求第8小题高等数学试题
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高等数学课后习题及参考答案（第八章）
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亲，第1题的(4)小题和第2小题怎么做
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高等数学(上册)第8章习题答案
第七章空间解析几何与向量代数内容概要名 称 向 量 及 线 性 运 算 主要性质：（1） a 单位化向量为 向量与数的乘法 向量的加减法 三角形法则 平行四边形法则 主要内容（7-1，7-2，7-3）?a ：当 ? ? 0 时， ?a 表示和 a 同向， ?a ? ? a 的向量； 当 ? ? 0 ， ?a 表示和 a 反向， ?a ? ? a 的向量；a a，（2） a//b ? a? ?b向 量 的 坐 标M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) 的距离： ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2向量的代数运算a ? ax i ? a y j ? az k b ? bx i ? by j ? bz ka ? b ? (ax ? bx )i ? (ay ? by ) j ? (az ? bz )k?a ? ?ax i ? ?a y j ? ?az k2 2 2 a ? ax ? ay ? az ， cos? ?向量 a 的模、方向余弦：ax b a , cos ? ? x , cos? ? z a a a向量 a 在μ 轴上的投影： Pr j μ a ? a cos(a, μ) ?定义及运算： a ? b ? 主要性质： （1 ） a ? a??a? μ μ数 量 积 向 量 积 混 合 积数量积a b cos(a, b) ? ax bx ? a y by ? az bz?a2； （2 ） a? b ? a?b ? 0， （3） cos(a, b) ?运算?a?b ab向量积定义a ? b 的模为 a ? b ? a b sin(a, b) ，方向为 a 指向 b 大拇指方向?i a ? b ? ax bxj ay byk az bz性质：（1） a ? b 表示以 a 、 b 为邻边的平行四边形面积； （2 ） a ? b ? a , a ? b ? b 混合积ax 定义及运算： (a ? b) ? c ? bx cx性质：（1） (a ? b) ? cay by cyaz bz cz? (b ? c) ? a ? (c ? a) ? b ?0（2） a, b, c 共面的充要条件： (a ? b) ? c 习题 7-1★★1．填空：（1） （2）★2．设要使 要使a ? b ? a ? b 成立，向量 a , b 应满足 a ? b a ? b ? a ? b 成立，向量 a , b 应满足 a // b，且同向u ? a ? b ? 2c , v ? ?a ? 3b ? c ，试用 a , b , c 表示向量 2u ? 3v知识点：向量的线性运算 解： 2u ? 3v ? 2a ? 2b ? 4c ? 3a ? 9b ? 3c ? 5a ? 11b ? 7c★3．设P , Q 两点的向径分别为 r1 , r2 ，点 R 在线段 PQ 上，且PR m ? ，证明点 R 的向径为 RQ nr ?n r1 ? m r2 m?n知识点：向量的线性运算 证明：在 ?OPQ 中，根据三角形法则 OQ ? OP ? PQ ，又 PR ?∴ OR ? OP ? PR ? r1m m PQ ? (r ? r ) ， m?n m?n 2 1?nr ? mr2 m (r2 ? r1 ) ? 1 m?n m?n★★4．已知菱形ABCD的对角线 AC ? a , BD ? b ，试用向量 a , b 表示 AB , BC , CD , DA。知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则，∴AB ? BC ? AC ? a , AD ? AB ? BD ? b ，又 ABCD为菱形，AD ? BC （自由向量），a ?b b ?a ? CD ? ?DC ? ? AB ? 2 2 a?b a ?b ∴ AD ? BC ? ， DA ? ? 2 2∴ 2 AB ?AC ? BD ? a ? b ? AB ?★★5．把?ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D1 , D2 , D3 , D4 ，再把各分点与点 A 连接，试以AB ? c , BC ? a 表示向量 D1 A , D2 A , D3 A 和 D4 A 。知识点：向量的线性运算 解：见图 7-1-5， AcaD1BCD2D3D4图 7-1-51 1 AB ? BD1 ? AD1 , BD1 ? BC ? D1 A ? ? AD1 ? ?(c ? a) 5 5 2 3 4 同理： D2 A ? ?((c ? a), D3 A ? ?(c ? a), D4 A ? ?(c ? a) 5 5 5根据三角形法则，习题 7-2★1 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(2 , ? 2 , 3) ；答：B(3 , 3 , ? 5) ； C(3 , ? 2 , ? 4) ；D(?4 , ? 3 , 2)A(2 , ? 2 , 3) 在 第 四 卦 限 ， B(3 , 3 , ? 5) 在 第 五 卦 限 ， C(3 , ? 2 , ? 4) 在 第 八 卦 限 ，D(?4 , ? 3 , 2) 在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A (2,3,0);B (0,3,2);C(2,0,0);D (0,?2,0)知识点：空间直角坐标 答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点A 在 xoy 坐标面上； B 在 yoz 坐标面上； C 在 x 轴上； D 在 y 轴上。(a,b,c)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。★3．求点答：（1）(a,b,c)关于 xoy 面的对称点的坐标为 (a, b,?c) ；关于 xoz 面的对称点的坐标为 (a,?b, c) ；关于 yoz 面的对称点的坐标为 (?a, b, c) 。 （2）(a,b,c)关于 x 轴的对称点的坐标为 (a,?b,?c) ；关于 y 轴的对称点的坐标为 (?a, b,?c) ； 关于 z 轴的对称点的坐标为 (?a,?b, c) （3）(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为 (?a,?b,?c)★★4．过点P (x , y0 ,z0 )分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xoy 坐标面的平面，问在它们上面的点的坐 0 0 标各有什么特点？答：过点 P (x , y0 ,z0 )平行于 z 轴的直线上的点 x、y 坐标一定为 x0 , y0 ，因此坐标为(x0 , y0 ,z)； 0 0过点 P (x , y0 ,z0 )平行于 xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为 z0 ，因此坐标为(x, y,z0 ) 0 0★5．