一元四次方程_百度百科
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一元四次方程
只含有一个，并且未知数项的最高次数是4的整式方程叫做一元四次方程。它的一般式为ax^4+bx?+cx?+dx+e=0（a≠0）
一元四次方程满足条件
一元四次方程必须满足以下三个条件：
①是，即等号两边都是；方程中如果有，且在分母上，那么这个方程就是，不是一元四次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元四次方程，这点请注意！
②只含有一个未知数；
③未知数项的最高次数是4（即a≠0）。
注：如果方程满足条件①，化简后不满足条件②和③，则该方程不是一元四次方程。
一元四次方程方程形式
一元四次方程的四个根(root)
通常我们也把它写成4次项系数为1的形式。
一元四次方程常用解法
一元四次方程费拉里法
方程两边同时除以最高次项的系数可得
可得 x4+bx3=-cx2-dx-e (2) 两边同时加上
，可将（2）式左边配成完全平方，
在（3）式两边同时加上
（4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。
特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次也能变成一个，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。 为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的变成0，即
这是关于y的，可以通过公式来求出y应取的实数值。
把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的。
解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。
费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个及两个一元二次方程的求解问题。 不幸的是，就象塔塔利亚发现的被误称为一样，费拉里发现的一元四次方程求解方法也曾被误认为是波培拉发现的
一元四次方程笛卡尔法
一般的还可以解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。
先将四次方程化为x4+ax3+bx2+cx+d=0的形式。
，整理后得到y4+py2+qy+r=0（1）
设y4+py2+qy+r=(y2+ky+t)(y2-ky+m)=y4+(t+m-k2)y2+k(m-t)y+tm
比较dy对应项系数，得t+m-k2=p，k(m-t)=q，tm=r
设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得
再代入第三个方程，得
。即k6+2pk4+(p2-4r)k2-q2=0
解这个方程，设k0是它的任意一根，t0和m0是k=k0时t和m的值那么方程（1）就成为
(y2+k0y+t0)(y2-k0y+m0)=0
y2+k0y+t0=0和y2-k0y+m0=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上
就可以得出原方程的四个根。
一元四次方程计算公式
一元四次方程费拉里法
费拉里法求解一元四次方程
的步骤如下
（取模较大的数值）
（若 u 为零，则 v 也取值为零）
y有三种取值
上面两个公式中，
，就能得到三组（y，m）。请选择
的一组作为 y，m 的数值。
若m=0则一元四次方程有两对重根，计算公式如下：
若 m 不等于零，则一元四次方程的求根公式如下：
时，m = 0。这个 y 不合适，换一个再试试
可算得四个根为
y 有三重根
，可算得 m = 0。
因此，一元四次方程有两对重根，即
一元四次方程求根公式(费拉里法)
对费拉里计算方法整理后，即可得到一元四次方程
的求根公式
（取模较大的数值）
（若 u 为零，则 v 也取值为零）
上面三个公式中的 k 可取值1，2，3，用来区别费拉里法中一元三次方程的三个根。请选择
最大的那组（m，S，T）。
的最大值仍为零，则 m，S，T 的数值按下面三个公式计算
一元四次方程的四个根为：
一元四次方程求根公式（planetmath）
网站planetmath.org上列出了方程
的求根公式
查看这个公式，需要非常的耐心和细心。将其分拆后，可以得到如下公式：
四个根为（n = 1,2,3,4）
可见，这个公式是“求根公式（费拉里法）”的一个特例。
这个公式不仅复杂，而且有很多问题：
会计算失败；
时，求根计算会失败。
一元四次方程计算程序代码
一元四次方程费拉里法（VC++）
#include &math.h&
#include &float.h&
#include &complex.h&
/******************************************************************************\
对一个复数 x 开 n 次方
\******************************************************************************/
std::complex&double& sqrtn(const std::complex&double&&x,double n)
double r = _hypot(x.real(),x.imag()); //模
if(r & 0.0)
double a = atan2(x.imag(),x.real()); //辐角
r = pow(r,n);
return std::complex&double&(r * cos(a),r * sin(a));
return std::complex&double&();
/******************************************************************************\
使用费拉里法求解一元四次方程 a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0
\******************************************************************************/
void Ferrari(std::complex&double& x[3]
,std::complex&double& a
,std::complex&double& b
,std::complex&double& c
,std::complex&double& d
,std::complex&double& e)
std::complex&double& P = (c * c + 12.0 * e - 3.0 * b * d) / 9.0;
std::complex&double& Q = (27.0 * d * d + 2.0 * c * c * c + 27.0 * b * b * e - 72.0 * c * e - 9.0 * b * c * d) / 54.0;
std::complex&double& D = sqrtn(Q * Q - P * P * P,2.0);
std::complex&double& u = Q + D;
