二次函数与一次函数在实际问题中的综合运用
二次函数与一次函数在实际问题中的综合运用
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二次函数与一次函数在实际问题中的综合运用
　　二次函数与一次函数的结合题，通常表现为图象信息题，是中考的热点考题，对于图象信息题要抓住以下几点：
　　（1）读懂图表，结合分析找出有用信息；
　　（2）利用信息抽象出数学模型（如二次函数）；
　　（3）带着实际问题的限制条件解数学模型。
一、典型题 1
（达州）大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元的小家电．通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示。
（1）求y与x的函数关系式。
（2）设王强每月获得的利润为p（元），求p与x之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？
【分析】：（1）利用图象上的点的坐标，由待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）根据由题意得，p与x的函数关系式为：p=（x-40）（-4x+360），再利用当P=2400时，求出x的值即可。
【解析】：解（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），
由题意得\(\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{50k+b=160}\\{65k+b=100}\end{array}}\right.\)，
解得\(\left\{\begin{gathered}k=-4\\b=360\\\end{gathered}\right.\)。
故y=-4x+360（40≤x≤90）；
（2）由题意得，p与x的函数关系式为：
\(p=(x-40)(-4x+360)=-4{x^2}+520x-14400\)，
当P=2400时，
\(-4{x^2}+520x-\)，
解得：\({x_1}=60，{x_2}=70\)，
故销售单价应定为60元或70元。
【点评】：此题主要考查了一次函数与二次函数的应用，根据已知图象上点的坐标得出直线解析式是解题关键。
二、典型题 2
（茂名）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据：
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
【分析】：（1）描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）利润=销售总价-成本总价=单件利润×销售量．据此得表达式，运用性质求最值；
（3）根据自变量的取值范围结合函数图象解答。
【解析】：解：（1）画图如图；
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0）
∵这个一次函数的图象经过（30，500）、（40，400）这两点，
∴\(\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{500=30k+b}\\{400=40k+b}\end{array}}\right.\)解得\(\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{k=-10}\\{b=800}\end{array}}\right.\)
∴函数关系式是：y=-10x+800（0≤x≤80）
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
\({W=(x-20)(-10x+800)}\)
\({=-10{x^2}+}\)
\({=-10(x-50{)^2}+9000}\)
∴当x=50时，W有最大值9000。
所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元。
（3）对于函数\(W=-10(x-50{)^2}+9000\)当x≤45时，
W的值随着x值的增大而增大，
∴销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大。
【点评】：根据函数解析式求出的最值是理论值，与实际问题中的最值不一定相同，需考虑自变量的取值范围。
三、典型题 3
甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模（总产量）进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个。
请你根据提供的信息说明：
（1）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
（2）第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模（即总产量）比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由；
（3）哪一年（取整数）的规律（即总产量）最大？请说明理由。
【分析】：（1）依据图象分别求出两个直线的函数表达式，然后算出算出第二年的每个鱼池的产量与全县鱼池的个数，两者的乘积即为第二年的总产量，
（2）依次算出第一年的总产量与第六年的总产量，比较知结果．
（3）构造出年总产量的函数是一个二次函数，用二次函数的最值求出年份．
【解析】：解：由题意可知，图甲图象经过（1，1）和（6，2）两点，
将两点代入\({y_甲}=ax+b\)得：
\(\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{a+b=1}\\{6a+b=2}\end{array}}\right.\)，
解得：\(\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{a=0.2}\\{b=0.8}\end{array}}\right.\)
从而求得其解析式为\({y_甲}=0.2x+0.8\)，
图乙图象经过（1，30）和（6，10）两点．
将两点代入\({y_乙}=kx+c\)得：
\(\left\{\begin{gathered}k+c=30\\{\text{6}}k+c={\text{1}}0\\\end{gathered}\right.\)，
