 ?即 ??? 2 ? ? ? 0 .3 ? 0 .5 ? 0 .8 ?? ??故 P ( X ? 0 ) ? P ? X ? 2 ? 0 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? 0 .2 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?16. 设随机变量 X 服从正态分布 N(10，4)，求 a，使 P(|X－10|&a) = 0.9. 解 由于 P ? | XX ? 10 a ? ? ?a ? 1 0 |? a ? ? P ? ? a ? X ? 1 0 ? a ? ? P ? ? ? ? 2 2 2? ??a? ? ?a ? ?a? ? ?? ???? ? ? 2 ? ? ? ? 1 ? 0 .9 ?2? ? 2 ? ?2?所以 ? ??a? ? ? 0 .9 5 ?2?a 2查表可得， 即 a = 3.3=1.6517. 设某台机器生产的螺栓的长度 X 服从正态分布 N(10.05，0.062)，规定 X 在范围(10.05 ±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 解 由题意，设 P 为合格的概率，则P ? P( | X? 1 0 . 0 5 | ? 0?1 2 ? . P) ? ? 0 .X1 2 ? X ?1 0 . 0 5 ? ? 1 0 ?. ? 5 ? P 0 .?1 2 0 ? 2 ? 0.06 ? ? ? ? 2? ? (2) ? ? ( ? 2) ? 2 ? (2) ? 1 ? 2 ? 0.9772 ? 1 ? 0.9544则不合格的概率=1?P = 0.0456 18. 设随机变量 X 服从正态分布 N(60，9)，求分点 x1，x2，使 X 分别落在(－∞，x1)、(x1， x2)、(x2，+∞)的概率之比为 3:4:5. 解 由题，x1 ? 60 3 ? X ? 60 x1 ? 60 ? P ( X ? x1 ) ? P ? ? )? ? 0.25 ? ? ?( 3 3 3 3?4?5 ? ? ? (? x1 ? 60 3 ) ? 1? ?( x1 ? 60 3 ) ? 0.75,查表可得? x1 ? 6 0 3 ? 0 .6 7解得, x1 = 57.99x ? 60 ? x2 ? 6 0 3? 4 ? X ? 60 又 P ( X ? x2 ) ? P ? ? 2 )? ? 0 .5 8 3 3 ? ? ?( 3 3 3 3?4?5 ? ? 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 18 页 (共 96 页)查表可得x2 ? 60 3 ? 0 .2 1解得, x2 =60.63. 19. 已知测量误差 X（米）服从正态分布 N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一 次误差的绝对值不超过 10 米的概率大于 0.98？ 解 设一次测量的误差不超过 10 米的概率为 p, 则由题可知7 . 5 ?1 0 ? 7 . 5 ? ? 1 0? 7 . 5 X ? p ? P( X ? 1 0 ? P ? ) ? ? ? 10 10 1 0? ? ? ? ( 0 . 2 5 )? ? ( ? 1 .?7? ) 5 ?0?2 5 ) ( . ? 1? ( 1 . 7?5 )? 0 . 5 9?8 7 5 5 1 6 0 . 9 5 9 9 8 0.设 Y 为 n 次独立重复测量误差不超过 10 米出现的次数，则 Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784 取 n=5, 即，需要进行 5 次测量. 20. 设随机变量 X 的分布列为 X －2 0 P1 7 1 723 732 7试求： （1）2X 的分布列； （2）x2 的分布列. 解 (1) 2X 的分布列如下 2X p -4 1/7 0 1/7 4 3/7 6 2/7(2) x2 的分布列 X2 p 0 1/7 4 4/7 9 2/721. 设 X 服从 N(0，1)分布，求 Y＝｜X｜的密度函数. 解 y=|x|的反函数为 h (y)= ? ? x , ?? x, x?0 x?0, 从而可得 Y=|X|的密度函数为：1 2?? y2当 y&0 时，f Y ( y ) ? f X ( ? y ) | ( ? y ) ' | ? f X ( y) | y ' | ?e2?1 2?? y2e2?2? y2?e2当 y≤0 时， f Y ( y ) ? 0 因此有? y ? 2 e 2 , ? fY ( y ) ? ? ? ? ? 0,2y ? 0 y ? 022. 若随机变量 X 的密度函数为?3 x 2 , f (x) ? ? ? 0, 0? x ?1 其他 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 19 页 (共 96 页)求 Y＝1 x 1 x的分布函数和密度函数.解y=在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)=1 y,y&1, h’(y)= ?1 y2? 1 ? ? 1 ?? 1 ? 1 3 f Y ( y ) ? f X [ h ( y )] | h ? ( y ) | ? f X ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 ? ? 4 y y ? y ? ? y ?? y ?? 3 ? 4 , y ?1 fY ( y ) ? ? y ? 0 , o th e r ?因此有? y y ?4 ?3 ?3 ? 1? y , ? ?1 3 y d y ? ? y Y 的分布函数为： FY ( y ) ? ? 1 ? ? 0,y ?1 o th er23. 设随机变量 X 的密度函数为2 ? , ? 2 f ( x ) ? ? ? (1 ? x ) ? 0, ?试求 Y＝lnX 的密度函数. 解x?0 x?0由于 y ? ln x 严格单调，其反函数为 h ( y ) ? e , 且 h '( y ) ? e , 则y yf Y ( y ) ? f X [ h ( y )] | h ? ( y ) | ? f X ( e ) eyy? ?2ey 2y? (1 ? e2)y? (e?y?e ), ? ? ? y ? ??24. 设随机变量 X 服从 N(μ , ? )分布，求 Y＝ e 的分布密度.2 x解x 由于 y ? e 严格单调，其反函数为 h ( y ) ? ln y , 且 h '( y ) ? , y&0, 则1yf Y ( y ) ? f X [ h ( y )] | h ? ( y ) | ? f X (ln y ) 1 2? ? y? 1 2?21 y?(ln y ? ? )2e,y ? 0当 y ? 0 时 fY ( y ) ? 0 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 20 页 (共 96 页)因此1 ? ( ? 1 2 e 2? ? f Y ( y ) ? ? 2? ? y ? ? 0,l n?? y2),y ? 0 y ? 025. 假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y＝ 1 ? e 分布. 解h ( y )? 1 ? 2?2 x在区间(0, 1)上服从均匀由 于 y ? 1? el n ?1 ( y?2 x在 (0,1 ,+ ∞ ) 上 单 调 增 函 数 ， 其 反 函 数 为 ：) ?, y 0 ?并且h '( y ) ?1 2 (1 ? y )，则当 0 ? y ? 1f Y ( y ) ? f X [ h ( y )] | h ?( y ) | ? f X (? ? 2e?2 ( ?1 21 2ln (1 ? y )) 11 2 (1 ? y ) ?1ln (1 ? y ))2 (1 ? y )当 y≤0 或 y≥1 时， f Y ( y ) =0. 因此 Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布.26. 把一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中正面出现的次数，Y 表示三次中出现正面的 次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3 次正面，2 次正面 1 次反面, 1 次正面 2 次反面, 3 次反面, 对应的 X,Y 的取值及概率分别为 P(X=3, Y=3)=1 83 ?1P(X=2, Y=1)= C 3 ?12?1? ?1? 3 ? ? ?? ?2? ?2? 832? 1 ?? 1 ? P(X=1, Y=1)= C 3 ? ? ? ? ? 2 ?? 2 ??3 81 ?1? P(X=0, Y=3)= ? ? ? 8 ?2?于是， （X，Y）的联合分布表如下： X Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/827. 在 10 件产品中有 2 件一级品，7 件二级品和 1 件次品，从 10 件产品中无放回抽取 3 件，用 X 表示其中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求： （1）X 与 Y 的联合概率分布； （2）X、Y 的边缘概率分布； （3）X 与 Y 相互独立吗？ 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 21 页 (共 96 页)解根据题意，X 只能取 0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得： (1)p ij ? P ( X ? i , Y ? j ) ? C 2C 7 C1 C103 i j k,其中, i ? j ? k ? 3, i ? 0,1, 2, j ? 0,1, 2, 3k ? 0,1 ,可以计算出联合分布表如下Y X 0 1 2p?j0 0 0 1/120 1/1201 0 14/120 7/120 21/1202 21/120 42/120 0 63/1203 35/120 0 0 35/120pi?56/120 56/120 8/120(2) X,Y 的边缘分布如上表 (3) 由于 P(X=0,Y=0)=0, 而 P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此 X,Y 不相互独立. 28. 袋中有 9 张纸牌，其中两张“2” ，三张“3” ，四张“4” ，任取一张，不放回，再任取 一张，前后所取纸牌上的数分别为 X 和 Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及 概率 P(X＋Y&6) 解 (1) X,Y 可取的值都为 2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为： Y X 2 3 4p?j22A 2 / A9 ? 1 / 3 62 1 13A 2 A3 / A9 ? 1 / 1 22 1 14A 2 A 4 / A9 ? 1 / 92pi?2/9 1/3 4/9A3 A 2 / A 9 ? 1 / 1 21 1 2A3 / A9 ? 1 / 122 2C 3 C 4 / A9 ? 1 / 61 1 2A 4 A 2 / A9 ? 1 / 91 1 2A 4 A3 / A9 ? 1 / 61 1 2A 4 / A9 ? 1 / 62 22/91/34/9(2) P(X+Y&6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4) =1/6+1/6+1/6=1/2. 29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为x ?? y? ? F ( x , y ) ? A ? B ? arctan ? ? C ? arctan ? , 2 ?? 3? ?求： （1）系数 A、B 及 C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y 的边缘分布函 数及边缘概率密度； （4）随机变量 X 与 Y 是否独立？ 解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组： 概率论与数理统计? ? ?A? ? ? ? ? ?A? ? ? ? ?A? ? ? ? ? ? ? A ? ? ? ?习题参考答案（仅供参考）第二章第 22 页 (共 96 页)x ?? ? ? B ? a r c t a n? ? C ? ? ? 2 ?? 2 ? B ? B ? B ?0? ?? ? ??y ? ? ? C ? a rc ta n ? ? 0 2 ?? 3 ?? ? ??C ? ? ? 0 2 ?? 2 ? ? ? ??C ? ? ?1 2 ?? 2 ?2? ??解得： A ?1?, B ?2?2, C ??2,(2) f ( x , y ) ?? F ( x, y ) ?x?y?6? ( 4 ? x )(9 ? y )2 2 2(3) X 与 Y 的边缘分布函数为：FX ( x ) ? F ( x, ? ? ) ? 1 ?? x ?? ? ? ? 1 ?? x? ? arctan ? ? ? ? ? ? ? arctan ? 2 ? ? ? 2 2 ?? 2 2 ? ? ? 2 2?FY ( y ) ? F ( ? ? , y ) ?1 ?? ? ?? ? y? 1 ?? y? ? ? ? ? arctan ? ? ? ? arctan ? 2 ? ? ? 2 2 ?? 2 3? ? ? 2 2?2X 与 Y 的边缘概率密度为：f X ( x )? FX x ? ( )'? (x ? 4 )2f Y ( y ) ? FY ( ? y )'3? (y ? 9 )2(4) 由(2),(3)可知： f ( x , y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) , 所以 X，Y 相互独立. 30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为? e -(x + y) , f ( x, y ) ? ? 0, ? 0 ? x ? ?? , 其他（1）求分布函数 F(x, y)； （2）求(X，Y)落在由 x＝0，y＝0，x＋y＝1 所围成的三角形区域 G 内的概率. 解 (1) 当 x&0, y&0 时， F ( x , y ) ? 否则，F(x, y) = 0. (2) 由题意，所求的概率为P (( x , y ) ? G ) ? ?? ?0yxe0? (u ? v )d u d v ? (1 ? e?x)(1 ? e?y)??G 1? x 0f ( x , y )d xd y?(x? y)?1 0dx ?edy ? 1 ? 2e?1? 0 .2 6 4 231. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为? A e -(3 x + 4 y) , f ( x, y ) ? ? 0, ? x ? 0, y ? 0, 其他求： （1）常数 A； （2）X，Y 的边缘概率密度； （3） P (0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2) . 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 23 页 (共 96 页)解(1) 由联合概率密度的性质，可得? ??????? ??f ( x , y )d xd y ? 1 ?? ?0????Ae0?( 3 ? xy 4d xd y ? A / 1 2)解得 A=12. (2) X, Y 的边缘概率密度分别为：f X (x) ???? ??? ?? 1 2 e ? (3 x ? 4 y ) d y ? 3e ?3 x , ? f ( x , y )d y ? ? ? 0 ? 0, o th er ?x ?0fY ( y ) ???? ??? ?? 1 2 e ? (3 x ? 4 y ) d x ? 4 e ?4 y , ? f ( x , y )d x ? ? ? 0 ? 0, o th er ?y ?0(3) P (0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2)?? ?02112e0 ?3? (3 x ? 4 y )d xd y )? (1 ? e)(1 ? e?832. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为xy ? 2 , ?x ? f ( x, y ) ? ? 3 ? 0, ? 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2, 其他求 P(X＋Y≥1). 解 则P (( x , y ) ? G ) ? ? ?由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线 x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1 围的区域 G 中,??G 2 1? xf ( x , y )d xd y x ?2? ?1 0 1 0dx ? 4x 3xy 3dy32?x 2?5x 6dx ?65 7233. 设二维随机变量(X, Y)在图 2.20 所示的区域 G 上服从均匀分布， 试求(X, Y)的联合概率 密度及边缘概率密度. 解 由于(X, Y)服从均匀分布，则 G 的面积 A 为：A???Gf ( x , y )d xd y ??1 0dx ? 2 dy ? ? ( x ? x )dx ?2 x 0x11 6,(X, Y)的联合概率密度为： 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 24 页 (共 96 页)?6 , f ( x , y )? ? ? 0,0? x ? o th er.1X,Y 的边缘概率密度为：f X ( x )???? ??? x 2 6 d y ? 6 x ? x ) , ?0 x ? ( ? f x y d y ? ? ?x ( , ) ? 0, o th er ?21fY ( y ) ???? ??? y 6d y ? 6 ( ? f ( x , y )d x ? ? ? y ? 0, ?y ? y ), o th er0 ? y ?134. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y 的概率密度是? 5 e ? 5 y ,???? y ? 0 fy ( y) ? ? y ? 0 ? 0,求： （1）X 和 Y 和联合概率密度； （2）P(Y≤X). 解 由于 X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以 f X ( x ) ? 1 / 0 .2 ? 5 (1) 由于 X，Y 相互独立，因此 X, Y 的联合密度函数为：? 2 5 e ?5 y , f ( x , y ) ? f X ( x ) fY ( y ) ? ? ? 0, y ? 0, 0 ? x ? 0 .2 o th eryy=x(2) 由题意，所求的概率是由直线 x=0, x=0.2, y=0, y=x 所围的区域， 如右图所示， 因此P (Y ? X ) ? ? 5?0 .2 000.2x??Gf ( x , y )d xd y ??1?0 . 2 0d x ? 2 5e0x?5 ydy1? e?5 xdx ? 1 ? e? 1 ?e?135. 设（X，Y）的联合概率密度为?1 ? ,????0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 f ( x, y ) ? ? 2 ? 0, 其 他 ?求 X 与 Y 中至少有一个小于 解 所求的概率为1 2的概率. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 25 页 (共 96 页)1 1 ? ? P ? ( X ? ) ? (Y ? ) ? 2 2 ? ? 1 1? ? ?1? P? X ? , Y ? ? 2 2? ? ?1? ?1?? ?0 .5 1????f ( x , y ) d xd y0 .5 2? ?0 .51 2d xd y ?5 80 .536. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X －1 1 3 P1 2 1 5Y －3 P1 413 43 10求二维随机变量（X，Y）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表 X Y -3 1pi?-1 1/8 3/8 1/21 1/20 3/20 1/53 3/40 9/40 6/20p?j1/4 3/437. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 X Y 11 6 1 91231 182 a b c （1）求常数 a，b，c 应满足的条件； （2）设随机变量 X 与 Y 相互独立，求常数 a，b，c. 解 由联合分布律的性质，有：1 6 ? 1 9 ? 1 18 ? a ? b ? c ?1,即 a + b + c =1 ?1 1 1 : : 6 9 181 3?2 3又，X, Y 相互独立，可得 a : b : c ? 从而可以得到： a ?1 3 , b ? 2 9 , c ? 1 938. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 26 页 (共 96 页)? x2 ,???? x ? 0, y ? 1, ? 2 1? x ? 2 3 ? x y F ( x, y ) ? ? ,???? x ? 0, 0 ? y ? 1, 2 ?1 ? x ? ???0,?????????其 他 ， ? ?求边缘分布函数 F x ( x ) 与 F y ( y ) ，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数2 2 ? x x lim ? ,x ? 0 ? 2 F X ( x ) ? F ( x , ? ? ) ? ? y ? ?? 1 ? x 2 1? x ? 0, x?0 ?下面计算 FY(y)? ? 0, ? 2 3 x y ? 3 FY ( y ) ? F ( ? ? , y ) ? ? lim ? y , 2 x ? ?? 1 ? x ? 2 ? x ? 1, ? xlim? 2 ? ?? 1 ? x y?0 0 ? y ?1 y ?1可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y 相互独立. 39. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为? 2 1? y e ,???? x ? 1, y ? 1 ? f ( x, y ) ? ? x3 ? 0,????????? 其 他 ， ?求边缘概率密度 f X ( x ) 与 f Y ( y ) ，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 解 先计算 f X ( x ) , 当 x&1 时, f X ( x ) ? 0 当 x≥1 时,fX (x) ????2 x3e1? ydy ??2 x3e1? y?? 1?2 x31再计算 f Y ( y ) , 当 y≥1 时,当 y&1 时, f Y ( y ) ? 0fY ( y ) ????2 x3e1? ydx ??1 x2e1? y?? 1?e1? y1可见, f ( x , y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) , 所以随机变量 X, Y 相互独立 40. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 27 页 (共 96 页)? x ? y ,?????? ? x ? y ? ? ? f ( x, y ) ? ? ? 0,????????? 其 他 ，求边缘概率密度 f X ( x ) 与 f Y ( y ) ，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 解 先计算 f X ( x ) , 当 x&0 或者 x&1 时, f X ( x ) ? 0 当 1≥x≥0 时,fX (x) ??1 0x ? y d y ? xy ?1 2y21 0? x?1 2再计算 f Y ( y ) , 当 y&0 或者 y&1 时, f Y ( y ) ? 0 当 1≥y≥0 时,fY ( y ) ??1 0x ? yd x ? xy ?? ?1 2x21 0? y?1 2由于 f ( x , y ) ? x ? y ? f X ( x ) f Y ( y ) ? ? x ?1 ?? 1? ? ? y ? ? , 所以随机变量 X,Y 不独立 2 ?? 2?41. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为? 2 e ? x ? 2 y ,????? x ? 0 ? y ? 0 f ( x, y ) ? ? ? 0,????????? 其 他求随机变量 Z＝X－2Y 的分布密度. 解 先求 Z 的分布函数 F(z)F ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? 2Y ? z ) ?D :X ? 2Y ? z??yf ( x , y ) d xd y当 z&0 时，积分区域为：D={(x,y)|x&0, y&0, x?2y≤z} 求得 F ( z ) ?D y z y x y 0 z x yx?2y=z x y??? ?z 2dy ?ez?2 y2e0? x?2 ydx1 2? 2??? ?z 2?2 y?e?4 y ? zdy ?ez当 z≥0 时，积分区域为：D={(x,y)|x&0, y&0, x?2y≤z}，F (z) ???? 0dy ?ez?2 y2e0? x?2 ydx1 2?z? 2??? 0?2 y?e?4 y ? zdy ? 1 ?e由此, 随机变量 Z 的分布函数为1 ?z ? 1? e , ? ? 2 F (z) ? ? 1 z ? e , ?2 ? z?0 z ?00 z x yD y z x yx?2y=z x y因此, 得 Z 的密度函数为： 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 28 页 (共 96 页)? 1 ?z e , ?2 ? f (z) ? ? ? 1 ez, ?2 ?z ? 0 z ? 042. 设随机变量 X 和 Y 独立，X～ N ( ? ? ? ) ，Y 服从［－b，b］(b&0)上的均匀分布，求2随机变量 Z＝X＋Y 的分布密度. 解 解法一 由题意，F (z) ???? ??f X ( z ? y ) fY ( y ) d y ??b ?b1 2? ??(z? y?a)2e2?2?1 2bdy令( z ? y ? a ) / ? ? t , dy ? ? ? dt , y ? [ ? b , b ], 则F (z) ?? 2b??? ??1z?b?a?z?b?a1 2??t2e2dt ?1 2b?? ?z?b?a?? ? ? ? z ??b ? a ? ??解法二F (z) ? ? ? f X ( x ) fY ( z ? x ) d x ,- b & z - x & b, z-b & x& z+bF (z) ? 1?z?b z ?b1 2? ?e?(x ? a) 2?22?1 2bdx?1 ? ? z ?b? a ? ? x? a ? z ?b ? z ? b ? a ?? ?? ? ? ???? ?? ?? ? 2b 2b ? ? ? ? ? ? ? z ?b ? ? ?? 1 ? ?a ? z ?b? ? ? a ? z ? b ??? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ??? 2b ? ? ? ? ? ? ? ??? 1 ? ?a ? z ?b? ? a ? z ? b ?? ???? ?? ?? ? 2b ? ? ? ? ? ? ????43. 设 X 服从参数为 ＋Y 的密度函数. 解1 2的指数分布，Y 服从参数为1 3的指数分布，且 X 与 Y 独立，求 Z＝X由题设，X~ f X ( x ) ? ?? ?? 0, ?1 2x? 0 e? x1 2, x ? 0,Y~ f Y ( y ) ? ?? 0, ?1 ? 