关于线性代数欧氏空间的证明设α1,α2,...αn是欧氏空间V的一组基,证明:如果γ1,γ2∈V使对任一α∈V有(γ1,α) =(γ2,α),那么γ1=γ2._百度作业帮
关于线性代数欧氏空间的证明设α1,α2,...αn是欧氏空间V的一组基,证明:如果γ1,γ2∈V使对任一α∈V有(γ1,α) =(γ2,α),那么γ1=γ2.
kdseiuw816
取alpha=gamma1-gamma2.由题意知道(gamma1,alpha)-(gamma2,alpha)=(alpha,alpha)=0,所以gamma1-gamma2=0
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(γ1-γ2,α)=0,对于任意的α成立，令α=γ1-γ2，则(γ1-γ2,γ1-γ2)=0，由内积的定义知，γ1=γ2。
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考研数学李永乐线性代数 第4讲：线性空间与欧氏空间
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&2016 开心网线性代数题,在三维欧氏空间中取定一个中心在原点的正六面体 C ,则恰有 __ 个3阶正交矩阵A ,使得线性变换 X →A X 保持C整体不变(顶点映成顶点),这些正交矩阵中又恰有 ___ 个矩阵迹等于0 .答_百度作业帮
线性代数题,在三维欧氏空间中取定一个中心在原点的正六面体 C ,则恰有 __ 个3阶正交矩阵A ,使得线性变换 X →A X 保持C整体不变(顶点映成顶点),这些正交矩阵中又恰有 ___ 个矩阵迹等于0 .答案是48；16
花朵素材806
这个问题本质上是立方体的空间对称群首先,对于任何一个3阶正交阵,把它所有元素变号得到的行列式也变号,这个映射是一个双射,所以我们只需要考虑行列式为1的正交阵然后按特征值进行分类,有三种情况(a) 特征值是1,1,1,即单位阵(b) 特征值是1,-1,-1(c) 实特征值是1,虚特征值是exp(±iθ)(b)和(c)两类可以合并成恰有一个特征值为1,它们对应于一个空间旋转,以1的特征向量为转轴,逆时针旋转角度为θ（-1,-1对应于θ=π的情况）问题就归结为哪些旋转变换可以保持立方体不变先看(b)类,即旋转π的变换,这里有两类(b-1) 把立方体相对的面的中心连线作为转轴,有3条这样的轴（其实还可以转π/4,归到(c)类）(b-2) 把立方体相对的棱的中心连线作为转轴,有6条这样的轴再看(c)类,也有两种类型(c-1) 把立方体相对的面的中心连线作为转轴,旋转π/4或者3π/4,有3条这样的轴(c-2) 把立方体的主对角线作为转轴,旋转2π/3或者4π/3,有4条这样的轴所以(a)类有1个,(b)类有9个,(c)类有14个,总共24个旋转变换再加上行列式为-1的24个就是48个正交变换至于迹为0的,也可以看特征值只有旋转2π/3和4π/3的旋转变换可以得到1,-1/2±3^{1/2}i/2这样的特征值,共有8个再加上行列式为-1的8个就是16个迹为0的正交变换
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