已知函数f（x）=lnx-ax,a为常数.若函数f（x）有两个零点x1,x2,试证明x1x2＞e^2
先求导y'=1/x-a,令y'=0,x=1/a,可得函数在1/a处取得最大值为-lna+1>0,得00就可得x2>2/a-x1设函数g(x)=ln(2/a-x)-a(2/a-x)-(lnx-ax),g'(x)=1/(x-2/a)+2a-1/x=2a(x-1/a)^2/[x(x-2/a)],可得在（0,2/a)上g'(x)0,所以ln(2/a-x1)-a(2/a-x1)>0,得证.
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扫描下载二维码考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理
专题：计算题,证明题,选作题,导数的综合应用
分析：（1）f′（x）=1x-1，则函数f（x）=lnx-x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x2-2x+k＞0为k＞2x-xlnx-lnx-1，从而将恒成立问题转化为求函数g（x）=2x-xlnx-lnx-1在[1，+∞）上的最值问题；利用导数可得g′（x）=2-lnx-1-1x=x-xlnx-1x，再令m（x）=x-xlnx-1并求导m′（x）=1-lnx-1=-lnx，从而判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，最终求出函数g（x）=2x-xlnx-lnx-1在[1，+∞）上的最值问题，则k≥g（1）=2-0-0-1=1，从而求实数k的最小值；（3）化简h（x）=f（x）+x-1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），x1+x22＞x1-x2h(x1)-h(x2)恒成立可化为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），(x1+x2)(lnx1-lnx2)-2(x1-x2)2(lnx1-lnx2)＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则上式可化为（x1+x2）（lnx1-lnx2）-2（x1-x2）＜0，从而令n（x）=（x1+x）（lnx1-lnx）-2（x1-x），进行二阶求导，判断n（x）在（x1，+∞）上的单调性，从而证明对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式x1+x22＞x1-x2h(x1)-h(x2)恒成立．
解：（1）f′（x）=1x-1，则函数f（x）=lnx-x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则若使函数f（x）=lnx-x+a有且只有一个零点，则0-1+a=0，解得，a=1；（2）（x+1）f（x）+x2-2x+k＞0可化为（x+1）（lnx-x+1）+x2-2x+k＞0，即k＞2x-xlnx-lnx-1对任意的x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）=2x-xlnx-lnx-1，则g′（x）=2-lnx-1-1x=x-xlnx-1x，令m（x）=x-xlnx-1，则m′（x）=1-lnx-1=-lnx，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）=1-lnx-1=-lnx＜0，则m（x）=x-xlnx-1＜1-1ln1-1=0，则g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上是减函数，则k＞2x-xlnx-lnx-1对任意的x∈（1，+∞）恒成立可化为k≥g（1）=2-0-0-1=1，则k的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x-1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），x1+x22＞x1-x2h(x1)-h(x2)恒成立可化为，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），(x1+x2)(lnx1-lnx2)-2(x1-x2)2(lnx1-lnx2)＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则lnx1-lnx2＜0，则上式可化为（x1+x2）（lnx1-lnx2）-2（x1-x2）＜0，令n（x）=（x1+x）（lnx1-lnx）-2（x1-x），则n′（x）=（lnx1-lnx）-（x1+x）1x+2=lnx1-lnx-x1x+1，n″（x）=-1x+x1x2=x1-xx2，∵则当x∈（x1，+∞）时，n″（x）＜0，则n′（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n′（x）＜n′（x1）=0，则n（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n（x）＜n（x1）=0，则（x1+x2）（lnx1-lnx2）-2（x1-x2）＜0，故对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式x1+x22＞x1-x2h(x1)-h(x2)恒成立．
点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了恒成立问题的处理方法，判断单调性一般用导数，本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度，属于难题．
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2014年第12届全国学生运动会在上海举行，上海某高校有4名学生参加A，B，C三个比赛项的志愿者，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务C比赛项目，则不同的安排方案共有（　　）
A、18种B、24种C、30种D、36种
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已知椭圆C的长轴的两个端点分别为A（-2，0），B（2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3，点P是椭圆C上异于A，B的一动点，直线AP，BP与直线l：x=a&（F∉l）分别相交于M，N两点，记直线FM，FN的斜率的乘积为u．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）对于给定的常数a，证明u是一个与P的位置无关的常数；（Ⅲ）当a变化时，求u的最小值．
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精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x) 求F(x)的单调区间已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x)(1)求F(x)的单调区间 (2)若以y=F(x),x属于(0,3]图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线斜率k≤1/2恒成立,求实数a的最小值(3)是否存在数学m,使得函数y=g[2a/(x^2+1)]+m-1的图像与y=f(1+x^2)的图像恰好有四个不同的交点?0若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
关于第二问ls回答有误a≥-(x^2)/2 + x=-0.5x(x-2)x=1处取最大值,∴a的最小值为0.5
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1. F(x)=f(x)+g(x)=lnx +a/x (a>0)F'(x)=1/x - a/(x^2)=(x-a)/(x^2)令F'(x)=0 则x=a,故F(x)在（0，a）上递减，在（a，+∞）递增。2.(谢谢2楼提醒)由题可得F'(x)=1/x - a/(x^2)=k≤1/2 在(0,3]上恒成立，用分离系数法移项同分之类得 a≥-(x^2)...