std::complex&double& v = Q - D;
if(v.real() * v.real() + v.imag() * v.imag() & u.real() * u.real() + u.imag() * u.imag())
u = sqrtn(v,3.0);
u = sqrtn(u,3.0);
std::complex&double&
if(u.real() * u.real() + u.imag() * u.imag() & 0.0)
std::complex&double& o1(-0.5,+0.);
std::complex&double& o2(-0.5,-0.);
std::complex&double&&yMax = x[0];
double m2 = 0.0;
double m2Max = 0.0;
int iMax = -1;
for(int i = 0;i & 3;++i)
y = u + v + c / 3.0;
a = b * b + 4.0 * (y - c);
m2 = a.real() * a.real() + a.imag() * a.imag();
if(0 == i || m2Max & m2)
m2Max = m2;
{//一元三次方程，三重根
y = c / 3.0;
std::complex&double& m = sqrtn(b * b + 4.0 * (y - c),2.0);
if(m.real() * m.real() + m.imag() * m.imag() &= DBL_MIN)
std::complex&double& n = (b * y - 2.0 * d) /
a = sqrtn((b + m) * (b + m) - 8.0 * (y + n),2.0);
x[0] = (-(b + m) + a) / 4.0;
x[1] = (-(b + m) - a) / 4.0;
a = sqrtn((b - m) * (b - m) - 8.0 * (y - n),2.0);
x[2] = (-(b - m) + a) / 4.0;
x[3] = (-(b - m) - a) / 4.0;
a = sqrtn(b * b - 8.0 * y,2.0);
x[1] = (-b + a) / 4.0;
x[3] = (-b - a) / 4.0;
一元四次方程验算代码（VC++）
void Test_QuarticEquation()
std::complex&double& x[4];
std::complex&double& x1(2.0,0.0); //随便填
std::complex&double& x2(2.0,0.0); //随便填
std::complex&double& x3(2.0,0.0); //随便填
std::complex&double& x4(2.0,0.0); //随便填
std::complex&double& a ( 1.0,0.0); //随便填(不为零即可)
std::complex&double& b = a * (-x1-x2-x3-x4);
std::complex&double& c = a * (x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4);
std::complex&double& d = a * (-x2 * x3 * x4 - x1 * x3 * x4 - x1 * x2 * x4 - x1 * x2 * x3);
std::complex&double& e = a * (x1 * x2 * x3 * x4);
Ferrari(x,a,b,c,d,e); //验证费拉里法
．planetmath.org[引用日期]
清除历史记录关闭一个四次方程求解_百度知道
一个四次方程求解
x^2(x-2)(x+2)+16(x+2)=0(x+2)[x^2(x-2)+16]=0(x+2)[x^3-2x^2+16]=0(x+2)[x^3+8-2x^2+8]=0(x+2)[(x^3+8)-2(x^2-4)]=0(x+2)[(x+2)(x^2-2x+4)-2(x+2)(x-2)]=0(x+2)^2[x^2-2x+4-2(x-2)]=0(x+2)^2[x^2-4x+8]=0(x+2)^2[(x-2)^2+4]=0由x+2=0，得x=-2；由(x-2)^2+4=0，x无解所以：方程的解为x=-2
采纳率：55%
(x²-4)+16(x+2)=0x²-4x²+16]=0(x+2)[x²(x-2)(x+2)+16(x+2)=0(x+2)[x²(x-2)+16]=0(x+2)[x^3+2x&#178x^4-4x²+16x+32=0(x^4-4x²)+(16x+32)=0x²(x+2)-4(x²-4)]=0(x+2)[x²(x+2)-4(x+2)(x-2)]=0(x+2)(x+2)[x²[(x-2)²-4(x-2)]=0(x+2)²(x²-4x+8)=0(x+2)&#178
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一元4次方程求详细计算步骤
(1+r)3+6/(1+r)4=107
（1+2）2括号后面的2二次方、(1+r)3 这个3指的是三次方，因为打不出来，所以直接输数字了、(1+r)4四次方6/(1+r)+6/(1+r)2+6&#47
我有更好的答案
解：令1/(1+r)=x，则方程可改写为：6(x+x²+x³+x^4)=107即&x+x²+x³+x^4-(107/6)=0,(b=1,c=1,d=1,e=-107/6)先求出方程 y³-cy²+(bd-4e)y-b²c+4ce-d²=0的任一实根。即 y³-y²+(1-4×107/6)y-1-4×107/6-1=0即y³-y²-(211/3)y-220/3=0，即求出 3y³-3y²-211y+220=0的任一实根y₁；再分别解出下列两个方程：x²+(1/2)[b±√(b²-4c+4y₁)]x+(1/2)[y₁±√(y₁²-4e)]=0即 x²+(1/2)[1±√(-3+4y₁)]x+(1/2)[y₁±√(y₁²+214/3)]=0即可求得x₁，x₂，x₃，x4.从而有x=1/(1-r)解得r=1-(1/x).【我只提供方法，很麻烦的，你自己作吧，好吗？】
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一元三次方程求根公式
标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2、中国学者于1989年发表的盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际更为直观。
一元三次方程求根公式解法
一元三次方程求根公式卡丹公式法的特殊情况
一元三次方程都可化为x?+px+q=0。它的解是：
根与系数的关系为
时，有一个实根和两个复根；
时，有三个实根，当
时，有一个三重零根，
时，三个实根中有两个相等；
时，有三个不等实根。
三个根的三角函数表达式（仅当
一元三次方程求根公式卡丹公式法的一般情况
一般的一元三次方程可写成
的形式。上式除以
，则可化为如下形式：
可用特殊情况的公式解出
，则原方程的三个根为
标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
三个根与系数的关系为
