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高数极限运算法则
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你可能喜欢2015年考研高数：极限计算常用7种突围方法
来源：　 13:48:56　【】　
之前，我们已经在“2015年考研数学高数复习极限篇之极限概述”中详细说明了考研数学中极限这部分内容的考试要求、在考研中的地位以及常见题型，但是大多同学最关心的还是极限的计算到底有哪些常用的方法。跨考教……
　　之前，我们已经在“2015年考研数学高数复习极限篇之极限概述”中详细说明了考研数学中极限这部分内容的考试要求、在考研中的地位以及常见题型，但是大多同学最关心的还是极限的计算到底有哪些常用的方法。跨考教育数学教研室田晓辉老师，就这个问题，将极限的常用计算方法总结归纳如下。
　　计算极限的常用方法
　　(一) 四则运算法则
　　四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
　　(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)
　　洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
　　另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
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2、有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小
3、常数与无穷小的乘积仍为无穷小
4、有限个无穷小的乘积任为无穷小
5、如果limf(x)=A，limg(x)=B
& & & limf(x)+limg(x)=A+B
& & & limf(x)-limg(x)=A-B
& & & limf(x)*g(x)=A*B
& & & limf(x)/g(x)=A/B
& & &c为常数
& & &lim[cf(x)] = climf(x)
& & &lim[f(x)]^n= [limf(x)]^n
6、设有数列{xn}和{yn}，如果limxn=A，limyn=B，
则lim（xn+yn）= A+B
& & lim(xn*yn) = A*B
当x→∞时，lim(sinx/x)=0
因为1/x趋向于0，sinx为有界函数，符合第二点
准则一：夹逼准则
{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：
1）yn&=xn&=zn,n=1,2,3......
2）limyn=a,limzn=a,则数列{xn}极限存在，并且limxn=a。
由此推出&&&当x→0,lim(sinx/x)=1
由此推出 &当a（x）是无穷小时，lim[sina(x)/a(x)]=1
准则二：单调有界数列必有极限
单调增加有上界的数列必有极限
单调减少有下界的数列必有极限
由此推出：lim（1+1/n）^n=e
& & & & & & & & & n→∞
在极限lim[1+a(x)]^1/a(x)中，只要a(x)是无穷小，就有lim[1+a(x)]^1/a(x)=e
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原创图片，请勿转载
作者：野比（）
23 May 2012
© 保留所有权利 野比 2012
注：本文为个人尝试，仅供参考。
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