小学数学奥林匹克竞赛模拟题及解答第五部分十一节-小学-竞赛试题-题库-腾龙远程教育网
小学数学奥林匹克竞赛模拟题及解答第五部分十一节
　　小学数学的一个重要内容是整数的性质及运算。数学里有一个分枝，它专门研究整数的性质及与之有关的问题，这个分枝叫做数论。其实，整数不仅仅是数论的基础，也是整个数学的重要基础，试想，如果不是远古的人类从数数开始研究整数，怎么会有今天这样一座雄伟壮观、令千万英才尽折腰的数学宫殿呢？！
　　这一部分要简要介绍与质数、合数、最大公约数、整除性判别等有关的问题。有些问题，同学们在课堂上听老师讲过，比如能被2，3，5，9整除的整数的特征，但教科书没有讲出这些结论是怎样得来的。还有一些问题，如：为什么不把1也叫做质数呢？限于篇幅，我们也没有加以解释。但是，就从以下3节中，你也能对整数性质的奇妙无比有所了解。在解这一部分的某些习题时，尤其需要你的耐心与勇气。另有一些较困难的问题，由于要用到其它方法，我们把它们放到了其它部分去介绍（见第十四节等）。
质数与合数
　　自然数除1以外，可以按照约数多少分为两大类，约数恰有两个的叫做质数（也叫素数），约数至少有3个的叫做合数。或者也可以这样定义：设a是一个大于1的自然数，如果任何大于1而小于a的自然数都不能整除a，就说a是质数；如果至少有一人大于1而小于a的自然数b存在，使得a能被b整除，就说a是合数。注意数1不是质数，也不是合数。
　　质数是整数中最重要的一类数。从某种意义上说，如果把整数比做一座雄伟的建筑物，那质数就好比是建造这座建筑物的砖瓦。如果把质数的性质完全弄清了，整数也就基本上被我们研究明白了。很可惜，研究质数的性质是十分困难的，至今人们对它还有许多疑问没有解决。这一节要谈一谈与质数及合数性质有关的一些最最简单的问题。
　　第一个问题是：给定一个自然数a，怎样判断它是不是质数呢？
　　根据定义，需要用a作被除数，依次用2，3，4，…，a-1这a-2个数作除数，看这些除数中有没有能整除a的。如果没有，a就是质数，否则的话，a就是合数。这样做虽然是对的，但却太麻烦了。因为这需要做a-2次除法，当a很大时，当然非常麻烦！
　　稍微动一下脑筋，我们发现，不必用2，3，…，a-1这a-2个数作除法，只要用这些数中的质数就行了，由于在同一段自然数里，质数个数总要少得多，这样做肯定要省不少力气，但是，当a给定以后，2到a-1中究竟哪些数是质数呢？我们刚刚跳出一个漩涡，却又钻进了一条更加黑暗的深渊！
　　两千多年前一位古希腊数学家爱拉托斯散纳想到一种巧妙方法，它可以大大减少上述方法检查a是否为质数所要的计算量。下面的例子包含了他的方法的主要思想。
判断下列各数中哪些是质数，哪些是合数：247，619，887，407。
　　解：注意有
　　　　16×16=256&247。（11.1）
　　如果247是合数的话，它一定可以分解成两个大于1的自然数a与b的乘积，即
　　　　　247=ab。（11.2）
　　不妨可以假设a是a，b两个数中较小的一个，或者也可能有a=b，由（11.1）式可以证明必有
　　　　　a&16。（11.3）
　　这里因为如果（11.3）式不成立的话，就有a≥16，当然也有b≥16（因为b至少和a一样大），这样一来就有
　　　　　　　ab≥16×16=256。（11.4）
　　但（11.4）式和（11。2）式矛盾，这就证明了不可能有a≥16，从而（11.3）成立。
　　由（11.2），（11.3）两式知道，如果247是合数，它必定被一个小于16而且大于1的自然数a整除。因此只要用2，3，4，…，15来除247就行了。这只要做14次除法。
　　再进一步观察知，a要么本身是质数，要么a是合数，那a就又能被某个小于16的质数整除，因此，为判断247是否是质数，也不需要用2，3，4，…，15这14个数去试除247，而只要用2，3，4，…，15这14个数中的质数试除247就够了。这14个数中有2，3，5，7，11，13，这6个质数，因此只要做6次除法就可以了。计算表明，13整除247，故247是合数。
　　现在讨论619，887和407这3个数。容易验证
　　25×25=625&619；30×30=900&887；
　　21×21=441&407。
