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高等数学中用洛必达法则求极限需注意的问题_袁建军
第３７卷　第６期
西南师范大学学报（自然科学版）
２０１２年６月Ｊｕｎ．２０１２
）Ｖｏｌ．３７ｏ．６　　ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ　Ｎ　　　　　　　ｙ（
（）文章编号：１０００－５４７１２０１２０６－０２４１－０４
高等数学中用洛必达法则求极限需注意的问题
袁建军，　欧增奇
西南大学数学与统计学院，重庆４００７１５
摘要：在高等数学和数学分析教学中，极限的计算是非常重要的，求解方法多种多样，其中洛必达法则是求极限的重要方法之一．全面地阐述了如何运用洛必达法则求极限，以及计算时所需注意的问题，并通过例题对易出现的问题加以说明．
关　键　词：函数极限；洛必达法则；高等数学中图分类号：Ｇ４２０
文献标志码：Ａ
在高等数学和数学分析教学中，计算极限是非常重要的，也是硕士生入学考试中的热点问题之一．求解极限的方法有很多，应用洛必达法则求不定型极限就是其中一种重要的方法，它主要是针对未定式０型或型）提出的．本文比较全面地归纳了运用洛必达法则求极限时应该注意的问题．
（（））［］
求ｌｉｍ（）或ｌｉｍ（）时，首先应看其是否满足洛必达法则的条件１，如不满足，则不能使用洛必达ｘ→ｘｘ→∞ｇｘ０ｇｘ法则求解极限．一旦用洛必达法则算不出结果，不等于极限不存在，洛必达法则只是充分条件，不是必要条件．
例１　求ｌｉｍ．
ｘ→∞ｘ＋ｓｉｎｘ　
错解　ｌｉｍｉｍｉｍ＝ｌ＝ｌ＝－１．ｘ→∞ｘ＋ｓｉｎｘｘ→∞１＋ｃｏｓｘｘ→∞－ｓｉｎｘ　　　
不是型或型未定式，所以不能用洛必达法则求解原因　因为ｌｉｍ．
ｘ→∞１＋ｃｏｓｘ０　∞１－ｌｉｍ（１－）
ｘ→∞正确解法　ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝＝＝１．
ｘ→∞ｘ＋ｓｉｎｘｘ→∞１０＋　）１＋ｌｉｍ（１＋
ｘ→∞ｘｘ
，当出现其它未定式，如０·∞，∞－∞，０１∞，∞０时，前２种形式采取代数变形法求解；后３种采取
先化为指数形式，或用两边取对数的形式，分别将其化为型或型未定式求解，不过谁为分子，谁为分
０∞母是有讲究的．
例２　求ｌｉｍｘ－ｘ．ｘ→＋∞ｅ＋ｅ
收稿日期：２０１１－１１－２２
，男，重庆北碚人，讲师，主要从事偏微分方程及其应用、数字图像处理方面的研究．作者简介：袁建军（１９７５－）
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教改教法 高等数学洛必达法则求极限的注意事项探讨邱进凌( 南阳 理工 学院中图分类号: G642.41 文献标识码: A 河南 ? 南阳 473000 )文章编号: (...《高等数学》是大学中重要课...学木探讨 论 高等数学 中洛必达法则 求极 限问题 的讨论 唐玉 霞达 州...应用洛必达法则求极限时需注意的问题_教育学/心理学_人文社科_专业资料。第3 ...函数极限的计算在 高等数学的教学中占有重要的地位 ,其求解的方法有很多,而洛...使用洛必达法则求极限的几点注意_数学_自然科学_...A 变量代换 在高等数学里.极限是大一新生一开始就要...极限等于极限的 商”这一法则.而要用洛必达法则。...或应用等价无穷 例5、用洛必达法则求极限lim.竺塑...(4) 在微积分与高等数学中,用洛必达法则求一个...需要注意的问题,并深入分析了在使用洛必过法则的...洛必达法则是 《高等数学》 中求极限问题的重点也是一个难点问题, 因此在教学过程中, 应用洛比达法则求解极限问题时, 有几点需要注意 加强讲解和探讨, 列举如下,...同济大学《高等数学》(第四版)3-2节 洛必达法则...sin x 上页 下页 返回 注意:洛必达法则的使用...用洛必达法则求下列极限: 用洛必达法则求下列极限...洛∞达法则在求未定式极限中的应用,需要注意 的问题,并深八分析了在使用洛必...1 蚴7s―in丁2啤了XJ呻OX‘工‘ J―’o ’ 2～2参考文献 [1】高等数学...用极限的四则运算法则_洛必达法则求极限的常见错误...是高等数学中极其重要的内容之一 , 也是高等数学中...在使用洛必达法则求极 限时需注意以下几点 [ 2 ]...本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限...分析:本题虽然注意到了验证法则的条件,但由于导数比...运算中的应用.同时给出了这些结果在高等数学中的...503 Service Temporarily Unavailable
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求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）
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1利用洛必达法则求下列极限：&2设f(x)在[a,b]上有(n-1)阶连续导数，在(a,b)内有n阶导数，且试证：在(a,b)内至少存在一点ζ，使3对函数上验证柯西定理的正确性4证明恒等式：
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关于洛必达法则求函数极限的分析与研究
第 20 卷 第 1 期 2011 年 3 月淮海工学院学报 ( 自然科学版) Jo ur na l of H uaihai Institute of T echnolo gy ( N at ural Sci ence Edit ion )V ol. 20 N o. 1 M ar . 2011DOI: 10.