解得：\(\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{k=-4}\\{c=34}\end{array}}\right.\)
从而求得其解析式为\({y_乙}=-4x+34\)。
（1）当x=2时，\({{y_甲}=0.2\times2+0.8=1.2}\)，
\({{y_乙}=-4\times2+34=26}\)，
\({{y_甲}\times{y_乙}=1.2\times26=31.2}\)。
所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条。
（2）第1年出产鳗鱼1×30=30（万条），第6年出产鳗鱼2×10=20（万条），
可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了。
（3）设当第m年时的规模，即总出产是量为n，
那么\({n={y_甲}\bullet{y_乙}=(0.2m+0.8)(-4m+34)}\)
\({=-0.8{m^2}+3.6m+27.2}\)
\({=-0.8({m^2}-4.5m-34)}\)
\({=-0.8(m-2.25{)^2}+31.25}\)
因此，当m=2时，n最大值为31.2。
即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条。
【点评】：此题主要考查了实际问题转化为数学模型的能力及二次函数求最值的方法，利用图象得出函数解析式是解题关键。
四、典型题 4
我乡香炉冲茶厂种植的“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的关系可以近似的用如图1种的一条折线表示。“岳西翠尖”的种植除了与气候，种植技术有关外，其种植成本z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似的用如图2的抛物线表示。
（1）直接写出图1表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的函数关系式；
（2）求出图2种表示的种植成本z（元）与上市时间t（天）（t＞0）的函数关系式；
（3）认定市场销售价减去种植成本为纯收益单价，问何时上市“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”纯收益最大？
（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克。）
【分析】：（1）依题意得y与x之间的函数关系式为分段函数。
（2）依题意得z与a之间的函数关系式，如图得出该函数经过的坐标得出a的值。
（3）设纯收益单价为W元，则W=销售单价-成本单价，根据y与x的函数关系式为分段函数可得W与x也为分段函数。
【解析】：（1）依题意，可建立函数关系式：
\(y=\left\{\begin{gathered}-\frac{2}{3}t+160\left({0&t&120}\right)\\80\left({120\leqslant t&150}\right)\\\frac{2}{5}t+20\left({150\leqslant t\leqslant180}\right)\\\end{gathered}\right.\)。
（2）由题目已知条件可设\(z=a(t-110{)^2}+20\)，
∵图象过点（60，\(\frac{85}{3}\)），
∴\(\frac{{85}}{3}=a(60-110{)^2}+20\)，
∴\(a=\frac{1}{{300}}\)，
∴\(z=\frac{1}{{300}}(t-110{)^2}+20(t&0)\)。
（3）设纯收益单价为W元，则W=销售单价-成本单价，
故\(W=\left\{\begin{gathered}-\frac{1}{{300}}(t-10)2+100\left({0&t&120}\right)\\-\frac{1}{{300}}(t-110)2+60\left({120\leqslant t&150}\right)\\-\frac{1}{{300}}(t-170)2+56\left({150\leqslant t\leqslant180}\right)\\\end{gathered}\right.\)
①当\(W=-\frac{1}{{300}}(t-10{)^2}+100(0&t&120)\)时，有t=10时，W最大，最大值为100；
②当\(W=-\frac{1}{{300}}(t-110{)^2}+60(120\leqslant t&150)\)时，由图像知，有t=120时，W最大，最大值为\(59\frac{2}{3}\)；
③当\(W=-\frac{1}{{300}}(t-170{)^2}+56(150\leqslant t\leqslant180)\)时，有t=170时，W最大，最大值为56。
综上所述，在t=10时，纯收益单价最大，最大值为100元/500g.
【点评】：此题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心。难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点。二次函数与一次函数结合题_百度文库
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二次函数与一次函数结合题
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26．1二次函数（2）
吴忠三中& 郭丽丽
【教学任务分析】
知识与技能
&&&&& 使学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念。
过程与方法
&&& 使学生经历、探索二次函数 图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
&&& 在初步建立二次函数与图像之间的联系中，体会数形的结合与转化体会数学内在的美感
& 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数 的图象
& 用描点法画出二次函数 的图象以及探索二次函数性质
【教学过程设计】
问题与情景
〖活动1〗知识预备
1. 同学们可以回想一下，一次函数和反比例函数的图像以及它们的性质是如何研究的?