　　要判断619是否是质数，只要用不超25的质数2，3，5，7，1，13，17，19，23试除619就行了。计算表明它们都不能整除619，因此619是质数。要判断887是否是质数，只要用不超过30的质数试除887即可，计算表明它们都不能整除887，因此887是质数。要判断407是否是质数，只要用不超过21的质数去试除，计算表明，11整除407，因此407是合数。
判断以下各数是否是质数：21991+1.21990+1。
　　解：由于这两个数太大，没有办法用例1的方法去做。我们试用最小的一些质数去除这些数，看能否找到这些数的小质因数。显然这两个数都是奇数，首先自然想到质数3。于是我们容易想到研究2，22，23，…被3除的余数，计算列在下面的表中。
被3除的余数
　　注意到1991是奇数，因而21991被3除余2，从而21991+1被3除的余数就等于2+1=3被3除的余数0，即3是21991+1的约数。因此21993+1是合数。同样方法可以看出3不可能是21990+1的约数。
　　下一个质数是5，计算给出下面的表
被5除的余数
　　注意到1990被4除余2，故21990被5除余4，从而5是21990+1的约数。因此21990+1是合数。
　　那么，质数究竟是不是有无限多个呢？两千多年前古希腊著名的数学家欧几里得在他的名著《几何原本》中用极其简单而巧妙的方法证明了下面的结论。
　　例3 质数有无穷多个。
　　证明：直接证明质数有无穷多个，这需要写出无穷多个质数来，我们没办法把无穷个质数都写出来，而找一个表示无穷个质数的简单公式也是极其困难。然而，如果给出前面几个质数，就能利用它们找出一个新的更大的质数，问题也就解决了。
　　当然，如果给出前面几个质数，要利用它们直接找出一个新质数来，仍然是件非常困难的事，因为这要对一个可能很大的数是否是质数进行判断。
　　但是，如果利用给定的质数，能造出一个自然数N来，并证出N不能被那几个质数整除，那就可以断定N必定有不同于这些质数的质因数，这就找到了一个新的更大的质数（而我们并不需要、也常常不可能把这个新质数算出来）。
　　下面用反证法。假若只有有限多个质数，比如下面这些就是全部质数：
　　　　p1=2，p2=3，…，pm。（11.5）
　　由这些质数作出自然数N，
　　　　N=p1?p2…pm+1，（11.6）
　　显然N是大于1的，而且实际上它比（11.5）中给出的所有质数都大。
　　如果N本身是个质数，这个质数不在（11.2）中，这就出现了矛盾。
　　如果N是合数，它一定可以分解成一些质因数的乘积，假设p是N的一个质因数。那么p一定不在（11.5）中。这是因为如果p和（11.5）中某个p,相等，那么p就必定整除p1p2…pm，又因为p整除N，所以p必定整除它们的差N-p1p2…pm，而N-p1p2…Pm=1，于是p整除1。但这也不可能！这就说明当N是合数时，它也必有不在（11.5）中的质因数。
　　上述矛盾表明“质数只有有限多个”的假定是错误的，这就证明了质数必有无穷多个。
　　两个质数可以相差多大呢？差得最小的是1（3-2=1），对于大于2的奇质数，相邻两质数相差最小是2（例如5-3=2，7-5=2，等等）。但是两个质数最大的差却可以没有固定的限制。
任意5个连续自然数中一定有至少一个质数吗？
　　解法一
如果这个结论不对的话，那么一定可以找到两个差至少是6的质数，这两个质数中间夹有至少5个连续自然数，这些自然数全都是合数。根据这个想法，可以直接查质数表，我们发现23，29是两个质数且29-23=6，因此24，25，26，27，28是5个连续自然数，它们全是合数！
　　解法二
当把题目中的“5”改为一个相当大的数时，要查找质数表不是很麻烦，就是不可能（可能没有那么大的质数表）。我们要想办法造出5个连续合数来。
　　首先考虑这5个数要是“连续自然数”，于是想到它们应该可以写成下述形式：
　　　　K+2，K+3，K+4，K+5，K+6
　　（请读者自己想一想：为什么不写成K，K+1，K+2，K+3，K+4或K+1，K+2，K+3，K+4，K+5的形式？）下面只要取适当的K，使（11.7）中5个数都是合数就行了。
　　要使K+m是合数（m&1是给定的自然数），一个简单办法是让K与m有大于1的公约数。要简单些，只要K是m的倍数：K=mn，那么
　　　　K+m=mn+m=m(n+1)，
　　其中m，n+1都大于1，所以K+m必为合数。