3969/ j. issn. . 2 -关于洛必达法则求函数极限的分析与研究曹 斌, 马 燕, 孙 艳730050)*( 兰州理工大学 技术工程学 院, 甘肃 兰州摘 要: 首先对洛必达法则的适用条件和常见的误区进行了详细分析, 探讨了法则适用函数极限类 并举例说明其应用, 将法则的应用推广至求数列极限以扩大法则的适用范围; 然后分析法则的不足 ( 失效) 之处; 最后通过实例说明可以将法则和其他求极限方法结合起来使用, 显示了该法则在极限 计算中的重要作用. 关键词: 洛必达法则; 未定式; 极限; 等价无穷小 中图分类号: O172 文献标识码: A 文章编号: ( 3 04 -Analysis and Study of Functional Limits by Employing L. hospital RuleCA O Bin, M A Yan, SU N Yan( Inst itute of Eng ineering and T echno lo gy , L anzhou U niver sity o f T echno log y, L anzhou 730050, China)Abstract: We m ade a det ailed analy sis to the conditions and er roneous areas of applying t he L . ho spit al Rule, and clarified the t ypes w here t he rule can be employed to get funct ional lim it s. We pro ceeded t o exemplify it s applications and ex tend t he rule t o get sequence limit s so as t o enlarge it s r ange of applicat io n. Besides, w e analy zed its insuf ficiency ( failure) . On such a basis, w e proposed to com bine t he rule w it h ot her approaches t o get funct ional lim it s by ex em plif ications, point ing out t he precaut ions t herein and highlight ing the rule. s significance in t he calculation of get ting funct ional limit s. Key words: L. hospit al R i equivalent inf init esimal求函数极限是高等数学中的一项重要内容, 是 研究微积分学的工具. 在众多求极限的方法中, 洛必 达法则因其使用简单方便又可解决绝大部分极限问 题而倍受青睐. 但如果使用不当也容易产生误区, 得 出错误结果.( 2) 在该 极限过 程中, f c( x ) , gc( x ) 都存 在且 gc( x ) X 0; ( 3) lim f (x) 存在或为 ] , 则 g( x ) lim f (x ) f c( x ) = lim . g( x ) gc( x )+ -11 1 1洛必达定理及适用条件洛必达法则定理 设在某一极限过程中, 函数 f ( x ), g(x ) 满足条件: ( 1) lim f ( x ) = 0, lim g( x ) = 0 或 lim f ( x ) =法则当 x y x 0 , x y x 0 , x y x 0 , x y ] , x y+ ] , x y- ] 时均成立. 1 2 1 洛必达法则求极限的条件 从定理知道, 无论是/ 0/ 00 型还是/ ] / ] 0 型, 都必须具备一个重要条件, 即在自变量的同一变化] , lim g( x ) = ] ;*收稿日期: 2010 11 - -15; 修订日期: 2011 01 - -15 作者简介: 曹斌( 1985- ) , 男, 甘肃白银人, 兰州理工大学技术工程学院教师, 主要从 事高等数学、 概率 论与数理统计 课程的教学与基 础 数学方面的研究, ( E mail ) caob in2974158@ yah oo. com . cn. -4淮海工学院学报 ( 自然科学版)22011 年 3 月过程中, lim f c( x ) 存在( 或为 ] ) 时, 才有 lim f ( x ) gc( x ) g( x ) 存在( 或为 ] ) , 且 lim f ( x ) = lim f c( x ) , 但是此条 g(x) gc( x ) 件却不便先验证后使用. 