& 直线与圆锥曲线的关系知识点 & “设函数f（x）=ax+1/x+b（a，b...”习题详情
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设函数f（x）=ax+1x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明理由．（II）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．（III）&将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后与抛物线y=ax2（a为非0常数）的图象有几个交点？（说明理由）
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“设函数f（x）=ax+1/x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由题意可得f（2）=3，f′（2）=0，联立方程即可求得a，b值，得f（x）解析式，然后构造奇函数g（x），根据f（x）与g（x）的关系可得f（x）的对称性；（II）在曲线上任取一点(x0，x0+1x0-1)．&&利用导数可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，分别联立切线方程与x=1，y=x的方程可得三角形定点，利用三角形面积公式即可求得定值；（III）将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后得到的函数为y=f(x+1)=x+1x+1，它与抛物线y=ax2的交点个数等于方程x+1x+1=ax2的解的个数．分离出参数a后构造函数，利用导数可判断函数的单调性并求得其值域，由此可得结论；
解：（Ⅰ）f′(x)=a-1(x+b)2，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，于是{f(2)=2a+12+b=3k=f′(2)=a-1(2+b)2=0，解得{a=1b=-1或{a=94b=-83.，因a，b∈Z，故f(x)=x+1x-1．令g(x)=x+1x，满足g(-x)=-x+1-x=-(x+1x)=-g(x)，所以g（x）是奇函数，其图象是以原点（0，0）为中心的中心对称图形．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&而函数g（x）的图象按向量a=（1，1）平移，即得到函数f(x)=x-1+1x-1+1的图象，故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（（II）证明：在曲线上任取一点(x0，x0+1x0-1)．&&&由f′(x0)=1-1(x0-1)2知，过此点的切线方程为y-x20-x0+1x0-1=[1-1(x0-1)2](x-x0)．&&&&&&&&&&&&&&&&&令x=1得y=x0+1x0-1，切线与直线x=1交点为(1，x0+1x0-1)．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&令y=x得y=2x0-1，切线与直线y=x交点为（2x0-1，2x0-1）．直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&从而所围三角形的面积为S=12|x0+1x0-1-1||2x0-1-1|=12|2x0-1||2x0-2|=2．所以，所围三角形的面积为定值2．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（III）将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后得到的函数为y=f(x+1)=x+1x+1，它与抛物线y=ax2的交点个数等于方程x+1x+1=ax2的解的个数．方程x+1x+1=ax2等价于a=1x3+1x2+1x，即a=t3+t2+t（t≠0），记G（t）=t3+t2+t（t≠0），G′（t）=3t2+2t+1，△=22-4×3×1＜0，∴G′（t）＞0，G（t）=t3+t2+t在R上为单调递增函数，且G（t）=t（t2+t+1），t→∞时t2+t+1→+∞，G（t）的值域为R，所以y=a（a≠0）与y=G（t）（t≠0）有且只有一个交点，即将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后，与抛物线y=ax2有且只有一个交点．
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、利用导数研究曲线的切线方程，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．
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设函数f（x）=ax+1/x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心...
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经过分析，习题“设函数f（x）=ax+1/x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的关系”
等考点的理解。
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直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的交点．
与“设函数f（x）=ax+1/x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明...”相似的题目：
求经过点P（-1，-6）与抛物线C：x2=4y只有一个公共点的直线l方程．
过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则弦AB的长为（　　）1676771676
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足∠F1AB=90°．（1）求椭圆C的离心率e；（2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足RP=-2PF2？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
“设函数f（x）=ax+1/x+b（a，b...”的最新评论
该知识点好题
1若过点A（3，0）的直线l与曲线（x-1）2+y2=1有公共点，则直线l斜率的取值范围为（　　）
2已知左右焦点分别为F1，F2的椭圆x2a2+y2b2=1上存在一点P使PF1⊥PF2，直线PF2交椭圆的右准线于M，则线段PM的长为（　　）
3双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若FR=λFM，且λ∈（12，23），则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
该知识点易错题
1若过点A（3，0）的直线l与曲线（x-1）2+y2=1有公共点，则直线l斜率的取值范围为（　　）
2已知左右焦点分别为F1，F2的椭圆x2a2+y2b2=1上存在一点P使PF1⊥PF2，直线PF2交椭圆的右准线于M，则线段PM的长为（　　）
3双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若FR=λFM，且λ∈（12，23），则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
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数学 二次函数的性质及应用...
已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]上有最大值2，求a的值。
第-1小题正确答案及相关解析
解：由函数f(x)=-x2+2ax+1-a，得对称轴x=a，如右图所示，①若a≤0，则f(x)在[0，1]上为减函数，有， 由；②若0＜a＜1，则，由或，此时a无解；③若a≥1时，f(x)在[0，1]上为增函数，有，由；综上所述，由①②③可知，当函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]上有最大值2时，a的值为-1或2。当前位置：
＞＞＞已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．-高二数学..
已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a 在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．
题型：解答题难度：中档来源：北京期中题
解：原函数的对称轴为x=a，开口向下 ①当a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递减 ∴f（x）的最大值为f（0）=1﹣a=2 ∴a=﹣1＜0 ∴a=﹣1符合题意 ②当0≤a≤1时 f（x）的最大值为f（a）=﹣a2+2a2+1﹣a=a2﹣a+1=2 ∴&[0，1] ∴不合题意，无解 ③当a＞1时，f（x）在[0，1]上单调递增 ∴f（x）的最大值为f（1）=﹣1+2a+1﹣a=a=2＞1 ∴a=2符合题意综①②③得a=﹣1或a=2
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．-高二数学..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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448676397733284029433855559547573055已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x,a∈R．） 是否存在实数b∈（0,1）,使得当x∈（-1,b]时,函数f（x）的最大值为f（b）?若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由．
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