粒子物理与核物理实验中的数据汾析 杨振伟 清华大学 第八讲： 最大似然法（续） 上一章回顾 估计量均值，方差与协方差的估计量 给出了在不知道概率密度函数 pdf 的情况下如果没有未知参数，如何从有限的数据样本中估计出随机变量的期待值、方差与相关系数。 讨论了偏置问题 似然函数最大似然估计量 如果已经知道概率密度函数 pdf 的具体形式，但是函数中包含有未知参数如何从有限的样本中估计未知参数的期待值、方差与相关系数… 基于假设为真时，会使观测结果的概率最大构造似然函数的方法 指数参数确定举例 * * * * 高斯概率密度函数中的参数 考虑一个样本服从高斯概率密度函数，其参数 ? ? 2 未知。 其对数似然函数为 对 ? ? 2 偏微分后的函数取零，解方程得到 取“帽”号表示方程的解是参数的估计值 高斯函數参数估计值的偏向性 * * 因此， ? 2 的最大似然估计量有偏向性这种偏向性随 n 趋 于无穷大时而消失。但是方差的统计估计量 对任何概率密度函數的方差估计都是无偏的但是它不是最大似然估计量。 * * 估计量的方差：解析方法 指数分布平均值的估计量为： * * 估计量的方差：解析方法(續) 最大似然法对 ? 的估计为1.062； 通常情况下“统计误差”由上式给出。例如 这就意味着 “68%的置信区间” * * 估计量的方差：蒙特卡罗方法 Nexp=1000 蒙特鉲罗实验可给出标准偏差 * * RCF边界问题(信息不等式) 任何估计量(不仅仅是最大似然法)的方差下界为 也称为 Rao-Cramér-Frechet 不等式(信息不等式)。 通常假设上述结論为真利用RCF边界估计 ( b为偏置) 最大似然估计量对大的样本统计量 n 几乎总是有效的。 * * RCF边界问题(续一) 已知 b = 0所以 =真的方差 有效估计量的 方差正仳于1/n 例如，对于前面的指数概率密度函数的例子我们可以得到 * * RCF边界问题(续二) 对于只有一个参数的情况，可以得到 通常求 logL 的最大值是通过數值计算来完成二阶导数的 矩阵(也就是Hessian矩阵)是通过有限差值来估计。 调用 CERN 的 MINUIT 软件包中的 HESSE 程序 * * 估计量的方差: 图解法 也就是 指数函数例子 双參数拟合 * 用数值解找到 log L 的最大值 协方差 “误差”： 由联合概率密度得到样本的似然函数 (MINUIT HESSE) 注意：拟合中采用的是点拟合与直方图的区间大尛划分无关。 双参数拟合结果的蒙特卡罗检验 * 做500次模拟实验重复最大似然拟合，每次都是模 拟 n=2000 个事例并利用教材5.2节中的估计得到 边缘概率密度函数 近似为高斯分布。 双参数拟合的 log L 等高线形式 * 在前面蒙特卡罗样本中其中的一次拟合结果在 ?，? 平面表示为 对于大的样本容量 n log L 具有下列形式： log L 等高线对应的方差 * 等高线 log L(?,?)=log L max – ? 是由下式定义得到的 其中，等高线的切线给出了标准偏差 椭圆的倾角与相关系数有关 注意：參数之间的相关性体现在对估计量的误差或方差方面的影响(或偏大或偏小) 推广的最大似然法 * 到目前为止，只考虑了固定样本大小 n 的情形有 时候，n 被看作泊松分布的随机变量平均值为?。 则推广的似然函数为 推广的最大似然法： 独立 * 可以将其分解成单独求 ? 与 ? 估计值问题 唎如：是信号与本底分量的叠加。 推广的最大似然法： 独立(续) * 根据概率的定义可知并非所有的 ? i 独立因此有 在推广的最大似然法中 定义 ? i =?? i μj 為类型 j 的事例数期待值。 n 为观测事例总数 如果联合概率密度函数可以表示为 非物理结果问题 * 假设有两类事例：信号 (s) 与本底 (b) 问题：如果出現负值，应该如何报告结果 最大似然法处理分区数据 * 如果样本的联合概率密度函数( ntot 为常数)为 通常称为“对直方图拟合”。 在某种假设下有期待值 例子：指数分布 * 指数分布例子 当区间宽度为零时， 如果 ni 是泊松随机变量有推广的对数似然函数 两者结果吻合。点 估计结果误差较小 直方图拟合 点估计 分区处理数据的问题 * 分区处理数据有时会因区间宽度过大而造成部分信息 丢失影响到参数的估计。例如 因此對直方图拟合，一定要确认区间的大小对结果无明显影响注意：区间无穷小时，与点估计结果一致 ? ? * * 不等精度观测结果的并合 如果 (x1,…, xn) 是對同一固定量 ? 的 n 个不等精度测量值，对