所以连续多次使用法则时, 每次都须验证它是否为/ 0/ 00 型或/ ] / ] 0 型, 其使 用程序如下: 0 0 / 0 , lim f c( x ) / 0 , ,, 0 0 gc( x ) ( n- 1) ( n) 0 lim f n- 1 ( x ) / 0 , 若 lim f ( n) ( x ) 存 在 ( 或 为 0 g (x ) g (x) f ( x) f c( x ) ] ) , 那么才有式子 lim = lim = ,= g( x ) gc( x ) lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) = lim f ( x ) 成立: 而上式成立是基 ( n) g (x) g (x) f (x) f c( x ) f ( n- 1) ( x ) 0 于 lim , lim , ,, lim n- 1 都是/ 0 g( x ) gc( x ) g (x) 0n- 1 ( n- 1) ( n)x a + x 是/ 0 0 型未定式, 可 盾; 如果 b = 1, 则lim x y 0 b - cos x 0 t2 dt 0 a+ t 用洛必达法则 求解, 即 lim x y 0 bx - sin xQx/ 00 = 0x a+ x lim x y 0 1- cos x2/ 0 0 = lim x y0 01 x2 # = a + x 1 - cos x1 lim x2 = lim x y 0 1 - cos x x y0 a lim x y01 x2 # = 1 a+ x 1 - cos x a 2. a a=x2 = 1 lim 2x = 1 - co s x a x y 0 sin x根据以上从右至左, 多次应用法则得 2/ 1, a = 4.型未定式, 而且从右到左依次相等, 但为了 书写方 便, 在应用此法则求极限时总是习惯于从左至右写. 这样, 如果忽略了对条件的验证, 就有可能出错. 例 1 问 a, b 取何值时, 下式成立? 1 lim bx - sin x # x y0 解( 1) lim x y0 而lim x y0 lim x y0x2 a+ x 0 解法( 2) 求出lim = 后, 讨论了 x y 0 b - cos x b- 1 其存在性, 排除了 b X 1 的情形后, 得出 b = 1; 此时 x a + x 是/ 0 0 型未定式, 继续应用洛必达法 lim x y 0 1 - co s x 0 则进行求解, 从而避免了武断上述极限存在的错误. 该问题的关键是讨论 lim f c( x ) 的存在性, 只有 gc( x ) 它存在, 才能使用洛必达法则.2Qx 0t2 dt = 1, a & 0. a+ t1 # bx - sin xQ0xt2 0 dt / 0 = 0 a+ t ( I) = = 1 a1 # b - cos xx2 = 1 X 0, a+ xx2 = 0, 由此可以得到lim ( b - cos x ) x y0 a+ x 1 x2 0, 于是 b = 1, 所以有 lim # x y 0 1 - cos x a+ x 2 2 1 x x # lim = 1 lim = x y0 x y 0 1 - cos x a + x 1- co s x a lim 2x = x y 0 sin x22 1 1洛必达法则的应用基本类型:/ 0/ 00 型及/ ] / ] 0 型未定式 在自变量的某变化过程中, 对上述两种基本类型可直接应用法则求极限. 例2 解 = 6.注 在求极限时, 如果 lim f c( x ) 0 还是/ 0 型未 定式, gc( x ) 02 = 1, 即 a = 4. 根据以上从左至右的 a 1 # b- cos x x2 a+ x求 lim x y0 lim x y0x . x - sin x3推导顺序, 问题出在式( I) , 即lim x y02x3 3x 2 = lim = lim 6x x y 0 1- cos x x y 0 sin x x - sin x的存在性并没有论证. 根据洛必达法则的条件, 只有 当lim x y0 1 # b - cos x x 存在时, 式( I) 才能成立, a+ x且 f c( x ) , gc( x ) 仍满足洛必达法则条件, 则可继续使用该 法 则求极限.这个问题往往在求极限时被忽视, 因此后面的做法 就是去了根基, 所以上述解法( 1) 错误. x t2 x2 dt 0 a+ t / 0 0 = lim a+ x 解( 2) lim x y0 bx - sin x x y0 b - cos x 0Q例3求 lim +x y0ln co t x . ln x=0 , 如果 b X 1, 则上式等于 0, 与已知条件矛 b- 1解1 2 (- csc x) ln cot x / ] 0 = lim cot x lim + + ] ln x 1 x y0 x y0 x第1期曹斌等: 关于洛 必达法则求函数极限的分析与研究5= lim +x y0- x / 0 0 = - lim x # lim 1 + + 0 sin x cos x x y 0 sin x x y 0 co s x计算时要注意 已知极限的 分离, 如 lim x = 1, x y0+ sin x2 3 1使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法 在求极限时若能灵活地将法则和其它求极限方 3x - sin 3x . 