log8^9*log27^32
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log8^9*log27^32 =lg9/lg8*lg32/lg27=2/3*lg3/lg2*5/3*lg2/lg3=2/3*5/3=10/9
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5^(1-log0.2^3)
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【数学】学年同步精品学案(人教A版必修1):第2章 基本初等函数Ⅰ §22 对数函数
§2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算 1.对数的概念 一般地,如果ax=N (a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 说明:(1)实质上,上述对数表达式,不过是指数函数y=ax的另一种表达形式,例如:34=81与4=log381这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式ax=N?x=logaN,从而得对数恒等式:alogaN=N. (2)"log"同"+""×"""等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. (3)根据对数的定义,对数logaN(a>0,且a≠1)具有下列性质: ①零和负数没有对数,即N>0; ②1的对数为零,即loga1=0; ③底的对数等于1,即logaa=1. 2.对数的运算法则 利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度. (1)基本公式 ①loga(MN)=logaM+logaN (a>0,a≠1,M>0,N>0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和. ②loga=logaM-logaN (a>0,a≠1,M>0,N>0),即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数. ③logaMn=n·logaM (a>0,a≠1,M>0,n∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数. (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M>0,N>0,例如loga[(-3)×(-4)]是存在的,但是loga(-3)与loga(-4)均不存在,故不能写成loga[(-3)×(-4)]=loga(-3)+loga(-4). ②防止出现以下错误:loga(M±N)=logaM±logaN,loga(M·N)=logaM·logaN,loga=,logaMn=(logaM)n. 3.对数换底公式 在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式:logbN= (b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;N>0). 证明 设logbN=x,则bx=N.两边取以c为底的对数, 得xlogcb=logcN.所以x=,即logbN=. 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用. 由换底公式可推出下面两个常用公式: (1)logbN=或logbN·logNb=1 (N>0,且N≠1;b>0,且b≠1); (2)logbnNm=logbN(N>0;b>0,且b≠1;n≠0,m∈R) .
题型一 正确理解对数运算性质 对于a>0且a≠1,下列说法中,正确的是( ) ①若M=N,则logaM=logaN; ②若logaM=logaN,则M=N; ③若logaM2=logaN2,则M=N; ④若M=N,则logaM2=logaN2. A.①与③ B.②与④ C.② D.①、②、③、④ 解析 在①中,当M=N≤0时,logaM与logaN均无意义,因此logaM=logaN不成立. 在②中,当logaM=logaN时,必有M>0,N>0,且M=N,因此M=N成立. 在③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,M=2,N=-2时,也有logaM2=logaN2,但M≠N. 在④中,若M=N=0,则logaM2与logaN2均无意义,因此logaM2=logaN2不成立. 所以,只有②成立. 答案 C 点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件.
题型二 对数运算性质的应用 求下列各式的值: (1)2log32-log3+log38-5log53; (2)lg25+lg8+lg5·lg20+(lg2)2; (3). 分析 利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算. 解 (1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =2log32-5log32+2+3log32-3=-1. (2)原式=2lg5+2lg2+lg·lg(2×10)+(lg2)2 =2lg(5×2)+(1-lg2)·(lg2+1)+(lg2)2 =2+1-(lg2)2+(lg2)2=3. (3)∵= =-=-. 点评 对数的求值方法一般有两种:一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.
