【图文】高二数学二次项定理2 ppt_百度文库
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高二数学二次项定理2 ppt
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&&高​二​数​学​二​次​项​定​理 ​p​p​t
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＞＞＞已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，..
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）。
(1)若方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；(2)若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：江苏期中题
解：（1）为（1，3）∴&&所以a＜0&&&&&&&&&&①由方程&&②&& 因为方程②有两个相等的根，所以，即，解得&&&&&&由于代入①得f（x）的解析式为。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）由及&&&&&&&&&&由解得或故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
发现相似题
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二次项定理(一)
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你可能喜欢第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)
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第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM 第二章& 二次函数与命题
一、基础知识1．二次函数：当 0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=- ，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=- ，下同。2．二次函数的性质：当a&0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a&0时，情况相反。3．当a&0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c&0…②及ax2+bx+c&0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。1）当△&0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1&x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x&x1或x&x2}和{x|x1&x&x2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0= ,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x }和空集 ，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当△&0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和 .f(x)图象与x轴无公共点。当a&0时，请读者自己分析。4．二次函数的最值：若a&0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)= ,若a&0，则当x=x0= 时，f(x)取最大值f(x0)= .对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a&0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0&m时。f(x)在[m, n]上的最小值为f(m)；当x0&n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1& 能判断真假的语句叫命题，如“3&5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1& “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2& 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。注2& 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3& 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3& 如果命题“若p则q”为真，则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中，如果已知p q,则p是q的充分条件；如果q p，则称p是q的必要条件；如果p q但q不 p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不 q但p q，则p称为q的必要非充分条件；若p q且q p，则p是q的充要条件。二、方法与例题1．待定系数法。例1& 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).【解】& 设f(x)=ax2+bx+c(a 0),则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，因为方程x2-x+1=0中△ 0，所以α β，所以(α+β)a+b+1=0.又α+β=1,所以a+b+1=0.又因为f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.2．方程的思想。例2& 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。【解】& 因为-4≤f(1)=a-c≤-1,所以1≤-f(1)=c-a≤4.又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)= f(2)- f(1),所以 ×(-1)+ ≤f(3)≤ ×5+ ×4,所以-1≤f(3)≤20.3．利用二次函数的性质。例3& 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。【证明】若a&0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x&0即f(x)&x，从而f(f(x))&f(x)。所以f(f(x))&x，所以方程f(f(x))=x无实根。注：请读者思考例3的逆命题是否正确。4．利用二次函数表达式解题。例4& 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a&0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0&x1&x2& ,（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：x&f(x)&x1；（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0& 【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1&0, x-x2&0, a&0，所以f(x)&x.其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+ ]&0，所以f(x)&x1.综上，x&f(x)&x1.（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,所以x0= ,所以 ，所以 5．构造二次函数解题。例5& 已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a&1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。【证明】& 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)2&0, f(-1)=(a-1)2&0, f(0)=1-a2&0, 即△&0，所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，负根比-1大。6．定义在区间上的二次函数的最值。例6& 当x取何值时，函数y= 取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1- ,令 u,则0&u≤1。y=5u2-u+1=5 ,且当 即x= 3时，ymin= .例7& 设变量x满足x2+bx≤-x(b&-1)，并且x2+bx的最小值是 ，求b的值。【解】& 由x2+bx≤-x(b&-1)，得0≤x≤-(b+1).)- ≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx的最小值为- ，所以b2=2，所以 （舍去）。) - &-(b+1)，即b&-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=- ,b=- .综上，b=- .7.一元二次不等式问题的解法。例8& 已知不等式组&& ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】& 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a≤0，则x1&x2.①的解集为a&x&1-a，由②得x&1-2a.因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。若a&0，）当0&a& 时，x1&x2,①的解集为a&x&1-a.因为0&a&x&1-a&1，所以不等式组无整数解。）当a= 时，a=1-a，①无解。）当a& 时，a&1-a，由②得x&1-2a，所以不等式组的解集为1-a&x&a.