在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．（Ⅲ）设P（-4，1）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．-乐乐题库
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在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．（Ⅲ）设P（-4，1）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x=-5的距离，根据抛物线的定义，可得求曲线C1的方程；（Ⅱ）设切线方程为y-y0=k（x+4），与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可得出结论；（Ⅲ）因为当P（-4，1）在直线x=-4上，所以由（Ⅱ）知结论成立．
（Ⅰ）解：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x=-5的距离，因此，曲线C1是以（5，0）为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，故其方程为y2=20x．（Ⅱ）证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y0），又y0≠±3，则过P且与圆C2相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y-y0=k（x+4），即kx-y+y0+4k=0．于是|5k+y0+4k|√k2+1=3整理得72k2+18y0k+y02-9=0①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故k1+k2=-18y072=-y04②由{k1x-y+y0+4k1=0y2=20x得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0 ③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则是方程③的两个实根，所以y1y2=20(y0+4k1)k1④同理可得y3y4=20(y0+4k2)k2 ⑤于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4=20(y0+4k1)k1o20(y0+4k2)k2=400(y02-y02+16k1k2)k1k2=6400．所以，当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．（Ⅲ）证明：因为当P（-4，1）在直线x=-4上，所以由（Ⅱ）知四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．
本题考查抛物线的定义，考查抛物线的切线，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
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在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（...
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经过分析，习题“在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3...”主要考察你对“直线和圆的方程的应用”
等考点的理解。
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直线和圆的方程的应用
直线和圆的方程的应用．
与“在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3...”相似的题目：
直线y=x截圆（x-2）2+y2=4所得的弦长为（　　）12√22√2
矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．
已知⊙C：x2+（y-1）2=25，直线l：mx-y+1-4m=0（1）求证：对m∈R，直线l与⊙C总有两个不同的交点A，B．（2）对于（1）中的点A、B，求弦长AB的取值范围；（3）求直线l与圆C相交所得的弦长为整数的弦共有几条．
“在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C...”的最新评论
该知识点好题
1若P（2，-1）为圆（x-1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　）
2过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（　　）
3直线√3x+y-2√3=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（　　）
该知识点易错题
1若P（2，-1）为圆（x-1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　）
2直线√3x+y-2√3=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（　　）
3已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为&&&&．
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f(x)=&3√x -5&&&&&&& f(m)=3√m -5=n&n ...
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在-4x+2y+1=0取一点(0,-1/2)
则该点到2x-y+a=0的距离就是两直线间的距离
该点到2x-y+a=0的距离是|0-(-1/2)+a|/√(2^2+1^2)=7√5/10
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当x=1时，y'=4，所以切线方程的斜率为4
所以可以设切线方程为y=4x+b
切线方程过(1,3)
所以3=4+b，b=-1
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将(3，2)代入得到：(3-a)?+4=r? &
圆C与直线2x-y+1=0相切，则圆心C到直线距离为半径
即 r=| ...更多搜索结果更多相关教育问题
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在x^2+y^2=1 位于第一象限部分的曲线上求一点P,使此点处该曲线的切线与两坐标轴围成的平面图形的面积最小
提问者采纳
x^2+y^2=1 位于第一象限部分的曲线等价于y=√(1-x^2)其中(x&0)那么它的导数y'=-2x/(2*√(1-x^2))设所求直线过（x1,y1）的斜率k=y'(x1)=-x1/y1那么这条直线为y-y1=k*(x-x1)他所围成的面积S化简后为1/（旦互测就爻脚诧协超茅2*x1*y1）≥1/4当且仅当x1=y1时成立，这个P点为（√2/2,√2/2）
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P坐标（根号2，根号2）