题型三 对数换底公式的应用 计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258). 分析 由题目可获取以下主要信息:本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的底数都各不相同. 解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值. 解 方法一 原式= = =log25·(3log52) =13log25·=13. 方法二 原式= = ==13. 点评 方法一是先将括号内换底,然后再将底统一;方法二是在解题方向还不清楚的情况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底),然后再化简.上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法. 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值. 错解 由对数的性质可得x2+3x=x+3. 解得x=1或x=-3. 错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1,这点在解题中忽略了. 正解 由对数的性质知 解得x=1,故实数x的值为1. 对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一,主要性质有:loga1=0,logaa=1,alogaN=N (a>0,且a≠1,N>0). 1.(上海高考)方程9x-6·3x-7=0的解是________. 解析 ∵9x-6·3x-7=0,即32x-6·3x-7=0 ∴(3x-7)(3x+1)=0 ∴3x=7或3x=-1(舍去) ∴x=log37. 答案 log37 2.(辽宁高考)设g(x)=则g=____. 解析 g=ln<0,g=eln=, ∴g=. 答案 1.对数式log(a-3)(7-a)=b,实数a的取值范围是( ) A.(-∞,7)
B.(3,7) C.(3,4)∪(4,7)
D.(3,+∞) 答案 C 解析 由题意得解得3<a<7且a≠4. 2.设a=log32,则log38-2log36用a表示的形式是( ) A.a-2
B.3a-(1+a)2 C.5a-2
D.-a2+3a-1 答案 A 解析 ∵a=log32,∴log38-2log36=3log32-2(log32+1) =3a-2(a+1)=a-2. 3.log56·log67·log78·log89·log910的值为( ) A.1
D.1+lg2 答案 C 解析 原式=····==. 4.已知loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是( ) A.(0,1)
D.(1,+∞) 答案 C 解析 由题意,得 ∵a>0,a≠1,loga(a2+1)<loga2a,∴0<a<1.∴<a<1. 5.已知函数f(x)=ax-1+logax (a>0,a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2,则a的值为( ) A.4
D. 答案 D 6.若方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α,β,则αβ等于( ) A.lg7·lg5
D. 答案 D 解析 ∵lgα+lgβ=-(lg7+lg5)=-lg35=lg ∴α·β=. 7.已知f(log2x)=x,则f=________. 答案 解析 令log2x=,则2=x,∴f=2=. 8.log(-1)(+1)=________. 答案 -1 解析 log-1(+1)=log-1 =log(-1)=-1. 9.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,lgx=-2+0.778 1,则x=________. 答案 0.06 解析 ∵lg2=0.301 0,lg3=0.477 1, 而0.301 0+0.477 1=0.778 1,∴lgx=-2+lg2+lg3, 即lgx=lg10-2+lg6. ∴lgx=lg(6×10-2),即x=6×10-2=0.06. 10.(1)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求log的值; (2)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log365. 解 (1)lgx+lgy=2lg(x-2y), ∴xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0. 即(x-y)(x-4y)=0,解得x=y或x=4y, 又∵ ∴x>2y>0, ∴x=y,应舍去,取x=4y. 则log=log=log4==4. (2)∵18b=5,∴log185=b, 又∵log189=a, ∴log365== == ==. 11.设a,b,c均为不等于1的正数,且ax=by=cz,++=0,求abc的值. 解 令ax=by=cz=t (t>0且t≠1), 则有=logta,=logtb,=logtc, 又++=0,∴logtabc=0,∴abc=1. 12.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根,试判定△ABC的形状. 解 ∵关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根, ∴Δ=0,即4-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=0. 即lg(c2-b2)-2lga=0,故c2-b2=a2, ∴a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形. 2.2.1 对数与对数运算(一) 学习目标 1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化. 2.了解常用对数与自然对数的意义. 3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算. 自学导引 1.如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.对数的性质有:(1)1的对数为零; (2)底的对数为1; (3)零和负数没有对数. 3.通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,log10N可简记为lgN,logeN简记为lnN. 4.若a>0,且a≠1,则ab=N等价于logaN=b. 5.对数恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1) .
一、对数式有意义的条件 例1 求下列各式中x的取值范围: (1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2);(3)log(x+1)(x-1)2. 分析 由真数大于零,底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组),解之即可. 解 (1)由题意有x-10>0,∴x>10,即为所求. (2)由题意有 即∴x>1且x≠2. (3)由题意有 解得x>-1且x≠0,x≠1. 点评 在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大于零且不等于1. 变式迁移1 在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是( ) A.a>5或a<2 B.2<a<5 C.2<a<3或3<a<5
D.3<a<4 答案 C 解析 由题意得, ∴2<a<5且a≠3.