又不等式组的整数解恰有2个，所以a-(1-a)&1且a-(1-a)≤3，所以1&a≤2，并且当1&a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是1&a≤2.8．充分性与必要性。例9& 设定数A，B，C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0&&& ①对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）【解】& 充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0&& ②若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A 0，则因为②恒成立，所以A&0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。2）若A&0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。综上，充分性得证。9．常用结论。定理1& 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.【证明】& 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m&0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）.又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。定理2& 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥ (证略)注& 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a} {a,b}; ④ p: Q R, q: N=Z.3. 当|x-2|&a时，不等式|x2-4|&1成立，则正数a的取值范围是________.4. 不等式ax2+(ab+1)x+b&0的解是1&x&2，则a, b的值是____________.5. x 1且x 2是x-1 的__________条件，而-2&m&0且0&n&1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的__________条件.6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.7.若S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是_________.8. R为全集，A={x|3-x≥4}, B= , 则(CRA)∩B=_________.9. 设a, b是整数，集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0） A，（3，2） A则a,b的值是_________.10．设集合A={x||x|&4}, B={x|x2-4x+3&0}，则集合{x|x∈A且x A∩B}=_________.11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。12．对任意x∈[0,1],有& ①②成立，求k的取值范围。四、高考水平训练题1．若不等式|x-a|&x的解集不空，则实数a的取值范围是_________.2．使不等式x2+(x-6)x+9&0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________.3．若不等式-x2+kx-4&0的解集为R，则实数k的取值范围是_________.4．若集合A={x||x+7|&10}, B={x||x-5|&k}，且A∩B=B，则k的取值范围是_________.5．设a1、a2, b1、b2, c1、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1&0和a2x2+b2x+c2&0解集分别为M和N，那么“ ”是“M=N”的_________条件。6．若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_________.7．已知p, q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_________条件。8．已知p: |1- |≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m&0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_________.9．已知a&0，f(x)=ax2+bx+c，对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)&f(1+2x-x2)，求x 的取值范围。10．已知a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1时，|f(x)|≤1,(1)求证：|c|≤1;(2)求证：当|x|≤1时，|g(x)|≤2;(3)当a&0且|x|≤1时，g(x)最大值为2，求f(x).11.设实数a,b,c,m满足条件： =0，且a≥0,m&0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0&x0&1.五、联赛一试水平训练题1．不等式|x|3-2x2-4|x|+3&0的解集是_________.2．如果实数x, y满足： ，那么|x|-|y|的最小值是_________.3．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点（1，1），（3，5），f(0)&0，当函数的最小值取最大值时，a+b2+c3=_________.4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))= x有_________个实根。5．若关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是_________.6．若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则p+q2=_________.7. 对一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a&b)的值恒为非负实数，则 的最小值为_________.8．函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图，且 =b-2ac. 那么b2-4ac_________4. （填&、=、&）9．若a&b&c&d，求证：对任意实数t -1, 关于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有两个不等的实根。10．某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。
六、联赛二试水平训练题1．设f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a&100，试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个？2．设函数f(x)=ax2+8x+3(a&0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。3．设x1,x2,…,xn∈[a, a+1]，且设x= , y= , 求f=y-x2的最大值。4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在实数m，使得|f(m)|≤ ,|f(m+1)|≤ ,求△=a2-4b的最大值和最小值。6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 0)满足下列条件：1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；2）当x∈(0, 2)时，f(x)≤ ;3）f(x)在R上最小值为0。求最大的m(m&1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x.7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)内至少有一个实根。8．设a,b,A,B∈R+, a&A, b&B，若n个正数a1, a2,…,an位于a与A之间，n个正数b1, b2,…,bn位于b与B之间，求证：&9．设a,b,c为实数，g(x)=ax2+bx+c, |x|≤1，求使下列条件同时满足的a, b, c的值：（） =381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364. 文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM
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高中数学二次项定理 第一题
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1。(2-√x)⁸展开式中不含x⁴项的系数和为？
解：第k+1项T‹k+1›=C(n，k)[2^(n-k)][(-√x)^k]=C(n，k)[2^(n-k)][(-1)^k][x^(k/2)]
令k/2=4，则k=8，即第9项(即最后一项)含x⁴；去掉第9项前8项的系数和为：
S₈=C(8，0)×2⁸-C(8，1)×2⁷+C(8，2)×2⁶-C(8，3)×2⁵+.......-C(8，7)×2
=1×2&#&#&#&#&#³+28×2²-8×2¹=0，故应选B.
2。在[x+(3y)^(1/4)]²º的展开式中，系数为有理数的项共有项数为？
解：3^(k/4)(k=0，1，2，3，....，20)中,k=0，4，8，12，16，20时k/4是整数，那么含有这样
的k的项的系数都是有理数，故共有6项，应选B.
3。设(1+x)⁸=a&#832...
令字母等于 1 的方法是求所有系数和，令x=1得：所有项的系数和为1；x^4的项是展开式的最后一项，其系数为1，1-1=0选【C】
二次项定理的相关知识
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