3e ? ? x1 3x?0 , x ?0并且，X，Y 相互独立，则 F Z ( z ) ???? ??f X ( x ) fY ( z ? x )d x由于 f X ( x ) 仅在 x&0 时有非零值， f Y ( z ? x ) 仅当 z?x&0，即 z&x 时有非零值，所以当 z&0 时， f X ( x ) =0, 因此 f Z ( z ) =0. 当 z&0 时，有 0&z&x, 因此 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 29 页 (共 96 页)FZ ( z ) ???1 6z 01 2ze1 6? x1 21 3e? (z?x)1 3dx? z 2?e0? x?z 3dx ? e?z 3?e44. 设（X，Y）的联合分布律为 X 0 1 2 3Y 0 0 0.05 0.08 0.12 1 0.01 0.09 0.12 0.15 2 0.02 0.11 0.13 0.12 求： （1）Z＝X＋Y 的分布律； （2）U＝max（X，Y）的分布律； （3）V＝min（X，Y） 的分布律. 解 (1) X+Y 的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y 的分布如下 Z p 0 0 1 0.06 2 0.19 3 0.35 4 0.28 5 0.12同理，U=max(X,Y)的分布如下 U p 0 0 1 0.15 2 0.46 3 0.39U∈{0,1,2,3}同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V p 0 0.28 1 0.47 2 0.25V∈{0,1,2}45.（90，2 分）已知随机变量 X 的概率密度函数f (x) ? 1 2 e?|x|,? ? ? x ? ?? ,则 X 的概率分布函数 F ( x ) ? 解 当 x ? 0 时， 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 30 页 (共 96 页)F (x) ??x??f ( t ) dt ??0x1 2??e dt ?t1 2xe .x当 x ? 0 时，F (x) ??0??f ( t ) dt ??x 0f ( t ) dt ??1 2??e dt ?t?1 2e dt ? 1 ??t1 2e?x.0因此， X 的概率分布函数为?1 x e , x?0 ?2 F ( x) ? ? 1 ?1 ? e ? x , x ? 0 2 ?46.（97，7 分）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯 的事件是相互独立的，并且概率都是 律. 解 可以看出随机变量 X 服从二项分布 B ( 3 , 2 / 5 ) ，其概率分布为k 2 k 3 3? k P ( X ? k ) ? C 3 ( ) ( ) , k ? 0 ,1, 2 , 3 5 52 5，设 X 为遇到红灯的次数，求随机变量 X 的分布于是随机变量 X 的分布律为 X P 0 27/125 1 54/125 2 36/125 3 8/12547.（02，3 分）设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别 为 f 1 ( x ) 和 f 2 ( x ) ，分布函数分别为 F1 ( x ) 和 F 2 ( x ) ，则（ A． f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 必为某一随机变量的概率密度 B． f 1 ( x ) f 2 ( x ) 必为某一随机变量的概率密度 C． F1 ( x ) + F 2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数 D． F1 ( x ) F 2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数 解 首先可以否定选项（A）和（C） ，因为 ）??? ??( f 1 ( x ) ? f 2 ( x )) dx ? 2 ? 1,F1 ( ?? ) ? F 2 ( ?? ) ? 2 ? 1 .? 1, ? 2 ? x ? ? 1 ?0, otherwise ? 1, ?0, 0? x ?1 otherwise对于选项（B） ，若 f 1 ( x ) ? ?， f2 (x) ? ?，则对任何 x ， 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 31 页 (共 96 页)f1 ( x ) f 2 ( x ) ? 0 ,??? ??f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx ? 0 ? 1, 因此也否定（C）. 故选（D）.事实上， F1 ( x ) F2 ( x ) 是随机变量 X ? max( X 1 , X 2 ) 的分布函数. 48.（88，2 分）设随机变量服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布。已知? (x) ??x1 2???e?2 u 2du ， ? ( 2 . 5 ) ? 0 . 9938 ，则 X 落在区间 ( 9 . 95 , 10 . 05 ) 内的概率为解 依题意， X ~ N (10 , 0 . 02 ).2因此X ? 10 0 . 02~ N ( 0 , 1). 于是P ( 9 . 95 ? X ? 10 . 05 ) ? P (|X ? 10 0 . 02|? 2 . 5 ) ? 2 ? ( 2 . 5 ) ? 1 ? 0 . 9876 .49.（89，2 分）若随机变量 ? 在 (1, 概率是6 ) 上服从均匀分布，则方程 x ? ? x ? 1 ? 0 有实根的2解 设事件 A ?“方程有实根”而方程有实根的充要条件是根的判别式 ? ? ? ? 4 ? 0 . 即 ，2A ? {?2? 4}. 因此P ( A ) ? P (? ? 2 ) ? P (? ? ? 2 ) ? 0 . 8 ? 0 ? 0 . 8 .50. （91， 分） 3 若随机变量 X 服从均值为 2， 方差为 ? 的正态分布， P ( 2 ? x ? 4 ) ? 0 . 3 ， 且2则 P ( X ? 0) ? 解 依题意P (2 ? X ? 4) ? ? ( ?( 2 4?2?) ? ?(2?2?),?) ? P ( 2 ? X ? 4 ) ? ? ( 0 ) ? 0 .3 ? 0 .5 ? 0 .8 .于是P ( X ? 0) ? ? ( 0?2?) ? ? (?2?) ? 1? ?(2?) ? 0 .2 .51.（08，4 分）设随机变量 X 和 Y 独立同分布，且 X 的分布密度函数为 F ( x ) ，则Z ? max{ X , Y } 的分布函数为（）A． F ( x )2 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 32 页 (共 96 页)B． F ( x ) F ( y ) C． 1 ? (1 ? F ( x ))2D． (1 ? F ( x ))( 1 ? F ( y )) 解 选（A）.1 3Y 的概率密度为52. （08， 分） 11 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 P ( X ? i ) ?i ， ? ? 1, 0 , 1 ，? 1, fY ( y) ? ? ?0,0 ? y ? 1, otherwise .记 Z ? X ? Y ，求： （1） P ( Z ?1 2 | X ? 0) ；（2） Z 的概率密度 f Z ( z ) .P ( X ? 0, Z ? | X ? 0) ? P ( X ? 0) 1 2 P ( X ? 0,Y ? ? P ( X ? 0) 1 2解 （1） P ( Z ?1 2)) ? P (Y ?1 2)?1 2.（2） F z ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? Y ? z )? P ( X ? Y ? z , X ? ? 1) ? P ( X ? Y ? z , X ? 0 ) ? P ( X ? Y ? z , X ? 1) ? P (Y ? z ? 1, X ? ? 1) ? P (Y ? z , X ? 0 ) ? P ( Y ? z ? 1, X ? 1) ? P ( Y ? z ? 1) P ( X ? ? 1) ? P ( Y ? z ) P ( X ? 0 ) ? P ( Y ? z ? 1) P ( X ? 1) ? ? 1 3 1 3 ( FY ( z ? 1) ? FY ( z ) ? FY ( z ? 1)).1 ?1? z ? 2 otherwise( P ( Y ? z ? 1) ? P ( Y ? z ) ? P ( Y ? z ? 1))?1 ? , f Y ( z ) ? F Z? ( z ) ? ( f Y ( z ? 1) ? f Y ( z ) ? f Y ( z ? 1)) ? ? 3 3 ? 0, ?53.（04，4 分）设随机变量 X 服从正态分布 N ( 0 , 1) ，对给定的 ? ， 0 ? ? ? 1 ，数 u ? 满 足 P ( X ? u ? ) ? ? ，若 P (| X |? x ) ? ? ，则 x 等于（ A． u? 2）B． u 1 ? ?2 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 33 页 (共 96 页)C． u1?? 2D． u 1 ? ? 解 由于 X ~ N ( 0 , 1) ，故对于任何正数 ? ，有P(X ? ?) ? P(X ? ?) ? 1 2 P (| X |? ? )若 P (| X |? x ) ? ? ，则因 0 ? ? ? 1 ，必有 x ? 0 ，且P ( X ? x) ? 1 2 P (| X | ? x ) ? 1 2 P (| X |? x ) ? 1 2 (1 ? P (| X |? x )) ? 1?? 2 .由此可见， x ? u1?? 2. 应选（C）.54.（06，4 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [ 0 , 3 ] 上的均匀分布，则P (max{ X , Y } ? 1) ?解 填 .9155. 88， 分） （ 6 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ?1? (1 ? x )2， 求随机变量 Y ? 1 ?3X 的概率密度函数 f Y ( y ) 。 解 先求出随机变量 Y 的分布函数，再求 f Y ( y ) .FY ( y ) ? P ( Y ? y ) ? P (1 ?3X ? y ) ? P ( X ? (1 ? y ) ) ?3??? (1 ? y )31? (1 ? x )2dx .用变下限积分求导可得fY ( y ) ? dF Y ( y ) dy ? 3 (1 ? y )2 6? (1 ? (1 ? y ) ).56.（93，3 分）设随机变量 X 服从 ( 0 , 概率分布密度 f Y ( y ) ?2 ) 上均匀分布，则随机变量 Y ? X 在 ( 0 ,24) 内解 方法一，先求随机变量 Y 的分布函数，再求 f Y ( y ) . 当 y ? 0 时， FY ( y ) ? 0 . 当 y ? 4 时， FY ( y ) ? 1 . 当 0 ? y ? 4 时， 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 34 页 (共 96 页)FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P ( X2? y) ? P( X ?y ) ? FX (y) ?y 2.于是，? 1 , 0? y ? 4 ? ?( y) ? ? 4 y f Y ( y ) ? FY ?0, otherwise ?方法二，应用单调公式法. 由于 y ? x 在 ( 0 ,24 ) 内单调，反函数 x ? h ( y ) ?y 在 (0,2 ) 内可导，且导数h ?( y ) ? 21 y恒不为零，因此随机变量 Y 的概率分布密度? | h ? ( y ) | f X ( h ( y )), fY ( y ) ? ? 0, ?? 1 , 0? y ? 4 ? ? ?4 y ?0, otherwise ?0? y ? 4 otherwise57. 95， 分） （ 6 设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x ) ? ? 概率密度 f Y ( y ) ??e ? x , ? 0,x ? 0, x ? 0.求随机变量 Y ? e 的X解 方法一，先求随机变量 Y 的分布函数，再求 f Y ( y ) . 当 y ? 1 时， FY ( y ) ? 0 . 当 y ? 1 时，FY ( y ) ? P ( Y ? y ) ? P ( e ? y ) ? P ( X ? ln y ) ?x?ln ye0?xdx ? 1 ?1 y.于是，? 1 , ? ?( y) ? ? y 2 f Y ( y ) ? FY ? 0, ? y ?1 y ?1方法二，应用单调公式法. 由 于 y ? e 在 ( 0 , ?? ) 内 单 调 ， 其 反 函 数 x ? ln y 在 (1, ?? ) 内 可 导 且 其 导 数xx ?y ?1 y? 0 , 因此 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 35 页 (共 96 页)? 1 ? ln y ? 1 ,y ?1 ? 2 , ? e fY ( y ) ? ? y ? ? y ? 0, y ? 1 ? 0, ? ?y ?1 y ?1258.（98，3 分）设平面区域 D 由曲线 y ?1 x及直线 y ? 0 ， x ? 1 ， x ? e 所围成，二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D 上服从均匀分布，则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x ? 2 处的 值为 解 首先求 ( X , Y ) 的联合概率密度 f ( x , y ) . 设区域 D 的面积为 S D ，则依题意有SD ??e 121 xdx ? ln x |1 ? 2 ,e2?1 ? , f ( x, y ) ? ? 2 ? 0, ?( x, y ) ? D , ( x, y ) ? D.其中 D ? {( x , y ) | 1 ? x ? e , 0 ? y ?21 x}.2 2其次，求关于 X 的边缘概率密度. 当 x ? 1 或 x ? e 时， f X ( x ) ? 0 . 当 1 ? x ? e 时，f X (x) ??????f ( x , y ) dy ?1 4 .?1 x1 2dy ?1 2x. 故 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x ? 2 处的0值为 f X ( 2 ) ?59.（99，8 分）设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出二维随机变量 ( X , Y ) 联合分布律 及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。Y Xy1y21 8y3P ( X ? x j ) ? Pi ?x1 x2P (Y ? y j ) ? P? j1 81 61解 首先根据边缘分布公式 p ?1 ?Y X?2p i 1 求出 p 11 ?1 24. 然后再依次求出其他值. 见下表i ?1y11 24y21 8y31 12P ( X ? x j ) ? Pi ?1 4x1 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 36 页 (共 96 页)x2P (Y ? y j ) ? P? j1 8 1 63 8 1 21 4 1 33 4160.（01，7 分）设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ? ,? ? 0 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p ， 0 ? p ? 1 ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的 人数，求： （1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率； （2）二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布。 解 （1） P (Y ? m | X ? n ) ? C n p (1 ? p )m m n?m,m ? 0 ,1, ? n ， n ? 1, 2 , ?（2） P ( X ? n , Y ? m ) ? P ( X ? n ) P (Y ? m | X ? n ) ?n ? 0 ,1, 2 , ? ， m ? 0 ,1, ? n .?ne??n!? C n p (1 ? p )m mn?m,61.（03，4 分）二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布为?6 x, f ( x, y ) ? ? ? 0, 0 ? x ? y ? 1, otherwise ,则 P ( X ? Y ? 1) ? 解P ( X ? Y ? 1) ?x ? y ?1??f ( x , y ) dxdy ??1 20dx ?1? x x6 xdy ?1 4.62.（87，6 分）设随机变量 X ， Y 相互独立，其概率密度函数分别为? 1, f X ( y) ? ? ?0, 0 ? x ? 1, otherwise .?e?y , fY ( y) ? ? ?0,y ? 0, y ? 0.求随机变量 Z ? 2 X ? Y 的概率密度。 解 由于 X ， Y 相互独立，因此它们的联合概率密度为?e ? y , f ( x , y ) ? f X ( x ) fY ( y ) ? ? ? 0, 0 ? x ? 1, y ? 0 otherwise 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 37 页 (共 96 页)随机变量 Z 的分布函数为FZ ( z ) ? P ( 2 X ? Y ? z ) ?2x? y?z??f ( x , y ) dxdy? 0, z ?0 ? z?2x ? 2z ?y ? ? ? dx ? e dy , 0 ? z ? 2 0 0 ? 1 z?2x ?y e dy , z ? 2 ? ? dx ? 0 0 ? ? 0, z ? 0 ? ? 2z 2x?z ? ? ? (1 ? e ) dx , 0 ? z ? 2 0 ? 1 2x?z ) dx , z ? 2 ? ? (1 ? e 0 ?? ? 0, z ? 0 ? z 1 1 ?z ? ? ? ? ? e , 0? z ? 2 ?2 2 2 ? 1 ? 1 ( e 2 ? 1) e ? z , z ? 2 ? 2 ?随机变量 Z 的概率密度为? ? 0, z ?0 ?1 ? ?z f Z ( z ) ? F Z? ( z ) ? ? (1 ? e ), 0 ? z ? 2 ?2 ? 1 ( e 2 ? 1) e ? z , z ? 2. ?2 ?63.（89，6 分）设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1，标准差（均方差）为 2 的 正态分布，而 Y 服从标准正态分布，试求随机变量 Z ? 2 X ? Y ? 3 的概率密度函数。 解 由于独立的正态随机变量 X 与 Y 的线性组合仍服从正态分布，于是随机变量 Z ? 2 X ? Y ? 3 的概率密度函数为fZ (z) ? 1 3 2? e?( z ?5 ) 18 2.64.（91，6 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?2e ?(x?2 y) , f ( x, y ) ? ? 0, ? x ? 0, y ? 0, otherwise ,求随机变量 Z ? X ? 2 Y 的概率密度。 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 38 页 (共 96 页)解F ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? 2Y ? z ) ?x?2 y?z??f ( x , y ) dxdy当 z ? 0 时， F ( z ) ? 0 . 当 z ? 0 时，F (z) ??z 0dx ?2? z 22e?(x?2 y)dy ?0?z(e0?x?e?z) dx ? 1 ? e?z? ze?z.所以，随机变量 Z ? X ? 2 Y 的概率密度函数为? 0, z ? 0 f (z) ? ? ?z ?? e , z ? 0.65. 92， 分） （ 6 设随机变量 X 与 Y 独立， X 服从正态分布 N ( ? , ? ) ， Y 服从 [ ? ? , ? ] 且 而2上的均匀分布，试求 Z ? X ? Y 的概率密度函数（计算结果用标准正态分布函数 ? 表示， 其中 ? ( x ) ?1 2??x??e?t2 2dt ） 。解 解法一：先求分布函数 F Z ( z ).FZ ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? Y ? z ) ??z? yx? y?z??f X ( x ) f Y ( y ) dxdy 1 2??????dy ?1 2?1 2? ??( x?? ) 2? 22??edx ?? ? ?(?z? y???) dy因此， Z 的概率密度函数为f Z ( z ) ? F Z? ( z ) ? 1 2??????1?(z? y???) dy .其中 ? 是标准正态分布的密度函数. 由于 ? ( x ) 是偶函数，因此有?(z? y?? ) ? ?( y? ? ? z ).??于是? 2? ? 解法二：直接应用独立随机变量之和密度的卷积公式.?fZ (z) ?1 2?????1?(y? ? ? z) dy ?1(? (? ?? ? z) ? ?(?? ? ? ? z?2)).fZ (z) ? ? ??1 2? 1 2?f X ( z ? y ) f Y ( y ) dy ?? ? 2???11 2? ??( x? y?? ) 2? 2edy????1 2? ??( y?? ?z ) 2? 22edy ?? ? ? ? z(? (? ?? ? z ?) ? ?(?)).66.（94，3 分）设相互独立随机变量 X ， Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 39 页 (共 96 页)X01 211 2P则随机变量 Z ? max( X , Y ) 的分布律为 解 易见 Z 只取 0 与 1 两个可能值，且P ( Z ? 0 ) ? P (max( X , Y ) ? 0 ) ? P ( X ? 0 , Y ? 0 ) ? P ( X ? 0 ) P (Y ? 0 ) ? P ( Z ? 1) ? 1 ? P ( Z ? 0 ) ? 3 4 . 1 4 ,67.（96，6 分）设 ? , ? 是相互独立且服从同一分布律的两个随机变量，已知 ? 的分布律为P (? ? i ) ? 1 3 , i ? 1, 2 , 3 ，又设 X ? max( ? , ? ) ， Y ? min( ? , ? ) 。（1）写出二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律； （2）求随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 。 解 （1）易见 ( X , Y ) 的可能取值为 (1, 1) ， ( 2 , 1) ， ( 2 , 2 ) ， ( 3 , 1) ， ( 3 , 2 ) ， ( 3 , 3 ) . 二维 随机变量 ( X , Y ) 的分布律见下表Y X11 9 2 9 2 92 01 9 2 93 0 01 91 2 3（2）先将表中各行相加，求得 X 的分布率为 X P 于是E(X ) ? 1 9 ?1 ? 3 9 ?2 ? 5 9 ?3 ? 22 9 .1 1/92 3/93 5/968. （99， 分） 3 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N ( 0 , 1) 和 N (1, 1) ， 则（ ） 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 40 页 (共 96 页)A． P ( X ? Y ? 0 ) ? B． P ( X ? Y ? 1) ? C． P ( X ? Y ? 0 ) ? D． P ( X ? Y ? 1) ? 解1 2 1 21 21 2因为随机变量 X 和 Y 相互独立，它们又服从正态分布，所以 X ? Y 与 X ? Y 也都服 由于1 2从正态分布，且 X ? Y ~ N (1, 2 ) ， X ? Y ~ N ( ? 1, 2 ).1?1 2P ( X ? Y ? 1) ? ? () ? ? (0) ?.故选（B）.69.（05，4 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布Y X0 0.4b1a0 10.1 ）已知随机事件 { X ? 0} 与 { X ? Y ? 1} 相互独立，则（ A． a ? 0 . 2 , B． a ? 0 . 4 , C． a ? 0 . 3 , D． a ? 0 . 1, 解 选（B）b ? 0 .3 b ? 0 .1 b ? 0 .2 b ? 0 .470.（05，9 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为? 1, f ( x, y ) ? ? ?0, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 x , otherwise ,求： （1） ( X , Y ) 的边缘概率密度 f X ( x ) 和 f Y ( y ) ； （2） Z ? 2 X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) 。 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 41 页 (共 96 页)解（1）当 0 ? x ? 1 时， f X ( x ) ?????f ( x , y ) dy ??2x 0dy ? 2 x .当 x ? 0 或 x ? 1 时，f X ( x) ? 0. 即?2 x, 0 ? x ? 1 f X (x) ? ? ? 0 , otherwise当 0 ? y ? 2 时 ， fY ( y ) ?fY ( y ) ? 0 . 即????f ( x , y ) dx ??1y 2dx ? 1 ?y 2.当 y?0 或y ? 时，?1 ? y / 2 , 0 ? y ? 2 fY ( y ) ? ? otherwise ? 0,（2）解法一 当 z ? 0 时， F Z ( z ) ? 0 . 当 0 ? z ? 2 时，FZ ( z ) ? P ( 2 X ? Y ? z ) ?2x? y? z??f ( x , y ) dxdy ? z ?z2.4当 z ? 2 时， F Z ( z ) ? 1 . 所以，? 1 ? z / 2, 0 ? z ? 2 fZ (z) ? ? otherwise . ? 0,解法二fZ (z) ?????f ( x , 2 x ? z ) dx .其中 f Z ( x , 2 x ? z ) ? ?? 1, ?0,0 ? x ? 1, 0 ? z ? 2 x otherwise当 z ? 0 或 z ? 2 时， f Z ( z ) ? 0 . 当 0 ? z ? 2 时， f Z ( z ) ??1z 2dx ? 1 ?z 2. 即? 1 ? z / 2, 0 ? z ? 2 fZ (z) ? ? otherwise . ? 0,71.（06，9 分）设随机变量 X 的概率密度为? 1 , ? 1 ? x ? 0, 2 ? f X ( x ) ? ? 1 , 0 ? x ? 2, 4 ? 0 , otherwise . ?令 Y ? X ， F ( x , y ) 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数，求2（1） Y 的概率密度 f Y ( y ) ； 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 42 页 (共 96 页)（2） F ( ?1 2,4) .2解 （1） Y 的分布函数为 FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P ( Xf Y ( y ) ? 