二、对数式与指数式的互化 例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式: (1)54=625; (2)log8=-3; (3)-2=16;
(4)log101 000=3. 分析 利用ax=N?x=logaN进行互化. 解 (1)∵54=625,∴log5625=4. (2)∵log8=-3,∴-3=8. (3)∵-2=16,∴log16=-2. (4)∵log101 000=3,∴103=1 000. 点评 指数和对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径.在利用ax=N?x=logaN进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置. 变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x值: (1)logx27=; (2)log2x=-; (3)log5(log2x)=0;
(4)x=log27; (5)x=log16. 解 (1)由logx27=,得x=27,∴x=27=32=9. (2)由log2x=-,得2-=x,∴x==. (3)由log5(log2x)=0,得log2x=1,∴x=21=2. (4)由x=log27,得27x=,即33x=3-2, ∴x=-. (5)由x=log16,得x=16,即2-x=24, ∴x=-4.
三、对数恒等式的应用 例3 (1)alogab·logbc·logcN的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0); (2)4(log29-log25). 解 (1)原式=(alogab)logbc·logcN=blogbc·logcN=(blogbc)logcN =clogcN=N. (2)原式=2(log29-log25)==. 点评 对数恒等式alogaN=N中要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形式;(3)其值为真数. 变式迁移3 计算:3log3+()log3. 解 原式=+3log3=+(3log3) =+=. 1.一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.利用ab=N?b=logaN (其中a>0,a≠1,N>0)可以进行指数与对数式的互化. 3.对数恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1). 一、选择题 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.100=1与lg1=0 B.27-=与log27=- C.log3=9与9=3 D.log55=1与51=5 答案 C 2.指数式b6=a (b>0,b≠1)所对应的对数式是( ) A.log6a=a
B.log6b=a C.logab=6
D.logba=6 答案 D 3.若logx(-2)=-1,则x的值为( ) A.-2
B.+2 C.-2或+2
D.2- 答案 B 4.如果f(10x)=x,则f(3)等于( ) A.log310
D.310 答案 B 解析 方法一 令10x=t,则x=lgt, ∴f(t)=lgt,f(3)=lg3. 方法二 令10x=3,则x=lg3,∴f(3)=lg3. 5.21+·log25的值等于( ) A.2+
B.2 C.2+
D.1+ 答案 B 解析 21+log25=2×2log25=2×2log25 =2×5=2. 二、填空题 6.若5lgx=25,则x的值为________. 答案 100 解析 ∵5lgx=52,∴lgx=2,∴x=102=100. 7.设loga2=m,loga3=n,则a2m+n的值为________. 答案 12 解析 ∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3, ∴a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12. 8.已知lg6≈0.778 2,则102.778 2≈________. 答案 600 解析 102.778 2≈102×10lg6=600. 三、解答题 9.求下列各式中x的值 (1)若log3=1,则求x值; (2)若log2 003(x2-1)=0,则求x值. 解 (1)∵log3=1,∴=3 ∴1-2x=27,即x=-13 (2)∵log2 003(x2-1)=0 ∴x2-1=1,即x2=2 ∴x=± 10.求x的值:(1)x=log4;(2)x=log9;(3)x=71-log75; (4)logx8=-3;(5)logx=4. 解 (1)由已知得:x=4, ∴2-x=22,-=2,x=-4. (2)由已知得:9x=,即32x=3. ∴2x=,x=. (3)x=7÷7log75=7÷5=. (4)由已知得:x-3=8, 即3=23,=2,x=. (5)由已知得:x=4=.2.2.1 对数与对数运算(二) 学习目标 1.掌握对数的运算性质及其推导. 2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明. 自学导引 1.对数的运算性质:如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么, (1)loga(MN)=logaM+logaN; (2)loga=logaM-logaN; (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 2.对数换底公式:logab=.
一、正确理解对数运算性质 例1 若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有( ) ①logax· logay=loga (x+y); ②logax-logay=loga(x-y); ③loga=logax÷logay; ④loga(xy)=logax·logay. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案 A 解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如logax≠loga·x,logax是不可分开的一个整体.四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的. 点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件. 变式迁移1 若a>0且a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式正确的是( ) A.logax=-loga
B.(logax)n=nlogax C.(logax)n=logaxn
D.logax=loga 答案 A
二、对数运算性质的应用 例2 计算: (1)log535-2log5+log57-log51.8; (2)2(lg)2+lg·lg5+; (3); (4)(lg5)2+lg2·lg50. 分析 利用对数运算性质计算. 解 (1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2. (2)原式=lg(2lg+lg5)+ =lg(lg2+lg5)+1-lg=lg+1-lg=1. (3)原式===. (4)原式=(lg5)2+lg2·(lg2+2lg5) =(lg5)2+2lg5·lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1. 点评 要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用. 变式迁移2 求下列各式的值: (1)log535+2log-log5-log514; (2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64. 解 (1)原式 =log5(5×7)-2log22+log5(52×2)-log5(2×7) =1+log57-1+2+log52-log52-log57=2. (2)原式=[log2+log62·log6(3×6)]÷log622 =log62(log62+log63+1)÷(2log62)=1.
