对于任意整数x，y，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，若f（1）=1，则f（-8）等于（　　）A. -1B. 1C. 19D. 43
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令x=1 y=0因为f（x+y）=f（y）+f（x）+xy+1，若f（1）=1所以 f（1+0）=f（0）+f（1）+0+1=1&&所以&f（0）=-1因为f（0）=f（-1+1）=f（-1）+f（1）-1+1=-1所以f（-1）=-2所以f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）+1+1=-2-2+1+1=-2f（-4）=f（-2-2）=f（-2）+f（-2）+4+1=-2-2+4+1=1f（-8）=f（-4-4）=f（-4）+f（-4）+16+1=1+1+16+1=19故选C
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分别令等式中的x，y取1，0求出f（0）；令x，y分别取-1，1求出f（-1）；令x=y=-1求出f（-2）；令x=y=-2f（-4）；令x=y=-4求出f（-8）．
本题考点：
抽象函数及其应用．
考点点评：
本题考查求抽象函数的特殊的函数值常用的方法是赋值法．
f(0)=f(1)+f(-1)-1+1f(-1)=-2f(-2)=2f(-1)+1+1=-2f(-4)=2f(-2)+4+1=1f(-8)=2(-4)+16+1=19
扫描下载二维码设函数y=f(X)是定义在R+上的函数,并且满足下面三个条件：（1）对整数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)...设函数y=f(X)是定义在R+上的函数,并且满足下面三个条件：（1）对整数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);（2）当x>1时,f(x)
(1)令x=y=1,则f(xy)=f(1)=f(1)+f(1)∴f(1)=0令xy=1 则y=1/x f(xy)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0又f(9)=f(3)+f(3)=-2∴f(1/9)=0-f(9)=2(2)先证明函数的单调性当x>1时,令x1>x2>1 则x1/x2>1 ,f(x1/x2)=f(x1)+f(1/x2)
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＞＞＞设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求解不等..
设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求解不等式f（x）+f（x-2）＞1．
题型：解答题难度：中档来源：不详
由条件可得f（x）+f（x-2）=f[x（x-2）]，1=f（3）．所以f[x（x-2）]＞f（3），又f（x）是定义在R上的增函数，所以有x（x-2）＞3，可解得x＞3或x＜-1．所求不等式的解集为{x|x＞3或x＜-1}．
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据魔方格专家权威分析，试题“设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求解不等..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性、最值分段函数与抽象函数
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求解不等..”考查相似的试题有：
396665478510445008453852563075272410设函数y=f(x)是定义在R 上的函数,并且满足下面三个条件：1.对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);2.当x>1时,f(x)
尧少1447456
[1]f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1),f(1)=0y=1/xf(1)=f(x)+f(1/x)=0.(*)f(2)=-1,f(1/2)=1f(1/4)=f(1/2*1/2)=2f(1/2)=2[2]由(*)式,当x∈（0,1）,f(x)>0设x1>x2>0,则x1=x2*p,p>1,f(p)
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扫描下载二维码设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x&1时，f（x）&0；（3）f（3）=-1，（Ⅰ）求f（1）、的值；（Ⅱ）如果不等式f（x）+f（2-x）&2成立，求x的取值范围．（Ⅲ）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）&2有解，求正数k的取值范围．
（I）令x=y=1易得f（1）=0．而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且，得．（II）设0&x1&x2&+∞，由条件（1）可得2)-f(x1)=f(x2x1)，因2x1&1，由（2）知2x1)&0，所以f（x2）&f（x1），即f（x）在R+上是递减的函数．由条件（1）及（I）的结果得：其中0&x&2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：，由此解得x的范围是．（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）&2可化为且0&x&2，得，此不等式有解，等价于min，在0&x&2的范围内，易知x（2-x）max=1，故即为所求范围．
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（I）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（xoy）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、的值；且当x＞1时，f（x）＜0，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．（III）把f（kx）+f（2-x）根据条件转化为f[kx（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．
本题考点：
抽象函数及其应用．
考点点评：
考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想，（Ⅲ）不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，采取分离参数的方法，转化为函数的最值问题，加大了试题的难度，属中档题．
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