求点M(5,?3,4)到各坐标轴的距离。解：∵ M ( x, y, z) 到 x 轴的距离为∴ M(5,?3,4)到 x 轴的距离为 同理 M(5,?3,4)到 y 轴的距离为z2 ? y2z 2 ? y 2 ? 9 ? 16 ? 5 ；x 2 ? z 2 ? 25 ? 16 ? 41 ；M(5,?3,4)到 z 轴的距离为 x 2 ? y 2 ? 25 ? 9 ? 34★★6．在 yoz 面上，求与三点A (3,1,2),B (4,?2,?2),C(0,5,1)等距离的点。知识点：空间两点的距离 解：∵所求点在 yoz 面上，∴设所求点的坐标为 (0, y, z) ，由条件可知：9 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 16 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( z ? 1) 2?3 y ? 4z ? ?5 ? y ? 1 ?? ?? ，∴所求点为 (0,1,?2) ? 4y ? z ? 6 ?z ? ?2★7．已知两点M1(0,1,2),M2(1,?1,0)，试用坐标表示式表示向量 M1M2 ,?2M1M2 。知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算 解： M 1 M 2? {1,?2 , ? 2} ； ? 2M1M 2 ? ?2{1,?2 , ? 2} ? {?2, 4, 4}a ? {6,7,?6}的单位向量 ? {6,7,?6}的单位向量有和 a 同向和反向两个，★8．求平行于向量知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：平行于向量 a∴a0??a 1 6 7 6 ?? {6,7,?6} ? ?{ , , ? } a 11 11 11 36 ? 49 ? 36★★9．已知两点M1(4, 2,1),M2(3,0,2)，计算向量 M1M2 的模、方向余弦、方向角。知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：M1M 2 ? {?1 , ? 2 , 1} ? M1M 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 , cos? ??1 ? 2 , cos ? ? 2 2 cos? ?1 2? 3? ? ?? ? ,? ? ,? ? 2 3 4 3★★10．已知向量a 的模为 3，且其方向角 ? ? ? ? 60 ,? ? 45 ，求向量 a 。知识点：向量的坐标表示及相关概念 解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：? ? ? 3 3 2 3 a ? a {cos? , cos ? , cos? } ? 3{cos , cos , cos } ? { , , } 3 4 3 2 2 2★★11．设向量a 的方向余弦分别满足(1)cos ? ? 0, (2)cos ? ? 1, (3)cos ? ? cos ? ? 0问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？知识点：向量的方向余弦 解：（1） cos?（2） cos ? （3） cos? 于z轴★12．已知? 0 表示向量和 x 轴正向夹角为?2，因此该向量和 x 轴垂直，或平行于 yoz 面? 1表示向量和 y 轴正向夹角为零，因此该向量和 y 轴平行且方向相同 ? cos ? ? 0 表示向量和 x、y 轴正向夹角都为?2，说明该向量和 x、y 轴都垂直，因此平行r ? 4,r 与轴 ? 的夹角是 60?，求 Pr j? r 。知识点：向量在轴上的投影 解：根据投影公式 Pr j? r★★13．一向量的终点为? r cos(r, μ) ? 2B (2,?1,7)，它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4,?4,7 ，求该向量的起点A 的坐标。知识点：向量在坐标轴上的投影 解：∵向量的坐标分量即为它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影，设起点 A 为 A( x, y, z) ，则：AB ? {2 ? x, ? 1 ? y, 7 ? z} ? {4, ? 4, 7} ? ( x, y, z) ? (?2, 3, 0)★★14．求与向量a ? {16,?15,12}平行，方向相反，且长度为 75 的向量 b 。知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：由条件可得： b? ?a ， b 长度为 75，∴ ? ? 162 ? 152 ? 122 ? 75 ? ? ? ?3∵ b 和 a 反向，∴ ?? ?3 ? b ? ?a = {?48,45, ?36} ，习题 7-3★★1．设a ? 3 , b ? 5 ，且两向量的夹角 ? ? ? / 3 ，试求 (a ? 2b) ? (3a ? 2b) 。 知识点：向量的数量积及其运算规律 解：根据数量积的运算规律： (a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 3 a2? 2a ? b ? 6b ? a ? 4 b2? 3 a ? 4a ? b ? 4 b★★2．已知22，∵ a ? b ?a b cos(a ? b) ??15 ? (a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? ?103 2M1 (1,?1, 2), M 2 (3,3,1), M 3 (3,1,3)，求同时与 M1M 2 , M 2 M3 垂直的单位向量知识点：向量的向量积 解：∵由向量积性质： a ? b ? a, a ? b ? b ， M1M 2? {2,4,?1} , M 2 M3 ? {0,?2, 2}i j k 4 ? 1 ? 6i ? 4 j ? 4k 为同时与 M1M 2 , M 2 M3 垂直的向量 ∴ M1M 2 ? M 2 M 3 ? 2 0 ?2 2∴所求单位向量为 ?1 32 ? 22 ? 22{3,?2, ? 2} ? ?{3 2 2 ,? ,? } 17 17 17★3．设力f ? 2i ? 3 j ? 5k 作用在一质点上，质点由 M1 (1,1,2)沿直线移动到 M 2 (3,4,5)，求此力所做的功（设力的单位为 N，位移的单位为 m）知识点：数量积的物理意义 解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为 M 1 M 2 ? {2,3,3 }，∴W? f ? M1M 2 ? (2i ? 3 j ? 5k) ? (2i ? 3 j ? 3k) ? 10( N ? m)a ? {4,?3,4) 在向量 b ? {2,2,1}上的投影。★4．求向量知识点：向量在轴上的投影 解：根据公式 Pr jb a ?a cos(a, b) ? a?a?b a?b ? ? 2。 a?b b★★5．设a ? {3,5,?2} , b ? {2,1,4}，问 ? 与 ? 