三、换底公式的应用 例3 (1)设3x=4y=36,求+的值; (2)已知log189=a,18b=5,求log3645. 解 (1)由已知分别求出x和y. ∵3x=36,4y=36, ∴x=log336,y=log436, 由换底公式得: x==,y==, ∴=log363,=log364, ∴+=2log363+log364 =log36(32×4)=log3636=1. (2)∵log189=a,18b=5,∴log185=b. ∴log3645== ===. 点评 指数式化为对数式后,两对数式的底不同,但式子两端取倒数后,利用对数的换底公式可将差异消除. 变式迁移3 (1)设log34·log48·log8m=log416,求m; (2)已知log1227=a,求log616的值. 解 (1)利用换底公式,得··=2, ∴lgm=2lg3,于是m=9. (2)由log1227=a,得=a, ∴lg3=,∴=. ∴log616== =. 1.对于同底的对数的化简常用方法是: (1)"收",将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数; (2)"拆",将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2.对于常用对数的化简要充分利用"lg5+lg2=1"来解题. 3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值. 一、选择题 1.lg8+3lg5的值为( ) A.-3
D.3 答案 D 解析 lg8+3lg5=lg8+lg53=lg1 000=3. 2.已知lg2=a,lg3=b,则log36等于( ) A.
D. 答案 B 解析 log36===. 3.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则2的值等于( ) A.2
D. 答案 A 解析 由根与系数的关系,得lga+lgb=2,lga·lgb=, ∴2=(lga-lgb)2 =(lga+lgb)2-4lga·lgb =22-4×=2. 4.若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则-等于( ) A.
D.-3 答案 A 解析 由指数式转化为对数式: x=log2.51 000,y=log0.251 000, 则-=log1 0002.5-log1 0000.25=log1 00010=. 5.设函数f(x)=logax (a>0,且a≠1),若f(x1x2...x2 005)=8,则f(x)+f(x)+...+f(x)的值等于( ) A.4
D.2loga8 答案 C 解析 因为f(x)=logax,f(x1x2...x2 005)=8, 所以f(x)+f(x)+...+f(x) =logax+logax+...+logax =2loga|x1|+2loga|x2|+...+2loga|x2 005| =2loga|x1x2...x2 005| =2f(x1x2...x2 005)=2×8=16. 二、填空题 6.设lg2=a,lg3=b,那么lg=__________. 答案 解析 lg=lg1.8=lg=lg =(lg2+lg9-1)=(a+2b-1). 7.若logax=2,logbx=3,logcx=6,则logabcx的值为____. 答案 1 解析 logabcx== ∵logax=2,logbx=3,logcx=6 ∴logxa=,logxb=,logxc=, ∴logabcx===1. 8.已知log63=0.613 1,log6x=0.386 9,则x=________. 答案 2 解析 由log63+log6x=0.613 1+0.386 9=1. 得log6(3x)=1.故3x=6,x=2. 三、解答题 9.求下列各式的值: (1)lg-lg+lg; (2)(lg5)2+2lg2-(lg2)2. 解 (1)方法一 原式=(5lg2-2lg7)-·lg2 +(2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5 =lg2+lg5=(lg2+lg5) =lg10=. 方法二 原式=lg-lg4+lg7 =lg =lg(·)=lg=. (2)方法一 原式=(lg5+lg2)(lg5-lg2)+2lg2 =lg10·lg+lg4=lg=lg10=1. 方法二 原式=(lg10-lg2)2+2lg2-lg22 =1-2lg2+lg22+2lg2-lg22=1. 10.若26a=33b=62c,求证:+=. 证明 设26a=33b=62c=k (k>0),那么 ∴ ∴+=6·logk2+2×3logk3 =logk(26×36)=6logk6=3×2logk6=, 即+=.2.2.2 对数函数及其性质 1.对数函数的概念 形如y=logax (a>0且a≠1)的函数叫做对数函数. 