反三角函数公式_百度知道
反三角函数公式
反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=∏－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)
π是三角函数的一个特殊值 arcsin arccos 是表示反三角函数的特殊值就比如 sinπ/6=1/2 用反三角函数表示就是 α=arcsin1/2 α就是π/6 特殊值就不用表示后面的 arcsin 表示角度就直接表示出来就可以了，像你出的就不是特殊值，所以就表示为 α=-arcsin5/6因为你出的是-5/6 为第四象限角，所以为负的π是特殊角，直接表示就可以了，不用加arccossinπ=0 co...
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反三角函数主要是三个：　　y=arcsin(x)，定义域[-1，1] ，值域[-π/2,π/2]　　y=arccos(x)，定义域[-1，1] ， 值域[0，π]　　y=arctan(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)　　y=arccot(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(0，π)　　sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域 [-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx　　证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得　　其他几个用类似方法可得　　cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x　　tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx反三角函数其他公式　　cos(arcsinx)=√（1-x^2）　　arcsin(-x)=-arcsinx　　arccos(-x)=π-arccosx　　arctan(-x)=-arctanx　　arccot(-x)=π-arccotx　　arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx　　sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x　　当 x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x　　x∈[0，π]， arccos(cosx)=x　　x∈(-π/2，π/2)， arctan(tanx)=x　　x∈(0，π)， arccot(cotx)=x　　x&0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似　　若 (arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，则 arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))
cos(arccos x)=x arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x arctan(-x)=-arctanx arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
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出门在外也不愁两角和与差的三角函数公式的证明
利用单位圆方法证明 sin+ +
sin+=sincos
sin+=CFsin=ABcos=OB
sin=CDcos=OD
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平面几何的证明方法：如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示
（非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不可言！）
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附：如何证明托勒密定理？
(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
　　从这个定理可以推出、的和差公式及一系列的三角，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．（具体的推导方法详见数学目录下的博文，来自网友的提供！）
思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。
证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；
在ΔABE和ΔACD中，
∠BAE=∠DAC；
∠ABE=∠ACD；
△ABE∽△ACD；
AB·DC=BE·AC&&&&
∠BAE=∠DAC；
∠DAE=∠CAB；
在ΔADE和ΔACB中，
∠ADE=∠ACB；
∠DAE=∠CAB；
△ADE∽△ACB；
AD·BC=DE·AC&&&&
∴& ①+②得：
AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。
结论：该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的，叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD这样的等积式时，如果等式左边可以合二为一，则考虑证一对三角形相似，否则，在AC、BD的其中一条线段上找到一个分点，构造两个三角形相似。”
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是数学中属于中的的一类。它们的本质是任何角的与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角是在中定义的其为整个域。另一种定义是在中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的和的解，将其定义扩展到复数系。三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。外文名trigonometric function别&&&&称三角函数公式提出者印度数学家应用学科数学、物理、地理、天文等适用领域范围几何，代数变换
　锐角三角函数任意角三角函数图形　　直角三角形
任意角三角函数
（tan或tg）
（cot或ctg）
表格参考资料来源：现代汉语词典[1]。倒数关系： ； ； ．
商的关系： ； ．
平方关系： ； ； ．sin30°=1/2　　sin37°=0.6　　sin45°=√2/2　　sin60°=√3/2　　sin15°=（√6-√2）/4　　sin75°=（√6+√2）/4　　cos30°=√3/2　　cos37°=0.8　　cos45°=√2/2　　cos60°=1/2　　cos15°=（√6+√2）/4　　cos75°=√6-√2)/4tan30°=√3/3　　tan37°=3/4　　tan45°=1　　tan60°=√3[2]　　tan15°=2-√3　　tan75°=2+√3　　cot30°=√3　　cot37°=4/3　　cot45°=1　　　cot60°=√3/3　　　　　　　sin18°=(√5-1)/4　　　　　这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设α为任意角，π+α与α的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角－α与α的三角函数值之间的关系：
公式四：π－α与α的之间的关系：
公式五：2π－α与α的三角函数值之间的关系：
公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα　　cos（π/2+α）= -sinα　　tan（π/2+α）= -cotα　　cot（π/2+α）= -tanα　　sin（π/2-α）= cosα　　cos（π/2-α）= sinα　　tan（π/2-α）= cotα　　cot（π/2-α）= tanα　　sin（3π/2+α）= -cosα　　cos（3π/2+α）= sinα　　tan（3π/2+α）= -cotα　cot（3π/2+α）= -tanα　sin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinα　tan（3π/2-α）= cotα　cot（3π/2-α）= tanα,一般不用　　诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。[3]　　