有怎样的关系能使 ?a ? ?b 与 z 轴垂直？知识点：两向量垂直的充要条件 解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取 z 轴的单位向量 {0,0,1) ，则(?a ? ?b) ?{0,0,1} ? ?2? ? 4? ? 0 ? ? ? 2?★★★6． 在杠杆上支点O 的一侧与点 O 的距离为 x1 的点 P 有一与 OP 在O 1 成角 ?1 的力 F1 作用着， 1 处，的另一侧与点 O 的距离为 x2 的点 P 2 成角 ? 2 的力 F2 作用着，如图，问 ?1 ， ? 2 ， x1 ， 2 处，有一与 OPx2 ， F1，F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ F2?2F1 x2x1?1o图 7-3-6知识点：向量积的物理应用 解： P 1 处 F1 作用产生的力矩 M 1杆平衡，只要★★7．设? OP 1 ? F1 ， P 2 ? F2 ，要使杠 2 处 F2 作用产生的力矩 M 2 ? OPM1 ? M 2 ? x1 F1 sin ?1 ? x2 F2 sin ? 2a ? 2i ? 3 j ? k , b ? i ? j ? 3k , c ? i ? 2 j ，求（2） (a ? b) ? (b ? c) ； （3） (a ? b) ? c（1） (a ? b)c ? (a ? c)b ；知识点：向量运算的坐标表示 解（1） (a ? b)c ? (a ? c)b ? 8c ? 8b ? {0 , ? 8, ? 24}i j k （2） (a ? b) ? (b ? c) ? {3,?4, 4} ? {2,?3, 3} ? 3 ? 4 4 ? ? j ? k 2 ?3 3 i j k 1,?2, 0} ? 2 （3） (a ? b) ? c ? ( 2 ? 3 1 ) ? c ? {?8, ? 5, 1}? { 1 ?1 3★★★8．直线L 通过点 A(?2,1,3)和 B(0,?1,2)求点 C(10,5,10)到直线 L 的距离。知识点：向量积 思路：在 A, B, C 为顶点组成的三角形中， AB 边上的高即为所求距离。 解：设所求的距离值为 h ，1 AB ? 3 ，又根据向量积的性质： S ? AB ? AC ?ABC 2i j k AB ? AC ? 2 ? 2 ? 1 ? ?10i ? 26 j ? 32k ? AB ? AC ? 30 2 12 4 7 ? S ?ABC ? 1 1 AB ? AC ? ? 3h ? h ? 10 2 2 2 ★★★★9．试证向量ab ? ba a?b表示向量 a 与 b 夹角的平分角线向量的方向。思路：按题意，只要证该向量在 a 方向上的投影和它在 b 方向上的投影相同。 解：设 c ?ab ? ba a?b， Pr ja c?ba?a ab?a ba a?c b?a ? ? ? ? , a a(a ? b) a(a ? b) a ? b a ? b而 Pr jbc ?b b?a a b?b ba b?c b?a ? ? ? ? ? Pr jac b b(a ? b) b(a ? b) a ? b a ? b又c?ab ? ba b ? ka ? (1 ? k )b , (k ? ) ∴ c 和 a 、 b 在同一平面上， a?b a?b∴ c 表示向量 a 与 b 夹角的平分角线向量的方向★★10．设m ? 2a ? b , n ? ka ? b ，其中 a ? 1 , b ? 2 ，且 a ? b 。? n？知识点：向量的数量积、向量积及其性质（1） k 为何值时， m解： m ? n ? m ? n ? 0 ，由 m ? n ? 0 ? (2a ? b ) ? (ka ? b) ? 2k ? (2 ? k )a ? b ? 4 ? 0? b ，∴ a ? b ? 0 ? k ? ?2 （2） k 为何值时， m 与 n 为邻边的平行四边形面积为 6。∵a解： m 与 n 为邻边的平行四边形面积 S∵a? m ? n ? (2a ? b ) ? (ka ? b) ? (2 ? k )a ? b? b ，∴ a ? b ? a b ? 2 ? S ? 2 2 ? k ? 6 ? k ? ?1 或 k ? 5★★★11．设a, b, c 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但 a ? b 与 c 共线， c ? b 与 a 共线，试证a?b?c ?0 。证明：∵ a ? b 与 c 共线， c ? b 与 a 共线，∴可设 ?1 (a ? b) ? c, c ? b ? ?2a , (?1代入可推得 ? (?2 零向量，可得：? 0, ?2 ? 0)? ?1 )a ? (1 ? ?1 )b ，又∵其中任意两个向量不共线，则由 a, b 不共线且为非?2 ? ?1 ? 1 ? ?1 ? 0 ? ?2 ? ?1 ? ?1 ? a ? b ? c ? 0★★★12．试证向量a ? ?i ? 3 j ? 2k , b ? 2i ? 3 j ? 4k , c ? ?3i ? 12 j ? 6k 在同一平面上，并沿a 和 b 分解 c 。知识点：向量的混合积及其几何意义 解：根据向量混合积的几何意义： a, b, c 共面 ?(a ? b) ? c ? 0 ， ?1 3 2 ? 3 ? 4 ? ?30 ? 3 ? 0 ? 2 ?15 ? 0 ，∴ a, b, c 共面 又 (a ? b) ? c ? 2 ? 3 12 6设 c = ?1a ? ?2 b ，将 a, b, c 代入 ? 2?2? ?1 ? ?3, 3(?1 ? ?2 ) ? 12, 2?1 ? 4?2 ? 6? ?1 ? 5, ?2 ? 1 ? c ? 5a ? b★★★13．设点A, B, C 的向径分别为 r1 ? 2i ? 4 j ? k , r2 ? 3i ? 7 j ? 5k , r3 ? 4i ? 10 j ? 9k ，试证：A, B, C 三点在一直线上。思路：只要证：向量 AB 和 AC 平行 证明： AB ? OB ? OA ? {3,7,5} ?{2,4,1} ? {1,3,4} ；AC ? OC ? OA ? {4,10,9} ?{2,4,1} ? {2,6,8}∵AC ? 2AB ? AB / / ACa ? {a1 , a2 , a3 } , b ? {b1 , b2 , b3 } , c ? {c1 , c2 , c3 } ，试利用行列式的性质证明：★★★14．已知(a ? b) ? c ? (b ? c) ? a ? (c ? a) ? ba1 a2 a3 证明： (a ? b) ? c ? b1 b2 b3 c1 c2 c3 b1 b2 c1 c2 a1 a2 b3 c3 a3，b1 b2 b3 (b ? c) ? a ? c1 c2 c3 a1 a2 a3 a3 b3 c3，而行列式a1 a2 是行列式 b1 b2 c1 c2交换两次两行得到，∴ (a ? b) ? c ∴ (a ? b) ? c? (b ? c) ? a 。同理可证： (b ? c) ? a ? (c ? a) ? b ， ? (b ? c) ? a ? (c ? a) ? b★★★15．试用向量证明不等式：a12 ? a2 2 ? a3 2 ? b12 ? b2 2 ? b3 2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3? {a1 , a2 , a3 } 的模；。