对于对数函数定义的理解,要注意: (1)对数函数是由指数函数变化而来的,由指数式与对数式关系知,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+∞); (2)对数函数的解析式y=logax中,logax前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数a必须满足a>0,且a≠1; (3)以10为底的对数函数为y=lgx,以e为底的对数函数为y=lnx. 2.对数函数的图象及性质:a>10<a<1图象性质函数的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)函数图象恒过定点(1,0),即恒有loga1=0当x>1时,恒有y>0;当0<x<1时,恒有y<0当x>1时,恒有y<0;当0<x0函数在定义域(0,+∞)上为增函数函数在定义域(0,+∞)上为减函数 3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y=ax (a>0,且a≠1)y=logax(a>0,且a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)函数值变化情况a>1时,;0<a<1时,xa>1时,logax;0<a<1时,logax图象必过定点点(0,1)点(1,0)单调性a>1时,y=ax是增函数;0<a<1时,y=ax是减函数a>1时,y=logax是增函数;0<a<1时,y=logax是减函数图象y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称 实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y=logmn有以下规律: (1)当(m-1)(n-1)>0,即m、n范围相同(相对于"1"而言),则logmn>0;(2)当(m-1)(n-1)<0,即m、n范围相反(相对于"1"而言),则logmn<0.有了这个规律,我们再判断对数值的正负就很简单了,如log20等,一眼就看出来了!
题型一 求函数定义域 求下列函数的定义域: (1)y=log3x-1; (2)y= (a>0,a≠1). 分析 定义域即使函数解析式有意义的x的范围. 解 (1)要使函数有意义,必须同时成立, 解得 ∴x>1. ∴定义域为(1,+∞). (2)要使原函数有意义,需1-loga(x+a)>0, 即loga(x+a)<1=logaa. 当a>1时,0<x+a<a,∴-a<x<0. 当0<aa,∴x>0. ∴当a>1时,原函数定义域为{x|-a<x<0}; 当0<a0}. 点评 求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑:真数大于零,底数大于零且不等于1,若分母中含有x,还要考虑不能使分母为零.
题型二 对数单调性的应用 (1)log43,log34,log的大小顺序为( ) A.log34<log43<log B.log34>log43>log C.log34>log>log43 D.log>log34>log43 (2)若a2>b>a>1,试比较loga,logb ,logba,logab的大小. (1)解析 ∵log34>1,0<log43<1, log=log-1=-1, ∴log34>log43>log. 答案 B (2)解 ∵b>a>1,∴0<<1. ∴loga<0,logb∈(0,1),logba∈(0,1). 又a>>1,且b>1,∴logb<logba, 故有loga<logb<logba<logab. 点评 比较对数的大小,一般遵循以下几条原则: ①如果两对数的底数相同,则由对数函数的单调性(底数a>1为增;0<a<1为减)比较. ②如果两对数的底数和真数均不相同,通常引入中间变量进行比较. ③如果两对数的底数不同而真数相同,如y=loga1x与y=loga2x的比较(a1>0,a1≠1,a2>0,a2≠1). 当a1>a2>1时,曲线y1比y2的图象(在第一象限内)上升得慢.即当x>1时,y1<y2;当0<xy2.而在第一象限内,图象越靠近x轴对数函数的底数越大. 当0<a2<a11时,y1<y2;当0<xy2即在第四象限内,图象越靠近x轴的对数函数的底数越小. 已知loga<1,那么a的取值范围是________. 分析 利用函数单调性或利用数形结合求解. 解析 由loga1时,显然符合上述不等式,∴a>1;当0<a<1时,a<,∴0<a<. 故a>1或0<a<. 答案 a>1或0<a< 点评 解含有对数符号的不等式时,必须注意对数的底数是大于1还是小于1,然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答.理解会用以下几个结论很有必要: (1)当a>1时,logax>0?x>1,logax<0?0<x<1; (2)当0<a0?0<x<1,logax1.
