第 1 页高等数学试题复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要（一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) = + (2) = .y216x?sinly)12arcsin(312???xx解 (1) 由所给函数知,要使函数 有定义，必须满足两种情況偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组并求出联立不等式组的解.即 ??????,0sin162x推得 ??????????2,10π)2(π4nxn这两个不等式的公共解为 与4??0所以函数的定义域为 .),[U,((2) 由所给函数知，要使函数有定义必须分母不为零且偶次根式嘚被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即推得????????,1203,x??????,403x即 , ．215lim????x解 : 原式= ． （抓大头）51li???xx（8） . lim21??x解：因为 而 求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为0)(li?x 0)1(lim2???x，所鉯当 时 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量即 ．1li2??x 12? ?????1lim2x（9） ．3sinlmx??第 3 页解：不能直接运用极限运算法则，因为当 时分子极限不存在，但 是有界函数即x???sinx而 ，因此当 时 为无穷小量.根据有界函数与无sin1x?01limli33???????xxx 31x?穷小乘积仍为无穷小定理，即嘚 .3sinlx??（10） ．203coslimxx??解：分子先用和差化积公式变形然后再用重要极限公式求极限原式= = ． （也可用洛必达法则）20inlix 41)2sin4(lmsil0 ???xx（4）所求极限为 型，得??（ 型）nxnx 100limlli??????= =10li??nx .01limli010??????nxxn（5）此极限为 型用洛必达法则，得?不存在因此洛必达法则失效！1sinlicoslimxxxx ???????但 .0cosli1licoslim????????xxxx6.求下列函数的极限：（1） ， （2） 当 为何值时 在 的极限存在.4li2??x????????,1sin2xaf ,0??a)(xf0?第 5 页解： (1) ,41)2(lim42li ???????xxx,)(2lilim2???xx因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点 处两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点 处的左极限与右極0? 0?x限．于是有，axaxxf xx ???????? ??0000 0000 ???? ??xfxf xxx而 即,?f)(li)(li00 ??? fffxx由函数在一点连续的充要条件知 在 处连续．x08. 求函数 的间断点，並判断其类型：xf)1()2??解：由初等函数在其定义区间上连续知 的间断点为 .)(xf 1,0?x而 在 处无定义故 为其可去间断点.2lim)(li11???xfxQ1?又 为 的无穷间断点.?x0?0 x)(f综上得 为 的可去间断点, 为 的无穷间断点.)(f x（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线 = 处处有切线，则 = 必处处可导.y)(xfy)(xf第 6 页答：命题错