思路：a12 ? a2 2 ? a3 2 b12 ? b2 2 ? b3 2可看作向量 a是向量 b? {b1 , b2 , b3 }的模，而 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 是 a ? b 的值。证明：设 a ? {a1 , a2 , a3 } ， b ? {b1 , b2 , b3 }，则a ? a12 ? a2 2 ? a3 2 , b ? b12 ? b2 2 ? b3 2 ∵a?b ? 即：a b cos(a ? b) ? a b ? a ? b?a12 ? a2 2 ? a3 2 ? b12 ? b2 2 ? b3 2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3内容概要主要内容（7-4，7-5，7-8） 旋转曲面 xoy 面上曲线f ( x, y) ? 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面方程： f ( x,? y 2 ? z 2 ? 0 f ( y, z) ? 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程： f (? x 2 ? y 2 , z) ? 0 f ( x, z) ? 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程： f (? x 2 ? y 2 , z) ? 02yoz 面上曲线xoz 面上曲线 常见旋转曲面 （1 ）圆锥面： z? a 2 ( x 2 ? y 2 ) （yoz 面上曲线 z ? y 绕 z 轴旋转而成）（2 ） 曲 面 及 其 方 程 柱面x2 ? y2 z 2 旋转单叶双曲面： ? 2 ? 1（zox a2 c轴旋转而成）x2 z 2 面上的曲线 2 ? 2 ? 1 绕 a cz? f ( x, y) ? 0 母线平行于 z 轴的柱面 f ( x, y) ? 0 表示准线为： ? ? z?0 ? f ( y, z) ? 0 母线平行于 x 轴的柱面 f ( y, z) ? 0 表示准线为： ? ? x?0 ? f ( x, z) ? 0 母线平行于 y 轴的柱面 f ( x, z) ? 0 表示准线为： ? ? y?0柱面方程特点：缺少某个变量常见柱面（1）抛物柱面：y 2 ? ax ? b 表示母线平行于 z 轴的抛物柱面（2）椭圆柱面：x2 z 2 ? ? 1表示母线平行于 y 轴的椭圆柱面 a 2 b2 y2 z2 ? ? 1表示母线平行于 x 轴的双曲柱面 a 2 b2（3）双曲柱面：二次曲面 空 间 曲 线椭球面、抛物面、双曲面L 的一般方程?F ( x, y, z) ? 0 ? ?G( x, y, z) ? 0L 的参数方程x ? ?(t ) , y ? ? (t ) , z ? ?(t ) 及 其 方 程L 在坐标面上的投影消去 L 方程中的变量 z 得到的 H ( x, y)? 0 即为 L 在 xoy 面上的投影柱面，?H ( x, y) ? 0 就是 L 在 xoy 面上的投影曲线（以此类推） ? ? z?0O(1,?2, 2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程。习题 7-4★1．求以点知识点：空间两点的距离 解：设球面上点的坐标为 ( x, y, z) ，则根据两点距离公式： ( x ? 1)∵原点在球面上， ∴R2? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2 ? R 2 ，? 12 ? (?2) 2 ? 22 ? 3, ∴球面方程：( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 9 。★2．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求该动点的轨迹方程。解：设动点的坐标为（ x, y, z ），则根据等距离的条件：( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( z ? 6) 2∴动点的轨迹方程为： 4x ? 4 y ? 10z ? 63 ? 0★3．方程x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2x ? 4 y ? 4z ? 7 ? 0 表示什么曲面？2解：方程可化为： ( x ? 1)为 4 的球面。? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 16 ∴该方程表达的是以 (1,?2, 2) 为球心、半径★★4．将 xoz 坐标面上的抛物线z 2 ? 5x 绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。 ? 5x 是绕 x 轴旋转知识点：旋转曲面 解：∵xoz 坐标面上的抛物线 z∴旋转曲面方程为 (?2y 2 ? z 2 ) 2 ? 5x ? y 2 ? z 2 ? 5 x★★5．将 xoz 坐标面上的抛物线2x 2 ? z 2 ? 9 绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。 ? z 2 ? 9 是绕 z 轴旋转解：∵xoz 坐标面上的抛物线 x∴旋转曲面方程为 (?x2 ? y 2 )2 ? z 2 ? 9 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 9 。2★★6．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？（1） x ? 0 ；（2）y ? x ?1 ；（3） x? y2 ? 4 ；（4） x2? y2 ? 1答：（1） x ? 0 在平面解析几何中表示 y 轴，在空间解析几何中表示 yoz 坐标面（2） y 影为? x ? 1 在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z 轴，在 xoy 坐标面上投y ? x ? 1 的一个平面。 （3） x2? y 2 ? 4 在平面解析几何中表示 xoy 面上，原点为心、半径为 2 的圆线，在空间解析几何中表2示准线为 xoy 面上的圆线 x （4） x2? y 2 ? 4 ，母线平行于 z 轴的圆柱面。? y 2 ? 1 在平面解析几何中表示 xoy 面上的双曲线，在空间解析几何中表示准线为 xoy 面上的2双曲线 x? y 2 ? 1 ，母线平行于 z 轴的双曲柱面。★★7．说明下列旋转曲面是怎样形成的：x2 y 2 z 2 （1） ? ? ? 1； 4 9 9知识点：旋转曲面y2 （2） x ? ? z 2 ? 1； 42（3） x2? y 2 ? z 2 ? 1。x 2 (? y 2 ? z 2 ) 2 x2 y 2 z 2 ? 1 ，∴方程表达的是：xoy 坐标面上的 解：方程 ? ? ? 1可变化为 ? 4 9 4 9 9曲线x2 y2 ? ? 1 绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面 4 9x2 y 2 z 2 x2 z 2 注：方程 ? ? ? 1也可看作是：xoz 坐标面上的曲线 ? ? 1 绕 x 轴旋转一周所得的旋 4 9 9 4 9转曲面★★8．