设过P点的该曲线的切线l为y=kx+b(k&0,b&0)则O(0,0)到直线l的距离为1 即|b|/√(k^2+1)=1 ∴k^2+1=b^2l与坐标轴的交点分别为(0,b),(-b/k,0)则切线l与两坐标轴围城的图形面积S=1/2*b*(-b/k)=-b^2/2k=(k^2+1)/(-2k)=(-k/2)+(-1/2k)≥1(当且仅当k=-1时等号成立)k=-1时 b=√2将l:y=-x+√2 代入原方程 解得 x=(√2)/2 y=(√2)/2P((√2)/2,(√2)/2)
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出门在外也不愁【金榜同步】高中数学北师大版选修1-1课件：第3章&§2&2.1&2.2&导数的概念&导数的几何意义&&人教版
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§2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义一、导数的概念设函数y=f(x)，当自变量x从x0变到x1时：(1)平均变化率：(2)瞬时变化率：Δx趋于0时，趋于一个_________.(3)导数：函数y=f(x)在x0点的___________.记作固定的值瞬时变化率思考:函数在某点的瞬时变化率与函数在该点的导数有什么关系？提示：函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率，就是在该点基础上的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限，它是一个数值.二、导数的几何意义1.割线的定义：过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线是曲线y=f(x)在A点处的一条割线，其斜率为____.2.切线的定义：当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于_____，直线l和曲线y=f(x)在点A处_____，称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线.3.几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的_____.直线l相切斜率判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在x0处可导，则必存在切线；若函数f(x)在x0处不可导，则一定不存在切线.（）(2)可以利用导数求过圆上某点的切线方程.（）(3)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.（）提示：（1）错误.若函数f(x)在x0处不可导，也可能存在切线，即切线垂直于x轴.（2）错误.只有曲线方程可表示成函数解析式时才能利用导数求切线方程.（3）错误.这条切线可能与已知曲线还有其他交点或切点.答案：（1）×（2）×（3）×【知识点拨】1.对导数定义的理解（1）定义中强调当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值称为当x1趋于x0时，平均变化率的极限，即存在并且唯一确定，此时我们说f(x)在x=x0处可导；若当Δx趋于0时，平均变化率不趋于一个固定的值（即该值不唯一确定或不存在），则此时我们说不存在，那么f(x)在x=x0处不可导.（2）Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0，而Δy是函数值的改变量，可以是零.（3）函数y=f(x)在x0处的导数刻画的是函数自变量x在x0附近区域的变化取值，当x趋于x0时相应函数值的变化情况.2.关于切线的理解(1)与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线.(2)曲线的切线是由割线绕一点转动，当一点无限接近另一点时割线趋于的直线.(3)切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限情况，在其他位置可能还有一个或多个交点.3.曲线上某点导数与切线的关系(1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率.(2)函数f(x)的曲线在点(x0,f(x0))处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)=在x=0处有切线，但它不可导.类型一利用定义求导数1.设函数y=f(x)在x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数)，则()A.f′(x)=aB.f′(x)=bC.f′(x0)=aD.f′(x0)=b2.求函数y=x-在x=1处的导数.【解题探究】1.题1中式子f(x0+Δx)-f(x0)表示的是在哪一点的改变量？2.题2中函数值的改变量是什么？探究提示：1.题1中式子f(x0+Δx)-f(x0)表示的是函数f(x)在点(x0,f(x0))处的函数值的改变量.2.题2中函数值的改变量为【解析】1.选C.2.∴函数在x=1处的导数是2.【拓展提升】1.利用定义求导数的三个步骤(1)求自变量的改变量Δx及函数值的改变量Δy.(2)求平均变化率(3)使Δx→0，求导数2.利用定义求导数需要注意的问题求解时不能给出自变量的改变量Δx的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率，即不是导数值，求解的关键是第二步对的变形，使分子、分母能约去一个Δx.【变式训练】设函数f(x)=ax3+2，若f′(-1)=3，则a等于()A.-1B.C.D.1【解题指南】解答本题可以把a当作已知数，按照导数的定义求解，由f′(-1)=3可求出a的值.【解析】选D.∴a=1.类型二求曲线的切线方程1.已知曲线C：y=2x3+1上一点P(1,3)，则曲线C在点P处的切线的斜率为________.2.抛物线y=x2在点P处的切线与直线2x-y+4=0平行，求P点的坐标及过点P的切线方程.【解题探究】1.函数在某点处的导数与过该点的切线间有何关系?2.题2中切线与直线2x-y+4=0平行，能得到什么？求过点P的切线方程的关键是什么？探究提示：1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率，即k=f'(x0).2.切线与直线2x-y+4=0平行，说明切线的斜率与直线的斜率相等；求过点P的切线方程的关键是先求出切点的坐标.【解析】1.Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)3+1-2×13-1=2(Δx)3+6(Δx)2+6Δx,∴∴∴k=6，即曲线C在点P处的切线的斜率为6.答案：62.设P(x0,y0)，在自变量x0附近的改变量为Δx，∴又∵切线与直线2x-y+4=0平行,∴2x0=2,∴x0=1,∵P(1,y0)在y=x2上,∴y0=1,∴点P的坐标为(1,1)，切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.【互动探究】题2中抛物线不变，问抛物线上哪一点处的切线垂直于直线2x-y+4=0？【解题指南】切线与直线垂直可得到切线的斜率k，再设切点为P(x0,y0),通过f'(x0)=k，可求出x0的值，从而确定切点的坐标.【解析】设切点为P(x0,y0),∵抛物线的切线与直线2x-y+4=0垂直，∴切线的斜率∴f'(x0)=2x0=∴∴该点坐标为().【拓展提升】1.求曲线在某点处的切线方程的三个步骤(1)求斜率：要求出曲线在该点(x0,f(x0))处切线的斜率f'(x0).