习题4-2_咸宁职业技术学院：概率论与数理统计_doc_大学课件预览_高等教育资讯网
咸宁职业技术学院：概率论与数理统计：习题4-2
分类： 格式： 日期：日
*习题4-2
1. 设
相互独立.其密度分别为：
求ζ=
的密度.
2. 设
，
，且
相互独立，求证：
（1）
；
（2）
.
3. 设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度为：


如果各周的需求量是相互独立的. 试求 （1）两周的需求量的概率密度;
（2）三周的需求量的概率密度.
4. 设某种型号的电子管的寿命
（以小时计）近似地服从
的分布, 随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.
5. 设二维随机向量
服从区域D=
上的均匀分布，求
的密度函数.
课件名称：课件分类：数学课件类型：教学课件文件大小：5.07MB下载次数：3评论次数：3用户评分：7.7
18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.（1）因1?；???；??；f(x)dx?c；??1；dx?x；?carctanx；1?1；?c?故c?；1?；,x?1,?；f(x)????x2；?0其他,?；（2）；F(x)?；当X??1时F(x)?0,当?1?X?1时，；??1?；dt?t2；arctanx；x?1；arcsinx?；12；1?1；当x?1时：F(x)?；??1?；dt?t；?0dt?
（1） 因1?
f(x)????x2
当X??1时F(x)?0,
当?1?X?1时，
当x?1时：F(x)?
?X?)?F()?F(?)?(arcsin?)?[arcsin(?)?]?
11 ?服务时间X服从指数分布，其概率密度为
，某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个f(x)??
月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求Y的分布律，并求P{Y?1}. 等待1次离开的概率为：
Y～b(5,e?2),P{Y?k}?C5e(1?e?2)5?k(k?0.1,?,5)
P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1?e?2)5?0.5167
12 X～N(3,22)（1）求(1)求P(2?X?5},P{?4?X?10},P{X?2},P{X?3}. （2）求c,使得P{X?c}?P{X?c} （1）P{2?X?5}??(P{?4?X?10}??(
)??()??(1)??(?)?0.
10?3?4?3777)??()??()??(?)?2?()?1?0.
P{X?2}?1?P{?2?X?2}?1??(?)??()?0.6997
P{X?3}?1?P{X?3}?1??(0)?0.5
由P{X?c}?P{X?c}得又
??(0),故c?3 2
1X?3c?3c?3?P{X?c}?P?}??()， 2222
服从??60,?的正态分布，若要求
P{120?X?200}?0.80,?最大为多少？
P{120?X?200}??(
)?1?0.80,??(
)?0.90??（1.28）
故?最大为31.25。
14随机变量
求Y?X2的分布律。
Y的所有可能取值为0，1，4，9，有概率的可加性，有：
得Y?X2的分布律为
15设X～N(0,1),(1)求Y?ex的概率密度，（2）求Y?2X2?1的概率密度，
(1)Y?g(x)?ex在（??，??）上恒有g?(x)?ex?0,且g(x)有反函数，1
x?h(y)?lny,h?(y)?,??min{e??,e??}?0,
??max{e??,e??}???
??12,y?0e故Y的概率密度fY(y)?? y2??
(2)因Y?2X2?1?0,，则Fy(y)?0,(y?1)， 当Y?1时，
Fy(y)?P{2X2?1?y}?P{?
y?1??14,y?1,?
fY(y)??2(y?1)e
1.离散随机变量
P{X??1}?P{Y??1}?
相互独立同分布，
,P{X?1}?P{Y?1}?.求P{X?Y}的概率. 22
P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}(已知独立)?..
即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布, X与Y一般不会以概率1相等.
（2）设二维随机变量(X,Y)的概率密度
?cx2y,x2?y?1,21
，则C?。 f(x,y)??
0,其他，4?
（3）X和Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?1}?P{Y?1}?
,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22
P{X?Y?2}?,
P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2,Y?1}?
.,P{X?Y?4}?,
（2）由已知易得P{2X?2}?
,P{2X?4}?.
2.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，
每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X,Y如下：
?0,若第一次取出的是正品?0,若第二次取出的是正品X??,
1，若第一次取出的是次品1，若第二次取出的是次品??
试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．并问随机变量X和Y
否相互独立？
（1）放回时，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?
255,P{X?0,Y?1}?, 3636
,P{X?1,Y?1}?, 3636
（2）不放回抽样，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?