一元三次方程求根公式盛金公式法
三次方程应用广泛。用根号，虽然有著名的，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较，缺乏直观性。推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——，并建立了新判别法——盛金判别法。
1.盛金公式
一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）
重根判别式
总判别式Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，
盛金公式1：
当Δ=B2－4AC&0时，
盛金公式2：
盛金公式2的三角式：
当Δ=B2－4AC=0时，
盛金公式3：
当Δ=B2－4AC&0时，
盛金公式4：
（A&0，－1&T&1）。
2.盛金判别法
当A=B=0时，方程有一个三重实根。
当Δ=B2－4AC&0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。
当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。
当Δ=B2－4AC&0时，方程有三个不相等的实根。
3.盛金定理
当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T&－1或T&1时，盛金公式4无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T&－1或T&1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ&0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理5：当A&0时，则必定有Δ&0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。
盛金定理8：当Δ&0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。
盛金定理9：当Δ&0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1&T&1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ&0时，不一定有A&0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
一元三次方程求根公式通用求根公式
当一元三次方程
的系数是复数时，直接使用卡丹公式求解，有时会出现问题。此时，可使用下面的公式：
一元三次方程求根公式函数历史
一元三次方程 x3+px+q=0,(p，q∈R) 的求根公式是1545年由意大利学者卡尔丹发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做（有的数学资料叫“”）。可是事实上，发现公式的人并不是卡尔
丹（）本人，而是（Tartaglia N.，约）。
发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡丹得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡尔丹千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。
卡丹并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡丹公式。 塔塔利亚知道卡丹把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡丹的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡丹在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。 许多资料都记述过塔塔利亚与卡丹在一元三次方程求根公式问题上的争论，可是，名为卡丹公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡丹没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡丹错有应得，但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡丹公式是历史的误会。 一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。
是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡丹出场，请求塔尔塔利把的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡丹对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，并称自己有许多发明，唯独无法解三次方程而内心痛苦。还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡丹。六年以后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作，塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。
塔尔塔利亚对卡丹的背信行为非常恼怒，互相写信指骂对方。最终在一个不明的夜晚，卡丹派人秘密刺杀了塔尔塔利亚。
至于ax4+bx3+cx2+dx+e=0 求根公式由卡丹的学生找到了。
关于三次、的求根公式，因为要涉及概念，复数是指能写成如下形式的数 a+bi ，这里 a 和 b 是实数， i 是单位（即 -1 开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、、等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如表示、三角表示，指数表示等。它满足等性质。它是、、、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。
一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有。
后来年轻的挪威数学家于 1824 年所证实， n(n≥5)次方程没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些 n(n≥5)次方程可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没有求根公式呢？不久，这一问题在19世纪上半期，被法国天才数学家利用他创造的全新的所证明，由此一门新的数学分支“”诞生了。
一元三次方程求根公式置换群解法
和根的关系如下：
求出 X,Y ，后有
这是个，其中
为原方程的三个根。
范盛金.一元三次方程的新求根公式与新判别法.《海南师范学院学报（自然科学版）》,(2):91—98
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