如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1.
如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1.
（1）求抛物线的解析式（2）若点M是第四象限内抛物线上的一动点，点M的横坐标是m，△BCM的面积是S，求S关于m的函数解析式，并求出关于S的最大值（3）若P是对称轴直线x=1上的动点，求当以P,B,C为顶点的三角形时，点P的坐标
（1）对称轴x=-b/(2a)=-b/2=1=&b=-2=&y=x^2-2x+c过C(0,-3)，则-3=c，∴解析式为y=x^2-2x-3（2）易求得A,B,C三点坐标为A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)则直线AB方程为y=x-3过M作MN∥y轴，交直线BC于N易求得x=m时，MN=|y抛物线-y直线BC|=|(m^2-2m-3)-(m-3)|=|m^2-3m|因在第四象限，抛物线在直线BC下方，∴有m^2-3m&0即有MN=-(m^2-3m)=3m-m^2则S=S△BCM=S△BMN+S△CMN=1/2*MN*(xB-xM)+1/2*MN*(xM)=1/2*MN*xB=3/2*(3m-m^2)此时，当m=3/2时，S取得最大值S最大=S(3/2)=3/2*(9/2-9/4)=27/8（3）P为对称轴x=1上的动点时，以P,B,C为顶点的三角形可能为等腰三角形此时可能有PB=PC,或PB=BC,或BC=PC设P点坐标为P(1,y)，则有PB^2=(1-3)^2+(y-0)^2=y^2+4PC^2=(1-0)^2+(y+3)^2=y^2+6y+10BC^2=(3-0)^2+(0+3)^2=18由PB=PC可解得y=-1由PB=BC可解得y=±√14由BC=PC可解得y=-3±√17∴当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标可能为(1,-1),或(1,±√14),或(-3±√17)
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理工学科领域专家在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，且点Q到直线BC的距离最远，求点Q坐标．-乐乐题库
& 二次函数综合题知识点 & “在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x...”习题详情
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在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，且点Q到直线BC的距离最远，求点Q坐标．　
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2012-大田县质检
分析与解答
习题“在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，...”的分析与解答如下所示：
（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；（2）根据（1）得到的函数解析式，可求出D、C的坐标；易证得△OBC是等腰Rt△，若过A作BC的垂线，设垂足为E，在Rt△ABE中，根据∠ABE的度数及AB的长即可求出AE、BE、CE的长；连接AC，设抛物线的对称轴与x轴的交点为F，若∠APD=∠ACB，那么△AEC与△AFP，根据得到的比例线段，即可求出PF的长，也就求得了P点的坐标；（3）当Q到直线BC的距离最远时，△QBC的面积最大（因为BC是定长），可过Q作y轴的平行线，交BC于S；根据B、C的坐标，易求出直线BC的解析式，可设出Q点的坐标，根据抛物线和直线BC的解析式，分别表示出Q、S的纵坐标，即可得到关于QS的长以及Q点横坐标的函数关系式，以QS为底，B、C横坐标差的绝对值为高可得到△QBC的面积，由于B、C横坐标差的绝对值为定值，那么QS最长时，△QBC的面积最大，此时Q离BC的距离最远；可根据上面得到的函数的性质求出QS的最大值及对应的Q点横坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出Q点的坐标．
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（-3，0），∴{0=-1-b+c0=-9-3b+c解得：{b=-4c=-3∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3（4分）（2）由y=-x2-4x-3可得D（-2，1），C（0，-3）∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2可得△OBC是等腰直角三角形∴∠OBC=45°，CB=3√2（5分）如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴AF=12AB=1过点A作AE⊥BC于点E∴∠AEB=90°可得BE=AE=√2，CE=2√2（6分）在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP（7分）∴AEAF=CEPF，√21=√2PF，解得PF=2（8分）∵点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为（-2，2）或（-2，-2）（9分）（3）设直线BC的解析式y=kx+b，直线BC经过B（-3，0），C（0，-3），∴{0=-3k+b-3=b解得：k=-1，b=-3，∴直线BC的解析式y=-x-3（10分）设点Q（m，n），过点Q作QH⊥BC于H，并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S，则S点坐标为（m，-m-3）∴QS=n-（-m-3）=n+m+3（11分）∵点Q（m，n）在抛物线y=-x2-4x-3上，∴n=-m2-4m-3∴QS=-m2-4m-3+m+3=-m2-3m=-(m+32)2+94-32时，QS有最大值94（12分）∵BO=OC，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°∵QS∥y轴，∴∠QSH=45°∴△QHS是等腰直角三角形；∴当斜边QS最大时QH最大；（13分）∵当m=-32时，QS最大，∴此时n=-m2-4m-3=-94+6-3=34；∴Q（-32，34）；（14分）∴Q点的坐标为（-32，34）时，点Q到直线BC的距离最远．（注：1、如果学生有不同的解题方法，只要正确，可参考评分标准，酌情给分；2、对第（3）题，如果只用△=0求解，扣（2分）．理由：△=0判断只有一个交点，不是充分条件）
此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．
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在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=...
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经过分析，习题“在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
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二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，...”相似的题目：
如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）、B（4，0），∠OCA=∠OBC．（1）求抛物线的解析式；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；（3）如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标．&&&&
如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4√3），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒√3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，-3），（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为9，若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由；（3）在（2）的情况下，P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于Q点，求线段PQ长度的最大值．&&&&
“在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x...”的最新评论
该知识点好题
1如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为&&&&
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有&&&&
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是&&&&
该知识点易错题
1如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有&&&&
2如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为&&&&
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
…（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
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