题型三 函数图象的应用 若不等式2x-logax<0,当x∈时恒成立,求实数a的取值范围. 解 要使不等式2x, 显然这里0<a<1,∴函数y=logax递减. 又loga>=log,∴a>,即a>. ∴所求的a的取值范围为<a<1. 点评 原问题等价于当x∈时,y1=2x的图象在y2=logax的图象的下方,由于a的大小不确定,当a>1时,显然y2<y1,因此a必为小于1的正数,当y2的图象通过点时,y2满足条件,此时a=.那么a是大于a还是小于a才满足呢?可以画图象观察,请试着画一画.这样可以对数形结合的方法有更好地掌握. 设函数f(x)=lg(ax2+2x+1),若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围. 错解 ∵f(x)的值域是R, ∴ax2+2x+1>0对x∈R恒成立, 即??a>1. 错因分析 出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别. 正解 函数f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域是R ?真数t=ax2+2x+1能取到所有的正数. 当a=0时,只要x>-,即可使真数t取到所有的正数,符合要求; 当a≠0时,必须有??0<a≤1. ∴f(x)的值域为R时,实数a的取值范围为[0,1]. 本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似,着重考查对数的概念与对数函数的单调性,考查指数、对数函数的图象、性质及其应用. 1.(广东高考)已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N等于( ) A.{x|x>-1} B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1}
D.? 解析 由题意知M={x|x-1}. 故M∩N={x|-1<x<1}. 答案 C 2.(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A.log32<log23<log25 B.log32<log25<log23 C.log23<log32<log25 D.log23<log25<log32 解析 ∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数, ∴log25>log23>log22=1. 又y=log3x在(0,+∞)上为增函数, ∴log32<log33=1.∴log32<log23<log25. 答案 A 3.(全国高考)若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则( ) A.a<b<c
B.c<a<b C.b<a<c
D.b<c<a 解析 ∵<x<1,∴-1<lnx<0. 令t=lnx,则-1<t<0. ∴a-b=t-2t=-t>0.∴a>b. c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1), 又∵-1<t<0, ∴0<t+1<1,-2<t-10,∴c>a. ∴c>a>b. 答案 C 1.已知函数f(x)=的定义域为集合M,g(x)=ln(1-x)的定义域为集合N,则M∩N等于( ) A.{x|x>-1}
B.{x|x<1} C.
D.? 答案 C 2.已知函数f(x)=lg,若f(a)=,则f(-a)等于( ) A.
D.2 答案 B 解析 f(-a)=lg=-lg-1 =-lg=-f(a)=-. 3.已知a=log23,b=log32,c=log42,则a,b,c的大小关系是( ) A.c<b1,b=log3 2b; 又因为2>,则log32>log3=, 而log42=log2=, 所以b>,c=,即b>c.从而a>b>c. 4.函数f(x)=lg|x|为( ) A.奇函数,在区间(0,+∞)上是减函数 B.奇函数,在区间(0,+∞)上是增函数 C.偶函数,在区间(-∞,0)上是增函数 D.偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数 答案 D 解析 已知函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称,且f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),所以它是偶函数. 又当x>0时,|x|=x,即函数y=lg|x|在区间(0,+∞)上是增函数. 又f(x)为偶函数,所以f(x)=lg|x|在区间(-∞,0)上是减函数. 5.函数y=ax与y=-logax (a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( ) 答案 A 解析 方法一 若0<a1,则曲线y=ax上升且过(0,1),而曲线y=-logax下降且过(1,0).只有选项A满足条件. 方法二 注意到y=-logax的图象关于x轴对称的图象的表达式为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定选项A. 6.设函数f(x)=log2a(x+1),若对于区间(-1,0)内的每一个x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围为( ) A.(0,+∞)