,P{X?0,Y?1}?, 6666
,P{X?1,Y?1}?,
放回抽样时，两次抽样相互独6666
立；不放回抽样，不相互独立．
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4
试求（1）常数k；（2）P{X?1,Y?3};(3)P{X?1.5};(4)P{X?Y?4}
3 设随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)??
y24(1)因k(6?x?y)dydx?k(?2?12?2x)dx
0202 21?k(6?2x)dx?8k?1,k?
(2)P{X?1,Y?3}?(6?x?y)dydx?(??6?x)dx?2
(3)P{X?1.5}?(6?x?y)dydx
11.5y7?(?(6?2x)dx??2?6?2x)dx?
(4)P{X?Y?4}?
?dy(6?x?y)dx?(6x??yx)0dy?
4.随机变量(X,Y)在矩形域a?x?b,c?y?d上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X及Y是否独立？ 解 按题意(X,Y)具有联合概率密度 1?
,a?x?b,c?y?d,?
f(x,y)??(b?a)(c?d)
fY(y)??c?d,
?y?d?0,y?c
fX(x)??b?a
?x?b?0,x?a
X及Y是独立的.
事实上,若(X,Y)服从区域D上的均匀分布，则只有当D为矩形区域：
且X与Y独a?x?b,c?y?d时，X与Y分别服从[a,b],[c,d]上的均匀分布，
立，反之亦然.
5 一仪器由二个部件构成，以X和Y分别表示二个部件的寿命（单位：千
小时），已知
和Y的联合分布函数
?0.5x??e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0 F(x,y)??1?e
（1）X与Y是否独立？
（2）两个部件的寿命都超过100小时的概率?
（1）X和Y的分布函数分别为FX(x)?F(x,??)??1?e
?0.5x?,x?0, ?0,其他，
?1?e?0.5y,y?0,
FY(y)?F(??,y)??
由于F(x,y)?FX(x)FY(y)，故独立。
(2)??P{X?0.1,Y?0.1}?P{X?0.1}P{Y?0.1}?[1?FX(0.1)]{1?FY(0.1)]?e?0.05e?0.05?e?0.1
6 （1）求第二题中X和Y的边缘分布，（2）X与Y是否独立？ （1）由P{X?i}?
?P{X?i,Y?k}
?P{X?k,Y?j}知，放回与不放回的情形都是：
不放回，X与Y不独立；
7 随机变量=F(x,y)?
的分布函数为
(B?arctan)(C?).
求：（1）(X,Y)的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X与Y是否独立？
解 由分布函数的性质有F(x,??)?0,F(??,y)?0,F(??,??)?1 从而对任意的x,y；有1
(B?)(C?)?0， 222?1
?y??于是，有(B?)(C?)?0,B?,C?.，
独立。 f(x,y)?2f(x)?f(y)?XY2222
?(4?x)?(9?y)?(4?x)(9?y)
8 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为
?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x
求边缘概率密度.
解 对任意0?x?1，
4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x) fX(x)?0dy?0
,对任意0?y?1，
4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)，
?2.4x2(2?x),0?x?1
可知边缘概率密度为：fX(x)??
fy(y)??2.4y(3?4y?y),0?y?1.
9.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为f(t)??te,t?0，
设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度.
Xi表第i周的需求量，各Xi相互独立。 设两周的需求量为Z?X1?X2，则 fZ(z)?
???f(x1,z?x1)dx1????fX(x1)fX
要fX1(x1)fX2(z?x1)?0,??
而fX1(x1)fX2(z?x1)?x1e?x1(z?x1)e?(z?x1)?x1(z?x1)e?z,
23x1zx1z2?z?z
故fZ(z)?x1(z?x1)edx1?(?)e?e,(z?0)
故fZ(z)??3!,z?0
10.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,400)分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.
设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,202),i?1,2,3,4. 令Y?min{X1,X2,X3,X4}则P{Y?180}?[P{X1?180}]4，而
P{X1?180}?1??(1)?0.1587
因此P{Y?180}?0.000634
11.设随机变量X,Y相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记7
事件A?{X?a}.B?{Y?a},且P(A?B)?,求常数a
?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)9 a?13?aa?13?a(a?1)(a?3)????1?
a2?4a?3a2?4a?32?1?,???;9a2?36a?35?0,(3a?5)(3a?7)?0
449 57a?ora?