　　由此推广下去易见，要使（11.7）中5个数都是合数，取K是2，3，4，5，6这几个数的倍数。比如可取K=2×3×4×5×6=720，或更小一点取2，3，4，5，6的最小公倍数K=60，这样的K显然有无穷多个（60的任意整数倍数都可以取作K），因此象（11.7）这样一连至少5个数都是合数的数组有无穷多组。对应K=60的是如下的数62，63，64，65，66。
　　当然，用这个方法得出的数组不一定是最小的。
已知p是一个质数，而且它使下面4个数p+6，p+12，p+14都是质数，求出所有满足要求的质数。
　　解：首先设法找到一个满足题目条件的质数p，这可以取p=2，3，5，…依次用试探法去查找，计算表明5+6=11，5+8=13，5+12=17，5+14=19都是质数，p=5是第一个满足题目要求的质数。
　　如果我们再继续用p=7，11，…试下去，你再也遇不到这种质数p了，我们不能这样劳而无获，也许应该想到有这种的可能性：除p=5以外，再也没有别的质数满足题目的要求了。如果这个猜测是对的话，怎么来证明它呢？也许还和6，8，12，14这4个数和5的某种联系有关。让我们再试试它们被5除的余数：
　　　　6÷5=1…1，8÷5=1…3，12÷5=2…2，14÷5=2…4
　　对5以外的任一个质数q，它肯定不能被5整除，因此q被5除所得余数必为1，2，3，4中的一个。
　　如果q被5除余1，那么q+14被5除的余数就等于1+4=5被5除的余数，从而q+14是5的倍数，因而此时q+14必不是质数；如果q被5除余数为2，3，4中之一，那么同样的讨论表明，此时q+8，q+12，q+6将依次不再是质数。因此满足题目要求的质数只有5这唯一一个。
第十一节习题
　　1、回答下列问题，尽可能说明你的理由：（1）两个质数的和仍是质数吗？（2）两个质数的积能是质数吗？（3）两个合数的和仍是合数吗？（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？
　　2、判断以下各数是否为质数：（1）21991+3；（2）21991+31991；（3）；（4）
　　3、假设p，q，r是3个质数，p&q&r，而且这3个质数组成一个等差数列中的相连的3个数，也就是有一个自然数d，使得d=q-p=r-q，此外还知道d不被6整除。试求出所有这样3个一组的质数来，假若还知道d≤10。
　　4、两个质数，它们的和是个小于100的偶数，它们的和还是13的倍数且这两个质数的差的一半还是一个质数，求这两个质数。
　　5、设p是一个大于3的质数，求p2被24除所得的余数。
　　6、给出1，2，3，4这4个数字，问：（1）用它们可以做出多少个两位质数？（2）用它们可以做出多少个各位数字不相同的3位质数？
　　7、写出9个连续自然数，使它们全都是合数。
　　8、假设给出一个等差级数，它的第一个数是a，每两个相邻的数的差为b，这里a,b是两个不同的自然数，问：（1）对于什么样的a,b，这个等差级数中每个数都是合数？（2）能否找到这样的a,b，使这个等差级数中每个数都是质数？
　　9、设p,q是两个大于5的质数，且p&q，证明p4=q4是240的倍数。
　　10、如果有6个不同的素数能构成一个等差数列的连续6项，而每两项相邻的差都是d，证明必有d≥30。
　　11、4个质数的倒数之和等于，求这4个质数的和（注：a的倒数指的是）。
　　12、证明：被4除余3的质数有无穷多个。
第十一节习题提示及部分解答
　　1、解答本题时要结合实例来考虑，例子中的数要尽可能取小些，注意每一小题可能出现的不同情形，还要注意2是偶数中唯一的质数，这对于有些问题可能是非常重要的。
　　2、第（1），（2）两小题仿照例2的方法，但对第（1）小题要考虑数21991被7除的余数及其规律，而第（2）小题则要考虑21991和31991被5除的余数规律；对第（3），（4）两小题，注意都是合数，于是可以把每个数分成由同样多个1组成的数拼接在一起构成的，这样可以很快找到原来两数的一个大于1的约数。
　　注意，1991是合数的判断要用到例1给出的算法，这里要用到45×45=。
　　3、首先由q，r必为奇数推出d必为偶数，从而p也必为奇数。于是d不能被3整除。
　　　可以写成q=p+d，r=p+2d。d被3除的余数必为1或2。