证明正弦、余弦的和差角公式证明正切的和差角公式
证明如图，负号的情况只需要用-β代替β即可。
cot (α+β )推导只需把角α对边设为1，过程与tan (α+β)相同。
口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩　正减正，余在前，余减余，负正弦
sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]二倍角
三倍角公式推导
sin（3a)→3sina-4sin^3a
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a→4cos^3a-3cosa
=cos（2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a→4sinasin（60°+a)sin（60°-a)
=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a)
=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[（60+a)/2]cos[（60°-a)/2]*2sin[（60°-a)/2]cos[（60°+a)/2]
=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)
cos3a→4cosacos（60°-a)cos（60°+a)
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4）
=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[(a+30°）/2]cos[(a-30°）/2]*{-2sin[(a+30°）/2]sin[(a-30°）/2]}
=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)]
=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]
=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)
tan3a→tanatan（60°-a)tan（60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)
sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）
cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）
tan3α=tan（α）*(-3+tan（α）^2）/(-1+3*tan（α）^2）=tan a · tan（π/3+a）· tan（π/3-a)
其他多倍角
sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2））
cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA^4-16*cosA^2+1）
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）
sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））
cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）
sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1））
cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））
tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）
sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））
cos10A = ((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））
tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）
根据，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ）
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos(nθ）+ i sin(nθ） = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n- 4）*(i s)^4 + ... …+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …=&；比较两边的实部与虚部
实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ... …i*
虚部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …
对所有的自然数n：
⒈cos(nθ）：
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。
⒉sin(nθ）：
⑴当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sinθ）表示。
⑵当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉。
例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）
（正负由 所在的象限决定）
y=sinx---y'=cosx
y=cosx---y'=-sinx
y=tanx---y'=1/cos?x =sec?x
y=cotx---y'= -1/sin?x= - csc?x
y=secx---y'=secxtanx
y=cscx---y'=-cscxcotx
y=arcsinx---y'=1/√(1-x²)
y=arccosx---y'= -1/√(1-x²)
y=arctanx---y'=1/(1+x²)
y=arccotx---y'= -1/(1+x²)
备注：此处&sup2 是对前式进行平方：x&sup2 也即 x?注:该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等
asin α+bcos α=√(a^2+b^2)sin(α+φ)，其中tan φ=b/a
若在同一个三角形中：
asinA+bcosB=（根号下a方+b方）×（（（根号下a方+b方）分之a×sinA）+（根号下（a方+b方）分之b×cosB）） ）
因为在一个三角形内
有根号下a方+b方分之a=cosC
则根号下a方+b方分之b=sinC
asinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方×sin(A+C)正弦定理(1)：在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
其中，R为△ABC的外接圆的半径。
正弦定理（2）：在△ABC中，S= 1/2 a*b*sinC= 1/2 b*c*sinA= 1/2 a*c*sinB
其中，S为△ABC的面积。余弦定理：在△ABC中，
a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB
c^2=b^2+a^2-2ab·cosC
cosA=c^2+b^2-a^2/2bc
cosB=a^2+c^2-b^2/2ac
cosC=a^2+b^2-c^2/2ab（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）
证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做， 用字母i表示，
即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水的记作
a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.（注：该处应为i=h/l=1/2tan a）
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