1填空：（1）．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},求E(X),?2,D(X)?2.
（2）设随机变量X1,X2,?,Xn独立同分布，期望为a，方差?2，令
Xi，则E(Xn)?a,D(Xn)?
（3）设随机变量X1,X2,X3独立，X1在[0.6]上服从均匀分布，X2服从
N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则 D(Y)?D(X1)?4D(X2)?9D(X3)?3?4?4?9?3?46
2 产品次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的抽取10件产品进
行检验，若发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，求E(X),(设各产品是否次品是相互独立的)
三亿文库包含各类专业文献、各类资格考试、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、专业论文、中学教育、概率统计B(48学时)练习题(演示版)51等内容。　
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命题教师:命题小组... 　概率统计( )试题( 学时) 概率统计(B)试题(48 学时)解答一、填空题,(每题 4 分,共 40 分).. 1, s = {1,2,3,4,5,6,} ; 2.ABC; 3.0.6 ;... 　教学日历(概率统计B48学时)新教材_教育学_高等教育_教育专区。昆明理工大学教学...随机事件的概率 教学 主 要 内 容 (讲授、实验、习题、课堂讨论、实习、 ...?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x；f(x,y)??,求边缘概率密度.；0,其它?；解对任意0?x?1，fX(x)?；?0；f(x,y)dy?；?04.8y(2?x)dy?2.4x；(2?x)；当x?0或f(x,y)dx?；x?1；fX(x)?0dy?0；?0；,对任意0?y?1，；fY(y)?；?y；?y4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y
?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x
求边缘概率密度.
解 对任意0?x?1，
?04.8y(2?x)dy?2.4x
当x?0或f(x,y)dx?
fX(x)?0dy?0
,对任意0?y?1，
?y4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y)，
?2.4x2(2?x),0?x?1
可知边缘概率密度为：fX(x)??
fy(y)??2.4y(3?4y?y),0?y?1.
9.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为f(t)??te,t?0，设各周的需要
量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度.
Xi表第i周的需求量，各Xi相互独立。 设两周的需求量为Z?X1?X2，则 fZ(z)?
f(x1,z?x1)dx1?
???fX(x1)fX
要fX1(x1)fX2(z?x1)?0,??
而fX1(x1)fX2(z?x1)?x1e?x1(z?x1)e?(z?x1)?x1(z?x1)e?z,
23x1zx1z2?z?z
故fZ(z)?x1(z?x1)edx1?(?)e?e,(z?0)
故fZ(z)??3!,z?0
10.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,400)分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.
设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,202),i?1,2,3,4. 令Y?min{X1,X2,X3,X4}则P{Y?180}?[P{X1?180}]4，而
P{X1?180}?1??(1)?0.1587
因此P{Y?180}?0.000634
11.设随机变量X,Y相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件A?{X?a}.B?{Y?a},且P(A?B)?
,求常数a 9
?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)9 a?13?aa?13?a(a?1)(a?3)????1?
a2?4a?3a2?4a?32?1?,???;9a2?36a?35?0,(3a?5)(3a?7)?0
449 57a?ora?
1填空：（1）．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},求E(X),?2,D(X)?2.
（2）设随机变量X1,X2,?,Xn独立同分布，期望为a，方差?，令Xn?
E(Xn)?a,D(Xn)?n
（3）设随机变量X1,X2,X3独立，X1在[0.6]上服从均匀分布，X2服从N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则
D(Y)?D(X1)?4D(X2)?9D(X3)?3?4?4?9?3?46
2 产品次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的抽取10件产品进行检验，若发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，求E(X),(设各产品是否次品是相互独立的)
设：Y: 取10件进行检验的次品数,Y?b(10,0.1) 次品数大于1，?1,第i次检验要调整设备，即
?Xi,E(X)??E(Xi)?4EXi?4{1?P(Xi?1}?0?P(Xi?0)}
0.1i0.910?i?1?(0.910?0.99)?1?0.8 ?C10i?01
而P(Xi?1)?1?P(Y?0)?P{Y?1}
?1?P{0次品}?P{1次品}?1?