2 ( tan x ) # ln ( 1+ x )= - 1.注法结合起来使用, 则计算往往变得更为简单、 方便. 例7 解 求lim x y0否则会越做越麻烦.2 2 1可转化为基本类型的未定式极限洛必达定理只能解决/ 0/ 00 型及/ ] / ] 0 型未 定式函数极限, 而对于某一极限过程中/ 0 # ] 0, / ] - ] 0, / 00 0, / ] 00, / 1 ] 0 等 5 种类型的极限也可经 过一定变形, 转化为基本类型再用法则求之. ( 1) 对于/ 0 # ] 0 型, 可将乘积化为除的形式, 即转化为/ 0/ 00 型或/ ] / ] 0 型; ( 2) 对于/ ] - ] 0 型, 可通过通分转化为/ 0/ 00 型未定式计算; ( 3) 对于/ 0 0, / ] 0, / 1 0 型可先化为以 e 为0 0 ]显然, 当 x y 0 时, t an x ~ x , ln ( 1 + x ) 3x - sin 3x 3x - sin 3x ~ x . 故lim = lim 2 x y 0 ( t an x ) # ln ( 1 + x ) x y0 x3 = lim x y0 3 - 3cos 3x 3sin 3x 9 = lim = . x y0 3x 2 2x 2该法则是通过计算函数的导数, 利用导数的极 限求出原函数的极限, 故只适用于函数极限的求解. 然而在应用时, 对/ 0/ 00 型及/ ] / ] 0 型数列极限也 可间接应用. 2 4 1 数列极限的洛必达法则求解 例8 解 求lim ny ] n . ln n 2底的指数函数的极限, 再利用指数函数的连续性, 转 为直接求指数的极限, 而指数的极限形式为/ 0 # ] 0 型, 再转化为/ 0/ 00 型或/ ] / ] 0 型计算. 例4 解 求lim x e x - 1 . xy] 此题属/ 0# ] 0 型未定式, 将原式中的 x 写1此问题可归类到/ ] 0 型未定式极限. 但由 ]于题目中变量 n 为正整数, 对这些孤立点 n 无法求 导, 故不能直接利用洛必达法则求解. 应先将极限式 中的 n 换成连续变量 x , 求函数x lim] y+ x 极限, 再由 2 ln x在分母上, 使其变为/ 0 0 型后应用洛必达法则, 即 0xy ]0 lim x ( e - 1) = xlim e - 1 / 0 = y] 1 0 x1 x1 x归结原则知原数列极限值. x 1 x lim lim = lim = + ] ,故 2 = x y + ] ln x x y+ ] 1 # 2x x y+ ] 2 x2 由归结原则得lim ny ] n =+ ] . ln n 2ex xy ]1lim1 x2 - 1 2 x= xlim e = 1. y] ( / ] - ] 0 型) . lim x y1 ln x - x - 1 ( x - 1) ln x1 x该法则尽管求极限很方便, 但也并不是万能的, 而且使用时也要谨慎, 否则容易出错.例5 解求 lim x y1 lim x y11 - 1 x - 1 lnx1 - 1 = x - 1 ln x 1 - 1 x33 1 1洛必达法则的失效不符合条件的使用 有时极限式并不满足法则条件, 如用法则求解 极限式非未定式 求 lim 1- cos2 x . x y0 1+ x lim 1 - cos2 x = x y0 1+ x lim ( 1 - cos2 x )c = x y0 ( 1+ x )c/ 0 0 = lim x y1 0 =- 1. 2 例6 解 ex y0lim - t an x2xln x + 1- 1 x1 - 2 00 x / x y1 0 = lim 1 + 1 x x2会得出错误结果, 主要有两种情形. 3 1 1 1 1例9 lim ( cos x ) x y0 lim ( cos x ) x y0 = e 2.- 11 x2 1 2 x.1 ln c os x x2= lim e x 2 ln cos x = exlim0 y x y0= lim x y0解sin x 1 = . 2x 2可见利用洛必达法则能够解决很多函数极限问 题, 而且也可将法则和其他求极限方法结合起来同 时使用.由于本题不是未定式/ 0 0 型, 而上面错误地应 0 用了洛必达法则, 从而得出错误的结论. 事实上, 此6 题可以直接利用函数连续性得到结果. 