D. 答案 D 解析 已知-1<x<0,则0<x+1<1,又当-1<x0,即0<x+10,所以0<2a<1,即0<a<. 7.若指数函数f(x)=ax (x∈R)的部分对应值如下表: x-202f(x)0.69411.44 则不等式loga(x-1)<0的解集为__________. 答案 {x|1<x<2} 解析 由题可知a=1.2,∴log1.2(x-1)<0, ∴log1.2(x-1)<log1.21,解得x<2, 又∵x-1>0,即x>1,∴1<x<2. 故原不等式的解集为{x|1<x<2}. 8.函数y=logax (1≤x≤2)的值域为[-1,0],那么a的值为________. 答案 解析 若a>1,则函数y=logax在区间[1,2]上为增函数,其值域不可能为[-1,0]; 故0<a<1,此时当x=2时,y取最小值-1, 即loga2=-1,得a-1=2,所以a=. 9.已知函数f(x)=是实数集R上的减函数,那么实数a的取值范围为__________. 答案 解析 函数f(x)为实数集R上的减函数, 一方面,0<a<1且3a-1<0,所以0<a<, 另一方面,由于f(x)在R上为减函数, 因此应有(3a-1)×1+4a≥loga 1,即a≥. 因此满足题意的实数a的取值范围为≤a<. 10.已知f(x)=1+log2x (1≤x≤4),求函数g(x)=f2(x)+f(x2)的最大值和最小值. 解 ∵f(x)的定义域为[1,4], ∴g(x)的定义域为[1,2]. ∵g(x)=f2(x)+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2) =(log2x+2)2-2, 又1≤x≤2,∴0≤log2x≤1. ∴当x=1时,g(x)min=2;当x=2时,g(x)max=7. 学习目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质. 2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质,把握指数函数与对数函数关系的实质. 自学导引 1.对数函数的定义:一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 2.对数函数的图象与性质定义y=logax (a>0,且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0,+∞)值域R单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数共点性图象过点(1,0),即loga1=0函数值特点x∈(0,1)时,y∈(-∞,0);x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞)x∈(0,1)时,y∈(0,+∞);x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]对称性函数y=logax与y=logx的图象关于x轴对称 3.反函数 对数函数y=logax
(a>0且a≠1)和指数函数y=ax_(a>0且a≠1)互为反函数.
一、对数函数的图象 例1 下图是对数函数y=logax的图象,已知a值取,,,,则图象C1,C2,C3,C4相应的a值依次是( ) A. B. C. D. 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大,函数的图象越远离y轴的正方向,所以C1,C2,C3,C4的a值依次由大到小,即C1,C2,C3,C4的a值依次为. 方法二 过(0,1)作平行于x轴的直线,与C1,C2,C3,C4的交点的横坐标为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),其中a1,a2,a3,a4分别为各对数的底,显然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2,C3,C4的底值依次由大到小. 点评 函数y=logax (a>0,且a≠1)的底数a的变化对图象位置的影响如下: ①上下比较:在直线x=1的右侧,底数大于1时,底数越大,图象越靠近x轴;底数大于0且小于1时,底数越小,图象越靠近x轴. ②左右比较:(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 变式迁移1 借助图象比较m,n的大小关系: (1)若logm5>logn5,则m n; (2)若logm0.5>logn0.5,则m n. 答案 (1)
二、求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域: (1)y=; (2)y=; (3)y=log(x+1)(2-x). 分析 定义域即使函数解析式有意义的x的范围. 解 (1)∵该函数是奇次根式,要使函数有意义,只要对数的真数是正数即可, ∴定义域是{x|x>0}. (2)要使函数y=有意义, 必须log0.5(4x-3)≥0=log0.51, ∴0<4x-3≤1.解得<x≤1. ∴定义域是. (3)由,得 即0<x<2或-1<x<0, 所求定义域为(-1,0)∪(0,2). 点评 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,还要对这种函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数;三是按底数的取值应用单调性,有针对性的解不等式. 变式迁移2 求y=(a>0,a≠1)的定义域. 解 loga(4x-3)≥0.(*) 当a>1时,(*)可化为loga(4x-3)≥loga1, ∴4x-3≥1,x≥1. 当0<a<1时,(*)可化为 loga(4x-3)≥loga1, ∴0<4x-3≤1,<x≤1. 综上所述,当a>1时,函数定义域为[1,+∞), 当0<a<1时,函数定义域为.
