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2.3 等差数列的前n项和练习题及答案解析
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1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(
解析：选C.由等差数列性质得a2＋a8＝2a5＝12，所以a5＝6.
2．等差数列{an}的公差为d，则数列{can}(c为常数且c≠0)(
A．是公差为d的等差数列
B．是公差为cd的等差数列
C．不是等差数列
D．以上都不对
3．在等差数列{an}中，a10＝10，a20＝20，则a30＝________.
a20－a1020－10解析：法一：d＝＝＝1，a30＝a20＋10d＝20＋10＝30. 20－1020－10
法二：由题意可知，a10、a20、a30成等差数列，所以a30＝2a20－a10＝2×20－10＝30. 答案：30
4．已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数． 解：由题意，可设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
??a－d?＋a＋?a＋d?＝15，?则? ???a－d??a＋d?＝9，
?a＝5?a＝5，??解得?或? ??d＝4d＝－4.??
所以，当d＝4时，这三个数为1,5,9；
当d＝－4时，这三个数为9,5,1.
一、选择题
1．下列命题中，为真命题的是(
A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列
B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列
C．若存在自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}是等差数列
D．若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2
1512．等差数列{an}中，前三项依次为，，则a101＝(
511解析：选D.∵＝，∴x＝2. 3xxx＋1
111111∴首项a1＝d＝()22312x＋13
2∴a101＝8，故选D. 3
3．若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝(
解析：选D.经观察发现(a2＋a5)－(a1＋a4)＝(a3＋a6)－(a2＋a5)＝2d＝39－45＝－6，所以a3＋a6＝a2＋a5－6＝39－6＝33.
14．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(
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2014高二数学选修2-1&1.1&命题及其关系课件及练习题（带答案）
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文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m &课时提升作业(二)四种命题&(30分钟　50分)一 、(每小题3分,共18分)1.(;长春高二检测)命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是(　　)A.若a∉A,则b∉B　 　　　&&B.若a∈A,则b∉BC.若b∈B,则a∉A&&&&D.若b∉B,则a∉A 【解析】选B.命题“若p,则q”的否命题是“若 p,则 q”,“∈”与“∉”互为否定形式.2.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是(　　)A.邻补角不互补B.互补的两个角是邻补角C.不是邻补角的两个角不互补D.不互补的两个角不是邻补角【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.【变式训练】“△ABC中,若∠C=90°,则∠B,∠A全是锐角”的否命题为(　　)A.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角B.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角C.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角D.以上均不对【解析】选B.否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.3.(;烟台高二检测)下列命题中为真命题的是(　　)A.命题“若x&y,则x&|y |”的逆命题B.命题“x&1,则x2&1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2&0,则x&1”的逆否命题【解析】选A.对于A:逆命题为若x&|y|,则x&y,真命题.对于B:否命题为若x≤1,则x2≤1,显然此命题为假,比如x=-2命题不成立.对于C:否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,此命题是假命题,如x=-2命题不成立.对于D:逆否命题为:若x≤1,则x2≤0,显然此命题是假命题,故选A.4.关于命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的叙述正确的是(　　)A.命题的逆命题为真命题B.命题的否命题为真命题C.命题的逆否命题为真命题D.以上都正确【解析】选C.命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的逆命题为“若a≠b,则|a|≠|b|”,是假命题.命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的否命题为“若|a|=|b|,则a=b”,是假命题.命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的逆否命题为“若a=b,则|a|=|b|”,是真命题.5.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题是(　　)A.若x=y=0,则x2+y2≠0B.若x,y都不为0,则x2+y2≠0w&&& C.若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0D.若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2=0【解析】选C.将“x=y=0”否定得“x,y中至少有一个不为0”,故原命题的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”,故选C【误区警示】解答本题易出现选B的错误,导致出现这类错误的原因是对“x,y全为0”的否定搞不清楚所致.事实上,x,y全为0的否定为x,y中至少有一个不为0.6.命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是(　　)A.若α≠ ,则tanα≠1&&&B.若α= ,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠ &&&D.若tanα≠1,则α= 【解题指南】由逆否命题的概念知,否定原命题的条件,“α≠ ”作结论;否定原命题的结论,“tanα≠1”作条件.【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠ ”,故选C.二、题(每小题4分,共12分)7.(;九江高二检测)原命题:“设a,b,c∈R,若a&b,则ac2&bc2”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数是　　　　　　　.【解析】逆命题:若ac2&bc2,则a&b,真命题.否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,真命题.逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,假命题.答案:28.(;天津高二检测)请写出命题“若a+b=2,则a2+b2≥2”的否命题:　　　　　　　　.【解析】根据否命题的形式,原命题的否命题为“若a+b≠2,则a2+b2&2”.答案:若a+b≠2,则a2+b2&29.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是　　　命题(填真、假).【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”,是真命题 .答案:真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(;武汉高二检测)设命题p:若m&0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)【解析】(1)p的逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,则m&0.p的否命题:若m≥0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.p的逆否命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,则m≥0.