0 . 当 0 ? y ? 1 时，? y ). 当 y ? 0 时， FY ( y ) ? 0 ,FY ( y ) ? P ( ? ? P (? ? ?3 8 yy ? X ?y) y)y ? X ? 0 ) ? P (0 ? X ? y ? y, 1 4 y1 2 3 4fY ( y ) ?. 当 1 ? y ? 4 时，FY ( y ) ? P ( ? 1 ? X ? 0 ) ? P ( 0 ? X ? ? 1 2fY ( y ) ? 1 8 y .y)?1 4y,当 y ? 4 时， FY ( y ) ? 1,f Y ( y ) ? 0 . 故 Y 的概率密度? 3 , 0? y ?1 ? 8 y ? ? 1 fY ( y ) ? ? , 1? y ? 4 ?8 y otherwise . ?0, ? ?（2）F (? 1 2 ? P(X ? ? , 4) ? P ( X ? ? 1 2 1 2? P(X ? ? 1 2 ? P (?2 ? X ? ? ? P (?1 ? X ? ? 1 2 1 2 )? 1 4 . ) ,? 2 ? X ? 2 ),Y ? 4) ,X2? 4)72.（07，4 分）设随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， f X ( x ) ， f Y ( y ) 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 43 页 (共 96 页)Y 分别表示 X ， 的概率密度， 则在 Y ? y 的条件下，X 的条件概率密度 f X |Y ( x | y ) 为 （）A． f X ( x ) B． f Y ( y ) C． f X ( x ) f Y ( y ) D．f X (x) fY ( y )解 选（A）73.（07，11 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?2 ? x ? y, f ( x, y ) ? ? 0, ? 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, otherwise ,求： （1） P ( X ? 2 Y ) ； （2） Z ? X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) 解 （1） P ( X ? 2 Y ) ?x?2 y??f ( x , y ) dxdy ??1 0dx ? ( 2 ? x ? y ) dy ?01 2?1 0(x ?5 8x ) dx ?27 24.（2） f Z ( z ) ? 其中????f ( x , z ? x ) dx .? 2 ? x ? ( z ? x ), fZ ( x, z ? x) ? ? 0, ? ?2 ? z, ? ? ? 0,0 ? x ? 1, 0 ? z ? x ? 1 otherwise0 ? x ? 1, 0 ? z ? x ? 1 otherwise当 z ? 0 或 z ? 2 时 ， f Z ( z ) ? 0.1 ? z ? 2 时， f Z ( z ) ?当 0 ? z ? 1 时 ， fZ (z) ?2?z 0( 2 ? z ) dx ? z ( 2 ? z ). 当?1 z ?1( 2 ? z ) dx ? ( 2 ? z ) . 即? z ( 2 ? z ), 0 ? z ? 1 ? fZ ( z ) ? ? (2 ? z )2 , 1 ? z ? 2 ? 0, otherwise . ? 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 44 页 (共 96 页)第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量 X 的分布列为 X P －11 301 61 2 1 611 1221 4求 E(X)，E(－X＋1)，E(X2) 解E ( X )? ? 1 ?1 3?? 01 6?1 2?1 31 1 ? ?1 ? 2 ? 2 ?14 6 11 3E ( ? X ? 1) ? ( ? ( ? 1) ? 1) ?? ( ? 0 ? 1) ?1 6? (?1 2? 1) ?1 6? ( ? 1 ? 1) ?2 31 41 12? ( ? 2 ? 1) ?1 4?2 3或者 E ( ? X ? 1) ? E ( ? X ) ? E (1) ? ? E ( X ) ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 3E ( ? X ) ? ( ? 1) ?2 2 1 3? (0 ) ?21 6? (1) ? 221 6? (1) ?21 12? (2 ) ?2?35 242. 一批零件中有 9 件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出 的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为 X, X 的取值为 0, 1, 2, 3, Ak 表示取出废品数为 k 的事件， 则有：P ( Ak ) ? E(X ) ? C3kC12k?3 k ?0C911, k ? 0,1, 2, 3, 66 220 ? 0 .3C12 ? k k ? P ( Ak ) ??3. 已知离散型随机变量 X 的可能取值为－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X2)＝0.9，求 P(X=?1)， P(X＝0)，P(X＝1). 解 根据题意得：E ( X ) ? ? 1 P ( X ? ? 1) ? 0 P ( X ? 0 ) ? 1 P ( X ? 1) ? 0 .1 E ( X ) ? ( ? 1) P ( X ? ? 1) ? 0 P ( X ? 0 ) ? 1 P ( X ? 1) ? 0 .92 2 2 2可以解得 P(X??1)=0.4, P(X=1)=0.5, P(X=0) = 1? P(X??1)?? P(X=1) = 1?0.4?0.5=0.1 4. 设随机变量 X 的密度函数为? 2 (1 ? x ),?????? ? x ? ? ? f (x) ? ? ? ???? ????????? ?其 他 .求 E(X). 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 45 页 (共 96 页)解 由题意, E ( X ) ??? ??xf ( x )d x ??1 02 (1 ? x ) xd x ?1 3,5. 设随机变量 X 的密度函数为? e ? x ,????? x ? 0 ? f (x) ? ? ? ???? ?????? x ? ? ?求 E(2X)，E( e 解E (2 X ) ??2 x).?? ??2 xf ( x )d x ??x??x?2 xe0?xdx?x? 2 xeE (e?2 X?|0 ? ? e0??dx ? 2 ? 0 ? e?|0???2) ? ?? ?? ?? ?e e?2 xf ( x )d x?x?2 xedx ? ?1 3e?3 x0|0 ??1 36. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a，b］上，求球的体积的数学期望. 解 由题意，球的直接 D~U(a,b), 球的体积 V= 4 ? 3 因此， E (V ) ??D? 23?? ??V f ( x )d x ???b a1 ?x? ?? ? dx 3 ?2? b?a 43??2 4 (b ? a )x |0 ?4?24( a ? b )( a ? b )2 27. 设随机变量 X，Y 的密度函数分别为? 2 e ? 2 x ,????? x ? 0 ? fX (x) ? ? ? ???? ????????? x ? ? ? ? 4 e ? 4 y ,???? y ?? 0 ? fY ( y ) ? ? ? ???? ??????? y ? ? ?求 E(X＋Y)，E(2X－3Y2). 解E ( X ? Y) ? E( X ) ??? ?? ??E( Y)? ? ?? ?x f X ( x)dx ? 2 xe?2 x?0?? ??y fY ( y )d y 4 ye?4 ydx ?0???dy1 2?1 4?3 4 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 46 页 (共 96 页)E ( 2 X ? 3Y ) ? 2 E ( X ) ? 3 E ( Y )2 2? 2? ? 2??? ?? ??x f X ( x)dx ? 3? 2 xe?2 x?? ??y fY ( y )d y 4y e2 ?4 y20dx ? 3??? 0dy?1?3 8?5 88. 设随机函数 X 和 Y 相互独立，其密度函数为? 2 x ,?????? ? x ? 1? fX (x) ? ? ? ?? ?????????其 他 ?（ ? e ? y－ 5 ）,???? y ?? 5 ? fY ( y ) ? ? ? ???? ???? ??? y ? 5 ?求 E(XY). 解 由于 XY 相互独立, 因此有E ( X Y ) ? E ( X ) E (Y ) ? ? ???? ??x f X ( x)dx ? dy?? ??y fY ( y )dy?1 02 x dx ?2??ye5? ( y ?5)?? 2? ? ? ( y?5) ? ? ? ? ye 5 3? ? ????e5? ( y?5)?? dy ? ? ? ??? ?? ?? 2? ? ( y ?5) ? ?0 ? 5? ? ? ?e 5 3? ? ? 2 3?? ?? ? ?? ? (?6) ? 4? ?? ? 5 ? ? ? (0 ? 1) ? ? ??2 39. 设随机函数 X 的密度为1 ? ,???? x ? 1? ? f (x) ? ?? 1 ? x2 ? ???? ????????? ? x ? 1. ?求 E(X), D(X). 解E(X ) ???? ??x f ( x)dx ?1?1?1 ?1x 1? x2dx ? 0E(X ) ?2??? ??x f ( x)dx ?2 1 0??1 ?1x21? x 2dx ?22??1 0x21? x 2dx2? ? ? ?2??1? x ?121? xdx ? ?2??1 01 ? x dx ?2??1 01 1? x2dx2 ? 2 1 1 1 ( ) ? arcsin x | 0 ? ? ? 1 ? ? 4 ? 2 2 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 47 页 (共 96 页)D(X ) ? E (X ) ? ? E (X )? ?2 21 210. 设随机函数 X 服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为? x ? 2x? 2 e ,????? x ? 0 ? ? f (x) ? ? ? 2 ? ?????? ?????????? x ? ? ? ?2其中σ &0 是常数，求 E(X)，D(X). 解E(X ) ???? ??x f ( x)dx ?2??0?? 0x2 2x 2 2?x2 2??e2?dx ? ? ????x2 2xd e022?? ? x 2 ?? ? ? ? xe 2 ? ? 0 ? ??? ? ? ?E(X ) ?2??e2?? dx ? ? ???2???x2e02?dxu?x /??2??e0?u22du ? ? ?2? 23 2 ????x 2 2 2???? ??x f ( x)dx ???? 0 ??x?e?dx ? ? ??? 0x de2?x2 22?? 2 ? x 22 ? ? ? ? ? x e 2? ? 0 ? ? ? ? ? 2? ?2 u? x 2 2??x2 22 xe02?2 ?? ? ? x 2 d x ? ? 2 ? xe 2 ? d x 0 ?2???e0?ud u ? ? 2? e2?u?? 0? 2?2D ( X ) ? E ( X ) ? ? E ( X ) ? ? 2?2 22? ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? (2 ? ) ? ? 2 ? 2 ?211. 抛掷 12 颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差. 解 掷 1 颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X2)?(E(X)) 2 = 35/12掷 12 颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X1+X2+?+X12)=12E(X) = 42 D(X1+X2+?+X12) =D(X1)+D(X2)+?+D(X12)=12D(X)=35 12. 将 n 只球（1～n 号）随机地放进 n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球，将一 只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记 X 为配对的个数，求 E(X), D(X). 解 （1）直接求 X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量 Xk? 1, Xk ? ? ? 0, 第 k只 球 装 入 第 k号 盒 子 第 k只 球 没 装 入 第 k号 盒 子, 则有： 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 48 页 (共 96 页)X ??nX k ，Xk 服 0-1 分布k ?1因此： P ( X k ? 0 ) ? 1 ? p ? 1 ?E(X k ) ? p ?n1 n, P ( X k ? 1) ? p ?1 n,1 n,D(X k ) ?n1? 1? ?1 ? ? n? n? 1k? ? E(X ) ? E ?? X k ? ? ? k ?1 ?? E ? X ? ?n ? nk ?1?1（2） X k X j 服从 0-1 分布，则有P ( X k X j ? 1) ? P ( X k ? 1, X j ? 1) ?? n D(X ) ? D ?? X ? k ?1 ? ? ?1 n ( n ? 1), E(X k X j) ?1 n ( n ? 1)k?? ?nnDk ?1? X k ? ? 2?C ov( X k , X j )k? j?k ?11 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ( E ( X k X j ) ? E ( X k ) E ( X j )) n? n ? k? j 1 ? 1 1 ? ? 2? ? ? 2 ? n n ? k ? j ? n ( n ? 1) 1 1 ? 1 ? n ?1? 2 ? ? 2C n ? ? 2 ? ? 1? ? ?1 ? ? ?1 n n ? n ? n ? ? n ( n ? 1)? 1?? 1?1故，E(X)=D(X)=1. 我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X 服从参数为 1 的泊松 分布.13. 在长为 l 的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差. 解 设所取的两点为 X,Y, 则 X,Y 为独立同分布的随机变量, 其密度函数为?1 ? , f X (x) ? ? l ? 0, ? 0? x ?1 other , ?1 ? , fY ( y ) ? ? l ? 0, ? 0? x ?1 other ,? 1 , ? f ( x , y ) ? fY ( x ) fY ( y ) ? ? l 2 ? 0, ?0 ? x, y ? 1 o th er,依题意有E( X ? Y ) ??l x? ??????? ??x ? y f ( x , y ) d xd y?0 ?0 ? x ? y ? l 21d yd x ?? ? ? y ? x? l0 xll12d yd x 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 49 页 (共 96 页)??1 l2?l 0x2dx ?1 l22?l 0l2? lx ?x2dx221 2l22 2 3 ? x3 l ? l ? 1 ? l x lx x ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 6 0? l ? 2 ? 3 0??l 6?l 6?l 3?? ?? ?? ?? 2E (? X ? Y?2) ?2?12?x ? yf ( x , y ) d xd y?? ? ?x ? y?0 0lld xd y2l2? ?1 l2?l 0dx ?l 0?x? 2 xy ? y?d y3 ? 2 y ? l 2 x y ? xy ? ? dx 2 ? ? 3 ? 0 l 0?1l? ? ?1 l2?l 0x l ? xl ?2 2l3dx33 ? l 1 ?1 3 1 2 2 l x l? x l ? x? 2 ? 2 3 ? 0 l ?31 6l2D(X?Y) = E((X?Y)2)?(E(X?Y))2 =1 6l ?21 9l ?21 18l214. 设随机变量 X 服从均匀分布，其密度函数为1 ? ? 2 ,????? ? ? x ? ? f (x) ? ? 2 ? ? ????????其 他 , ? ?求 E(2X2)，D(2X2). 解E (2 XE(X42) ? 2E(X2) ? 2??? ??1 2x f ( x)dx ? 2 ? 2 x dx ?2 2 041 21 6) ? 1 12) ?2??? ??x f ( x)dx ? ? 2 x dx ?4 01 802,2E(X2D (2 X ) ? 4 D ( X ) ? 4 E ( X ) ? ? E ( X ) ?2 4?? ? 4 ? ??? 8 0 ? 1 4 4 ??? ? 4 51 1 115. 设随机变量 X 的方差为 2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率P ( X ? E ( X ) ? 7 .5)的值. 解 由切比雪夫不等式, 取 ? ? 7 .5, ?P( X ? E( X ) ? 2 .5 7 . 5?) 2 7 .52? 2 .5 , 得? 2.4 5 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 50 页 (共 96 页)16. 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.5，如果作 100 次独立试验，设事件 A 发生的 次数为 X，试利用切比雪夫不等式估计 X 在 40 到 60 之间取值的概率 解 由题意，X~B(100，0.5), 则 E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根据切比雪夫不等式, 有P (40 ? X ? 50)? P ( X ? 50 ? 10) ? 1 ??1? 25 100 ? 3 4? ?2 2.17. 设连续型随机变量 X 的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为 f ( x ) ，证明： （1）a≤E(X)≤b； （2） D (X ) ? 解(b-a) 4?? ??2.(1) 由题意，a≤X≤b, 那么E(X ) ??xf ( x ) d xa ? x ? b, 则?a??? ??af ( x)dx ? f ( x)dx ???? ??xf ( x ) d x ???? ?? ??bf ( x )dx f ( x)dx,?? ????? ??xf ( x ) d x ? b ???由于??? ??f ( x)dx ? 1所以 a ? E (X ) ? b (2) 解法(一)因 为 x ? [a,b], 所 以 有 ( x ? a )( x ? b ) ? 0即 x ? (a ? b) x ? ab ? 0 ,2E(X2 2? (a ? b) X ? ab)E ( X ) ? ( a ? b ) E ( X ) ? ab又D(X ) ? E ( X ) ? ? E ( X )?22? (a ? b) E ( X ) ? ab ? ? E ( X ) ?? ? E ( X ) ? a ? ?b ? E ( X )?( ? E ( X )? a ? b ? E ? ? 2 ? X) ? ? ?22( 平 均 值 不 等 式 变 形 : a , b ? 0时 ,ab ?a?b 2)?b?a? ? ? ? ? 2 ?2即D(X ) ?(b ? a ) 42 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 51 页 (共 96 页)解法(二), 由于E (( X ? C ) ) ? E ( X222? 2 XC ? C )22 2? (E ( X ) ? C ) ? E ( X ) ? ? E ( X )?? (E ( X ) ? C ) ? D( X )2当 C ? E ( X )时 ,于是 当C ?E (( X ? C ) ) 取 最 小 值 D ( X )2a?b 2时, 有D ( X )? E?? X? E X (?) ?22 ?? a?b? ? ? E ?? X ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? 2 ?? a?b? ? ? E ??b ? ? ? ?? 2 ? ? ? ?? ? b ? a ?2 ? ?b ? a ? ? E ?? ? ? ?? 2 ? ? 4 ? ? ?218. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X Y 1 2 0 0.1 0.2 1 0.2 0.4求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)， ? X Y 及协方差矩阵. 解 由题设，E ( X ) ? 0 ? (0.1 ? 0.2) ? 1 ? (0.3 ? 0.4) ? 0.7 E (Y ) ? 0 ? (0.1 ? 0.3) ? 1 ? (0.2 ? 0.4) ? 0.6E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4E ( X ) ? 0 ? (0 .1 ? 0 .2 ) ? 1 ? (0 .3 ? 0 .4 ) ? 0 .72 2 2E (Y ) ? 0 ? (0 .1 ? 0 .3) ? 1 ? (0 .2 ? 0 .4 ) ? 0 .62 2 2D ( X ) ? E ( X ) ? ( E ( X )) ? 0.7 ? 0.49 ? 0.212 2D (Y ) ? E (Y ) ? ( E (Y )) ? 0.6 ? 0.36 ? 0.242 2cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = 0.4?0.6×0.7 = ?0.02? X Y ? co v( X , Y ) /? ? 0 .0 2 / D(X ) D (Y )0 .2 1 ? 0 .2 4 ? ? 0 .0 8 9协方差矩阵为? ? 12 C ?? ? ? ? 1? 2? ? 1? 2 ? ?22? 0 .2 1 ??? ? ? ? 0 .0 2? 0 .0 2 ? ? 0 .2 4 ?19. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 52 页 (共 96 页)X －1 Y －1 0 11 8 1 8 1 8011 8 1 801 81 8 1 8试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 解 由于?1 1 1? ?1 1 1? E ( X ) ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? ? 0, ?8 8 8? ?8 8 8? ?1 1 1? ?1 1 1? E (Y ) ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? ? 0, ?8 8 8? ?8 8 8? cov( X , Y ) ? E (( X ? E ( X ))(Y ? E (Y ))) ? E ( X Y )? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 1 8 ? ( ? 1) ? 0 ? 1 81 8 1 8 1 16? ( ? 1) ? 1 ?1 8? 0 ? (1) ? ( ? 1) ?1 8? 1? 0 ?1 8? 1?1?1 8? 0因此 ? X Y ? 0 ,即 X 和 Y 是不相关的.? ? ? 0 ? P ( X ? 0, Y ? 0 ) ,但由于 P ( X ? 0 ) P (Y ? 0 ) ? 因此 X,Y 不是相互独立的.20. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为?1 ? ( x ? y ),?????? ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? f ( x, y ) ? ? 8 ? ???? ??????????????其 他 ， ?求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)， ? X Y 及协方差矩阵. 解f X (x) ? E(X ) ???? ??f ( x, y )dy ? ?2 02 01 8( x ? y )dy ? 7 61 4( x ? 1)??? ??xf X ( x ) d y ? ?1 4x ( x ? 1) d y ?又E(X ) ?2??? ??x f X ( x)dy ?21? 452 0x ( x ? 1) d y ?25 3D ( X )?E( X ? )2?,? 7? E ( X )? ? ? ? ? ? 3 ? 6?2211 36同理可得 E (Y ) ?7 6D (Y ) ?11 36, 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 53 页 (共 96 页)E ( XY ) ?? ??????? ??xy f ( x , y ) d xd y ?1? ? 8022 0xy ( x ? y ) d yd x ?4 3cov( X , Y ) ? E ( X Y ) ? E ( X ) E (Y )? 4 3 ? 7 6 ? 7 6 ? ? 1 36? XY ?co v( X , Y ) D(X ) D (Y )? ?1 36?11 36? ?1 11协方差矩阵为? ? 12 C ?? ? ? ? 1? 2? ? 1? 2 ? ?22? 11 / 36 ??? ? ? ?1 / 36?1 / 36 ? ? 11 / 36 ?21. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且 E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y) ＝12，求(X, Y)的密度函数. 解 由题意, ? ? 则密度函数为1 2 ?? 1? 2 1 ? ?2 ?2 ? ? x ? ? ?2 ? x ? ? 1 ?? y ? ? 2 ? ? y ? ? 2 ? 1 ? ?2? ? 2 2 ? 2 (1 ? ? ) ?1 ?1? 2 ?2 ?cov( X , Y ) D(X ) D (Y )?12 20?3 51f ( x, y ) ?2e? ? ? ??1 3 2??e2 2 25 ? x 3 xy y ? ? ? ? ? 32 ? 16 50 25 ? ? ?22. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求 E((X＋Y)2). 解E ?(X ? Y )2?? E?X22? Y ? 2 X Y ? ? E ( X ) ? E (Y ) ? E (2 X Y )2 2 22 2 2 2 2由于 D (X )= E (X ) ? ? E (X ) ? ? E (X )=1, D (Y )= E (Y ) ? ? E (Y ) ? ? E (Y )=1 因此有E ?( X ? Y )2? ? 1?1? 0 ? 223. 设随机变量 X 和 Y 的方差分别为 25，36，相关系数为 0.4，试求 D(X＋Y)，D(X－Y). 解 由题意，0 . 4? c o vX Y , ( D(X ) D Y ( ) ) , c oXv Y ? ( , ) ? 0?. 4 ? 