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高等代数第7章习题参考答案
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第六章习题课一、利用特征值定义及性质的求矩阵的特征值(1) λ1+λ２+…+λn = tr(A)， λ1λ２…λn= |A|,(2)λ→ A的特征值，则g(λ) →g(A)＝atAt +at-1A t-1 +…+a1A+a0I(3) A可逆iff A的特征值均不为零. (|A|=0 iff 零是A的一个特征值)（4）A与AT有相同的特征值，但特征向量一般不同；可逆矩阵A与A-1之间的特征值成倒数关系，且对应的特征向量相同。（5）相似矩阵的特征值相同例1 填空题（1）设矩阵A满足等式A2-3A+2E =0, 则A（2）设A是三阶矩阵，|A|=0,|A+E|=0,tr(A)=0，则A的特征值为 。（3）设P是n阶可逆矩阵，B=P-1AP- PAP-1, 则B的特征值之和?3?a321=0,B+A=2E, 则B的一个特征值是。 （4）已知|A|=1?1?b1例2 选择题?110???（5）设C=?101?, 则C的特征值是（ ）?011???(A) 1，0，1； (B) 1，1，2；（C） -1，1，2； （D）-1，1，1.（6）设A是n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是（ ）(A) λ|A|; (B) λ|A|; -1-1(C) λ|A| ; (D) λ|A|n.二、相似对角化（1） n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（即A的k重特征根有k个线性无关的特征向量）（2） （充分条件）如果n阶方阵A有n个不同的特征值，则A相似于对角矩阵。例3 填空题（1）设A是三阶奇异矩阵，|E+A|=|2E-A|=0, 则A相似于 。（2）若n阶矩阵A有n个属于特征值λ的线性无关特征向量，则A= .??1?, 则r(A-E)+r(2E+A)= ?1（3）已知A相似于对角阵????2???例4 n阶矩阵A相似于对角阵的充要条件是(A) A有n 个不同的特征值;(B) A有n个不同的特征向量 ;(C) A的每个ri重特征值λi, 有r(λi E-A)=n-(D) A是实对称矩阵.例5 设A,B,C均为n阶矩阵，且AB=0,AC+C=0，如果r(C)+r(B)=n， 例6 证明A相似于对角阵Λ，并求Λ。设n阶矩阵A满足A2-3A+2 E =0，证明A相似于对角阵。三、实对称矩阵的相似对角化(1) 实对称矩阵的特征值都是实数(2) 实对称矩阵的不同特征值的特征向量必正交。(3) n阶实对称矩阵A正交相似于对角矩阵，即存在正交阵Q，使?λ1??Q?1AQ=????λ2????, O?λn??其中λ1，λ2，… ，λn是A的特征值.例7 填空、选择题（1）设A是三阶实对称矩阵，λ1是二重特征值，对应有两个线性无关的特征向量 (1，2，3)T和(-2，1，-1) T，则另一特征值的特征向量是 。（2）设A是n阶实对称矩阵，λ1,λ2, ..., λn是A的n个互不相同的特征值，ξ1是A的对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ξ1ξ1T的特征值是 。（3）设A是n阶可逆对称矩阵，B是n阶非零反对称矩阵，则下列不能通过正交变换化为对角阵的是(A) AB-BA; (B) AT(B+BT)A; (C) BAB; (D) ABA.例8设A是三阶实对称矩阵，特征值为1，2，-1，矩阵A的属于特征值1，2的特 征向量分别为α1=(1,1,1)T,α2=(1,0,?1)T，试用矩阵A的特征向量表示向量β=(?1,8,?1)T，并求A100β。解 设λ=?1所对应的特征向量为(x1,x2,x3)，因实对称矩阵A的属于不同特征值T的特征向量相互正交，故有?x1+x2+x3=0， ??x1?x3=0解得基础解系α3=(1,?2,1)T，它是属于λ=?1的特征向量。作初等行变换1M?1??11?100M2??→?010M0?， 10?28[α1,α2,α3Mβ]=?M???????1?11M?1???001M?3??故β=2α1?3α3，因此A100β=2A100α1?3A100α3=2α1?3(?1)100α3=2α1?3α3=(?1,8,?1)T。四、特征向量例9 填空、选择题1. 若n阶矩阵A的每行元素之和为a, 求证：（1） a为A的一个特征值；?1????1?（2） ??是A对应于λ=a的特征向量； M???1???（3） 对于任意自然数m， Am的每行之和为am.2. 设α,β为矩阵A的属于不同特征值的特征向量，则（ ）(A) α,β线性相关； (B) Aα,Aβ线性无关；（C） Aα,Aβ线性相关；（D）不存在k1≠0,k2≠0,使k1α+k2β是A的特征向量。3. 已知 ξ1，ξ2是（λE-A）X=0的两个不同的解向量，则下列必是A的特征向量的是(A) ξ1; （B）ξ2; （C）ξ1+ξ2; （D）ξ1-ξ2.例10 设三阶矩阵A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，对应特征向量ξ1，ξ2，ξ3。证明：当A可逆时，向量组Aξ1，A(ξ1+ξ2 )，A(ξ1+ξ2 +ξ3)线性无关。五、二次型的矩阵、惯性指数、矩阵的合同例11 填空、选择题1．二次型f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+λx2x3 的矩阵为 λ 时，二次型正定。这时，它的正惯性指数是 。2．二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22-x32+4x1x2+3x1x3+6x2x3的秩为 ，它的正惯性指数是 ，负惯性指数是 。3．设A为可逆的实对称矩阵，则将f=XAX化为f=YAY的线性变换为 。 TT?1?1????1? 4. 矩阵（ ）合同于??2?????1?1??????1? ; （B）??2 (A) ??;??1??3??????2??1??????1? ; （D）?2（C）??.??1??1??????1??1???? 5．实对称矩阵A=?,B=????, 则A与B( ) 2?1????(A) 等价; （B）相似;（C）合同; （D）正交相似.6．设A是一个n阶矩阵，交换A的第i列和第j列后再交换第i行和第j行得到矩阵B, 则A, B之间的关系是（ ）(A) 等价但不相似;(B) 相似但不合同;(C) 相似、合同但不等价;(D) 等价、相似、合同.六、化二次型为标准形例12 已知二次型f(x1,x2, x3)=2a x12 +3 x22+3 x32+2x2x2通过正交变换化为标准形f(x1,x2,22x3)=y12+ay2+by3, 求a,b的值及所用的正交变换。二、正定二次型和正定矩阵例13 填空、选择题1．设n阶实对称矩阵A的特征值为1，2，L,n, 则当ttE?A为正定矩阵。2．设A,B是n阶正定矩阵，则（ ）是正定矩阵。(A) A+B； （B）A?B；（C）AB； （D）kA*+lB*。３．设f=XTAX，g= XTBX是n元正定二次型，则下列（ ）不一定是正定二次型。(A)XT（A+B）X; （B）XT（AB）X ;（C）XTA-1X; （D）XT（A-1+B-1）X.例14设实对称矩阵A的特征值全大于a，实对称矩阵Ｂ的特征值全大于b，证明A+B ******的特征值全大于a+b。例15设A是一个n阶实对称矩阵，证明：r(A)=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BA是正定矩阵。T
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