三、对数函数单调性的应用 例3 比较大小: (1)log0.81.5与log0.82; (2)log35与log64. 分析 从比较底数、真数是否相同入手. 解 (1)考查对数函数y=log0.8x在(0,+∞)内是减函数, ∵1.5log0.82. (2)log35和log64的底数和真数都不相同,找出中间量"搭桥",再利用对数函数的单调性,即可求解. ∵log35>log33=1=log66>log64, ∴log35>log64. 点评 比较两个对数值的大小,常用方法有:①底数相同真数不同时,用函数的单调性来比较;②底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也可用换底公式转化为同底数的对数后比较;③底数与真数都不同,需寻求中间值比较. 变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小: (1)log0.52.7,log0.52.8; (2)log34,log65; (3)logaπ,logae (a>0且a≠1). 解 (1)∵0<0.5<1, ∴对数函数y=log0.5x在(0,+∞)上是减函数. 又∵2.7log0.52.8. (2)∵y=log3x在(0,+∞)上是增函数, ∴log34>log33=1. ∵y=log6x在(0,+∞)上是增函数, ∴log65<log66=1. ∴log34>log65. (3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数. ∵π>e,∴logaπ>logae. 当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数. ∵π>e,∴logaπ<logae. 综上可知,当a>1时,logaπ>logae; 当0<a<1时,logaπ<logae. 例4 若-1<loga<1,求a的取值范围. 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数.解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解,同时应注意分类讨论. 解 -1<loga<1?loga<loga<logaa. 当a>1时,<. 当0<a>a,∴0<a<. ∴a的取值范围是∪. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解,其依据是对数函数的单调性. (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循"定义域优先"原则. (3)若含有字母,应考虑分类讨论. 变式迁移4 已知loga(2a+1)<loga3a<0,求a的取值范围. 解 loga(2a+1)<loga3a<0(*) 当a>1时,(*)可化为, 解得,∴此时a无解. 当0<a<1时,(*)可化为 ,解得, ∴<a<1. 综上所述,a的取值范围为. 1.求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量,此时底数大于0且不等于1. 2.应用对数函数的图象和性质时要注意a>1还是0<a<1。 一、选择题 1.当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是( ) 答案 A 解析 a>1由指数函数与对数函数图象可知A对. 2.函数y=的定义域是( ) A.[1,+∞)
D. 答案 D 解析 由已知log(3x-2)≥0,得0<3x-2≤1 ∴<x≤1. 3.已知a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a、b、c的大小关系是( ) A.a<b<c
B.a<c<b C.b<a<c
D.c<a<b 答案 C 解析 0<a=log0.70.81,b<0. 4.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为4,则a等于( ) A.
D.4 答案 A 解析 由题意得loga a+loga 2a=4,∴2+loga 2=4, ∴a=. 5.若loga<1,则a的取值范围是( ) A.a>1
B.0<a1 C.0<a<
D.<a<1 答案 B 解析 a>1时,a>,此时loga <loga a=1, 即a>1符合要求; 当0<a<1时,loga <loga a,∴0<a<, 即0<a<符合要求; ∴a>1或0<a<. 二、填空题 6.若f(x)=则满足f(x)=的x的值为________. 答案 3 解析 ∵当x≤1时,f(x)=≥,∴满足f(x)=的x∈(1,+∞),,即log81x=,∴x==3. 7.函数f(x)=log3x的反函数为__________.,答案 f(x)=3x,8.对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f=______. 答案 -2 解析 设f(x)=logax (a>0且a≠1). 将点(8,3)代入解析式得:loga8=3,即a3=8, ∴a=2.∴f=log2=-2. 三、解答题 9.已知f(x)=loga (a>0且a≠1),其定义域为(-1,1),试判断f(x)的奇偶性并证明. 证明 函数的定义域是(-1,1),关于原点对称. ∵f(-x)=loga =loga=loga-1 =-loga, ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数. 10.求函数y=loga(a-ax) (a>0,且a≠1)的定义域和值域. 解 ∵a-ax>0,∴a>ax. 当a>1时,x<1,则f(x)的定义域为(-∞,1); 当0<a1,则f(x)的定义域为(1,+∞). ∵ax>0,∴0<a-ax<a. 当a>1时, loga(a-ax)<logaa=1,函数f(x)的值域为(-∞,1); 当0<a<1时, loga(a-ax)>logaa=1,函数f(x)的值域为(1,+∞).综上所述,当a>1时,函数f(x)的定义域与值域均为(-∞,1);当0<a<1时,函数f(x)的定义域与值域均为(1,+∞).}