1 - cos x 0 lim = = 0. x y0 1+ x 2 1 3 1 2 1 1淮海工学院学报 ( 自然科学版)2011 年 3 月并不能断言 lim f ( x ) 不存在. g( x ) 特 例 13 lim x - sin x = xlim xy ] y] x 1 - sin x x = 1, 但 1使用法则求导后出现极限不存在现象别当 x y 0 时, 函数式中含有 sin 1 或 cos 1 或当x x x y ] 时函数式中含有 sin x 或 cos x 时, 用法则求极 限时出现极限振荡, 此时法则失效. 2 1 x sin x . 例 10 求极限lim x y0 sin x 0 分析: 这问题是/ 0 型未定式, 但分子、 分母分 0 2x sin 1 - cos 1 1 x x , 而 sin 与 别求 导后变 成lim x y0 cos x x cos 1 当 x y 0 时极限均不存在. 但原极限存在, 可 x 用如下方法求得. x 2 sin 1 x = lim x # x # sin 1 lim x y0 x y 0 sin x sin x x lim x # lim x # sin 1 = 1 # 0 = 0. x y 0 sin x x y0 x 即此时法则失效. 求 xlim x - sin x . y] x ] 解 lim x - sin x / 0 = xlim 1- cos x ( 振 xy ] y] ] x 1 荡) , 法则失效. 但原函数极限存在, 例 11 1 - sin x x - sin x = lim x = 1. lim xy] xy ] x 1 3 2 1 多次使用法则后极限式出现循环现象 例 12 解 / 求 x lim] ex - e- x . y+ e + ex y+ ] x -x若用法则, 则lim xy ]x - sin x / ] 0 1 - cos x = xlim y] x ] 1不存在. 所以, 洛必达法则失效时要寻求别的方法来 求解极限. ( 2) 连续多次使用法则时, 每次都要检查是否 满足定理条件, 只有未定式方可使用此法则, 否则就 会得出错误的结果. ] lim x - sin x / 0 = xlim 1 - cos x y ] 1 + cos x ] x + sin x sin x ( 不是未定式) = xlim = - 1. y] sin x 例 14xy ]=1 - sin x x - sin x x 事实上, lim = xlim = 1. x y ] x + sin x y] sin x 1+ x ( 3) 对/ 0 # ] 0 型进行转化时, 哪个放分子, 哪 个放分母也是有讲究的. 例 15 lim x e- x = x lim] e = x y+ ] y+ 1 x-xlim - e = x y+ ] 1 - 2 x-x,, 极限反倒变复杂了, 如果变换形式, 则 x lim] x e- x y+ = x lim] xx = x lim] 1 = 0. x y+ y+ e e ( 4) 极限存在的 因子可先 从极限 式中分 离出 来, 这样求导时就变得简单些. ( 5) 运用洛必达法则时常结合等价无穷小代换 求极限. 如例 12. 参考文献:[ 1] 同济大学数学系. 高等数 学[ M ] . 6 版. 北京: 高等教 育 出版社, 2007. [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] 华东师范 大学数学系. 数 学分析 [ M ] . 3 版. 北京: 高 等 教育出版社, 2001. 仉志余. 大学数 学应用 教程[ M ] . 北 京: 北京大 学出 版 社, 2006. 王世杰. 浅析洛 必达法则 的应 用[ J] . 山 西煤炭 管理 干 部学院学报, ) : 61 62. 王伟珠. 浅 析罗 必 达法 则的 应 用[ J] . 科技 信 息, 2007 ( 32) : 176, 148. 雒志江. 应用洛 必达法则 中常 见问题 分析 [ J] . 山西 大 同大学学报: 自然科学版, ) : 11 13. -lim ex - e- x e + ex-x/] 0 = ]x y+ ]lim e x + e- x e - ex-xx -x ] 0 = x lim] ex - e- x , 求导两次后极限式出现循 y+ ] e + e环现象, 故洛必达法则失效, 不能使用. 但原式极限存在, 可用下面方法求得:x y+ ]lim e x - e- x = x lim] 1- e- 2x = 1. y+ e + e 1+ ex-x- 2x4洛必达法则求极限注意事项小结( 1) 在/ 0 0 型或/ ] 0 型中, lim f c( x ) 不存在, 0 ] gc( x )( 责任编辑: 褚金红)
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