指出下列各方程表示哪种曲面：（1） x2? y 2 ? 2z ? 0 ；（2） x2? y2 ? 0 ；（3） x2? y2 ? 0（4）y ? 3z ? 0 ；2（5）y2 ? 4y ? 3 ? 0 ；（6）x2 y 2 ? ?1 9 162y2 （7） x ? ? 1； 9（2） x （3） x2（8） x2? 4y ；（9） z? x2 ? y2 ? 0答：（1）方程表达开口向着 z 轴正向的圆抛物面（或旋转抛物面）? y2 ? 0 ? x ? y 或 x ? ? y ，∴表达两个垂直于 xoy 面的平面： x ? y ； x ? ? y ? y2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ∴表示 z 轴2（4）平行于 x 轴且经过 yoz 面上的直线 （5）y ? 3z ? 0 的平面y ? 3 和 y ? 1这两个平行于 xoz 坐标面的平面（6）准线为 xoy 坐标面上的椭圆x2 y 2 ? ? 1 ，母线平行于 z 轴的椭圆柱面 9 16 （7）准线为 xoy 坐标面上的双曲线 x2y2 ? ? 1 ，母线平行于 z 轴的双曲柱面 9? 4 y ，母线平行于 z 轴的抛物柱面（8）准线为 xoy 坐标面上的抛物线 x （9）yoz 坐标面上的直线2y ? z 绕 z 轴旋转一周所得的圆锥面习题 7-5★★★1．画出下列曲线在第一象限内的图形：（1） ??x ? 2 ?y ? 4；（2） ?? ?z ? 9 ? x 2 ? y 2 ? x? y ?0 ?；（3） ? 2?x 2 ? y 2 ? a 2 2 2 ?x ? z ? a解（1）z42yx7-5-1-（1）（2）zz ? 9 ? x2 ? y 2y0x? yx7-5-1-（2） （3）z0xyx7-5-1-（3）★★2．方程组? y ? 5x ? 2 在平面几何与空间解析几何中各表示什么？ ? ? y ? 2x ? 5xoy 坐标面答：方程组 ?? y ? 5x ? 2 在平面几何中表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于 ? y ? 2x ? 5的两平面的交线。? x2 y 2 ? ? ? 1 在平面几何与空间解析几何中各表示什么？ ★★3．方程组 ? 4 9 ? ? x?2 ? x2 y 2 ? ? ? 1 在平面几何 中表 示一个点 （ 2 ， 0 ） ，在空 间 解析几何 中表示 椭圆 柱面 答 ：方程组 ? 4 9 ? ? x?2?x ? 2 x2 y 2 。 ? ? 1 和平面 x ? 2 的交线： ? 4 9 ?y ? 0★★4．求曲面x 2 ? 9 y 2 ? 10z 与 yoz 平面的交线。解：yoz 平面方程为 x ? 0 ，∴交线为 ?? x2 ? 9 y 2 ? 10z ?9 y 2 ? 10z ?? x?0 ? ? x?0 ?2x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 的柱面方程。 ? 2 2 2 ? x ?z ?y ?0★★5．分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线 知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线 解：要求过曲线 ??2x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 且母线平行于 x 轴的柱面方程，只要方程组消去变量 x 2 2 2 ? x ?z ?y ?02∴所求柱面方程为 3 y? z 2 ? 16?2x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 要求过曲线 ? 2 且母线平行于 y 轴的柱面方程，只要方程组消去变量 y 2 2 ? x ?z ?y ?0∴所求柱面方程为 3x2? 2z 2 ? 16在 xoy 面上的投影方程。★★6．求曲线x ? z ?1 ? ? 2 2 2 ?x ? y ? z ? 9 x ? z ?1 2 2 2 ?x ? y ? z ? 9 ?2知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线 解：要求曲线 ?在 xoy 面上的投影方程，只需方程组消去变量 z∴所求柱面方程为： x? y 2 ? (1 ? x) 2 ? 9 ? 2x 2 ? y 2 ? 2x ? 8在 xoz 面上的投影方程。★★7．求曲线y ? z ?1 ? 0 ? ? 2 2 ?x ? z ? 3 yz ? 2x ? 3z ? 3 ? 0 y ? z ?1 ? 0 ?x ? z ? 3 yz ? 2x ? 3z ? 3 ? 0 ?2 2解：要求曲线 ?在 xoz 面上的投影方程，只需方程组消去变量 y? x2 ? 4 z 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ∴所求投影方程为： ? y?0 ?★★★8．将曲线?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 9 ? y?x ?2化为参数方程。思路：若将 y ? x 代入 x线的参数式。? y 2 ? z 2 ? 9 ，可得 2x 2 ? z 2 ? 9 ，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲解：将 y ? x 代入 x2? y 2 ? z 2 ? 9 ，可得 2x 2 ? z 2 ? 9 ，该方程可用参数式表达为：? 3 2 cos? ?x ? 2 ? ? ?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 9 3 2 ? ?x ? 3 2 cos? cos? ，∴曲线 的参数式为 ? y ? ? ? 2 2 y ? x ? ? ? ? z ? 3 sin ? ? z ? 3 sin ? ? ? ★★★9．将曲线的一般方程?( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( z ? 1) 2 ? 4 ? z?0 ?化为参数方程。解：将 z ? 0 代入 ( x ?1)该圆方程的参数式为： ?2? y 2 ? ( z ?1)2 ? 4 ， ? 可得： ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 ，?x ? 1 ? 3 cos? ， ? y ? 3 sin ??( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( z ? 1) 2 ? 4 ∴曲线 ? z?0 ?★★10．指出下列各方程组表示什么曲线：?x ? 1 ? 3 cos? ? 的参数方程为： ? y ? 3 sin ? ? z?0 ?。?x ? 2 ? 0 （1） ? ?y ? 3 ? 0?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 20 （2） ? z?2 ?0 ? ? x 2 ? 4 y 2 ? 8z （5） ? z ?8 ??x 2 ? 4 y 2 ? 9z 2 ? 36 （3） ? y ?1 ??x 2 ? 4 y 2 ? 4 z （4） ? ? y ? ?2（2）表示球面 x2答：（1）两平面的交线，该直线平行于 z 轴? y2 ? z 2 ? 