　　情形一 假若d被3除余1，如果p被3除余1，那么r被3除的余数就等于（因为r=p+2d）1+2×1=3被3除的余数，也就是说r是3的倍数。但不难看出r&3，从而r不可能是质数。
　　如果p被3除余2，那么同样可以证明，此时q=p+d必是3的倍数，且q&3（为什么？），从而这时q不可能是质数。这说明当d被3除余1时，仅当p被3除余0时，q与r才可能是质数。但p也要是质数，还要是3的倍数，当然只可能p=3。
　　注意到d可以取不超过10的偶数，但d被3除余1，所以d只能取4和10。对应每个d，求出q，r看是否3数都是质数。
　　情形二
假若d被3除余2。仿照情形一可证，此时如果p被3除余1，则p+d必不是质数；如果p被3除余2，则p+2d必不是质数。因此也只可能当p=3时q与r才可能都是质数。
　　注意d被3除余2，d又是不超过10的偶数，故d只能取胜2或8，对应求出合乎要求的q及r即可。
　　综上所述即求得满足题目要求的全部解。
　　4、在小于100的偶数中，是13的倍数的只有这3个：两个质数要想和是一个偶数，而且这个偶数又大于4，这两个质数必须都是奇质数。假设这两个质数是p，q，不妨设p&q。P-q显然是偶数，所以(p-q)是一个自然数。要（p-q）还是一个质数，只可能是下面两种情形之一出现：（1）（p-q）=2；（2）（p-q）是一个奇质数。
　　情形一 如果（p-q）=2，则p-q=4。相当于（1）中的26求出的q=11，p=15，但15不是质数。相当于52也没有满足要求的解。对78可解出q=37，p=41符合要求。
　　情形二 如果（p-q）是一个奇质数，那么p-q被4除必余2（因为p-q是偶数，它被4除的余数只能是0或2，如果p-q被4除余0。那么p-q是4的倍数，所以（p-q）是偶数，但这不可能），又因为p，q都是奇数，因而只可能p被4除余3，q被4除余1，或者p被4除余1而q被4除余3，从而必须p+q是4的倍数。注意（1）中的26和78不是4的倍数。只有52是4的倍数，而且　　有52=47+5=41+11=29+23；其中×（47-5）=21，×（41-11）=15，×（29-23）=3。而21，15，3中，只有3是质数，故又得到一组解p=29，q=23。
　　5、先分别求p2被3以及被4除的余数，然后再求p2被12除的余数。参看第五、第六节。
　　6、（1）注意这一小题并没有要求两个数字不相同。
　　　 （2）检查一个3位数是否是质数可用例1的方法。
　　7、模仿例4的解法二，注意本题有多组解。
　　8、（1）注意这个等差级数中的数依次有下面的形状：
　　　　　　　　a，a+b，a+2b，a+3b，…，（1）
　　　　　　因此其中第n个数是
　　　　　　　　a+(n-1)b，（2）
　　　　　　剩下是要利用例4解法二中数K选取的思想。（2）注意形如
　　　　　　　　a+(n-1)b
　　　　　　的数都在（1）中，而只要a与n-1有大于1的公约数，a+(n-1)b就有可能是合数了。详细讨论要考虑a，b的具体取值。
　　9、注意240=24×3×5。只要证明p4-q4同时是16，3及5的倍数就行了。这等于证明以下3件事：（1）p4和q4被16除余数相等；（2）p4和q4被3除余数相等；（3）p4和q4被5除余数相等。这里只证明（1），而把（2），（3）的证明留给读者自己完成。
　　由第五节知道，当p，q是奇数时，p2与q2被8除余数都是1，故可以写成
　　　p2=8m+1，q2=8n+1，
　　这里m，n是p2及q2被8除所得的商。由此利用分配律有
　　　p4=p2×p2=(8m+1)
　　　　=64m2+8m+8m+1=16×(4m2+m)+1，
　　同样有q4=16×(4n2+n)+1，
　　这两个式子说明p4和q4被16除的余数都是1。
　　10、假设这6个质数中最小的一个是p，那么这6个质数从小到大依次是
　　　　　　p，p+d，p+2d，p+3d，p+4d，p+5d。（1）
　　　　我们来证明d必是2，3，5的倍数。
　　先证d必是2的倍数。因为（1）中有6个质数，因此从第二个p+d开始的后5个质数必定都是奇质数, 而两个奇数的差必为偶数，因此(p+2d)-(p+d)=p+2d-p-d=d是偶数。
　　下面来证d必是5的倍数。用反证法，假若d不是5的倍数，则d被5除的余数只能是1，
