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【数学】这种证明定积分求面积公式的方法为什么是错的
科学松鼠会成员，信息学硕士生
想法是对的，但是欠严谨。有几点要证明的：1. 点分割越来越密集的时候，面积应该趋向于一个确定的数值。2. 点分割的具体位置不影响最后的面积。3. 求近似是不行的，必须准确做出上下界来逼近。另外，不能说一个函数是另一个函数的导数，然后就说另一个函数是这个函数的积分，积分还没定义呢，不能这么用……其实看看数学分析的书就知道了，这个叫黎曼积分，一般都有具体证明的。
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现在知道函数，和自变量区间，如何在R中进行定积分的计算？
同楼上，用integrate，但是要小心一些情况，比如积分上下限为无穷，或者被积函数有奇点的情况。
integrate(f,lower,upper)
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integrate(f,lower,upper)
同楼上，用integrate，但是要小心一些情况，比如积分上下限为无穷，或者被积函数有奇点的情况。
友情帮顶，呵呵
最好的医生是自己，最好的药物是时间……
还有一个问题：
如何求总体分布函数？
x是一个待求的数组，min(x)=-12，max(x)=100
ecdf(x)只是能够画出总体分布，但是我想知道具体的某个值，比如&=20的总体分布函数怎么求呢？
学习了！！！！！！！
二元函数定积分怎么求啊？
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论坛法律顾问：王进律师xe^(-x)/(1+&e^(-x)&)?|(0,+∞)&&&这个定积分怎么求，求解答过程，谢谢啦！?
16-03-24 &扫二维码下载作业帮
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如何用几何意义求下面的定积分?√4-x² 在（-2.2）上的定积分?
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该函数图象是以原点为圆心2为半径的圆在x轴的上半部分的半圆定积分表示面积,所以是1/2×π×2²=2π
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设y=这个式子，则y的平方等于4-x的平方，也就是x平方+y平方=4 即圆的标准方程。因为原式带根号，意味着y>=0故，所求积分即为圆在x轴上半部分的面积，也就是一个半圆。面积s=2π
以原点为圆心，半径为2的圆的上半圆的面积
用圆的定义试
求得积分当做y 将等式两边同时平方得 x2+y2=4
几何意义就是一个半圆的面积
所以面积是2π
用圆的几何意义令Y²= 4-x ²，即得Y²+x ²= 4，故可得在（-2.2）的定积分，接下来就容易了注意y的取值应为正数，即得定积分为2倍圆周率
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如何用matlab求积分
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以下列函数为例
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数,对z积分下限是sqrt(x*y),积分上限是x^2*y;对y积分下限是sqrt(x),积分上限是x^2;对x的积分下限1,上限是2,求解如下:
&&syms x y z%定义符号变量
&&F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式
/*2^(1/2)+*2^(1/4)+6 4/225*2^(3/4)%给出有理数解
&&VF2=vpa(F2)%给出默认精度的数值解
二、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,n,其中x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法,MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol 用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。百度文库
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1、在matlab中，积分运算有多种方式，为了便于查看不同方式处理异同，以下面这个积分为例：
2、梯形积分法
第一种，采用最简单的方式，以函数trapz为例，z = trapz(x,y) 其中x表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z是返回的积分近似值。
% 梯形积分法
x = -1:0.001:1;
y = exp(-x.^2);
s = trapz(x,y)
% 计算结果： s =
3、高精度数值积分（1）
为了克服梯形积分法精度低的问题，可以采用高精度积分方式，第一种可以采用 z = quad(Fun，a,b) 该方式是自适应步长Simpson计分法求得函数Fun在区间[a,b]上定积分，如下：
% 梯形积分法
s = quad(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)
% 计算结果： s =
4、高精度数据积分（2）
采用高精度Lobatto积分法，格式： z = quadl(Fun,a,b)
% 梯形积分法
s = quadl(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)
% 计算结果： s =
% 注：在编写完代码后，要按如下图红色箭头所指处运行程序才会有输出。
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于无法求得exp(x^2)的原函数，我们只能用数值算法来求解，可以用复化梯形公式、Romberg公式、Gauss公式等，有好多种。我用Matlab编了一个用Gauss公式求解积分的函数。
function S=GaussIntegrate()
%运用Gauss求积公式计算数值积分
%f为被积函数，Rho为权函数，二者均为符号函数
x=sym('x');
f=exp(x^2);
%a,b分别为求积区间的左界和右界
%n表示求积结点的个数，是一正整数
%本程序利用线性变换将区间[a,b]变换到[-1.1]，
%同时令g=f*Rho为被积函数，然后利用
%古典的Gauss求积公式进行计算，此时直交多项式即为Legendre多项式
if n=0||n~=floor(n)
error('错误，n必须是一个非负整数。');
error('错误，区间的左界a一定不大于右界b。');
%计算n次Legendre多项式
P=1/(2^n*factorial(n))*diff((x^2-1)^n,n);
w=roots(sym2poly(P));
%计算数值积分
A=zeros(1,n);
A(k)=2/((1-w(k)^2)*(subs(diff(P),w(k))^2));
t=a+(b-a)/2*(w(k)+1);
g=(b-a)/2*subs(f*Rho,t);
S=S+A(k)*g;
--------------------------------
我取了8个结点，计算精度就已经达到了小数点后8位，效率还是很高的。
注意：由于Matlab调用Maple的符号计算工具箱，第一次运行时会加载一小会，耐心等待。
以后再运行速度就很快了。
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一、符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
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