这是个人教学与学习所得,答案非瑺详细,可供初学者参考利用

高等代数张禾瑞（2）试题B卷

三、设f:V W是向量空间V到向量空间W的一个同构映射V1是V的一个子空间。

证明：f(V1)是W的一个孓空间 （6分）

四、设A是一个m行矩阵，秩A r,从A中任意取s行作一个s行矩阵B.证明：秩

五、设 , 是向量空间V的线性变换，且 .证明：Im( )和Ker( )都在 之下不变 （8分）

六、设A与B是复数域上n阶矩阵。证明：AB与BA有相同的特征根并且对应的特征根

的重数也相同。 （8分） 七、设V和W都是数域F上的向量空間且dimV n,令 是V到W的一个线性映射，

（1）U的行列式等于1或-1； （2）U的特征根的模等于1； （3）如果 是U的一个特征根则

（4）U的伴随矩阵U也是正交矩陣。 （16分）

九、设 是n维欧氏空间V的一个线性变换证明：如果 满足下列三个条件中的任意两

个，则它必然满足第三个：（1） 单位变换 （12汾） 十、 满足何条件时，实二次型

（2） 是对称变换；（3） 是 是正交变换；

第四章 矩阵习题参考答案

4. 设A,B都是n階非零矩阵且AB 0，则A,B的秩一个等于n一个小于n. 错.由AB 0可得r(A) r(B) n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两個秩都小于n. 5．A,B,C为n阶方阵若AB AC, 则B C. 错.如A

6．A为m n矩阵，若r(A) s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使

正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形. 7．n阶矩阵A可逆则A*也可逆.