2. 我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?
&教师提出问题,学生做出回答：
先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质
& 学生能回忆已学的知识依次做答
&& 可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象
教师订正错误
复习所学的函数,为研究二次函数的性质特征做准备.
&&&& 回顾研究一次函数的性质方法, 从而利用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质
〖活动2〗合作探究
1.函数的图象画法及相关名称
问题1： 画函数的图象
&&& 解：(1)列表：
&& (2)在直角坐标系中描点：
&& (3)连线：
共同探究：此函数图象有何特征？
相关名称：
抛物线：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
2.函数 的图象特征及其性质
问题2：在同一坐标系中，画出函数，的图象，比较图中三个抛物线，找出它们的异同点。
3.练一练：画函数，，图象。
教师提出教师提出问题1
&& 学生回忆画一次函数图象的方法：
列表取值→描点→连线
&&&& 学生动手实践，尝试画函数的图象
&&&& 教师分析：写出过程。
&&& 让学生观察，思考、讨论、交流，归结
&&& 特征如下：
形状是开口向上的曲线
‚图象关于y轴对称
ƒ有最低点，没有最高点
&&& 学生动手实践，画出，的图象。
顶点相同，都为坐标原点。
‚对称轴都相同，为y轴。
ƒ开口方向相同，都是向上的。
不同点：开口大小不同
通过学生动手实践画出图象过程中，更好的观察它的特征和性质，同时提高学生动手操作能力，观察能力，以及归纳总结知识的能力
〖活动3〗知识归纳
&& 二次函数 的图象特征?
连线用光滑的曲线连
‚x有正值有负值
ƒ开口向上无限延伸，不能到两个端点为止。
学生互相讨论、思考、回答、补充:
二次函数的图象是一条抛物线。
‚ 抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点。
&&& &0时，开口向上，顶点是最低点；
&& &0时，开口向下，顶点是最高点。
&& 越大，抛物线开口越小。
&&& 帮助学生归纳二次函数的图象特征及其性质，方便以后解题
〖活动4〗知识巩固
1. 填空：函数的图象是___________,顶点坐标是_________,对称轴是__________,开口方向是________.
2. 拓展：已知函数经过点（1）求a的值
（2）当x&0时，y值随x值的增大而变化的情况。
&&& 学生独立思考、并回答,老师做点评,并指出学生容易出错的地方.
循序渐进地让学生掌握二次函数的图象的特征及其性质,。
〖活动5〗 小结
&二次函数的图象的画法
&‚二次函数的图象特征及其性质
布置作业P14&& 习题26.1
&& 第3题&&& 第4题
课后反思：函数与的图象之间的关系。
&& 学生独立思考、回答、补充
教师适当指导.
为学生创设条件，疏理自己在本节课中的收获.引导学生从知识、能力、情感方面对课堂的整体感受.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 二次函数的图象
(知识预备)&&&&&&&&& 问题1&&&&&&&&&&&&&&& (知识巩固)&&&&& (学生自由板演区）
1.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1.