20 与平行于 xoy 面的平面 z ? 2 的交线，为一在 z ? 2 平面上的圆线：? x2 ? y2 ? 16 ? ? z?2（ 3 ）表示单叶双曲面x2 ? 4 y2 ? 9z 2 ? 36 和 y ? 1 平面的交线，为一在 y ? 1 平面上的椭圆线：? x2 ? 9z 2 ? 40 ? y ?1 ?（4）表示双曲抛物面（即马鞍面） x2? 4 y2 ? 4z 与 y ? ?2 平面的交线，为一在 y ? ?2 平面上的抛物线： ?? x2 ?16 ? 4z ? y ? ?22（5）表示双曲抛物面（即马鞍面） x? 4 y2 ? 8z 与 z ? 8 平面的交线，为一在 z ? 8 平面上的双曲线：? x2 ? 4 y2 ? 64 ? z ?8 ?★★★11．求旋转抛物面z ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 4) 在三坐标面上的投影。知识点：曲面的投影和空间区域的投影 解：见图 7-5-11， zzyyo x图 7-5-11o x?z ? x 2 ? y 2 （1）由于旋转抛物面 z ? x ? y (0 ? z ? 4) 投影到 xoy 面上时，它的边界线是 ? ， ? z?42 2?x 2 ? y 2 ? 4 ∴在 xoy 面上的投影为： ? ； ? z?0（2）由于旋转抛物面 z? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 4) 投影到 yoz 面上时，它的边界线是：?z ? x 2 ? y 2 , (0 ? z ? 4) ?y2 ? z ? 4 ∴在 yoz 面上的投影为： ? ? x?0 ? ? x?0 ?x 2 ? z ? 4 （3）同理，旋转抛物面 z ? x ? y (0 ? z ? 4) 在 xoz 面上的投影为： ? ? y?02 2★★★ 12 ．假定直线L在yoz 平面上的投影方程为 ??2 y ? 3z ? 1 ，而在 ? x?0zox 平面上的投影方程为?x ? z ? 2 ，求直线 L 在 xoy 面上的投影方程。 ? ? y?0解：∵直线 L 在 yoz 平面上的投影方程为 ??2 y ? 3z ? 1 ，∴直线 L 一定在投影柱面 2 y ? 3z ? 1上， ? x?0z 得到直线 L 在同理，直线 L 也一定在投影柱面 x ? z?2 y ? 3z ? 1 ? 2 上，∴直线 L 方程为 ? ，消去 ? x?z ?2xoy 面上的投影方程： ??3x ? 2 y ? 7 ? z?0 内容概要主要内容（7-6，7-7） 空 间 平 面 及 其 方 程 平面的截距式方程 平面的一般方程 平面的点法式方程 过 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，法矢为 n ? {A, B, C} 的平面方程：A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C( z ? z0 ) ? 0Ax ? By ? Cz ? D ? 0x y z ? ? ?1 a b cAx ? By ? Cz ? D ? 0 的距离： d ?点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D A2 ? B 2 ? C 2两平面的夹角 ? ： cos??A1 A2 ? B1 B2 ? C1C2 A12 ? B12 ? C12（ ?1 ： A 1x ? B 1 y ? C1 z ? D 1 空 间 直 线 及 其 方 程 参数方程 一般方程 对称式方程? 0 ， ?2 ： A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0 ）? {m, n, p} 的直线方程：对称式方程和一般方程的 关系：过 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，方向矢为 sx ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? m n p? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0x ? mt ? x0 , y ? nt ? y0 , z ? pt ? z0i s ? A1 A2j k B1 C1 B2 C2两直线的夹角 ? ：cos? ?s1 ? s 2 m1m2 ? n1n2 ? p1 p2 ? 2 2 2 s1 s 2 m12 ? n12 ? p12 m2 ? n2 ? p2（ L1 的方向矢 s1 直线和平面的夹角 ? ： sin ?? {m1 , n1 , p1}， L2 的方向矢 s2 ? {m2 , n2 , p2 } ）?n? s mA ? nB ? pC ? ns m 2 ? n 2 ? p 2 A2 ? B 2 ? C 2， L 的方向矢为 s（直线 L ：x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? m n p? {m, n, p} ；平面 ? ：Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ）， ? 的法矢为 n ? {A, B, C}平面束方程（ L 为一般方程式）： A 1x ? B 1 y ? C1 z ? D 1? ?( A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ) ? 0 习题 7-6★ 1． 求通过点(2,4,?3) 且与平面 2x ? 3y ? 5z ? 5 平行的平面方程。知识点：平面及其方程 思路：已知平面上的一点和平面的法矢，可求出平面方程 解：∵所求平面 ? 与已知平面 2x ? 3 y ? 5z ? 5 平行，∴ ? 的法矢 n ? {2,3,?5} ，由平面的点法式方程可得 ? ： 2( x ? 2) ? 3( y ? 4) ? 5( z ? 3)★2．求过点? 0 ? 2x ? 3y ? 5z ? 31M0 (2,9, ?6) 且与连接坐标原点及点 M 0 的线段 OM0 垂直的平面方程。知识点：平面及其方程 解：∵所求平面 ? 与 OM0 垂直，∴ ? 的法矢 n ? OM0? {2,9, ?6} ，又 ? 过点 M0 (2,9, ?6) ，∴ ? ： 2( x ? 2) ? 9( y ? 9) ? 6( z ? 6) ? 0 ? 2x ? 9 y ? 6z ? 121★★3．求过点M1 (1,1,2) , M 2 (3,2,3) , M 3 (2,0,3) 三点的平面方程。思路：根据条件，平面过已知点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。 解：∵所求平面 ? 过三点 M1 (1,1,2) , M 2 (3,2,3) , M 3 (2,0,3) ，∴平面 ? 的法矢 n 应满足：n ? M1M 2 , n ? M1M 3 ， M1M 2 ? {2,1,1}, M1M 3 ? {1,?1, 1}；i j k 1 1 ? 2i ? j ? 3k ， ∴可选择 n ? M 1 M 2 ? M 1 M 3 ? 2 1 ?1 1∴ ? ： 2( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 3( z ? 2)? 0 ? 