扫描下载二维码已知函数，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x0）．（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有2)-g(x1)x2-x1＜-1，求a的取值范围．【考点】；；；．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由题意先把f（x）的解析式具体，然后求其导函数，令导函数大于0，解出的即为函数的增区间；（2）对于当a=0时，先把f（x）=lnx具体出来，然后求导函数，得到f′（x0），在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小；（3）因为g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有2)-g(x1)x2-x1＜-1，先写出g（x）的解析式，利用该函数的单调性把问题转化为恒成立问题进行求解．【解答】解：（1）2=x2+(2-a)x+1x(x+1)2∵a=，令f'（x）＞0得x＞2或∴函数f（x）的单调增区间为；（2）证明：当a=0时f（x）=lnx∴∴0)=1x0=2x1+x2又2)-f(x1)x2-x1=lnx2-lnx1x2-x1=lnx2x1x2-x1不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x0）的大小，即比较2x1x2-x1与1+x2的大小，又∵x2＞x1，∴即比较2x1与2-x1)x1+x2=2(x2x1-1)x2x1+1的大小．令，则2=(x-1)2x(x+1)2≥0∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又2x1＞1，∴2x1)＞h(1)=0，∴2x1＞2(x2x1-1)x2x1+1，即k＞f'（x0）；（3）∵2)-g(x1)x2-x1＜-1，∴2)+x2-[g(x1)+x1]x2-x1＜0由题意得F（x）=g（x）+x在区间（0，2]上是减函数．1°当，∴2+1由2x+(x+1)2=x2+3x+1x+3在x∈[1，2]恒成立．设m（x）=2+3x+1x+3，x∈[1，2]，则2+3＞0∴m（x）在[1，2]上为增函数，∴2°当，∴2+1由2x+(x+1)2=x2+x-1x-1在x∈（0，1）恒成立设t（x）=2+x-1x-1，x∈（0，1）为增函数∴a≥t（1）=0综上：a的取值范围为．【点评】此题考查了利用导函数求函数的单调地增区间，还考查了构造函数并利用构造的函数的单调性把问题转化为恒成立的问题，重点考查了学生的转化的思想及构造的函数与思想．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：邢新丽老师　难度：0.54真题：3组卷：35
解析质量好中差
&&&&，V2.26958已知函数 f(x)=x-2/x+a(2-lnx),a＞0,讨论f(x)的单调性.请问1,这个a就是参数吧?2,需要先对a的取值进行讨论么?希望知道的朋友能帮下忙!
f(x)=x-2/x+a（2-lnx）=x-2/x+2a-alnx（a>0)f'(x)=1+2/x^2-a/x=（x^2+2-ax)/x^2已知x^2>0所以只需讨论x^2+2-ax即可x^2+2-ax为二次函数令g(x)=x^2+2-ax当△==0恒成立,f'(x)>=0也恒成立,此时00且g(0)=2>0,所以x=√(a^2/4-2)±1/2a两根都可以取到所以当a>√8时函数单调递增区间为(0 ,√(a^2/4-2)-1/2a）和（√(a^2/4-2)+1/2a ,+∞） 单调递减区间为[√(a^2/4-2)-1/2a ,√(a^2/4-2)+1/2a ]
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