(2)写方程：用点斜式y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)写出切线方程.(3)变形式：将点斜式变为一般式.2.求切点坐标的五个步骤(1)先设切点坐标(x0,y0).(2)求导函数f'(x).(3)求切线的斜率f'(x0).(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.类型三导数的几何意义的综合应用1.曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A.B.C.D.2.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于()A.-1或B.-1或C.或D.或7【解题探究】1.求切线与坐标轴围成的三角形的面积时，如何求切线与坐标轴的交点？2.导数的几何意义是什么？探究提示：1.求切线与坐标轴围成的三角形的面积的关键是先求出切线方程，然后分别令x=0，y=0得到切线与坐标轴的交点坐标.2.函数在某点的导数是指函数在此点处曲线的切线的斜率.【解析】1.选A.∵∴f'(1)=2,∴曲线在点(1,)处的切线方程为：y-=2(x-1)即分别令x=0,y=0得切线与坐标轴交点分别为∴它与坐标轴围成的三角形的面积为：2.选A.先求y=x3的导数，设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x03)，则切线方程为y-x03=3x02(x-x0)，即y=3x02x-2x03.∵点(1,0)在切线上，∴3x02-2x03=0，∴x0=0或x0=当x0=0时，由y=0与y=ax2+x-9相切，得当x0=时，由与y=ax2+x-9相切，得a=-1.【拓展提升】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量.【变式训练】已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.【解析】(1)∵又∵l1⊥l2,∴令l2与曲线的切点为(x0,y0),则=2x0+1,∴2x0+1=∴x0=∴∴直线l2的方程为即3x+9y+22=0.(2)直线l1的方程为y=3x-3,l1,l2与x轴的交点的横坐标分别为1,由得∴所求三角形的面积为【规范解答】利用导数求曲线的切线方程【典例】【条件分析】【规范解答】（1）将x=2代入曲线C的方程得y=4，∴切点P(2，4)……………………………………………2分∴………………………………5分∴切线的斜率k=f'(2)=4，………………………………6分∴切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.………………8分（2）由可得(x-2)(x2+2x-8)=0②，………………………………10分解得x1=2,x2=-4，从而求得公共点为P(2,4)或M(-4,-20).…………………11分即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点.③ ……………………………………………………………12分【失分警示】【防范措施】1.条件的合理转化在解题时，对已知条件的合理转化往往是解题的关键，把已知条件或抽象的条件转化为熟悉或容易处理的式子非常重要.如本例中由横坐标为2的条件可转化为求切线的斜率及切点的坐标，从而求出切线的方程.2.合理变形对式子的合理变形、整理是数学运算的前提，往往对问题的解决能起到事半功倍的效果，如本例中把切线的方程与曲线的方程联立后可分解为(x-2)(x2+2x-8)=0的形式，从而简化了三次方程的求解过程.【类题试解】已知曲线y=f(x)=x2-3上一点P(1,)，求过点P的切线的方程.【解析】令切线的倾斜角为α，斜率为k.则所以过点P的切线方程为温馨提示：由于选题和排版设计不当，致使原本节的类题试解与本章§44.1［案例展示?析误区］中的典例重复，现已换题，特做说明，因此而带来的不便敬请谅解.求过点P(3,5)且与y=x2相切的直线方程.【解析】显然点P不在曲线上，设切点为A(x0,x02)因为所求的切线过点P(3,5)和点A(x0,x02),所以其斜率为所以解得x0=1或x0=5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1=2x0=2，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2=2x0=10,因此所求切线有两条，方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即2x-y-1=0和10x-y-25=0.1.设f'(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交【解析】选B.因为f'(x0)=0，所以点(x0,f(x0))处的切线的斜率为零.2.已知函数y=x2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δx),则等于()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2【解析】选A.3.若f(x)=x3，且f'(x0)=3，则x0=()A.1B.-1C.±1D.【解析】选C.4.函数f(x)=x2+2x在点(-1,-1)处的切线的斜率是________.【解析】答案：05.曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程是_______.【解析】∴k=f'(1)=-5.∴切线方程为y+3=-5(x-1)即5x+y-2=0.答案：5x+y-2=06.求函数在x=1处的导数.【解析】
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旺旺：lisi355在曲线y=1-x²上求一点P的坐标，使该曲线在该点处切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小（x&0）?_百度知道
在曲线y=1-x²上求一点P的坐标，使该曲线在该点处切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小（x&0）?
急，考试题！
提问者采纳
3)^2/(|4a|)&gt,2&#47y'9根号3当且仅当a=根号1/=4/(|4a|)=(a^2+1/=-2x设点P为(a;2a;3时取等号 P的坐标(根号1/3+1&#47,a^2+1)所围的三角形的面积为(a^2+1)^2&#47,0)和(0,1-a^2)则切线为y-1+a^2=(-2a)(x-a)=2a^2-2ax等价于y+2ax=a^2+1与x轴y轴的交点为(a^2+1/3;3+1&#47
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谢谢你帮我大忙了
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p点的坐标为（m，把m方看成整体，m方=1&#47,整理得y=-2mx+m方+1，切线的斜率对曲线求导;2m;m方=0,0]和（0，m方+1）三角形面积为1&#47，解一元二次方程;3（负根舍去）;4（m3次方+2m+1&#47，k=-2m，又m大于0，m=根号3/3,2&#47.所以p点坐标是（根号3/3,1-m方）m大于0，与x轴y轴的交点分别为[（m方+1）&#47,列出直线的点斜式方程y-（1-m方）=-2m(x-m);m）接下来对这个函数求导3m方+2-1&#47
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