故EX?4?0.6
3 100名战士举行射击练习，每人每次射击的命中率均为0.8，每人至多射击4次，但若中靶，则不得射击，且各次射击互不影响，试问：平均看来，应准备多少法子弹为宜？
解:X?i表示战士前i?1次射击未中,第i次中,则
P{X?i}?0.2i?1?0.8,i?1,2,3,
P{X?1}?0.8,P{X?2}?0.16,P{X?3}?0.032, P{X?4}?1?P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?0.008.故:E(X)?1?0.8?2?0.16?3?0.032?4?0.008?1.248,由:1.248?100?124.8,即准备125发子弹为宜.
4某电器设备用于最大负荷的时间X（分钟）是一个随机变量，其概率密度为：
,0?x?1500,?2
f(x)???(x??x?3000,求E(X).
?1500??其它.?0,
解：E(X)?xf(x)dx?
(x?3000)dx?1500(分)
5．一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售f(x)??
出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
A:售出设备一年内调换，Y:表示调换费用。则：P(A)?
?(100?yk)pk=100e
4)?33.64（元）
6．设(X,Y)的分布律如下表:
（1）求E(X),E(Y)，（2）设Z?
，求E(Z);（3）设Z?(X?Y)2,求E(Z). X
（1）X,Y的边缘分布见上表，故：
EX?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2,
EY??1?0.3?1?0.3?0 （2）EZ?（3）EZ?
?1?1?.1?0?????0.1?? 123315
??(xi?yj)2Pij???5
7．随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1是常数.求E(X),D(X).
?(q?1?p)?P(q?q2?q3??)?p?? ?1?q?p??
kq)? =p[q(
qk)?]??p[q(
??p(1?q)?2(1?q)q?1?q 其中“′”表示对q的形式导数. ?(1?q)4p2?
， E(X)?2,D(X)?2.
设随机变量X服从指数分布：f(x)???e,当x?0,其中??0.求
(1)E(2X),(2)E(e?2X).
解 E(2X)?2E(e?2X)?
xde?x??xe?x0?e?xdx?2
12设随机变量X
服从瑞利分布，其概率密度为f(x)??2e2?,x?0,其中??0,是常数.
???x?0.?0,
求E(X),D(X).
2?2dx??e2x2?)
xde2???xe2?
13设X1,X2,?,Xn独立同分布随机变量，期望为?，方差?2，令
(Xi?X)，（1）验证E(X)??,D(X)?
（2）验证S2?
（3）验证E(S2)??2
（1）E(X)?
E(Xi)??n???，D(X)?
?D(Xi)?n?n?
(Xi2?2XiX?X)
?Xi2?2nX?nX
1[（3）E(S2)?
E(Xi)?nE(X)]?{
?[DXi?(EXi)2?n[DX?E(X)2]
?[DXi?(EXi)
??2]?DXi??2
14随机变量(X,Y)具有概率密度
?(x?y),0?x?2,0?y?2,
求f(x,y)??8
E(X),E(Y),Cov(X,Y),?XY,D(X?Y).
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命题教师:命题小组... 　概率统计( )试题( 学时) 概率统计(B)试题(48 学时)解答一、填空题,(每题 4 分,共 40 分).. 1, s = {1,2,3,4,5,6,} ; 2.ABC; 3.0.6 ;... 　教学日历(概率统计B48学时)新教材_教育学_高等教育_教育专区。昆明理工大学教学...随机事件的概率 教学 主 要 内 容 (讲授、实验、习题、课堂讨论、实习、 ...第1页/共15页
1．设 A、B为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8.则P(B?A)
2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是=
3. 设随机变量X??(?,?2)，Y?e，则Y的分布密度函数为.
4. 设随机变量X??(?,?2)，且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率等于0.5， 则X??.
5. 设D(X)?16,D(Y)?25，?XY?0.3，则D(X?Y)=.
6. 掷硬币n次，正面出现次数的数学期望为.
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.
,X,?X是来自总体X??(0,1)的简单随机样本，统计量
1.（10分）设袋中有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？
2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X服从指数分布，其概率密度函数为 C(X1?X2)~t(n)，则常数C,自由度n?.
?(1/5)e?x/5
f(x)???0x?0其它
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y?1}.
3.（10分）设二维随机变量(X,Y)在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：
(1) 求随机变量X,Y的边缘概率密度；
(2) 求条件概率密度fX|Y(x|y).
4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从?(160,20)分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(a,b)服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.
三. （10分）设X1,X2,?Xn是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
?,?ef(x;?,?)????0,?2x??其它
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