5 6 12D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y) = 24+25+36=85 因为 cov(X, ?Y) = ?cov(X,Y) = ?12 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 54 页 (共 96 页)因此 D(X?Y) = 2(cov(X,??Y))+D(X)+D(?Y) = ?24 + 25 + 36 = 37. 24. 设随机变量 X 和 Y 相互独立， 且都服从正态分布 N(0, ?2)， U＝aX＋bY， 令 V＝aX?bY， 试求 U 和 V 的相关系数. 解 由于 X，Y 相互独立，则都服从 N(0, ?2)D (U ) ? D ( aX ? bY ) ? a D ( X ) ? b D (Y ) ? ? ( a ? b )2 2 2 2 2D (V ) ? D ( a X ? b Y ) ? a D ( X ) ? ? ? b ? D (Y ) ? ? ( a ? b )2 2 2 2 2D (U ? V ) ? D ( aX ? bY ? aX ? bY ) ? D (2 aX ) ? 4 a ?22co v (U , V ) ? ?1 2 1 2? D (U(4a ?2? V ) ? D (U ) ? D (V ) ?2? 2 ( a ? b )? ) ? ( a ? b )?2 2 2 2 22? ?co v(U , V ) D (U ) D (V )?( a ? b )?2 22 2( a ? b )?2 2?a ?b22 2a ?b225． （87，2 分）已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x ) ? 数学期望为 解 由于 f ( x ) ? ；方差为11 2 ?( x ?1 ) 2? 1 2 21?e? x ? 2 x ?12，则 X 的. ，因此 X ~ N (1,1 2 ). 故 E ( X ) ? 1, D ( X ) ? 1 2 .2?e26.（90，2 分）已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即 P ( X ? k ) ?k ? 0 ,1, 2 , ? ，则随机变量 Z ? 3 X ? 2 的数学期望 E ( Z ) ?2 ek?2，k!.解 由于随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，因此 E ( X ) ? 2 . 故E ( Z ) ? E (3 X ? 2 ) ? 3 E ( X ) ? 2 ? 4 .27. 92， 分） （ 3 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布， 则数学期望 E ( X ? e 解E(X ? e?2X?2 X)?.)??????(x ? e?2x) f ( x ) dx ???? 0(x ? e?2x)e?xdx ?4 3. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 55 页 (共 96 页)28.（95，3 分）设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次命中的概率为 0.4，则X 的数学期望 E ( X ) ?22.解 依题意， X 服从二项分布 B (10 , 0 . 4 ) ， E ( X ) ? np ? 4 , D ( X ) ? npq ? 2 . 4 . 根据方 差的性质可得 E ( X ) ? D ( X ) ? ( E ( X )) ? 18 . 4 .2 229.（96，3 分）设 ? ，? 是两个相互独立且均服从正态分布 N ( 0 , ( 随机变量 | ? ? ? | 的数学期望 E (| ? ? ? |) ?1 2) ) 的随机变量，则2.解 由于随机变量 U ? | ? ? ? | 服从标准正态分布，故??E (| ? ? ? |) ? E (| U |) ????|u |1 2?e?2 u 2du ???? 02u 2?e?2 u 2du ?2?.30.（97，3 分）设相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3 X ? 2 Y 的方差是（ ） A．8 B．16 C．28 D．44 解 因 X 与 Y 独立，故 3 X 与 2 Y 也相互独立.D ( 3 X ? 2 Y ) ? D ( 3 X ) ? D ( ? 2 Y ) ? 9 D ( X ) ? 4 D (Y ) ? 44 .31.（98，6 分）设两个随机变量 X ， Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 布，求随机变量 | X ? Y | 的方差。 解 令Z ? X ?Y1 2的正态分，则E ( Z ) ? E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ) ? 0 ,D ( Z ) ? D ( X ) ? D (Y ) ? 1 .因为独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，故 Z ~ N ( 0 , 1). 于是??E (| Z |) ????|z|1 2?e?2 z 2dz ???? 02z 2?e?2 z 2dz ?2?,E (| Z | ) ? E ( Z ) ? D ( Z ) ? ( E ( Z )) ? 1,2 2 2 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 56 页 (共 96 页)D (| X ? Y |) ? D (| Z |) ? E (| Z | ) ? ( E ( Z )) ? 1 ?2 22?.32.（00，8 分）某流水线上每个产品不合格的概率为 p ， 0 ? p ? 1 ，各产品合格与否相互 独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数 为 X ，求 X 的数学期望. 解 记 q ? 1 ? p , X 的分布为 P (| X ? i |) ? pqE(X ) ?i ?1, i ? 1, 2 , ? ，q 1? q 1 (1 ? q )2??ipqi ?1i ?1? p ? ( q )? ? p ( ? q )? ? p (i i i ?1 i ?1 ???)? ? p?1 p,E(X ) ?2?ii ?1?2pqi ?1? p ( q ? ( q ) ?) ? ? p (i i ?1q (1 ? q )2)? ? p1? q}
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概率论关于分布函数的问题X的分布函数称为F（x),求Y=-2lnF（X)的概率密度函数
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1.F(y)=P{YF^(-1)(exp(-2y))}=1-P{X=02.F(y)=0,y
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概率论与数理统计习题解答
概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 1 页 (共 96 页)第一章随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品 都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2&1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v&0} 2. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下(1) A B C (5) ABC (2) A B C (3) ABC (4) A B C(6 ) A ? B ? C(7) A B ? B C ? AC (8 ) AB ? BC ? CA3．在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生 是三年级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则 （1）事件 AB 表示什么？ （2）在什么条件下 ABC=C 成立？ （3）在什么条件下关系式 C ? B 是正确的？ （4）在什么条件下 A ? B 成立？ 解 所求的事件表示如下 （1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式 C ? B 是正确的. （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时， A ? B 成立. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 2 页 (共 96 页)4．设 P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求 P ( A B ) 解 由于 A?B = A C AB, P(A)=0.7 所以 P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 P ( A B ) = 1?0.4 = 0.6. 5. 对事件 A、B 和 C，已知 P(A) = P(B)＝P(C)＝ 求 A、B、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于 A B C ? A B , P ( A B ) ? 0, 故 P(ABC) = 0 则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) CP(AB) CP(BC) CP(AC)+P(ABC)? 1 4 ? 1 4 ? 1 1 5 ?0?0? ?0 ? 4 8 81 4，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=1 86. 设盒中有 α 只红球和 b 只白球， 现从中随机地取出两只球， 试求下列事件的概率： A＝{两球颜色相同}， B＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为 A a ? b ，有利于 A 的事件数为 A a ? Ab ，有利于 B 的事2 2 2件数为 Aa Ab ? Ab Aa ? 2 Aa Ab ,1 1 1 1 1 1则P ( A) ?A a ? Ab22Aa ? b2P(B) ?2 A a Ab Aa ? b2117. 若 10 件产品中有 7 件正品，3 件次品, （1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设 A={取得三件次品} 则P ( A) ? C33 3?1 12027 1000或 者 P ( A) ?A333?6 720.C1033 3A1 0（2）设 B={取到三个次品}, 则P ( A) ? ?.108. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语， 人会讲日语， 人会讲日语和英语， 35 32 9 人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、 日、 法三种语言中的一种， 求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率. 解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得 (1) P ( A B C ) ? P ( A B ) ? P ( A B C ) ? (2) P ( A BC ) ? P ( A B ) ? P ( A B C )? P(A ? B) ? 0 ? 1? P(A ? B)? 1 ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB )32 100?9 100?23 100 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 3 页 (共 96 页)? 1?43 100?35 100?32 100?54 1009. 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求： （1） 取到的都是白子的概率； （2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解 (1) 设 A={取到的都是白子} 则P ( A) ? C83C12C8 C4 C123 2 13?14 55? 0 .2 5 5 .(2) 设 B={取到两颗白子, 一颗黑子}P(B) ? ? 0 .5 0 9 .(3) 设 C={取三颗子中至少的一颗黑子} P ( C ) ? 1? P ( A )? 0 . 7 4 5 . (4) 设 D={取到三颗子颜色相同}P(D ) ? C8 ? C43 3C123? 0 .2 7 3 .10.（1） 人中， 500 至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？ （2）6 个人中，恰好有 4 个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解 (1) 设 A = {至少有一个人生日在 7 月 1 日}, 则P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? 364 365500 500? 0 .7 4 6(2)设所求的概率为 P(B)P(B) ? C6 ? C4 1 6 1 2? 112? 0 .0 0 7 31211. 将 C，C，E，E，I，N，S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的 概率 p. 解 由于两个 C，两个 E 共有 A 2 A 2 种排法，而基本事件总数为 A 7 ，因此有p ? A2 A2 A77 2 22 2 7? 0 .0 0 0 7 9 412. 解从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率. 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有 C 5 ? 2 中C5 ? 2 C 104 4 444取法. 设 A={4 只手套都不配对}，则有P(A ) ?? 80 21013.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 4 页 (共 96 页)率为 p i ? 少？1 1?i，i=1，2，3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多解 设 Ai = {第 i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则 P ( Ai ) ? p i ? 所以 P ( Ai ) ? 1 ? p i ?i 1? i1 1? iP ( x ? 2 ) ? P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 A 2 A3 )由于零件制造相互独立，有：P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 ) ， P ( A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 ) P ( A1 A 2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 )所 以 , P ( x ? 2) ? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 2 ? 2 3 ? 1 4 ? 1 2 ? 1 3 ? 3 4 ? 11 24假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求 两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解 设 A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第 i 次击中目标}, i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式 14.P ( B ) ? P ( A B ) ? P ( AB ) ? P ( AB ) ? P ( A)P (B | A) ? P ( A ) P (( B1 ? B 2 ) | A )另外, 由于两次射击是独立的, 故 P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式 P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2， 3，4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检 查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设 Ai ={一批产品中有 i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取 10 件检查出一件次 品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意 15. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 5 页 (共 96 页)P ( B | A0 ) ? 0 P ( B | A1 ) ? P ( B | A2 ) ? P ( B | A3 ) ? P ( B | A1 ) ? C1 C 49 C 501 10 10 9 1 9?1 5C 2 C 48 C 501 9?16 49C 3 C 47 C 501 10 10 9?39 98C 4 C 46 C 50?988 2303由于 A0, A1, A2, A3, A4 构成了一个完备的事件组, 由全概率公式P ( B )??4P Ai P B( A i| ? ) ( )0 .1 9 6i?0由 Bayes 公式P ( A0 | B ) ? P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ? P ( A0 ) P ( B | A0 ) P(B) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P(B) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P(B) ? 0 .3 3 3 ? 0 .2 5 5 ? 0故P (C ) ??2P ( A i | B ) ? 0 .5 8 8i?0由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分 别为 0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这 批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概 率）. 解 设 B={三件都是好的}，A1={损坏 2%}, A2={损坏 10%}, A3={损坏 90%}，则 A1, A2, A3 是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=Ω , P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式 16.P(B) ??3P ( Ai ) P ( B | Ai )3 3 3i ?1? 0 .8 ? 0 .9 8 ? 0 .1 5 ? 0 .9 0 ? 0 .0 5 ? 0 .1 0? 0 .8 6 2 4由 Bayes 公式, 这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为P ( A1 | B ) ? P ( A2 |B ) ? P ( A3 | B ) ? P ( A i )P B ( P(B ) P ( A i )P B ( P(B ) P ( A i )P B ( P(B ) Ai | Ai | Ai | ) 0 .8 ? 0 .9 8 ? ? 0 .8 7 3 1 0 .8 6 2 43) 0 .1? 5 0 .9 0 ? ? 0 .1 2 6 8 0 .8 6 2 43) 0 .0? 5 0 .1 0 ? ? 0 .0 0 0 1 0 .8 6 2 43由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2. 17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残 次品，且含 0， 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱， 1 随意检查其中 4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 6 页 (共 96 页)次品，试求： （1）一次通过验收的概率α ； （2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β . 解 设 Hi={箱中实际有的次品数}, i ? 0,1, 2 , A={通过验收} 则 P(H0)=0.8,P ( A | H 0 ) ? 1, P( A | H1) ? P(A | H 2) ? C 23 C 24 C 22 C 244 4 4 4P(H1)=0.15,5 6 ? 95 138P(H2)=0.05, 那么有：?,(1)由全概率公式? ? P ( A) ??2P ( H i ) P ( A | H i ) ? 0 .9 6i?0(2)由 Bayes 公式 得? ? P (H i | A) ?P(H 0 ) P( A | H 0 ) P ( A) ? 0 .8 ? 1 0 .9 6 ? 0 .8 3一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为 0.1，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？ 解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是 5 重伯努 利试验. 由题意，有 p=0.1, q=1?p=0.9, 故 18. (1) (2)P1 ? P5 ( 2 ) ? C 5 (0 .1) (0 .9 )2 2 3? 0 .0 7 2 9P2 ? P5 (3) ? P5 ( 4 ) ? P5 (5 )? C 5 (0.1) (0.9) ? C 5 (0.1) (0.9) ? C 5 (0.1) (0.9) ? 0.008563 3 2 4 4 1 5 5 019.解甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为 0.6， 乙胜的概率为 0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比 赛制度下甲获胜的可能性较大？ 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为PA ? P3 ( 2 ) ? P3 (3) ? C 3 ( 0 .6 ) ( 0 .4 ) ? C 3 ( 0 .6 ) ( 0 .4 )2 2 1 3 3 0? 0 .6 4 8在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为PB ? P5 (3) ? P5 ( 4 ) ? P5 (5 ) ? C 5 ( 0 .6 ) ( 0 .4 ) ? C 5 ( 0 .6 ) ( 0 .4 ) ? C 5 ( 0 .6 ) ( 0 .4 )3 3 2 4 4 1 5 5 0? 0 .6 8 2因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大. 20. 4 次重复独立试验中事件 A 至少出现一次的概率为65 81，求在一次试验中 A 出现的概率. 解 设在一次独立试验中 A 出现一次的概率为 p, 则由题意P4 ( 0 ) ? C 4 p q0 0 4? (1 ? p )4? 1?65 81解得 p=1/3. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 7 页 (共 96 页)21.（87，2 分）三个箱子，第一个箱子中有 4 只黑球 1 只白球，第二个箱子中有 3 只黑球 3 只白球，第三个箱子有 3 只黑球 5 只白球. 现随机地取一个箱子，再从这 个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此 球属于第二个箱子的概率为解设 B ? “取出白球” A i ? “球取自第 i 个箱子” i ? 1, 2 , 3 . A1 , A 2 , A 3 是一个 ， ，P ( B | A1 ) ? 1 / 5 ， P ( B | A 2 ) ? 1 / 2 ，完 全 事 件 组 ， P ( A i ) ? 1 / 3 , i ? 1, 2 ,3 .P ( B | A 3 ) ? 5 / 8 ，应用全概率公式与贝叶斯公式P(B) ?? P(Ai ?13i) P ( B | Ai ) ?1 1 1 5 53 ( ? ? ) ? , 3 5 2 8 12020 53P ( A2 | B ) ?P ( A2 ) P ( B | A2 ) P(B)?.22. 89， 分） （ 2 已知随机事件 A 的概率 P ( A ) ? 0 . 5 ， 随机事件 B 的概率 P ( B ) ? 0 . 6 及条件概率 P ( B | A ) ? 0 . 8 ，则和事件 A ? B 的概率 P ( A ? B ) ? 解P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( A ) P ( B | A ) ? 0 . 7 .23. 90， 分） （ 2 设随机事件 A ，B 及其和事件 A ? B 的概率分别是 0 . 4 ，0 . 3 和 0 . 6 . 若 B 表示 B 的对立事件，那么积事件 A B 的概率 P ( A B ) ? 解A B 与 B 互不相容，且 A ? B ? A B ? B . 于是P ( A B ) ? P ( A ? B ) ? P ( B ) ? 0 .3 .24. （ 92 ， 3分 ） 已 知 P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ?1 161 4， P ( AB ) ? 0 ，P ( AC ) ? P ( BC ) ?，则事件 A ， B ， C 全不发生的概率为解从 P ( AB ) ? 0 可知， P ( ABC ) ? 0 .P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) P ( AB ) ? P ( AC ) ? P ( BC ) ? P ( ABC )?1 4?1 4?1 4?0?1 16?1 16?0 ?5 8. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 8 页 (共 96 页)25.（93，3 分）一批产品共有 10 件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件， 抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 解 设事件 B i ? “第 i 次抽出次品” i ? 1, 2 . 则 P ( B1 ) ? 2 / 12 , P ( B1 ) ? 10 / 12 ， ，P ( B 2 | B1 ) ? 1 / 11 , P ( B 2 | B1 ) ? 2 / 11 . 应用全概率公式 P ( B 2 ) ? P ( B1 ) P ( B 2 | B 1 ) ? P ( B1 ) P ( B 2 | B1 )?2 12?1 11?10 12?2 11?1 6.26.（94，3 分）已知 A ， B 两个事件满足条件 P ( AB ) ? P ( A B ) ，且 P ( A ) ? p ， 则 P(B) ?