2x ? y ? 3z ? 5 ? 0注：三点 M1 (1,1,2) , M 2 (3,2,3) , M 3 (2,0,3) 组成的任意两个向量的向量积都可作为平面 ? 的法矢 n★★4．平面过原点O ，且垂直于平面 ?1 : x ? 2 y ? 3z ? 2 ? 0 ， ?2 : 6x ? y ? 5z ? 2 ? 0 求此平面方程。思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。 解：设所求平面 ? 和已知平面 ?1 、 ?2 的法矢分别为 n 、 n1 、 n2 ，i j k 2 3 ? 13i ? 13 j ? 13k ∵ ? ? ?1 ， ? ? ?2 ，∴ n ? n1 ， n ? n2 ? n ? n1 ? n2 ? 1 6 ?1 5可选择 ? 的法矢 n? {1,1,?1} ，∴ ? ： x ? y ? z ? 0★★5．指出下列各平面的特殊位置： （1） x （5）? 1；（2） 3 y ? 2 ? 0 ； （6） x ? 2z（3） 2x ? 3 y ? 6 ? 0 ； （7） 6x ? 5 y ? z（4） x ?3y ? 0 ；y? z ? 2；?0；?0。答：（1）该平面平行于 yoz 面；（2）该平面平行于 xoz 面；（3）该平面平行于 z 轴；（4）该平面平行于 z 轴且过原点，即过 z 轴； （5）该平面平行于 x 轴； （6）该平面平行于 y 轴且过原点， 即过 y 轴（7）该平面过原点★★6．求平面2x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 和各坐标轴的夹角余弦知识点：平面及向量的方向余弦 解：∵平面 2x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 的法矢 n ? {2,?2, 1 } ，∴和 x、y、z 轴的夹角余弦分别为：2 2 1 cos? ? , cos ? ? ? , cos? ? 3 3 3★★★7．已知A(?5,?11,3) , B(7,10, ?6) 和 C(1,?3 ,?2) ，求平行于 ?ABC 所在的平面且与它的距离等于 2 的平面方程。思路：可先借鉴本单元的习题 3，求出过 A, B, C 的平面的法矢，也是所求平面的法矢。i j k 1 解：设所求平面 ? 的法矢为 n ， n ? ( AB) ? AC ? 4 7 ? 3 ? ?11i ? 2 j ? 10k 3 6 8 ?5∴设 ? 的平面一般方程为： 11x ? 2 y ? 10z ? D ? 0 ，有条件 ?ABC 所在的平面与 ? 的距离等于 2∴点 C 到平面的距离 d?11 ? 2 ? (?3) ? 10 ? (?2) ? D 112 ? 22 ? 102或? 2 ? D ? ?27 or 33∴ ? 的方程为： 11x ? 2 y ? 10z ? 33 ? 0★★8．确定11x ? 2 y ? 10z ? 27 ? 0k 的值，使平面 x ? ky ? 2z ? 9 适合下列条件之一：（2）与 2x ? 4 y ? 3z（1）经过点 (5,?4 , ? 6) ； （4）与 2x ? 3 y ? z? 3 垂直； （3）与 3x ? 7 y ? 6z ? 1 ? 0 平行；（6）在 y 轴上的截距为 ? 3 。?0成?4角； （5）与原点的距离等于 3；解：（1）平面 x ? ky ? 2z ? 9 经过点 (5,?4 , ? 6) ，∴点代入平面方程可得： k（2）平面 x ? ky ? 2z ∴ n1?2? 9 与平面 2x ? 4 y ? 3z ? 3 垂直，∴两平面的法矢 n1 , n2 垂直，? n2 ? 2 ? 4k ? 6 ? 0 ? k ? 1? 9 与平面 3x ? 7 y ? 6z ? 1 ? 0 平行，两平面的法矢 n1 , n2 平行（3）平面 x ? ky ? 2z ∴ n1// n2 ? 3 ??7 6 7 ? ?k ?? k 2 3? 9 与平面 2x ? 3y ? z ? 0 成（4）平面 x ? ky ? 2z??4角，两平面的法矢 n1, n2 夹角为?4∴ cos (n1 , n2 )?2 ? 3k ? 2 2 2 70 ? ? ?k ?? 2 2 2 2 5 ? k ? 14? 9 与原点的距离等于 3，∴（5）平面 x ? ky ? 2z9 5? k2? 3 ? k ? ?2（6）平面 x ? ky ? 2zx y z ? 9 在 y 轴上的截距为 ? 3 ，根据平面的截距式方程： ? ? ?1 9 9 / k 9 /(?2)? 9 / k ? ?3 ? k ? ?3★9．求点(1,2,1) 到平面 x ? 2 y ? 2z ? 10 ? 0 的距离。解：根据点到平面的距离公式： d?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 10 1? 2 ? 22 2?1★★★10．求平行于平面x ? y ? z ? 100 且与球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 相切的平面方程。 ? 100 ，所以可知 ? 的法矢，由 ? 与球面相切的条件又可知球心 ? 100 ，∴ ? 的法矢 n ? {1,1,1} ，设 ? 的方程为：思路：所求平面 ? //平面 x ? y ? z到平面的距离。解：∵所求平面 ? //平面 x ? y ? zx ? y ? z ? D ? 0 ，∵ ? 与球面相切，∴球心到平面的距离为球半径 10，∴d?D 3? 2 ? D ? ?2 3 ? ? ： x ? y ? z ? 2 3 ? 0x ? 2 y ? 2z ? 21 ? 0 与 7x ? 24z ? 5 ? 0 的夹角的平分面的方程。★★★11．求平面知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离 思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等 解：设所求平面 ? 上的动点坐标 ( x, y, z) ，∵ ? 是平面 x ? 2 y ? 2z ? 21 ? 0 与平面7x ? 24z ? 5 ? 0 的夹角的平分面，∴ ( x, y, z) 到两平面的距离相等，于是：x ? 2 y ? 2z ? 21 7 x ? 24z ? 5 ? ? 25( x ? 2 y ? 2z ? 21) ? ?3(7 x ? 24z ? 5) ， 3 25? 2x ? 25y ? 11z ? 270 ? 0, or 23x - 25y ? 61z ? 255 ? 0 习题 7-7★1．求过点(3,?1, 2) 且平行于直线x ?3 z ?1 的直线方程。 ?y? 4 3知识点：直线的对称式方程x ?3 z ?1 ，∴ L 的方向矢 s ? {4,1,3} ，又已知 L 过点 (3,?1 , 2) ?y? 4 3 x ? 3 y ?1 z ? 2 ∴ L： ? ? 4 1 3解：所求直线 L //直线★2．求过两点M1 (2,?1, 5) 和 M 2 (?1, 0,6) 的直线方程。知识点：直线的对称式方程 解：∵所求直线 L 过两点 M1 (2,?1, 5) 和 M 2 (?1, 0,6) ， L 的方向矢 s 可取为s ? M1M 2 ? {?3, 1,1} ，∴ L ：x ? 2 y ?1 z ? 5 ? ? ?3 1 1?2x ? y ? 3z ? 2 ? 0 。 ? ? x ? 