扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
数列求和(1).1^4+2^4+3^4+.+n^4 (2).1^5+2^5+3^5+.+n^5
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
以下证明利用到：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6和1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2；证明：（1）2^5=(1+1)^5=1^5+5×1^4+10×1^3+10×1^2+5×1^1+13^5=(2+1)^5=2^5+5×2^4+10×2^3+10×2^2+5×2^1+1……(n+1)^5=n^5+5×n^4+10×n^3+10×n^2+5×n^1+1上式相加,相同项消去(n+1)^5=1^5+5×(1^4+2^4+……+n^4)+10×(1^3+2^3+……+n^3)+10×(1^2+2^2+……n^2)+5×(1+2+……+n)+(1+1+……+1)5×(1^4+2^4+……+n^4)=(n+1)^5-10×[n(n+1)/2]^2-10×n(n+1)(2n+1)/6-5×n(n+1)/2-n-1化简得1^4+2^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30 （2）方法和上面差不多,把左边的5次方改为6次方即可,在此不再赘述.结果为(n+1)^2 * n^2 * (2n^2+2n-1) / 12
写出（2）的具体过程才能加分
2^6=(1+1)^6=1^6+6×1^5+15×1^4+20x1^3+15×1^2+6×1^1+1
3^6=(2+1)^6=1^6+6×2^5+15×2^4+20x2^3+15×2^2+6×2^1+1
(n+1)^6=1^6+6×n^5+15×n^4+20xn^3+15×n^2+6×n^1+1，
上式相加，相同项消去
(n+1)^6=1^6+6×(1^5+2^5+……+n^5)+15×(1^4+2^4+……+n^4)+20×(1^3+2^3+……n^3)+15x（1^2+2^2+……n^2）+6×(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
1^5+2^5+3^5+.......+n^5
= (n+1)^2 x n^2 x(2n^2+2n-1) / 12
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码几何证明1^3+2^3+3^3+…+n^3=n^2(n+1)^2/4
为证明12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，我决定借助于几何图形。如图：
图中有n个小正方形（我只画了5个）连接，边长分别为1、2、3、…、n。这些小正方形都置于一个大正方形中，则
大正方形边长=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
大正方形面积=[n(n+1)/2]2=(n4+2n3+n2)/4
将空余部分分条。
先看左下部分，共有n-1条。设某条按从左到右顺序为第i条，则：
该条宽度即为i。
该条长度=(i+1)+(i+2)+(i+3)+…+n=(n-i)(n+i+1)/2=(n2+n-i2-i)/2
则该条面积=i(n2+n-i2-i)/2=(in2+in-i3-i2)/2
则左下半侧n-1条总面积为：
(1*n2+1*n-13-12)/2+(2*n2+2*n-23-22)/2+(3*n2+3*n-33-32)/2+…+[(n-1)*n2+(n-1)*n-(n-1)3-(n-1)2]/2
={[1*n2+2*n2+3*n2+…+(n-1)n2]+[1n+2n+3n+…+(n-1)n]-[13+23+33+…+(n-1)3]-[12+22+32+…+(n-1)2]}/2
={[1+2+3+…+(n-1)]n2+[1+2+3+…+(n-1)]n-[13+23+33+…+(n-1)3]-[12+22+32+…+(n-1)2]}/2
=[n(n-1)/2*n2+n(n-1)/2*n-(13+23+33+…+n3)+n3-(12+22+32+…+n2)+n2]/2
=[n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-(13+23+33+…+n3)-(12+22+32+…+n2)+n3+n2]/2
为方便书写，记12+22+32+…+n2=t2，13+23+33+…+n3=t3
两侧全部空余部分面积为：
n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-t3-t2+n3+n2
=(n4-n3)/2+(n3-n2)/2+2n3/2+2n2/2-t3-t2
=(n4-n3+n3-n2+2n3+2n2)/2-t3-t2
=(n4+2n3+n2)/2-t3-t2
根据：空余部分面积+小正方形面积=大正方形面积，得：
(n4+2n3+n2)/2-t3-t2+t2=(n4+2n3+n2)/4
t3=(n4+2n3+n2)/2-(n4+2n3+n2)/4
t3=(2n4+4n3+2n2)/4-(n4+2n3+n2)/4
t3=(n4+2n3+n2)/4=n2(n+1)2/4
13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4
本来要证12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，却证出了13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4，可谓“有心栽花花不成，无心插柳柳成荫。”
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
如何求S(n)=1^3+2^3+3^3+4^3+.+n^3帮我用n表示求和公式S(n),并附推算过程.
扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 . n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 . (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码公式：1^3+2^3+.....+N^3=(1+2+3+...+N)^2 是如何推导出来的？
公式：1^3+2^3+.....+N^3=(1+2+3+...+N)^2 是如何推导出来的？
答：(i)先证：A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2.
因为 2A=(1+N)+(2+(N-1))+(3+(N-2))+…+(N+1)=N(N+1)
所以 A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2.
(ii)再证：1^2+2^2+3^2+…+N^2=N(N+1)(2N+1)/6
利用立方差公式，得
N^3-(N-1)^3=1*[N^2+(N-1)^2+N(N-1)]
=N^2+(N-1)^2+N^2-N
=2*N^2+(N-1)^2-N
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
N^3-(N-1)^3=2*N^2+(N-1)^2-N
上述等式叠加，得
N^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+N^2)+[1^2+2^2+...+(N-1)...
公式：1^3+2^3+.....+N^3=(1+2+3+...+N)^2 是如何推导出来的？
答：(i)先证：A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2.
因为 2A=(1+N)+(2+(N-1))+(3+(N-2))+…+(N+1)=N(N+1)
所以 A=1+2+3+…+N=N(N+1)/2.
(ii)再证：1^2+2^2+3^2+…+N^2=N(N+1)(2N+1)/6
利用立方差公式，得
N^3-(N-1)^3=1*[N^2+(N-1)^2+N(N-1)]
=N^2+(N-1)^2+N^2-N
=2*N^2+(N-1)^2-N
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
N^3-(N-1)^3=2*N^2+(N-1)^2-N
上述等式叠加，得
N^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+N^2)+[1^2+2^2+...+(N-1)^2]-(2+3+4+...+N)
=2*(1^2+2^2+3^2+...+N^2)-2+[1^2+2^2+...+(N-1)^2+N^2]-N^2-(2+3+4+...+N)
=3*(1^2+2^2+3^2+...+N^2)-2-N^2-(1+2+3+...+N)+1
=3(1^2+2^2+...+N^2)-1-N^2-N(N+1)/2
3(1^2+2^2+...+N^2)
=N^3+N^2+N(N+1)/2
=N(N+1)(N+1/2)
=N(N+1)(2N+1)/2
所以 1^2+2^2+3^2+...+N^2=N(N+1)(2N+1)/6.
(iii)最后证：1^3+2^3+3^3+……+N^3=[N(N+1)/2]^2
(N+1)^4-N^4=[(N+1)^2+N^2][(N+1)^2-N^2]
=(2N^2+2N+1)(2N+1)
=4N^3+6N^2+4N+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
(N+1)^4-N^4=4*N^3+6*N^2+4*N+1
上面诸式叠加，得
(N+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+N^3)+6*(1^2+2^2+...+N^2)+4*(1+2+3+...+N)+N
4*(1^3+2^3+3^3+...+N^3)=(N+1)^4-1+6*[N(N+1)(2N+1)/6]+4*[(1+N)N/2]+N
=[N(N+1)]^2
所以 1^3+2^3+...+N^3=[N(N+1)/2]^2
由(1),(3)即得
1^3+2^3+.....+N^3=(1+2+3+...+N)^2。
其他答案（共3个回答）
利用(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1,分别令n=1、2、3、...、n代入前式,得n条等式,将真相加,并以平方和公式n(n+1)(2n+1)...
不清楚你这题目后面的内容，不过，规律我们是可以找到的：
（2^3-1)/(2^3+1)*(3^3-1)/(3^3+1)*(4^3-1)/(4^3+1)*(5^...
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
1/n(n+1)&1/n^2&1/n(n-1)
1/n-1/(n+1) &1/n^2&1/(n-1)-1/n
1/2^2+1/3^2+....+1/n^...
大家还关注
确定举报此问题
举报原因(必选)：
广告或垃圾信息
激进时政或意识形态话题
不雅词句或人身攻击
侵犯他人隐私
其它违法和不良信息
报告，这不是个问题
报告原因(必选)：
这不是个问题
这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区}