2.&&&&&&&&&&&&&&&&& 思考&&&&&&&&&&&&&&&&& 2.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
26.1.2& 二次函数的图象
人教版初中数学九年级下第二十六章第一节第二课时
授课教师：南宁三美学校& 刘晓静
1、知识目标：（1）会用描点法画出二次函数的图象。
（2）结合的图象初步理解抛物线及有关概念。
（3）根据图象观察分析、总结归纳二次函数的图象性质。
2、能力目标：（1）通过画图探索二次函数的性质，体会结合图像讨论性质是研究函数的重要方法，强化数形结合的数学思想并培养观察和分析问题的能力。
（2）渗透由特殊到一般、具体到抽象、类比的数学方法及分类讨论的数学思想。
3、情感目标：引导学生养成全面看问题，学会分类讨论的学习习惯；通过类比，能对旧知识进行有效迁移，培养良好数学素养。
4、教学重点：利用函数图象探索函数性质
难点：正确画出函数图象，会从数与形的角度分析函数的性质。
教学流程安排
活动内容和目的
活动1& （复习旧知）
回顾二次函数的定义及正比例函数的学习过程
活动2&& （探索新知）
利用描点法画二次函数y=ax2的图象
活动3&& （强化认识）
放多个二次函数图象在同一直角坐标系中，观察此时二次函数图象有什么相同点与不同点
活动4&& （巩固新知）
解决配套练习
活动5&&&& 小结，布置作业。
复习二次函数的定义，类比正比例函数的学习过程，讨论研究二次函数性质的策略。目的使学生自觉通过类比正比例函数的学习过程找到二次函数的研究策略，体会函数学习的一般套路。类比正比例函数的学习过程，能很好地解释为什么二次函数的图象性质要从开始研究。
对于二次函数y=ax2，任意选定一个a值，用描点法在平面直角坐标系中画出对应的函数图象，并用自己的语言描述所画的图象。借此介绍抛物线及相关概念，使学生了解抛物线的主要特征，从中体会数形结合思想。
把透明胶片重合，即使多个二次函数图象在同一直角坐标系中，观察此时二次函数图象有什么相同点与不同点。目的通过此活动，总结归纳出a的符号与大小对二次函数图象开口方向，开口大小的影响，再次强化数形结合思想，完成本课的主要内容。
通过做适当配套练习，巩固所学新内容，再次体会数形结合思想的重要性。
学生归纳总结本节课的主要内容，交流在探索二次函数y=ax2图象性质过程中获得的的心得和体会。
教学过程设计
问题与情境
活动1& （复习旧知）
复习正比例函数的学习过程，体会其中从特殊到一般，简单到复杂，具体到抽象，数形结合的方法，由此讨论学习二次函数的策略。
八上学习一次函数时，我们先学了哪类函数？研究正比例函数的性质，我们是从哪个角度去探索？我们需要的图象，这个问题是怎样解决的？
然后我们结合具体图象讨论出正比例函数的性质。（展示表格）可以看出图象、性质受系数k的影响。
复习正比例函数的学习过程，引导学生关注其中蕴含的思想方法，使学生能顺利讨论出二次函数的研究方法。
将学过的知识融入新学习，以旧引新，使学生体会函数学习的统一性和延续性，为形成良好的数学学习习惯打好基础。
活动2&& （探索新知）
对于二次函数，请你任意选定一个a值，利用描点法画出二次函数的图象，并用自己的语言描述所画的函数图象。
展示学生作品，结合生活实例，如投篮球，喷泉图片等介绍抛物线。
学生利用网格纸画函数图象，老师要关注学生画图的细节，并纠正其中错误的作图。教师利用实物投影展示学生的作品，介绍二次函数的图象是抛物线。
学生用描点法画二次函数的图象，能更深刻地感受二次函数的图象是抛物线；通过观察比较，总结出二次函数的图象特征，突破重点，更有利于学生掌握二次函数的图象性质，同时体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的数学研究方法，积累数学活动经验。学生用语言概括结论，利于培养学生的抽象概括能力及数学语言表达能力。
活动3&& （深入探索）
如果将多个二次函数图象放在同一直角坐标系里，会出现怎样的情形，你能获得怎样的结论？
学生利用透明胶片将几个二次函数图象放到同一直角坐标系里，观察这些二次函数图象有什么相同点与不同点。
进一步探索二次函数的图象，得出受系数a影响的相关结论，再次感受数形结合在研究函数中的作用。
活动4&& （巩固新知）
解决配套练习
活动5&& （小结，布置作业）
请同学们回顾本节课的流程，你获得了什么知识和技能？有什么感悟和收获？
学生利用本节课所学知识，解决数学问题，教师适时纠错。
学生归纳总结本节课的主要内容，交流在探索二次函数y=ax2图象性质过程中的心得和体会。
巩固新知，再次体会数形结合思想的重要性，和解决问题的成功感，增强自信心。
再次回顾本节课的学习过程，体会实验－观察－归纳的学习模式，加深对数形结合，特殊到一般，具体到抽象，类比等数学思想方法的理解。
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