2，3，4中的一个。如果d被5除余1，那么d，2d，3d，4d被5除余数分别为1，2，3，4。因此p，p+d，p+2d，p+3d，p+4d被5除余数必定各不相同，但任何整数被5除余数只有0，1，2，3，4这5个，从而p，p+d，p+2d，p+3d，p+4d中必有一个数是5的倍数。假若p是5的倍数，由p为质数知p=5，但这样就有p+5d=5+5d=5×(1+d)是合数，矛盾。如果p+d是5的倍数，则有p+d=5，于是必p=2或p=3，然而p=2的话，p+2d=2×(1+d)是合数，若p=3，p+3d=3×(1+d)就是合数，这都不可能。类似可证p+2d
，p+3d，p+4d都不能是5的倍数。这样就证明了d必为5的倍数。
关于d为3的倍数可仿上证明。
　　由此得出d≥2×3×5=30。
　　11、把分母29965分解质因数即可求出那4个质数来，注意：一个数是不是质数，可以用例1的方法去判断。
　　12、仿照例3的做法。假设被4除余3的质数只有以下m个p1=3，p2=7，…，pm。
　　考虑自然数
　　　N=4p2p3…pm+3。（1）
　　N要么本身是质数，这时它就是一个与p1，p2，…pm都不相同的质数；要么N可分解，但N的质因数不可能都是被4除余1的（那样N本身也被4除余1，那就与（1）式相矛盾），因此无论如何，总可以再找到一个被4除余3的质数，而且这个质数一定与p1，p2，…，pm不同，这就导致矛盾。证明细节由读者自己补充完全。
第十一节习题答案
　　1、（1）不一不。例：2+3=5是质数，2+2=4不是质数；
　　　 （2）两个质数的积必为合数，不可能是质数。
　　　 （3）不一定。例：4+9=13是质数，4+4=8是合数。
　　　 （4）不一定。例：12-9=3是质数，8-4=4是合数。
　　　 （5）不一定。例：2+9=11是质数，2+4=6是合数。
　　2、（1）是合数，它能被7整除；
　　　 （2）是合数，它能被5整除；
　　　 （3）是合数，它能被11整除；
　　　 （4）是合数；因为1，因此这个数有一个约数为。
　　3、有4组解，它们分别是：3，5，7；3，7，11；3，11，19；3，13，23。
　　4、有两组解：41，37；29，33。
　　5、p2被24除余1。
　　6、（1）两位质数有以下6个：11，31，41，13，23，43；
　　　 （2）数字不同的3位质数有以下3个：241，421，431。
　　7、以下是其中的两组解：
　　（1）114，115，116，117，118，119，120，121，122；
　　（2），，，，2530．
　　8、（1）首先要a是合数。还要求a和b有大于1的公约数d，于是可以假设a=Ad，b=Bd，这个等差给数中第n个数是a+(n-1)b=Ad+(n-1)Bd=d(A+(n-1)B)，因此它是合数。这就说明了这个等差组数中每个数都是合数。另一方面，如果a是任意一个给定的自然数，而b和a互质，那么这个等差级数中必有无穷多个质数，从而不可能每个数都是合数。这是一个著名的结果。
　　（2）不可能。如果a=b=1，这个级数恰好是由全体自然数组成的，当然不可能都是质数了。如果a&1，其中第a+1个数是a+(a+1-1)b=a+ab=a(1+b)，它是合数。所以a&1时等差级数中也必有合数。
　　如果a=1，b&1，其中第b+3个数是a+(b+3-1)b=1+(b+2)b=b2+2b+1=(b+1)×(b+1)，它是一个合数！
　　11、×11×181，用例一的方法可判断出181是质数（因为14×14=196&181只要用2，3，5，7，11，13试除181就行了）。最后检查是否有+++=。而所求结果为3+5+11+181=200。三个不同的质数a，b，c满足ab^bc+a=2000，则a加b加c等于多少？写出简单的过程_百度知道
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提问者采纳
ab^bc+a=2000这个式子左边到底是什么运算，看不懂。
a×b的b次方×c+a
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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