(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.11.判断下列命题的真假:(1)“若x∈A∪B,则x∈B”的逆命题与逆否命题.(2)“若自然数能被6整除,则自然数能被2整除”的逆命题.【解析】(1)逆命题 :若x∈B,则x∈A∪B.根据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:若x∉B,则x∉A∪B.逆否命题为假.如2&#}=B,A={2,3},但2∈A∪B.(2)逆命题:若自然数能被2整除,则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除. &(30分钟　50分)一、(每小题4分,共16分)1.(;重庆高二检测)已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为(　　)A.若a≠1且 a≠-1,则直线l1与l2不平行B.若 a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行 C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行【解析】选A.命题“若A,则B”的否命题为“若 A,则 B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是　　　　　　.【解析】将原命题中,条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1”.答案:若直线l1与l2平行,则a=1或a=-12.下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若a&b,则a2&b2”的逆否命题;③“若x≤-3,则x2-x-6&0”的否命题;④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是(　　)A.0　　　　&&B.1　　　　&&C.2　　　　&&D.3【解析】选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若x&-3,则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是同位角,假命题.3.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是(　　)A.3　　　　&&B.2　　　　&&C.1　　　　&&D.0【解析】选C.逆命题与否命题错误,逆 否命题正确,故选C.4.命题“若-1&x&1,则x2&1”的逆否命题是(　　)A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1B.若x2&1,则-1&x&1C.若x2&1,则x&1或x&-1D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1【解析】选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若 q,则 p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.二、题(每小题5分,共10分)5.(;广州高二检测)下列四个命题中:①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题;②“若k&0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;③“全等三角形的面积相等”的否命题;④ “若ab≠0,则a≠0”的否命题. 其中真命题的序号是　　　　　.【解析】①逆命题为“若一个三角形的三内角均为60°,则这个三角形为等边三角形”,是真命题;②Δ=4+4k,当k&0时,Δ&0,所以原命题为真命题,其逆否命题是真命题;③不全等的两个三角形面积也有可能相等,所以③是假命题;④否命题为“若ab=0,则a=0”,是假命题.综上可知,真命题是①②. 答案:①②【变式训练】有下列四个命题,其中真命题是　__________.①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.【解析】①逆命题是:“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②逆命题是:“若两三角形的周长相等,则它们相似”,是假命题,所以原命题的否命题也是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0,所以③是真命题,其逆否命题也是真命题;④若A∪B=B,则A⊆B,所以原命题是假命题,其逆否命题也是假命题,所以④是假命题.综上可知①③为真命题.答案:①③6.(;成都高二检测)给出下列三个命题:①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;②若-2≤x&3,则(x+2)(x-3)≤0; ③若x,y∈N+,x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数,其中逆命题为真命题是　　　　.【解析】①③逆命题为真,②逆命题为假.答案:①③三、解答题(每小题12分,共24分)7.写出命题:若x+y=5,则x=3且y=2的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假. 【解析】逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,是真命题.否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,是真命题.逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,是假命题.【变式训练】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.【解析】(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数,真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数,真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数,真命题.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高,真命题.否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等,真命题.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高,假命题.(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分 弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,真命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命题.逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.8.(;苏州高二检测)在公比为q 的等比数列{an}中,前n项的和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题.(2)判断公比q为何值时,逆命题为真?公比q 为何值时,逆命题为假?【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题,然后根据等差数列的性质判断何时为真命题,何时为假命题.【解析】(1)逆命题:在公比为q的等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.(2)由{an}为等比数列,所以an≠0,q≠0. 由am,am+2,am+1成等差数列,得2am+2=am+am+1,所以2am•q2=am+am•q,所以2q2-q-1=0.解得q=- 或q=1. 当q=1时,an=a1(n=1,2,…),所以Sm+2=(m+2)a1,Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1,即2Sm+2≠Sm+Sm+1,所以Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.即q=1时,原命题的逆命题为假命题.当q=- 时,2Sm+2=2• ,Sm+1= ,Sm= ,所以2Sm+2=Sm+1+Sm,所以Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.即q=- 时,原命题的逆命题为真命题. 文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m
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