解P ( A B ) ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB ). 因 P ( AB ) ? P ( A B ) ，故有P ( A ) ? P ( B ) ? 1, P ( B ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ? p .27.（06，4 分）设 A ， B 为随机事件，且 P ( B ) ? 0 ， P ( A | B ) ? 1 ，则必有（ A． P ( A ? B ) ? P ( A ) B． P ( A ? B ) ? P ( B ) C． P ( A ? B ) ? P ( A ) D． P ( A ? B ) ? P ( B ) 解 选（C））28.（05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X ，再从 1，2，?， X 中任 取一个数，记为 Y ，则 P (Y ? 2 ) ? 解 填13 48 .29.（96，3 分）设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1 % 和 2 % ，现从由 A 和 B 的产品分别占 60 % 和 40 % 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品 属 A 生产的概率是 解 设事件 C ? “抽取的产品是次品” 事件 D ? “抽取的产品是 A 生产的” 则 D ， ， 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 9 页 (共 96 页)表示“抽取的产品是工厂 B 生产的”. 依题意有P ( D ) ? 0 . 60 , P ( D ) ? 0 . 40 , P ( C | D ) ? 0 . 01 , P ( C | D ) ? 0 . 02 .应用贝叶斯可以求得条件概率P(D | C ) ? P ( D ) P (C | D ) P ( D ) P (C | D ) ? P ( D ) P (C | D ) ? 0 . 6 ? 0 . 01 0 . 6 ? 0 . 01 ? 0 . 4 ? 0 . 02 ? 3 7 .30.（97，3 分）袋中有 50 只乒乓球，其中 20 只是黄球，30 只是白球，今有两人依 次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件 Ai ? “第 i 个人取得黄球” i ? 1, 2 . 根据题设条件可知 ，P ( A1 ) ? 20 50 , P ( A1 ) ? 30 50 , P ( A 2 | A1 ) ? 19 49 20 50 , P ( A 2 | A1 ) ? 20 49 2 5 .应用全概率公式P ( A 2 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 | A1 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 | A1 ) ? ? 19 49 ? 30 50 ? 20 49 ? .31.（87，2 分）设在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p 。现进行 n 次独立试验， 则 A 至少发生一次的概率为 解 ；而事件 A 至多发生一次的概率为 .由于每次试验中事件 A 发生的概率都是 p ，并且 n 次试验相互独立. 这是 n 重伯努利试验概型. 若 B i ? “ n 次试验中事件 A 发生 k 次” ，则P ( B k ) ? C n p (1 ? q )k k n?k, k ? 0 ,1, 2 , ? , n .事件 A 至少发生一次的概率为1 ? P ( B 0 ) ? 1 ? (1 ? p ) .n事件 A 至多发生一次的概率为P ( B 0 ) ? P ( B1 ) ? (1 ? p ) ? np (1 ? p )n n ?1.32.（88，2 分）设三次独立实验中，事件 A 出现的概率相等. 若已知 A 至少出现一 次的概率等于 解19 27，则事件 A 在一次试验中出现的概率为.设事件 A 在一次试验中出现的概率为 p ，这是一个 3 重伯努利试验概型. 因此3在三次独立试验中，事件 A 至少出现一次的概率为 1 ? (1 ? p ) . 依题意，有1 ? (1 ? p ) ?319 27,解之得 p ? 1 / 3 . 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 10 页 (共 96 页)33.（89，2 分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5. 现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 解 设事件 A ?“甲射中” B ?“乙射中” 依题意 P ( A ) ? 0 . 6 , P ( B ) ? 0 . 5 , A 与 B ， ，相互独立. P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) ? 0 . 3 . 因此P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB ) ? 0 . 8 ,P ( A | ( A ? B )) ?P ( A ( A ? B )) P(A ? B)?P ( A) P(A ? B)? 0 . 75 .34. （ 98 ， 3 分 ） 设 A ， B 是 两 个 随 机 事 件 ， 且 0 ? P ( A ) ? 1 ， P ( B ) ? 0 ，P ( B | A ) ? P ( B | A ) ，则必有（）A． P ( A | B ) ? P ( A | B ) B． P ( A | B ) ? P ( A | B ) C． P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) D． P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) 解 应用条件概率定义，从 P ( B | A ) ? P ( B | A ) 可得P ( AB ) P ( A) ? P(A B) P(A),即(1 ? P ( A )) P ( AB ) ? P ( A )( P ( B ) ? P ( AB ))化简得 P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) ，应选（C）35.（99，3 分）设两两相互独立的三事件 A ， B 和 C 满足条件： ABC ? ? ，P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ? 1 2，且已知 P ( A ? B ? C ) ?9 16，则 P ( A ) ?解由于 A ， B ， C 两两独立，且 P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) ，所以 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 11 页 (共 96 页)P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) ? ( P ( A )) ,2P ( AC ) ? P ( A ) P ( C ) ? ( P ( A )) ,2P ( BC ) ? P ( B ) P ( C ) ? ( P ( A )) ,2P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) ? P ( AB ) ? P ( AC ) ? P ( BC ) ? P ( ABC )? 3 P ( A ) ? 3 ( P ( A )) .3依题意，有3 P ( A ) ? 3 ( P ( A )) ?29 16,( P ( A )) ? P ( A ) ?23 16? 0解之，得 P ( A ) ? 1 / 4 ,P ( A ) ? 3 / 4 （舍去）36.（00，3 分）设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P ( A ) ? 解1 9， A 发生 B 不依 题 意 P ( A B ) ? P ( A B ) ， 故 P ( AB ) ? P ( A B ) ? P ( AB ) ? P ( A B ).即P ( A ) ? P ( B ).又因 A 与 B 独立，故 A 与 B 独立.P ( A B ) ? P ( A ) P ( B ) ? ( P ( A )) ? 1 / 9 .2解得 P ( A ) ? 1 / 3 ,P ( A) ? 2 / 3 .37.（07，4 分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p ，0 ? p ? 1 ，则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为（）A． 3 p (1 ? p ) B． 6 p (1 ? p )222C． 3 p (1 ? p ) D． 6 p (1 ? p )222解选（C）6 538.（88，2 分）在区间 ( 0 , 1) 中随机取两个数，则事件“两数之和小于”的概 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第 12 页 (共 96 页)率为解这是一个几何概型的计算问题. 设 x , y 分别表示在区间 ( 0 , 1) 中随机地取两个数，则试验的样本空间 ? 为第一象限中的单位正方形区域，即? ? {( x , y ) | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1}. 设 事 件 A ? “ 两 个 数 之 和 小 于6 5” 则 ，A ? {( x , y ) | x ? y ?6 5, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1} . 由于点落在 ? 内的任何区域的概率与区域的面积成正比，故P ( A) ? SA S? ?1? 1 4 2 17 ( ) ? , 2 5 25其中 S A 与 S ? 分别表示集合 A 与集合 ? 的面积.39.（91，3 分）随机地向半圆 0 ? y ?2 ax ? x2（ a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴的夹 ? 角小于 的概率为4解设事件 A ? “掷的点和原点连线与 x 轴夹角小于?4” ，这是一个几何概型的计算问题. 由几何概率公式P ( A) ? SD S?其中S D ? S ? ABC ? S 1 / 4 circle ?1 a ?21 2a ?21 4?a ,2S? ?1 2?a .21 4?a2故 P ( A) ? 21 2?1 2?1a2?.40.（07，4 分）在区间 ( 0 , 1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为 解 参考 38 题解得这两个数之差的绝对值小于1 21 2的概率为 .43 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 13 页 (共 96 页)第二章 随机变量及其分布1. 有 10 件产品，其中正品 8 件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数 X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示： X 0 1 2 p 28/45 16/45 1/453 4 1 42. 进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：?1? P(X ? k) ? ? ? ?4?k ?1?3? ? ? , k ? 1, 2, 3, ? ?4?X 取偶数的概率：P{ X 为 偶 数 } ??k=1??1? P ( X ? 2k ) ? ? ? ? k=1 ? 4 ??2 k ?1?3? ? ? ?4?k 1 ? ? 1 ? 16 ? 1 ? 3? ? ? 3? ? 5 1? 1 k=1 ? 1 6 ? 163. 从 5 个数 1，2，3，4，5 中任取三个为数 x1 , x 2 , x 3 .求： X＝max ( x1 , x 2 , x 3 )的分布律及 P(X≤4)； Y＝min ( x1 , x 2 , x 3 )的分布律及 P(Y&3). 解 基本事件总数为： C 5 ? 1 0 ，3(1)X 的分布律为： X p P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为 Y p P(X&3) =0?k3 0.14 0.35 0.61 0.62 0.33 0.14. C 应取何值，函数 f(k) = C，k＝1，2，?，λ &0 成为分布律？k!解 由题意,??f (x) ? 1 , 即k ?1 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 14 页 (共 96 页)??C?kk ?1k!? C???k ?10 ? ? ?k ? ? ? ? C ?? ? ? ? C ( e ? 1) ? 1 k! k! 0! ? ? k ?0 k解得： C ?1 ( e ? 1)?5. 已知 X 的分布律 X P －11 612 623 6求： （1）X 的分布函数； （2） P ? X ? ??1? ? 2?； （3） P ? 1 ? X ? ??3? ? 2?.解(1) X 的分布函数为 F ( x ) ? P ( X ? x ) ?? 0 , ? ?1 / 6 , F ( x) ? ? ? 1 / 2, ?1, ? x? ? 1 ? ? x? 1 1? x ? 2 x? 2xk ? x?pk;1(2) P ? X ?? ? ??1? 1 ? ? P ( X ? ? 1) ? 2? 6 3? ? ? P (? ) ? 0 2?(3) P ? 1 ? X ?6. 设某运动员投篮投中的概率为 P＝0.6，求一次投篮时投中次数 X 的分布函数，并作出 其图形. 解 X 的分布函数 F(x)? 0 ? F ( x ) ? ? 0 .6 ? 1 ? x? 0 0 ? x ?1 x ?11 0.6 0 1 x7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为 p，求： （1）三次射击中恰好命中两次的概率； （2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设 A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则 (1) P(A) = P3 (2) ? C 3 p (1 ? p )2 2 3? 2? 3 p (1 ? p )2(2) P(B) = P3 (2) ? P3 (3) ? C 3 p (1 ? p )2 23? 2? C 3 p (1 ? p )3 33?3? 3p ? 2p238. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求： （1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率； （2）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率. 解 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 15 页 (共 96 页)(1) P(X=6) = P(X=6) =??kek???46e?4? 0 .1 0 4 或者?4k!e??6!?k!??4ke??kk ?6k!?e?4?4ke?4= 0.21487 C 0.11067 = 0.1042.k ?7k!(2) P(X≤10) ??104ke?4k ?0k!? 1??4? 1 ? 0.00284 = 0.99716k ? 11k!9. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X＝1)＝P(X＝2)，求 P(X＝4) 解 由已知可得，?1e????2e??,1!242!解得λ =2， (λ =0 不合题意)因 此 , P ( X ? 4) ? e?2= 0.094!10. 商店订购 1000 瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为 0.003，求商店收到的玻璃 瓶， （1）恰有两只； （2）小于两只； （3）多于两只； （4）至少有一只的概率. 解 设 X={1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则 X 服从参数为 n=1000, p=0.003 的二项分布，即 X~B(), 由于 n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊 松分布来近似, 即 X~π (3). 因此 (1) P(X=2) ? (2) P ( X32e?3? 0 .2 2 4?2!? 2) ? 1 ? P ( X ? 2) ? 1 ? ? 3ke?3?3? 1 ? 0.8008 ? 0.1992k ?2k!(3) P ( X ? 2 ) ? P ( X ? 2 ) ? (4) P ( X ? 1) ???3ke? 0 .5 7 6 8k ?3k!??3ke?3? 0.9502k ?1k!11. 设连续型随机变量 X 的分布函数为? 0, ? 2 F ( x ) ? ? kx , ? 1, ? x?0 0 ? x ?1 x ?1求： （1）系数 k； （2）P(0.25&X&0.75)； （3）X 的密度函数； （4）四次独立试验中有三 次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率. 解 (1) 由于当 0≤x≤1 时，有 F(x)=P(X≤x)=P(X&0)+P(0≤X≤x)=kx2 又 F(1) =1, 所以 k×12=1 因此 k=1. (2) P(0.25&X&0.75) = F(0.75)?F(0.25) = 0.752?0.252=0.5 (3) X 的密度函数为? 2 x, 0 ? x ? 1 f ( x ) ? F '( x ) ? ? ? 0, O ther(4) 由(2)知，P(0.25&X&0.75) = 0.5， 故 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 16 页 (共 96 页)P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} = C 43 0.5 3 (1 ? 0.5) 4 ? 3 ? 0.25 .12. 设连续型随机变量 X 的密度函数为? ? F (x) ? ? ? ? k 1? x 0,2,x ?1 x ?1求： （1）系数 k； （2） P ? ??X ?1? ? 2?； （3）X 的分布函数. 因此1 ak r c s i n x ? ? ?1 k? 1解(1)由题意， ? ????f ( x )d x ? 1 ,?? ? ? ?f ( x) d x ? 1?1 ? 1 ?k 1? x2d? x解得: k ?? ??(2) P ? x ?1? ?? 2??1/ 2 ?1 / 2k 1? x2dx ?11/ 2 arcsin x ?1 / 2??1 ?? ?? ? 1 ? ? ?? ? ? 6 6 ? 3(3) X 的分布函数x ??F (x) ??? 0 ? f ( x )d x ? ?1 / 2 ? arcsin x / ? ?1 ?x ? ?1 ?1? x ? 1 x ?1解得: k ? 1/?13. 某城市每天用电量不超过 100 万千瓦时，以 Z 表示每天的耗电率(即用电量除以 100 万 千瓦时)，它具有分布密度为?1 2 x (1 ? x ) 2 , F (x) ? ? ? 0, 0? x ?1 其他若该城市每天的供电量仅有 80 万千瓦时， 求供电量不够需要的概率是多少？如每天供 电量为 90 万千瓦时又是怎样的？ 解 如果供电量只有 80 万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z&80/100)=P(Z&0.8)= ?1 0 .81 2 x (1 ? x ) d x ? 0 .0 2 7 22如果供电量只有 90 万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z&90/100)=P(Z&0.9)= ?1 0 .91 2 x (1 ? x ) d x ? 0 .0 0 3 7214. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 布，分布密度为x ? 1 600 e , ? F ( x) ? ? 600 ? 0, ?小时)都服从同一指数分0? x 0? x试求在仪器使用的最初 200 小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率. 解 设 X 表示该型号电子元件的寿命，则 X 服从指数分布，设 A={X≤200}，则 概率论与数理统计x 600习题参考答案（仅供参考）1 3第二章第 17 页 (共 96 页)P(A)= ?200 01 600?edx ? 1 ? e?设 Y={三只电子元件在 200 小时内损坏的数量}，则所求的概率为：P ( Y ? 1 ) ? 1? P ( ? 0 )? Y 13C ?0P0( ) ? 1P A (? 3A(0)) ??1 33 ? 1e1 ( ? ) ? 1 e15. 设 X 为正态随机变量，且 X～N(2， ? )，又 P(2&X&4) = 0.3，求 P(X&0) 解 由题意知2?2? 2 P ( 2? X ? 4 )? P ? ? ?X ? 2 ???4? 2 ? ? ? ?? 2? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?00.3 ?即 ??? 2 ? ? ? 0 .3 ? 0 .5 ? 0 .8 ?? ??故 P ( X ? 0 ) ? P ? X ? 2 ? 0 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? 0 .2 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?16. 设随机变量 X 服从正态分布 N(10，4)，求 a，使 P(|X－10|&a) = 0.9. 解 由于 P ? | XX ? 10 a ? ? ?a ? 1 0 |? a ? ? P ? ? a ? X ? 1 0 ? a ? ? P ? ? ? ? 2 2 2? ??a? ? ?a ? ?a? ? ?? ???? ? ? 2 ? ? ? ? 1 ? 0 .9 ?2? ? 2 ? ?2?所以 ? ??a? ? ? 0 .9 5 ?2?a 2查表可得， 即 a = 3.3=1.6517. 设某台机器生产的螺栓的长度 X 服从正态分布 N(10.05，0.062)，规定 X 在范围(10.05 ±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 解 由题意，设 P 为合格的概率，则P ? P( | X? 1 0 . 0 5 | ? 0?1 2 ? . P) ? ? 0 .X1 2 ? X ?1 0 . 0 5 ? ? 1 0 ?. ? 5 ? P 0 .?1 2 0 ? 2 ? 0.06 ? ? ? ? 2? ? (2) ? ? ( ? 2) ? 2 ? (2) ? 1 ? 2 ? 0.9772 ? 1 ? 0.9544则不合格的概率=1?P = 0.0456 18. 设随机变量 X 服从正态分布 N(60，9)，求分点 x1，x2，使 X 分别落在(－∞，x1)、(x1， x2)、(x2，+∞)的概率之比为 3:4:5. 解 由题，x1 ? 60 3 ? X ? 60 x1 ? 60 ? P ( X ? x1 ) ? P ? ? )? ? 0.25 ? ? ?( 3 3 3 3?4?5 ? ? ? (? x1 ? 60 3 ) ? 1? ?( x1 ? 60 3 ) ? 0.75,查表可得? x1 ? 6 0 3 ? 0 .6 7解得, x1 = 57.99x ? 60 ? x2 ? 6 0 3? 4 ? X ? 60 又 P ( X ? x2 ) ? P ? ? 2 )? ? 0 .5 8 3 3 ? ? ?( 3 3 3 3?4?5 ? ? 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 18 页 (共 96 页)查表可得x2 ? 60 3 ? 0 .2 1解得, x2 =60.63. 19. 已知测量误差 X（米）服从正态分布 N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一 次误差的绝对值不超过 10 米的概率大于 0.98？ 解 设一次测量的误差不超过 10 米的概率为 p, 则由题可知7 . 5 ?1 0 ? 7 . 5 ? ? 1 0? 7 . 5 X ? p ? P( X ? 1 0 ? P ? ) ? ? ? 10 10 1 0? ? ? ? ( 0 . 2 5 )? ? ( ? 1 .?7? ) 5 ?0?2 5 ) ( . ? 1? ( 1 . 7?5 )? 0 . 5 9?8 7 5 5 1 6 0 . 9 5 9 9 8 0.设 Y 为 n 次独立重复测量误差不超过 10 米出现的次数，则 Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784 取 n=5, 即，需要进行 5 次测量. 20. 设随机变量 X 的分布列为 X －2 0 P1 7 1 723 732 7试求： （1）2X 的分布列； （2）x2 的分布列. 解 (1) 2X 的分布列如下 2X p -4 1/7 0 1/7 4 3/7 6 2/7(2) x2 的分布列 X2 p 0 1/7 4 4/7 9 2/721. 设 X 服从 N(0，1)分布，求 Y＝｜X｜的密度函数. 解 y=|x|的反函数为 h (y)= ? ? x , ?? x, x?0 x?0, 从而可得 Y=|X|的密度函数为：1 2?? y2当 y&0 时，f Y ( y ) ? f X ( ? y ) | ( ? y ) ' | ? f X ( y) | y ' | ?e2?1 2?? y2e2?2? y2?e2当 y≤0 时， f Y ( y ) ? 0 因此有? y ? 2 e 2 , ? fY ( y ) ? ? ? ? ? 0,2y ? 0 y ? 022. 若随机变量 X 的密度函数为?3 x 2 , f (x) ? ? ? 0, 0? x ?1 其他 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 19 页 (共 96 页)求 Y＝1 x 1 x的分布函数和密度函数.解y=在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)=1 y,y&1, h’(y)= ?1 y2? 1 ? ? 1 ?? 1 ? 1 3 f Y ( y ) ? f X [ h ( y )] | h ? ( y ) | ? f X ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 ? ? 4 y y ? y ? ? y ?? y ?? 3 ? 4 , y ?1 fY ( y ) ? ? y ? 0 , o th e r ?因此有? y y ?4 ?3 ?3 ? 1? y , ? ?1 3 y d y ? ? y Y 的分布函数为： FY ( y ) ? ? 1 ? ? 0,y ?1 o th er23. 设随机变量 X 的密度函数为2 ? , ? 2 f ( x ) ? ? ? (1 ? x ) ? 0, ?试求 Y＝lnX 的密度函数. 解x?0 x?0由于 y ? ln x 严格单调，其反函数为 h ( y ) ? e , 且 h '( y ) ? e , 则y yf Y ( y ) ? f X [ h ( y )] | h ? ( y ) | ? f X ( e ) eyy? ?2ey 2y? (1 ? e2)y? (e?y?e ), ? ? ? y ? ??24. 设随机变量 X 服从 N(μ , ? )分布，求 Y＝ e 的分布密度.2 x解x 由于 y ? e 严格单调，其反函数为 h ( y ) ? ln y , 且 h '( y ) ? , y&0, 则1yf Y ( y ) ? f X [ h ( y )] | h ? ( y ) | ? f X (ln y ) 1 2? ? y? 1 2?21 y?(ln y ? ? )2e,y ? 0当 y ? 0 时 fY ( y ) ? 0 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 20 页 (共 96 页)因此1 ? ( ? 1 2 e 2? ? f Y ( y ) ? ? 2? ? y ? ? 0,l n?? y2),y ? 0 y ? 025. 假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y＝ 1 ? e 分布. 解h ( y )? 1 ? 2?2 x在区间(0, 1)上服从均匀由 于 y ? 1? el n ?1 ( y?2 x在 (0,1 ,+ ∞ ) 上 单 调 增 函 数 ， 其 反 函 数 为 ：) ?, y 0 ?并且h '( y ) ?1 2 (1 ? y )，则当 0 ? y ? 1f Y ( y ) ? f X [ h ( y )] | h ?( y ) | ? f X (? ? 2e?2 ( ?1 21 2ln (1 ? y )) 11 2 (1 ? y ) ?1ln (1 ? y ))2 (1 ? y )当 y≤0 或 y≥1 时， f Y ( y ) =0. 因此 Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布.26. 把一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中正面出现的次数，Y 表示三次中出现正面的 次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3 次正面，2 次正面 1 次反面, 1 次正面 2 次反面, 3 次反面, 对应的 X,Y 的取值及概率分别为 P(X=3, Y=3)=1 83 ?1P(X=2, Y=1)= C 3 ?12?1? ?1? 3 ? ? ?? ?2? ?2? 832? 1 ?? 1 ? P(X=1, Y=1)= C 3 ? ? ? ? ? 2 ?? 2 ??3 81 ?1? P(X=0, Y=3)= ? ? ? 8 ?2?于是， （X，Y）的联合分布表如下： X Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/827. 在 10 件产品中有 2 件一级品，7 件二级品和 1 件次品，从 10 件产品中无放回抽取 3 件，用 X 表示其中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求： （1）X 与 Y 的联合概率分布； （2）X、Y 的边缘概率分布； （3）X 与 Y 相互独立吗？ 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 21 页 (共 96 页)解根据题意，X 只能取 0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得： (1)p ij ? P ( X ? i , Y ? j ) ? C 2C 7 C1 C103 i j k,其中, i ? j ? k ? 3, i ? 0,1, 2, j ? 0,1, 2, 3k ? 0,1 ,可以计算出联合分布表如下Y X 0 1 2p?j0 0 0 1/120 1/1201 0 14/120 7/120 21/1202 21/120 42/120 0 63/1203 35/120 0 0 35/120pi?56/120 56/120 8/120(2) X,Y 的边缘分布如上表 (3) 由于 P(X=0,Y=0)=0, 而 P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此 X,Y 不相互独立. 28. 袋中有 9 张纸牌，其中两张“2” ，三张“3” ，四张“4” ，任取一张，不放回，再任取 一张，前后所取纸牌上的数分别为 X 和 Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及 概率 P(X＋Y&6) 解 (1) X,Y 可取的值都为 2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为： Y X 2 3 4p?j22A 2 / A9 ? 1 / 3 62 1 13A 2 A3 / A9 ? 1 / 1 22 1 14A 2 A 4 / A9 ? 1 / 92pi?2/9 1/3 4/9A3 A 2 / A 9 ? 1 / 1 21 1 2A3 / A9 ? 1 / 122 2C 3 C 4 / A9 ? 1 / 61 1 2A 4 A 2 / A9 ? 1 / 91 1 2A 4 A3 / A9 ? 1 / 61 1 2A 4 / A9 ? 1 / 62 22/91/34/9(2) P(X+Y&6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4) =1/6+1/6+1/6=1/2. 29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为x ?? y? ? F ( x , y ) ? A ? B ? arctan ? ? C ? arctan ? , 2 ?? 3? ?求： （1）系数 A、B 及 C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y 的边缘分布函 数及边缘概率密度； （4）随机变量 X 与 Y 是否独立？ 解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组： 概率论与数理统计? ? ?A? ? ? ? ? ?A? ? ? ? ?A? ? ? ? ? ? ? A ? ? ? ?习题参考答案（仅供参考）第二章第 22 页 (共 96 页)x ?? ? ? B ? a r c t a n? ? C ? ? ? 2 ?? 2 ? B ? B ? B ?0? ?? ? ??y ? ? ? C ? a rc ta n ? ? 0 2 ?? 3 ?? ? ??C ? ? ? 0 2 ?? 2 ? ? ? ??C ? ? ?1 2 ?? 2 ?2? ??解得： A ?1?, B ?2?2, C ??2,(2) f ( x , y ) ?? F ( x, y ) ?x?y?6? ( 4 ? x )(9 ? y )2 2 2(3) X 与 Y 的边缘分布函数为：FX ( x ) ? F ( x, ? ? ) ? 1 ?? x ?? ? ? ? 1 ?? x? ? arctan ? ? ? ? ? ? ? arctan ? 2 ? ? ? 2 2 ?? 2 2 ? ? ? 2 2?FY ( y ) ? F ( ? ? , y ) ?1 ?? ? ?? ? y? 1 ?? y? ? ? ? ? arctan ? ? ? ? arctan ? 2 ? ? ? 2 2 ?? 2 3? ? ? 2 2?2X 与 Y 的边缘概率密度为：f X ( x )? FX x ? ( )'? (x ? 4 )2f Y ( y ) ? FY ( ? y )'3? (y ? 9 )2(4) 由(2),(3)可知： f ( x , y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) , 所以 X，Y 相互独立. 30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为? e -(x + y) , f ( x, y ) ? ? 0, ? 0 ? x ? ?? , 其他（1）求分布函数 F(x, y)； （2）求(X，Y)落在由 x＝0，y＝0，x＋y＝1 所围成的三角形区域 G 内的概率. 解 (1) 当 x&0, y&0 时， F ( x , y ) ? 否则，F(x, y) = 0. (2) 由题意，所求的概率为P (( x , y ) ? G ) ? ?? ?0yxe0? (u ? v )d u d v ? (1 ? e?x)(1 ? e?y)??G 1? x 0f ( x , y )d xd y?(x? y)?1 0dx ?edy ? 1 ? 2e?1? 0 .2 6 4 231. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为? A e -(3 x + 4 y) , f ( x, y ) ? ? 0, ? x ? 0, y ? 0, 其他求： （1）常数 A； （2）X，Y 的边缘概率密度； （3） P (0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2) . 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 23 页 (共 96 页)解(1) 由联合概率密度的性质，可得? ??????? ??f ( x , y )d xd y ? 1 ?? ?0????Ae0?( 3 ? xy 4d xd y ? A / 1 2)解得 A=12. (2) X, Y 的边缘概率密度分别为：f X (x) ???? ??? ?? 1 2 e ? (3 x ? 4 y ) d y ? 3e ?3 x , ? f ( x , y )d y ? ? ? 0 ? 0, o th er ?x ?0fY ( y ) ???? ??? ?? 1 2 e ? (3 x ? 4 y ) d x ? 4 e ?4 y , ? f ( x , y )d x ? ? ? 0 ? 0, o th er ?y ?0(3) P (0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2)?? ?02112e0 ?3? (3 x ? 4 y )d xd y )? (1 ? e)(1 ? e?832. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为xy ? 2 , ?x ? f ( x, y ) ? ? 3 ? 0, ? 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2, 其他求 P(X＋Y≥1). 解 则P (( x , y ) ? G ) ? ? ?由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线 x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1 围的区域 G 中,??G 2 1? xf ( x , y )d xd y x ?2? ?1 0 1 0dx ? 4x 3xy 3dy32?x 2?5x 6dx ?65 7233. 设二维随机变量(X, Y)在图 2.20 所示的区域 G 上服从均匀分布， 试求(X, Y)的联合概率 密度及边缘概率密度. 解 由于(X, Y)服从均匀分布，则 G 的面积 A 为：A???Gf ( x , y )d xd y ??1 0dx ? 2 dy ? ? ( x ? x )dx ?2 x 0x11 6,(X, Y)的联合概率密度为： 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 24 页 (共 96 页)?6 , f ( x , y )? ? ? 0,0? x ? o th er.1X,Y 的边缘概率密度为：f X ( x )???? ??? x 2 6 d y ? 6 x ? x ) , ?0 x ? ( ? f x y d y ? ? ?x ( , ) ? 0, o th er ?21fY ( y ) ???? ??? y 6d y ? 6 ( ? f ( x , y )d x ? ? ? y ? 0, ?y ? y ), o th er0 ? y ?134. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y 的概率密度是? 5 e ? 5 y ,???? y ? 0 fy ( y) ? ? y ? 0 ? 0,求： （1）X 和 Y 和联合概率密度； （2）P(Y≤X). 解 由于 X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以 f X ( x ) ? 1 / 0 .2 ? 5 (1) 由于 X，Y 相互独立，因此 X, Y 的联合密度函数为：? 2 5 e ?5 y , f ( x , y ) ? f X ( x ) fY ( y ) ? ? ? 0, y ? 0, 0 ? x ? 0 .2 o th eryy=x(2) 由题意，所求的概率是由直线 x=0, x=0.2, y=0, y=x 所围的区域， 如右图所示， 因此P (Y ? X ) ? ? 5?0 .2 000.2x??Gf ( x , y )d xd y ??1?0 . 2 0d x ? 2 5e0x?5 ydy1? e?5 xdx ? 1 ? e? 1 ?e?135. 设（X，Y）的联合概率密度为?1 ? ,????0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 f ( x, y ) ? ? 2 ? 0, 其 他 ?求 X 与 Y 中至少有一个小于 解 所求的概率为1 2的概率. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 25 页 (共 96 页)1 1 ? ? P ? ( X ? ) ? (Y ? ) ? 2 2 ? ? 1 1? ? ?1? P? X ? , Y ? ? 2 2? ? ?1? ?1?? ?0 .5 1????f ( x , y ) d xd y0 .5 2? ?0 .51 2d xd y ?5 80 .536. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X －1 1 3 P1 2 1 5Y －3 P1 413 43 10求二维随机变量（X，Y）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表 X Y -3 1pi?-1 1/8 3/8 1/21 1/20 3/20 1/53 3/40 9/40 6/20p?j1/4 3/437. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 X Y 11 6 1 91231 182 a b c （1）求常数 a，b，c 应满足的条件； （2）设随机变量 X 与 Y 相互独立，求常数 a，b，c. 解 由联合分布律的性质，有：1 6 ? 1 9 ? 1 18 ? a ? b ? c ?1,即 a + b + c =1 ?1 1 1 : : 6 9 181 3?2 3又，X, Y 相互独立，可得 a : b : c ? 从而可以得到： a ?1 3 , b ? 2 9 , c ? 1 938. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 26 页 (共 96 页)? x2 ,???? x ? 0, y ? 1, ? 2 1? x ? 2 3 ? x y F ( x, y ) ? ? ,???? x ? 0, 0 ? y ? 1, 2 ?1 ? x ? ???0,?????????其 他 ， ? ?求边缘分布函数 F x ( x ) 与 F y ( y ) ，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数2 2 ? x x lim ? ,x ? 0 ? 2 F X ( x ) ? F ( x , ? ? ) ? ? y ? ?? 1 ? x 2 1? x ? 0, x?0 ?下面计算 FY(y)? ? 0, ? 2 3 x y ? 3 FY ( y ) ? F ( ? ? , y ) ? ? lim ? y , 2 x ? ?? 1 ? x ? 2 ? x ? 1, ? xlim? 2 ? ?? 1 ? x y?0 0 ? y ?1 y ?1可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y 相互独立. 39. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为? 2 1? y e ,???? x ? 1, y ? 1 ? f ( x, y ) ? ? x3 ? 0,????????? 其 他 ， ?求边缘概率密度 f X ( x ) 与 f Y ( y ) ，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 解 先计算 f X ( x ) , 当 x&1 时, f X ( x ) ? 0 当 x≥1 时,fX (x) ????2 x3e1? ydy ??2 x3e1? y?? 1?2 x31再计算 f Y ( y ) , 当 y≥1 时,当 y&1 时, f Y ( y ) ? 0fY ( y ) ????2 x3e1? ydx ??1 x2e1? y?? 1?e1? y1可见, f ( x , y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) , 所以随机变量 X, Y 相互独立 40. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 27 页 (共 96 页)? x ? y ,?????? ? x ? y ? ? ? f ( x, y ) ? ? ? 0,????????? 其 他 ，求边缘概率密度 f X ( x ) 与 f Y ( y ) ，并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立. 解 先计算 f X ( x ) , 当 x&0 或者 x&1 时, f X ( x ) ? 0 当 1≥x≥0 时,fX (x) ??1 0x ? y d y ? xy ?1 2y21 0? x?1 2再计算 f Y ( y ) , 当 y&0 或者 y&1 时, f Y ( y ) ? 0 当 1≥y≥0 时,fY ( y ) ??1 0x ? yd x ? xy ?? ?1 2x21 0? y?1 2由于 f ( x , y ) ? x ? y ? f X ( x ) f Y ( y ) ? ? x ?1 ?? 1? ? ? y ? ? , 所以随机变量 X,Y 不独立 2 ?? 2?41. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为? 2 e ? x ? 2 y ,????? x ? 0 ? y ? 0 f ( x, y ) ? ? ? 0,????????? 其 他求随机变量 Z＝X－2Y 的分布密度. 解 先求 Z 的分布函数 F(z)F ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? 2Y ? z ) ?D :X ? 2Y ? z??yf ( x , y ) d xd y当 z&0 时，积分区域为：D={(x,y)|x&0, y&0, x?2y≤z} 求得 F ( z ) ?D y z y x y 0 z x yx?2y=z x y??? ?z 2dy ?ez?2 y2e0? x?2 ydx1 2? 2??? ?z 2?2 y?e?4 y ? zdy ?ez当 z≥0 时，积分区域为：D={(x,y)|x&0, y&0, x?2y≤z}，F (z) ???? 0dy ?ez?2 y2e0? x?2 ydx1 2?z? 2??? 0?2 y?e?4 y ? zdy ? 1 ?e由此, 随机变量 Z 的分布函数为1 ?z ? 1? e , ? ? 2 F (z) ? ? 1 z ? e , ?2 ? z?0 z ?00 z x yD y z x yx?2y=z x y因此, 得 Z 的密度函数为： 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 28 页 (共 96 页)? 1 ?z e , ?2 ? f (z) ? ? ? 1 ez, ?2 ?z ? 0 z ? 042. 设随机变量 X 和 Y 独立，X～ N ( ? ? ? ) ，Y 服从［－b，b］(b&0)上的均匀分布，求2随机变量 Z＝X＋Y 的分布密度. 解 解法一 由题意，F (z) ???? ??f X ( z ? y ) fY ( y ) d y ??b ?b1 2? ??(z? y?a)2e2?2?1 2bdy令( z ? y ? a ) / ? ? t , dy ? ? ? dt , y ? [ ? b , b ], 则F (z) ?? 2b??? ??1z?b?a?z?b?a1 2??t2e2dt ?1 2b?? ?z?b?a?? ? ? ? z ??b ? a ? ??解法二F (z) ? ? ? f X ( x ) fY ( z ? x ) d x ,- b & z - x & b, z-b & x& z+bF (z) ? 1?z?b z ?b1 2? ?e?(x ? a) 2?22?1 2bdx?1 ? ? z ?b? a ? ? x? a ? z ?b ? z ? b ? a ?? ?? ? ? ???? ?? ?? ? 2b 2b ? ? ? ? ? ? ? z ?b ? ? ?? 1 ? ?a ? z ?b? ? ? a ? z ? b ??? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ??? 2b ? ? ? ? ? ? ? ??? 1 ? ?a ? z ?b? ? a ? z ? b ?? ???? ?? ?? ? 2b ? ? ? ? ? ? ????43. 设 X 服从参数为 ＋Y 的密度函数. 解1 2的指数分布，Y 服从参数为1 3的指数分布，且 X 与 Y 独立，求 Z＝X由题设，X~ f X ( x ) ? ?? ?? 0, ?1 2x? 0 e? x1 2, x ? 0,Y~ f Y ( y ) ? ?? 0, ?1 ? 3e ? ? x1 3x?0 , x ?0并且，X，Y 相互独立，则 F Z ( z ) ???? ??f X ( x ) fY ( z ? x )d x由于 f X ( x ) 仅在 x&0 时有非零值， f Y ( z ? x ) 仅当 z?x&0，即 z&x 时有非零值，所以当 z&0 时， f X ( x ) =0, 因此 f Z ( z ) =0. 当 z&0 时，有 0&z&x, 因此 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 29 页 (共 96 页)FZ ( z ) ???1 6z 01 2ze1 6? x1 21 3e? (z?x)1 3dx? z 2?e0? x?z 3dx ? e?z 3?e44. 设（X，Y）的联合分布律为 X 0 1 2 3Y 0 0 0.05 0.08 0.12 1 0.01 0.09 0.12 0.15 2 0.02 0.11 0.13 0.12 求： （1）Z＝X＋Y 的分布律； （2）U＝max（X，Y）的分布律； （3）V＝min（X，Y） 的分布律. 解 (1) X+Y 的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y 的分布如下 Z p 0 0 1 0.06 2 0.19 3 0.35 4 0.28 5 0.12同理，U=max(X,Y)的分布如下 U p 0 0 1 0.15 2 0.46 3 0.39U∈{0,1,2,3}同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V p 0 0.28 1 0.47 2 0.25V∈{0,1,2}45.（90，2 分）已知随机变量 X 的概率密度函数f (x) ? 1 2 e?|x|,? ? ? x ? ?? ,则 X 的概率分布函数 F ( x ) ? 解 当 x ? 0 时， 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 30 页 (共 96 页)F (x) ??x??f ( t ) dt ??0x1 2??e dt ?t1 2xe .x当 x ? 0 时，F (x) ??0??f ( t ) dt ??x 0f ( t ) dt ??1 2??e dt ?t?1 2e dt ? 1 ??t1 2e?x.0因此， X 的概率分布函数为?1 x e , x?0 ?2 F ( x) ? ? 1 ?1 ? e ? x , x ? 0 2 ?46.（97，7 分）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯 的事件是相互独立的，并且概率都是 律. 解 可以看出随机变量 X 服从二项分布 B ( 3 , 2 / 5 ) ，其概率分布为k 2 k 3 3? k P ( X ? k ) ? C 3 ( ) ( ) , k ? 0 ,1, 2 , 3 5 52 5，设 X 为遇到红灯的次数，求随机变量 X 的分布于是随机变量 X 的分布律为 X P 0 27/125 1 54/125 2 36/125 3 8/12547.（02，3 分）设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别 为 f 1 ( x ) 和 f 2 ( x ) ，分布函数分别为 F1 ( x ) 和 F 2 ( x ) ，则（ A． f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 必为某一随机变量的概率密度 B． f 1 ( x ) f 2 ( x ) 必为某一随机变量的概率密度 C． F1 ( x ) + F 2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数 D． F1 ( x ) F 2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数 解 首先可以否定选项（A）和（C） ，因为 ）??? ??( f 1 ( x ) ? f 2 ( x )) dx ? 2 ? 1,F1 ( ?? ) ? F 2 ( ?? ) ? 2 ? 1 .? 1, ? 2 ? x ? ? 1 ?0, otherwise ? 1, ?0, 0? x ?1 otherwise对于选项（B） ，若 f 1 ( x ) ? ?， f2 (x) ? ?，则对任何 x ， 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 31 页 (共 96 页)f1 ( x ) f 2 ( x ) ? 0 ,??? ??f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx ? 0 ? 1, 因此也否定（C）. 故选（D）.事实上， F1 ( x ) F2 ( x ) 是随机变量 X ? max( X 1 , X 2 ) 的分布函数. 48.（88，2 分）设随机变量服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布。已知? (x) ??x1 2???e?2 u 2du ， ? ( 2 . 5 ) ? 0 . 9938 ，则 X 落在区间 ( 9 . 95 , 10 . 05 ) 内的概率为解 依题意， X ~ N (10 , 0 . 02 ).2因此X ? 10 0 . 02~ N ( 0 , 1). 于是P ( 9 . 95 ? X ? 10 . 05 ) ? P (|X ? 10 0 . 02|? 2 . 5 ) ? 2 ? ( 2 . 5 ) ? 1 ? 0 . 9876 .49.（89，2 分）若随机变量 ? 在 (1, 概率是6 ) 上服从均匀分布，则方程 x ? ? x ? 1 ? 0 有实根的2解 设事件 A ?“方程有实根”而方程有实根的充要条件是根的判别式 ? ? ? ? 4 ? 0 . 即 ，2A ? {?2? 4}. 因此P ( A ) ? P (? ? 2 ) ? P (? ? ? 2 ) ? 0 . 8 ? 0 ? 0 . 8 .50. （91， 分） 3 若随机变量 X 服从均值为 2， 方差为 ? 的正态分布， P ( 2 ? x ? 4 ) ? 0 . 3 ， 且2则 P ( X ? 0) ? 解 依题意P (2 ? X ? 4) ? ? ( ?( 2 4?2?) ? ?(2?2?),?) ? P ( 2 ? X ? 4 ) ? ? ( 0 ) ? 0 .3 ? 0 .5 ? 0 .8 .于是P ( X ? 0) ? ? ( 0?2?) ? ? (?2?) ? 1? ?(2?) ? 0 .2 .51.（08，4 分）设随机变量 X 和 Y 独立同分布，且 X 的分布密度函数为 F ( x ) ，则Z ? max{ X , Y } 的分布函数为（）A． F ( x )2 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 32 页 (共 96 页)B． F ( x ) F ( y ) C． 1 ? (1 ? F ( x ))2D． (1 ? F ( x ))( 1 ? F ( y )) 解 选（A）.1 3Y 的概率密度为52. （08， 分） 11 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 P ( X ? i ) ?i ， ? ? 1, 0 , 1 ，? 1, fY ( y) ? ? ?0,0 ? y ? 1, otherwise .记 Z ? X ? Y ，求： （1） P ( Z ?1 2 | X ? 0) ；（2） Z 的概率密度 f Z ( z ) .P ( X ? 0, Z ? | X ? 0) ? P ( X ? 0) 1 2 P ( X ? 0,Y ? ? P ( X ? 0) 1 2解 （1） P ( Z ?1 2)) ? P (Y ?1 2)?1 2.（2） F z ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? Y ? z )? P ( X ? Y ? z , X ? ? 1) ? P ( X ? Y ? z , X ? 0 ) ? P ( X ? Y ? z , X ? 1) ? P (Y ? z ? 1, X ? ? 1) ? P (Y ? z , X ? 0 ) ? P ( Y ? z ? 1, X ? 1) ? P ( Y ? z ? 1) P ( X ? ? 1) ? P ( Y ? z ) P ( X ? 0 ) ? P ( Y ? z ? 1) P ( X ? 1) ? ? 1 3 1 3 ( FY ( z ? 1) ? FY ( z ) ? FY ( z ? 1)).1 ?1? z ? 2 otherwise( P ( Y ? z ? 1) ? P ( Y ? z ) ? P ( Y ? z ? 1))?1 ? , f Y ( z ) ? F Z? ( z ) ? ( f Y ( z ? 1) ? f Y ( z ) ? f Y ( z ? 1)) ? ? 3 3 ? 0, ?53.（04，4 分）设随机变量 X 服从正态分布 N ( 0 , 1) ，对给定的 ? ， 0 ? ? ? 1 ，数 u ? 满 足 P ( X ? u ? ) ? ? ，若 P (| X |? x ) ? ? ，则 x 等于（ A． u? 2）B． u 1 ? ?2 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 33 页 (共 96 页)C． u1?? 2D． u 1 ? ? 解 由于 X ~ N ( 0 , 1) ，故对于任何正数 ? ，有P(X ? ?) ? P(X ? ?) ? 1 2 P (| X |? ? )若 P (| X |? x ) ? ? ，则因 0 ? ? ? 1 ，必有 x ? 0 ，且P ( X ? x) ? 1 2 P (| X | ? x ) ? 1 2 P (| X |? x ) ? 1 2 (1 ? P (| X |? x )) ? 1?? 2 .由此可见， x ? u1?? 2. 应选（C）.54.（06，4 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [ 0 , 3 ] 上的均匀分布，则P (max{ X , Y } ? 1) ?解 填 .9155. 88， 分） （ 6 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ?1? (1 ? x )2， 求随机变量 Y ? 1 ?3X 的概率密度函数 f Y ( y ) 。 解 先求出随机变量 Y 的分布函数，再求 f Y ( y ) .FY ( y ) ? P ( Y ? y ) ? P (1 ?3X ? y ) ? P ( X ? (1 ? y ) ) ?3??? (1 ? y )31? (1 ? x )2dx .用变下限积分求导可得fY ( y ) ? dF Y ( y ) dy ? 3 (1 ? y )2 6? (1 ? (1 ? y ) ).56.（93，3 分）设随机变量 X 服从 ( 0 , 概率分布密度 f Y ( y ) ?2 ) 上均匀分布，则随机变量 Y ? X 在 ( 0 ,24) 内解 方法一，先求随机变量 Y 的分布函数，再求 f Y ( y ) . 当 y ? 0 时， FY ( y ) ? 0 . 当 y ? 4 时， FY ( y ) ? 1 . 当 0 ? y ? 4 时， 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 34 页 (共 96 页)FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P ( X2? y) ? P( X ?y ) ? FX (y) ?y 2.于是，? 1 , 0? y ? 4 ? ?( y) ? ? 4 y f Y ( y ) ? FY ?0, otherwise ?方法二，应用单调公式法. 由于 y ? x 在 ( 0 ,24 ) 内单调，反函数 x ? h ( y ) ?y 在 (0,2 ) 内可导，且导数h ?( y ) ? 21 y恒不为零，因此随机变量 Y 的概率分布密度? | h ? ( y ) | f X ( h ( y )), fY ( y ) ? ? 0, ?? 1 , 0? y ? 4 ? ? ?4 y ?0, otherwise ?0? y ? 4 otherwise57. 95， 分） （ 6 设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x ) ? ? 概率密度 f Y ( y ) ??e ? x , ? 0,x ? 0, x ? 0.求随机变量 Y ? e 的X解 方法一，先求随机变量 Y 的分布函数，再求 f Y ( y ) . 当 y ? 1 时， FY ( y ) ? 0 . 当 y ? 1 时，FY ( y ) ? P ( Y ? y ) ? P ( e ? y ) ? P ( X ? ln y ) ?x?ln ye0?xdx ? 1 ?1 y.于是，? 1 , ? ?( y) ? ? y 2 f Y ( y ) ? FY ? 0, ? y ?1 y ?1方法二，应用单调公式法. 由 于 y ? e 在 ( 0 , ?? ) 内 单 调 ， 其 反 函 数 x ? ln y 在 (1, ?? ) 内 可 导 且 其 导 数xx ?y ?1 y? 0 , 因此 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 35 页 (共 96 页)? 1 ? ln y ? 1 ,y ?1 ? 2 , ? e fY ( y ) ? ? y ? ? y ? 0, y ? 1 ? 0, ? ?y ?1 y ?1258.（98，3 分）设平面区域 D 由曲线 y ?1 x及直线 y ? 0 ， x ? 1 ， x ? e 所围成，二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D 上服从均匀分布，则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x ? 2 处的 值为 解 首先求 ( X , Y ) 的联合概率密度 f ( x , y ) . 设区域 D 的面积为 S D ，则依题意有SD ??e 121 xdx ? ln x |1 ? 2 ,e2?1 ? , f ( x, y ) ? ? 2 ? 0, ?( x, y ) ? D , ( x, y ) ? D.其中 D ? {( x , y ) | 1 ? x ? e , 0 ? y ?21 x}.2 2其次，求关于 X 的边缘概率密度. 当 x ? 1 或 x ? e 时， f X ( x ) ? 0 . 当 1 ? x ? e 时，f X (x) ??????f ( x , y ) dy ?1 4 .?1 x1 2dy ?1 2x. 故 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x ? 2 处的0值为 f X ( 2 ) ?59.（99，8 分）设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出二维随机变量 ( X , Y ) 联合分布律 及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。Y Xy1y21 8y3P ( X ? x j ) ? Pi ?x1 x2P (Y ? y j ) ? P? j1 81 61解 首先根据边缘分布公式 p ?1 ?Y X?2p i 1 求出 p 11 ?1 24. 然后再依次求出其他值. 见下表i ?1y11 24y21 8y31 12P ( X ? x j ) ? Pi ?1 4x1 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 36 页 (共 96 页)x2P (Y ? y j ) ? P? j1 8 1 63 8 1 21 4 1 33 4160.（01，7 分）设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ? ,? ? 0 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p ， 0 ? p ? 1 ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的 人数，求： （1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率； （2）二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布。 解 （1） P (Y ? m | X ? n ) ? C n p (1 ? p )m m n?m,m ? 0 ,1, ? n ， n ? 1, 2 , ?（2） P ( X ? n , Y ? m ) ? P ( X ? n ) P (Y ? m | X ? n ) ?n ? 0 ,1, 2 , ? ， m ? 0 ,1, ? n .?ne??n!? C n p (1 ? p )m mn?m,61.（03，4 分）二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布为?6 x, f ( x, y ) ? ? ? 0, 0 ? x ? y ? 1, otherwise ,则 P ( X ? Y ? 1) ? 解P ( X ? Y ? 1) ?x ? y ?1??f ( x , y ) dxdy ??1 20dx ?1? x x6 xdy ?1 4.62.（87，6 分）设随机变量 X ， Y 相互独立，其概率密度函数分别为? 1, f X ( y) ? ? ?0, 0 ? x ? 1, otherwise .?e?y , fY ( y) ? ? ?0,y ? 0, y ? 0.求随机变量 Z ? 2 X ? Y 的概率密度。 解 由于 X ， Y 相互独立，因此它们的联合概率密度为?e ? y , f ( x , y ) ? f X ( x ) fY ( y ) ? ? ? 0, 0 ? x ? 1, y ? 0 otherwise 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 37 页 (共 96 页)随机变量 Z 的分布函数为FZ ( z ) ? P ( 2 X ? Y ? z ) ?2x? y?z??f ( x , y ) dxdy? 0, z ?0 ? z?2x ? 2z ?y ? ? ? dx ? e dy , 0 ? z ? 2 0 0 ? 1 z?2x ?y e dy , z ? 2 ? ? dx ? 0 0 ? ? 0, z ? 0 ? ? 2z 2x?z ? ? ? (1 ? e ) dx , 0 ? z ? 2 0 ? 1 2x?z ) dx , z ? 2 ? ? (1 ? e 0 ?? ? 0, z ? 0 ? z 1 1 ?z ? ? ? ? ? e , 0? z ? 2 ?2 2 2 ? 1 ? 1 ( e 2 ? 1) e ? z , z ? 2 ? 2 ?随机变量 Z 的概率密度为? ? 0, z ?0 ?1 ? ?z f Z ( z ) ? F Z? ( z ) ? ? (1 ? e ), 0 ? z ? 2 ?2 ? 1 ( e 2 ? 1) e ? z , z ? 2. ?2 ?63.（89，6 分）设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1，标准差（均方差）为 2 的 正态分布，而 Y 服从标准正态分布，试求随机变量 Z ? 2 X ? Y ? 3 的概率密度函数。 解 由于独立的正态随机变量 X 与 Y 的线性组合仍服从正态分布，于是随机变量 Z ? 2 X ? Y ? 3 的概率密度函数为fZ (z) ? 1 3 2? e?( z ?5 ) 18 2.64.（91，6 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?2e ?(x?2 y) , f ( x, y ) ? ? 0, ? x ? 0, y ? 0, otherwise ,求随机变量 Z ? X ? 2 Y 的概率密度。 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 38 页 (共 96 页)解F ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? 2Y ? z ) ?x?2 y?z??f ( x , y ) dxdy当 z ? 0 时， F ( z ) ? 0 . 当 z ? 0 时，F (z) ??z 0dx ?2? z 22e?(x?2 y)dy ?0?z(e0?x?e?z) dx ? 1 ? e?z? ze?z.所以，随机变量 Z ? X ? 2 Y 的概率密度函数为? 0, z ? 0 f (z) ? ? ?z ?? e , z ? 0.65. 92， 分） （ 6 设随机变量 X 与 Y 独立， X 服从正态分布 N ( ? , ? ) ， Y 服从 [ ? ? , ? ] 且 而2上的均匀分布，试求 Z ? X ? Y 的概率密度函数（计算结果用标准正态分布函数 ? 表示， 其中 ? ( x ) ?1 2??x??e?t2 2dt ） 。解 解法一：先求分布函数 F Z ( z ).FZ ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? Y ? z ) ??z? yx? y?z??f X ( x ) f Y ( y ) dxdy 1 2??????dy ?1 2?1 2? ??( x?? ) 2? 22??edx ?? ? ?(?z? y???) dy因此， Z 的概率密度函数为f Z ( z ) ? F Z? ( z ) ? 1 2??????1?(z? y???) dy .其中 ? 是标准正态分布的密度函数. 由于 ? ( x ) 是偶函数，因此有?(z? y?? ) ? ?( y? ? ? z ).??于是? 2? ? 解法二：直接应用独立随机变量之和密度的卷积公式.?fZ (z) ?1 2?????1?(y? ? ? z) dy ?1(? (? ?? ? z) ? ?(?? ? ? ? z?2)).fZ (z) ? ? ??1 2? 1 2?f X ( z ? y ) f Y ( y ) dy ?? ? 2???11 2? ??( x? y?? ) 2? 2edy????1 2? ??( y?? ?z ) 2? 22edy ?? ? ? ? z(? (? ?? ? z ?) ? ?(?)).66.（94，3 分）设相互独立随机变量 X ， Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 39 页 (共 96 页)X01 211 2P则随机变量 Z ? max( X , Y ) 的分布律为 解 易见 Z 只取 0 与 1 两个可能值，且P ( Z ? 0 ) ? P (max( X , Y ) ? 0 ) ? P ( X ? 0 , Y ? 0 ) ? P ( X ? 0 ) P (Y ? 0 ) ? P ( Z ? 1) ? 1 ? P ( Z ? 0 ) ? 3 4 . 1 4 ,67.（96，6 分）设 ? , ? 是相互独立且服从同一分布律的两个随机变量，已知 ? 的分布律为P (? ? i ) ? 1 3 , i ? 1, 2 , 3 ，又设 X ? max( ? , ? ) ， Y ? min( ? , ? ) 。（1）写出二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律； （2）求随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 。 解 （1）易见 ( X , Y ) 的可能取值为 (1, 1) ， ( 2 , 1) ， ( 2 , 2 ) ， ( 3 , 1) ， ( 3 , 2 ) ， ( 3 , 3 ) . 二维 随机变量 ( X , Y ) 的分布律见下表Y X11 9 2 9 2 92 01 9 2 93 0 01 91 2 3（2）先将表中各行相加，求得 X 的分布率为 X P 于是E(X ) ? 1 9 ?1 ? 3 9 ?2 ? 5 9 ?3 ? 22 9 .1 1/92 3/93 5/968. （99， 分） 3 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N ( 0 , 1) 和 N (1, 1) ， 则（ ） 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 40 页 (共 96 页)A． P ( X ? Y ? 0 ) ? B． P ( X ? Y ? 1) ? C． P ( X ? Y ? 0 ) ? D． P ( X ? Y ? 1) ? 解1 2 1 21 21 2因为随机变量 X 和 Y 相互独立，它们又服从正态分布，所以 X ? Y 与 X ? Y 也都服 由于1 2从正态分布，且 X ? Y ~ N (1, 2 ) ， X ? Y ~ N ( ? 1, 2 ).1?1 2P ( X ? Y ? 1) ? ? () ? ? (0) ?.故选（B）.69.（05，4 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布Y X0 0.4b1a0 10.1 ）已知随机事件 { X ? 0} 与 { X ? Y ? 1} 相互独立，则（ A． a ? 0 . 2 , B． a ? 0 . 4 , C． a ? 0 . 3 , D． a ? 0 . 1, 解 选（B）b ? 0 .3 b ? 0 .1 b ? 0 .2 b ? 0 .470.（05，9 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为? 1, f ( x, y ) ? ? ?0, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 x , otherwise ,求： （1） ( X , Y ) 的边缘概率密度 f X ( x ) 和 f Y ( y ) ； （2） Z ? 2 X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) 。 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 41 页 (共 96 页)解（1）当 0 ? x ? 1 时， f X ( x ) ?????f ( x , y ) dy ??2x 0dy ? 2 x .当 x ? 0 或 x ? 1 时，f X ( x) ? 0. 即?2 x, 0 ? x ? 1 f X (x) ? ? ? 0 , otherwise当 0 ? y ? 2 时 ， fY ( y ) ?fY ( y ) ? 0 . 即????f ( x , y ) dx ??1y 2dx ? 1 ?y 2.当 y?0 或y ? 时，?1 ? y / 2 , 0 ? y ? 2 fY ( y ) ? ? otherwise ? 0,（2）解法一 当 z ? 0 时， F Z ( z ) ? 0 . 当 0 ? z ? 2 时，FZ ( z ) ? P ( 2 X ? Y ? z ) ?2x? y? z??f ( x , y ) dxdy ? z ?z2.4当 z ? 2 时， F Z ( z ) ? 1 . 所以，? 1 ? z / 2, 0 ? z ? 2 fZ (z) ? ? otherwise . ? 0,解法二fZ (z) ?????f ( x , 2 x ? z ) dx .其中 f Z ( x , 2 x ? z ) ? ?? 1, ?0,0 ? x ? 1, 0 ? z ? 2 x otherwise当 z ? 0 或 z ? 2 时， f Z ( z ) ? 0 . 当 0 ? z ? 2 时， f Z ( z ) ??1z 2dx ? 1 ?z 2. 即? 1 ? z / 2, 0 ? z ? 2 fZ (z) ? ? otherwise . ? 0,71.（06，9 分）设随机变量 X 的概率密度为? 1 , ? 1 ? x ? 0, 2 ? f X ( x ) ? ? 1 , 0 ? x ? 2, 4 ? 0 , otherwise . ?令 Y ? X ， F ( x , y ) 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数，求2（1） Y 的概率密度 f Y ( y ) ； 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 42 页 (共 96 页)（2） F ( ?1 2,4) .2解 （1） Y 的分布函数为 FY ( y ) ? P (Y ? y ) ? P ( Xf Y ( y ) ? 0 . 当 0 ? y ? 1 时，? y ). 当 y ? 0 时， FY ( y ) ? 0 ,FY ( y ) ? P ( ? ? P (? ? ?3 8 yy ? X ?y) y)y ? X ? 0 ) ? P (0 ? X ? y ? y, 1 4 y1 2 3 4fY ( y ) ?. 当 1 ? y ? 4 时，FY ( y ) ? P ( ? 1 ? X ? 0 ) ? P ( 0 ? X ? ? 1 2fY ( y ) ? 1 8 y .y)?1 4y,当 y ? 4 时， FY ( y ) ? 1,f Y ( y ) ? 0 . 故 Y 的概率密度? 3 , 0? y ?1 ? 8 y ? ? 1 fY ( y ) ? ? , 1? y ? 4 ?8 y otherwise . ?0, ? ?（2）F (? 1 2 ? P(X ? ? , 4) ? P ( X ? ? 1 2 1 2? P(X ? ? 1 2 ? P (?2 ? X ? ? ? P (?1 ? X ? ? 1 2 1 2 )? 1 4 . ) ,? 2 ? X ? 2 ),Y ? 4) ,X2? 4)72.（07，4 分）设随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， f X ( x ) ， f Y ( y ) 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第 43 页 (共 96 页)Y 分别表示 X ， 的概率密度， 则在 Y ? y 的条件下，X 的条件概率密度 f X |Y ( x | y ) 为 （）A． f X ( x ) B． f Y ( y ) C． f X ( x ) f Y ( y ) D．f X (x) fY ( y )解 选（A）73.（07，11 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?2 ? x ? y, f ( x, y ) ? ? 0, ? 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, otherwise ,求： （1） P ( X ? 2 Y ) ； （2） Z ? X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) 解 （1） P ( X ? 2 Y ) ?x?2 y??f ( x , y ) dxdy ??1 0dx ? ( 2 ? x ? y ) dy ?01 2?1 0(x ?5 8x ) dx ?27 24.（2） f Z ( z ) ? 其中????f ( x , z ? x ) dx .? 2 ? x ? ( z ? x ), fZ ( x, z ? x) ? ? 0, ? ?2 ? z, ? ? ? 0,0 ? x ? 1, 0 ? z ? x ? 1 otherwise0 ? x ? 1, 0 ? z ? x ? 1 otherwise当 z ? 0 或 z ? 2 时 ， f Z ( z ) ? 0.1 ? z ? 2 时， f Z ( z ) ?当 0 ? z ? 1 时 ， fZ (z) ?2?z 0( 2 ? z ) dx ? z ( 2 ? z ). 当?1 z ?1( 2 ? z ) dx ? ( 2 ? z ) . 即? z ( 2 ? z ), 0 ? z ? 1 ? fZ ( z ) ? ? (2 ? z )2 , 1 ? z ? 2 ? 0, otherwise . ? 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 44 页 (共 96 页)第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量 X 的分布列为 X P －11 301 61 2 1 611 1221 4求 E(X)，E(－X＋1)，E(X2) 解E ( X )? ? 1 ?1 3?? 01 6?1 2?1 31 1 ? ?1 ? 2 ? 2 ?14 6 11 3E ( ? X ? 1) ? ( ? ( ? 1) ? 1) ?? ( ? 0 ? 1) ?1 6? (?1 2? 1) ?1 6? ( ? 1 ? 1) ?2 31 41 12? ( ? 2 ? 1) ?1 4?2 3或者 E ( ? X ? 1) ? E ( ? X ) ? E (1) ? ? E ( X ) ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 3E ( ? X ) ? ( ? 1) ?2 2 1 3? (0 ) ?21 6? (1) ? 221 6? (1) ?21 12? (2 ) ?2?35 242. 一批零件中有 9 件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出 的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为 X, X 的取值为 0, 1, 2, 3, Ak 表示取出废品数为 k 的事件， 则有：P ( Ak ) ? E(X ) ? C3kC12k?3 k ?0C911, k ? 0,1, 2, 3, 66 220 ? 0 .3C12 ? k k ? P ( Ak ) ??3. 已知离散型随机变量 X 的可能取值为－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X2)＝0.9，求 P(X=?1)， P(X＝0)，P(X＝1). 解 根据题意得：E ( X ) ? ? 1 P ( X ? ? 1) ? 0 P ( X ? 0 ) ? 1 P ( X ? 1) ? 0 .1 E ( X ) ? ( ? 1) P ( X ? ? 1) ? 0 P ( X ? 0 ) ? 1 P ( X ? 1) ? 0 .92 2 2 2可以解得 P(X??1)=0.4, P(X=1)=0.5, P(X=0) = 1? P(X??1)?? P(X=1) = 1?0.4?0.5=0.1 4. 设随机变量 X 的密度函数为? 2 (1 ? x ),?????? ? x ? ? ? f (x) ? ? ? ???? ????????? ?其 他 .求 E(X). 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 45 页 (共 96 页)解 由题意, E ( X ) ??? ??xf ( x )d x ??1 02 (1 ? x ) xd x ?1 3,5. 设随机变量 X 的密度函数为? e ? x ,????? x ? 0 ? f (x) ? ? ? ???? ?????? x ? ? ?求 E(2X)，E( e 解E (2 X ) ??2 x).?? ??2 xf ( x )d x ??x??x?2 xe0?xdx?x? 2 xeE (e?2 X?|0 ? ? e0??dx ? 2 ? 0 ? e?|0???2) ? ?? ?? ?? ?e e?2 xf ( x )d x?x?2 xedx ? ?1 3e?3 x0|0 ??1 36. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a，b］上，求球的体积的数学期望. 解 由题意，球的直接 D~U(a,b), 球的体积 V= 4 ? 3 因此， E (V ) ??D? 23?? ??V f ( x )d x ???b a1 ?x? ?? ? dx 3 ?2? b?a 43??2 4 (b ? a )x |0 ?4?24( a ? b )( a ? b )2 27. 设随机变量 X，Y 的密度函数分别为? 2 e ? 2 x ,????? x ? 0 ? fX (x) ? ? ? ???? ????????? x ? ? ? ? 4 e ? 4 y ,???? y ?? 0 ? fY ( y ) ? ? ? ???? ??????? y ? ? ?求 E(X＋Y)，E(2X－3Y2). 解E ( X ? Y) ? E( X ) ??? ?? ??E( Y)? ? ?? ?x f X ( x)dx ? 2 xe?2 x?0?? ??y fY ( y )d y 4 ye?4 ydx ?0???dy1 2?1 4?3 4 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 46 页 (共 96 页)E ( 2 X ? 3Y ) ? 2 E ( X ) ? 3 E ( Y )2 2? 2? ? 2??? ?? ??x f X ( x)dx ? 3? 2 xe?2 x?? ??y fY ( y )d y 4y e2 ?4 y20dx ? 3??? 0dy?1?3 8?5 88. 设随机函数 X 和 Y 相互独立，其密度函数为? 2 x ,?????? ? x ? 1? fX (x) ? ? ? ?? ?????????其 他 ?（ ? e ? y－ 5 ）,???? y ?? 5 ? fY ( y ) ? ? ? ???? ???? ??? y ? 5 ?求 E(XY). 解 由于 XY 相互独立, 因此有E ( X Y ) ? E ( X ) E (Y ) ? ? ???? ??x f X ( x)dx ? dy?? ??y fY ( y )dy?1 02 x dx ?2??ye5? ( y ?5)?? 2? ? ? ( y?5) ? ? ? ? ye 5 3? ? ????e5? ( y?5)?? dy ? ? ? ??? ?? ?? 2? ? ( y ?5) ? ?0 ? 5? ? ? ?e 5 3? ? ? 2 3?? ?? ? ?? ? (?6) ? 4? ?? ? 5 ? ? ? (0 ? 1) ? ? ??2 39. 设随机函数 X 的密度为1 ? ,???? x ? 1? ? f (x) ? ?? 1 ? x2 ? ???? ????????? ? x ? 1. ?求 E(X), D(X). 解E(X ) ???? ??x f ( x)dx ?1?1?1 ?1x 1? x2dx ? 0E(X ) ?2??? ??x f ( x)dx ?2 1 0??1 ?1x21? x 2dx ?22??1 0x21? x 2dx2? ? ? ?2??1? x ?121? xdx ? ?2??1 01 ? x dx ?2??1 01 1? x2dx2 ? 2 1 1 1 ( ) ? arcsin x | 0 ? ? ? 1 ? ? 4 ? 2 2 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 47 页 (共 96 页)D(X ) ? E (X ) ? ? E (X )? ?2 21 210. 设随机函数 X 服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为? x ? 2x? 2 e ,????? x ? 0 ? ? f (x) ? ? ? 2 ? ?????? ?????????? x ? ? ? ?2其中σ &0 是常数，求 E(X)，D(X). 解E(X ) ???? ??x f ( x)dx ?2??0?? 0x2 2x 2 2?x2 2??e2?dx ? ? ????x2 2xd e022?? ? x 2 ?? ? ? ? xe 2 ? ? 0 ? ??? ? ? ?E(X ) ?2??e2?? dx ? ? ???2???x2e02?dxu?x /??2??e0?u22du ? ? ?2? 23 2 ????x 2 2 2???? ??x f ( x)dx ???? 0 ??x?e?dx ? ? ??? 0x de2?x2 22?? 2 ? x 22 ? ? ? ? ? x e 2? ? 0 ? ? ? ? ? 2? ?2 u? x 2 2??x2 22 xe02?2 ?? ? ? x 2 d x ? ? 2 ? xe 2 ? d x 0 ?2???e0?ud u ? ? 2? e2?u?? 0? 2?2D ( X ) ? E ( X ) ? ? E ( X ) ? ? 2?2 22? ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? (2 ? ) ? ? 2 ? 2 ?211. 抛掷 12 颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差. 解 掷 1 颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X2)?(E(X)) 2 = 35/12掷 12 颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X1+X2+?+X12)=12E(X) = 42 D(X1+X2+?+X12) =D(X1)+D(X2)+?+D(X12)=12D(X)=35 12. 将 n 只球（1～n 号）随机地放进 n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球，将一 只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记 X 为配对的个数，求 E(X), D(X). 解 （1）直接求 X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量 Xk? 1, Xk ? ? ? 0, 第 k只 球 装 入 第 k号 盒 子 第 k只 球 没 装 入 第 k号 盒 子, 则有： 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 48 页 (共 96 页)X ??nX k ，Xk 服 0-1 分布k ?1因此： P ( X k ? 0 ) ? 1 ? p ? 1 ?E(X k ) ? p ?n1 n, P ( X k ? 1) ? p ?1 n,1 n,D(X k ) ?n1? 1? ?1 ? ? n? n? 1k? ? E(X ) ? E ?? X k ? ? ? k ?1 ?? E ? X ? ?n ? nk ?1?1（2） X k X j 服从 0-1 分布，则有P ( X k X j ? 1) ? P ( X k ? 1, X j ? 1) ?? n D(X ) ? D ?? X ? k ?1 ? ? ?1 n ( n ? 1), E(X k X j) ?1 n ( n ? 1)k?? ?nnDk ?1? X k ? ? 2?C ov( X k , X j )k? j?k ?11 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ( E ( X k X j ) ? E ( X k ) E ( X j )) n? n ? k? j 1 ? 1 1 ? ? 2? ? ? 2 ? n n ? k ? j ? n ( n ? 1) 1 1 ? 1 ? n ?1? 2 ? ? 2C n ? ? 2 ? ? 1? ? ?1 ? ? ?1 n n ? n ? n ? ? n ( n ? 1)? 1?? 1?1故，E(X)=D(X)=1. 我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X 服从参数为 1 的泊松 分布.13. 在长为 l 的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差. 解 设所取的两点为 X,Y, 则 X,Y 为独立同分布的随机变量, 其密度函数为?1 ? , f X (x) ? ? l ? 0, ? 0? x ?1 other , ?1 ? , fY ( y ) ? ? l ? 0, ? 0? x ?1 other ,? 1 , ? f ( x , y ) ? fY ( x ) fY ( y ) ? ? l 2 ? 0, ?0 ? x, y ? 1 o th er,依题意有E( X ? Y ) ??l x? ??????? ??x ? y f ( x , y ) d xd y?0 ?0 ? x ? y ? l 21d yd x ?? ? ? y ? x? l0 xll12d yd x 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 49 页 (共 96 页)??1 l2?l 0x2dx ?1 l22?l 0l2? lx ?x2dx221 2l22 2 3 ? x3 l ? l ? 1 ? l x lx x ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 6 0? l ? 2 ? 3 0??l 6?l 6?l 3?? ?? ?? ?? 2E (? X ? Y?2) ?2?12?x ? yf ( x , y ) d xd y?? ? ?x ? y?0 0lld xd y2l2? ?1 l2?l 0dx ?l 0?x? 2 xy ? y?d y3 ? 2 y ? l 2 x y ? xy ? ? dx 2 ? ? 3 ? 0 l 0?1l? ? ?1 l2?l 0x l ? xl ?2 2l3dx33 ? l 1 ?1 3 1 2 2 l x l? x l ? x? 2 ? 2 3 ? 0 l ?31 6l2D(X?Y) = E((X?Y)2)?(E(X?Y))2 =1 6l ?21 9l ?21 18l214. 设随机变量 X 服从均匀分布，其密度函数为1 ? ? 2 ,????? ? ? x ? ? f (x) ? ? 2 ? ? ????????其 他 , ? ?求 E(2X2)，D(2X2). 解E (2 XE(X42) ? 2E(X2) ? 2??? ??1 2x f ( x)dx ? 2 ? 2 x dx ?2 2 041 21 6) ? 1 12) ?2??? ??x f ( x)dx ? ? 2 x dx ?4 01 802,2E(X2D (2 X ) ? 4 D ( X ) ? 4 E ( X ) ? ? E ( X ) ?2 4?? ? 4 ? ??? 8 0 ? 1 4 4 ??? ? 4 51 1 115. 设随机变量 X 的方差为 2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率P ( X ? E ( X ) ? 7 .5)的值. 解 由切比雪夫不等式, 取 ? ? 7 .5, ?P( X ? E( X ) ? 2 .5 7 . 5?) 2 7 .52? 2 .5 , 得? 2.4 5 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 50 页 (共 96 页)16. 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.5，如果作 100 次独立试验，设事件 A 发生的 次数为 X，试利用切比雪夫不等式估计 X 在 40 到 60 之间取值的概率 解 由题意，X~B(100，0.5), 则 E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根据切比雪夫不等式, 有P (40 ? X ? 50)? P ( X ? 50 ? 10) ? 1 ??1? 25 100 ? 3 4? ?2 2.17. 设连续型随机变量 X 的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为 f ( x ) ，证明： （1）a≤E(X)≤b； （2） D (X ) ? 解(b-a) 4?? ??2.(1) 由题意，a≤X≤b, 那么E(X ) ??xf ( x ) d xa ? x ? b, 则?a??? ??af ( x)dx ? f ( x)dx ???? ??xf ( x ) d x ???? ?? ??bf ( x )dx f ( x)dx,?? ????? ??xf ( x ) d x ? b ???由于??? ??f ( x)dx ? 1所以 a ? E (X ) ? b (2) 解法(一)因 为 x ? [a,b], 所 以 有 ( x ? a )( x ? b ) ? 0即 x ? (a ? b) x ? ab ? 0 ,2E(X2 2? (a ? b) X ? ab)E ( X ) ? ( a ? b ) E ( X ) ? ab又D(X ) ? E ( X ) ? ? E ( X )?22? (a ? b) E ( X ) ? ab ? ? E ( X ) ?? ? E ( X ) ? a ? ?b ? E ( X )?( ? E ( X )? a ? b ? E ? ? 2 ? X) ? ? ?22( 平 均 值 不 等 式 变 形 : a , b ? 0时 ,ab ?a?b 2)?b?a? ? ? ? ? 2 ?2即D(X ) ?(b ? a ) 42 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 51 页 (共 96 页)解法(二), 由于E (( X ? C ) ) ? E ( X222? 2 XC ? C )22 2? (E ( X ) ? C ) ? E ( X ) ? ? E ( X )?? (E ( X ) ? C ) ? D( X )2当 C ? E ( X )时 ,于是 当C ?E (( X ? C ) ) 取 最 小 值 D ( X )2a?b 2时, 有D ( X )? E?? X? E X (?) ?22 ?? a?b? ? ? E ?? X ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? 2 ?? a?b? ? ? E ??b ? ? ? ?? 2 ? ? ? ?? ? b ? a ?2 ? ?b ? a ? ? E ?? ? ? ?? 2 ? ? 4 ? ? ?218. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X Y 1 2 0 0.1 0.2 1 0.2 0.4求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)， ? X Y 及协方差矩阵. 解 由题设，E ( X ) ? 0 ? (0.1 ? 0.2) ? 1 ? (0.3 ? 0.4) ? 0.7 E (Y ) ? 0 ? (0.1 ? 0.3) ? 1 ? (0.2 ? 0.4) ? 0.6E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4E ( X ) ? 0 ? (0 .1 ? 0 .2 ) ? 1 ? (0 .3 ? 0 .4 ) ? 0 .72 2 2E (Y ) ? 0 ? (0 .1 ? 0 .3) ? 1 ? (0 .2 ? 0 .4 ) ? 0 .62 2 2D ( X ) ? E ( X ) ? ( E ( X )) ? 0.7 ? 0.49 ? 0.212 2D (Y ) ? E (Y ) ? ( E (Y )) ? 0.6 ? 0.36 ? 0.242 2cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = 0.4?0.6×0.7 = ?0.02? X Y ? co v( X , Y ) /? ? 0 .0 2 / D(X ) D (Y )0 .2 1 ? 0 .2 4 ? ? 0 .0 8 9协方差矩阵为? ? 12 C ?? ? ? ? 1? 2? ? 1? 2 ? ?22? 0 .2 1 ??? ? ? ? 0 .0 2? 0 .0 2 ? ? 0 .2 4 ?19. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 52 页 (共 96 页)X －1 Y －1 0 11 8 1 8 1 8011 8 1 801 81 8 1 8试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 解 由于?1 1 1? ?1 1 1? E ( X ) ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? ? 0, ?8 8 8? ?8 8 8? ?1 1 1? ?1 1 1? E (Y ) ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? ? 0, ?8 8 8? ?8 8 8? cov( X , Y ) ? E (( X ? E ( X ))(Y ? E (Y ))) ? E ( X Y )? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 1 8 ? ( ? 1) ? 0 ? 1 81 8 1 8 1 16? ( ? 1) ? 1 ?1 8? 0 ? (1) ? ( ? 1) ?1 8? 1? 0 ?1 8? 1?1?1 8? 0因此 ? X Y ? 0 ,即 X 和 Y 是不相关的.? ? ? 0 ? P ( X ? 0, Y ? 0 ) ,但由于 P ( X ? 0 ) P (Y ? 0 ) ? 因此 X,Y 不是相互独立的.20. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为?1 ? ( x ? y ),?????? ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? f ( x, y ) ? ? 8 ? ???? ??????????????其 他 ， ?求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)， ? X Y 及协方差矩阵. 解f X (x) ? E(X ) ???? ??f ( x, y )dy ? ?2 02 01 8( x ? y )dy ? 7 61 4( x ? 1)??? ??xf X ( x ) d y ? ?1 4x ( x ? 1) d y ?又E(X ) ?2??? ??x f X ( x)dy ?21? 452 0x ( x ? 1) d y ?25 3D ( X )?E( X ? )2?,? 7? E ( X )? ? ? ? ? ? 3 ? 6?2211 36同理可得 E (Y ) ?7 6D (Y ) ?11 36, 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 53 页 (共 96 页)E ( XY ) ?? ??????? ??xy f ( x , y ) d xd y ?1? ? 8022 0xy ( x ? y ) d yd x ?4 3cov( X , Y ) ? E ( X Y ) ? E ( X ) E (Y )? 4 3 ? 7 6 ? 7 6 ? ? 1 36? XY ?co v( X , Y ) D(X ) D (Y )? ?1 36?11 36? ?1 11协方差矩阵为? ? 12 C ?? ? ? ? 1? 2? ? 1? 2 ? ?22? 11 / 36 ??? ? ? ?1 / 36?1 / 36 ? ? 11 / 36 ?21. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且 E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y) ＝12，求(X, Y)的密度函数. 解 由题意, ? ? 则密度函数为1 2 ?? 1? 2 1 ? ?2 ?2 ? ? x ? ? ?2 ? x ? ? 1 ?? y ? ? 2 ? ? y ? ? 2 ? 1 ? ?2? ? 2 2 ? 2 (1 ? ? ) ?1 ?1? 2 ?2 ?cov( X , Y ) D(X ) D (Y )?12 20?3 51f ( x, y ) ?2e? ? ? ??1 3 2??e2 2 25 ? x 3 xy y ? ? ? ? ? 32 ? 16 50 25 ? ? ?22. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求 E((X＋Y)2). 解E ?(X ? Y )2?? E?X22? Y ? 2 X Y ? ? E ( X ) ? E (Y ) ? E (2 X Y )2 2 22 2 2 2 2由于 D (X )= E (X ) ? ? E (X ) ? ? E (X )=1, D (Y )= E (Y ) ? ? E (Y ) ? ? E (Y )=1 因此有E ?( X ? Y )2? ? 1?1? 0 ? 223. 设随机变量 X 和 Y 的方差分别为 25，36，相关系数为 0.4，试求 D(X＋Y)，D(X－Y). 解 由题意，0 . 4? c o vX Y , ( D(X ) D Y ( ) ) , c oXv Y ? ( , ) ? 0?. 4 ? 5 6 12D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y) = 24+25+36=85 因为 cov(X, ?Y) = ?cov(X,Y) = ?12 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 54 页 (共 96 页)因此 D(X?Y) = 2(cov(X,??Y))+D(X)+D(?Y) = ?24 + 25 + 36 = 37. 24. 设随机变量 X 和 Y 相互独立， 且都服从正态分布 N(0, ?2)， U＝aX＋bY， 令 V＝aX?bY， 试求 U 和 V 的相关系数. 解 由于 X，Y 相互独立，则都服从 N(0, ?2)D (U ) ? D ( aX ? bY ) ? a D ( X ) ? b D (Y ) ? ? ( a ? b )2 2 2 2 2D (V ) ? D ( a X ? b Y ) ? a D ( X ) ? ? ? b ? D (Y ) ? ? ( a ? b )2 2 2 2 2D (U ? V ) ? D ( aX ? bY ? aX ? bY ) ? D (2 aX ) ? 4 a ?22co v (U , V ) ? ?1 2 1 2? D (U(4a ?2? V ) ? D (U ) ? D (V ) ?2? 2 ( a ? b )? ) ? ( a ? b )?2 2 2 2 22? ?co v(U , V ) D (U ) D (V )?( a ? b )?2 22 2( a ? b )?2 2?a ?b22 2a ?b225． （87，2 分）已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x ) ? 数学期望为 解 由于 f ( x ) ? ；方差为11 2 ?( x ?1 ) 2? 1 2 21?e? x ? 2 x ?12，则 X 的. ，因此 X ~ N (1,1 2 ). 故 E ( X ) ? 1, D ( X ) ? 1 2 .2?e26.（90，2 分）已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即 P ( X ? k ) ?k ? 0 ,1, 2 , ? ，则随机变量 Z ? 3 X ? 2 的数学期望 E ( Z ) ?2 ek?2，k!.解 由于随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，因此 E ( X ) ? 2 . 故E ( Z ) ? E (3 X ? 2 ) ? 3 E ( X ) ? 2 ? 4 .27. 92， 分） （ 3 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布， 则数学期望 E ( X ? e 解E(X ? e?2X?2 X)?.)??????(x ? e?2x) f ( x ) dx ???? 0(x ? e?2x)e?xdx ?4 3. 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 55 页 (共 96 页)28.（95，3 分）设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次命中的概率为 0.4，则X 的数学期望 E ( X ) ?22.解 依题意， X 服从二项分布 B (10 , 0 . 4 ) ， E ( X ) ? np ? 4 , D ( X ) ? npq ? 2 . 4 . 根据方 差的性质可得 E ( X ) ? D ( X ) ? ( E ( X )) ? 18 . 4 .2 229.（96，3 分）设 ? ，? 是两个相互独立且均服从正态分布 N ( 0 , ( 随机变量 | ? ? ? | 的数学期望 E (| ? ? ? |) ?1 2) ) 的随机变量，则2.解 由于随机变量 U ? | ? ? ? | 服从标准正态分布，故??E (| ? ? ? |) ? E (| U |) ????|u |1 2?e?2 u 2du ???? 02u 2?e?2 u 2du ?2?.30.（97，3 分）设相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3 X ? 2 Y 的方差是（ ） A．8 B．16 C．28 D．44 解 因 X 与 Y 独立，故 3 X 与 2 Y 也相互独立.D ( 3 X ? 2 Y ) ? D ( 3 X ) ? D ( ? 2 Y ) ? 9 D ( X ) ? 4 D (Y ) ? 44 .31.（98，6 分）设两个随机变量 X ， Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 布，求随机变量 | X ? Y | 的方差。 解 令Z ? X ?Y1 2的正态分，则E ( Z ) ? E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ) ? 0 ,D ( Z ) ? D ( X ) ? D (Y ) ? 1 .因为独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，故 Z ~ N ( 0 , 1). 于是??E (| Z |) ????|z|1 2?e?2 z 2dz ???? 02z 2?e?2 z 2dz ?2?,E (| Z | ) ? E ( Z ) ? D ( Z ) ? ( E ( Z )) ? 1,2 2 2 概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第 56 页 (共 96 页)D (| X ? Y |) ? D (| Z |) ? E (| Z | ) ? ( E ( Z )) ? 1 ?2 22?.32.（00，8 分）某流水线上每个产品不合格的概率为 p ， 0 ? p ? 1 ，各产品合格与否相互 独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数 为 X ，求 X 的数学期望. 解 记 q ? 1 ? p , X 的分布为 P (| X ? i |) ? pqE(X ) ?i ?1, i ? 1, 2 , ? ，q 1? q 1 (1 ? q )2??ipqi ?1i ?1? p ? ( q )? ? p ( ? q )? ? p (i i i ?1 i ?1 ???)? ? p?1 p,E(X ) ?2?ii ?1?2pqi ?1? p ( q ? 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