2y ? z ? 6 ? 0 ?2x ? y ? 3z ? 2 ? 0 ，则 L 的方向矢 s 和两平面的法 ? x ? 2y ? z ? 6 ? 0★★3．用对称式方程及参数方程表示直线知识点：直线的各种表达式之间的转换 解：∵直线 L 表达为两平面交的一般方程形式： ?i j k ?2x ? y ? 2 ? 0 矢都垂直，∴ s ? 2 ? 1 ? 3 ? 7i ? j ? 5k ，取 L 上的一点：令 z ? 0 ? ? ?x ? 2 y ? 6 ? 0 1 2 ?12 14 x ? 2 / 5 y ?14 / 5 z ? ( , , 0) ，∴ L 的对称式方程： ? ? ， 5 5 7 ?1 5 x ? 2 / 5 y ?14 / 5 z 2 14 ? ? ? t ? x ? 7t ? , y ? ?t ? , z ? 5t L 的参数方程： 7 ?1 5 5 5★★4．证明两直线? x ? 2 y ? z ? 7 ?3x ? 6 y ? 3z ? 8 与? 平行。 ? ?? 2x ? y ? z ? 7 ? 2x ? y ? z ? 0i j k ? x ? 2y ? z ? 7 2 ? 1 ? 3i ? j ? 5k 证明：根据上一题解答可知直线 L1 ? 的方向矢 s1 ? 1 ?? 2x ? y ? z ? 7 ?2 1 1 i j k ?3x ? 6 y ? 3z ? 8 2 ? 1 ? ?3i ? j ? 5k ? s1 ? ?s2 ， 直线 L2 ? 的方向矢 s 2 ? 1 ? 2x ? y ? z ? 0 2 ?1 ?1∴ L1 // L2 ★★★5．求过点?x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ?2x ? y ? z ? 0 和? 都平行的平面方程。 (1,2 , 1) 且与两直线 ? ? x ? y ? z ?1 ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ?2x ? y ? z ? 0 和 L2 ： ? 的方向矢 ? x ? y ? z ?1 ? 0 ? x? y?z ?0思路：所求平面 ? 和两直线平行，则说明 ? 的法矢和两直线的方向矢都垂直。 解：设所求平面 ? 的法矢为 n ；两直线 L1 ： ?分别为 s1 , s2 。 ∵ ? // L1 ， ? // L2? n ? s1 , n ? s2 ? n ? s1 ? s2 ，其中i j k i j k s1 ? 1 2 ? 1 ? i ? 2 j ? 3k , s2 ? 2 ? 1 1 ? ? j ? k ， 1 ?1 1 1 ?1 1 i j k ∴ n ? s1 ? s 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? i ? j ? k ， 0 1 1∴ ? ： ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? ( z ? 1)★★6．求过点?0?x? y?z ?0(0, 2 , 4) 且与两平面 x ? 2z ? 1 和 y ? 3z ? 2 平行的直线方程。思路：所求直线 L 与两已知平面平行，所以 L 的方向矢和两平面的法矢都垂直。 解：设所求直线 L 的方向矢为 s ，两平面 ?1 ： x ? 2z ? 1 和 ?2 ： y ? 3z ? 2 的法矢分别为 n1 , n2i j k 2 ? ?2i ? 3 j ? k ， ∵ L // ?1 , L // ? 2 ? s ? n1 , s ? n2 ? s ? n1 ? n2 ? 1 0 0 1 ?3∴ L：x y?2 z ?4 ? ? ?2 3 1(3, 1 , ? 2) 且通过直线★★★7．求过点x?4 y ?3 z ? ? 的平面方程。 5 2 1 x?4 y ?3 z ? ? 的方向矢 s ， s ? {5,2,1} 5 2 1思路：易知：已知点不在直线上，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。 解：设所求的平面 ? 的法矢为 n ，直线 L ：∵ L 在 ? 上，∴ n ?s；取直线上的一点 M (4,?3, 0) ，和已知点 M 0 (3, 1 , ? 2) 组成向量 MM0? {?1, 4,?2}，i j k 2 1 ? ?8i ? 9 j ? 22k ， 易知： n ? MM0 ? n ? s ? MM 0 ? 5 ?1 4 ? 2 ∴ ? ： ? 8( x ? 3) ? 9( y ? 1) ? 22( z ? 2)? 0 ? ?8x ? 9 y ? 22z ? 59 ? 0★8．求直线?x ? y ? 3z ? 0 与平面 x ? y ? z ? 1 ? 0 的夹角。 ? ? x? y?z ?0 ?x ? y ? 3z ? 0 的方向矢为 s ，平面 ? ： x ? y ? z ? 1 ? 0 的法矢为 n ，直线 L 与 ? x? y?z ?0知识点：直线与平面的夹角 解：设直线 L ： ?平面 ? 的夹角为 ? 。i j k 3 ? 2i ? 4 j ? 2k , n ? {1,?1, ? 1} ，可取 s ? {1,2,?1} 则s ? 1 1 1 ?1 ?1∴ sin ?? cos(n, s) ??n? s ? 0 ? ? ? 0 ? L // ? ns★★9．试确定下列各组中的直线和平面间的关系：x?3 ? ?2 x?2 （3） ? 3（1）y?4 z ? 和 4x ? 2 y ? 2z ? 3 ； ?7 3 y ? 2 z ?3 和 x? y ? z ? 3。 ? 1 ?4（2）x y z ? ? 和 3x ? 2 y ? 7z ? 8 ； 3 ?2 7思路：通过直线和平面的夹角即可确定它们的关系 解：在每道小题中都设直线 L 的方向矢为 s ，平面 ? 的法矢为 n ，直线 L 与平面 ? 的夹角为 ? 。则（1） s? {?2, ? 7, 3}, n ? {2,?1, ? 1} ? sin ? ? cos(s, n) ??s?n ? 0 ? L // ? ， sn又 L 上的点 (?3, ? 4, 0) 不满足 4x ? 2 y ? 2z? 3 ，∴ L 不在 ? 上，∴ L // ??（2） s? {3, ? 2, 7}, n ? {3,?2, 7} ? sin ? ? cos(s, n) ? ? {3, 1, ? 4}, n ? {1,1, 1} ? sin ? ? cos (s, n) ??s?n ?1? L ? ? sn（3） ss?n ? 0 ? L // ? sn又 L 上的点 (2, ? 2, 3) 满足 x ?★★★10．求点y ? z ? 3 ，∴ L 在 ? 上。(?1 , 2, 0) 在平面 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 上的投影。思路：根据点在平面上的投影的定义可知求投影点的过程：（1）过点作平面的垂线；（2）垂线和平面的交点（即投影点）解：过点 M(?1 , 2, 0) 作平面 ? ： x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 的垂线 L ，设 L 的方向矢为 s ，平面 ? 的法 ? x ? t ?1 x ?1 y ? 2 z ? ? ? ? t ? ? y ? 2t ? 2 ， 矢为 n ，则可选 s ? n ，∴ L ： 1 2 ?1 ? z ? ?t ?将 L 的参数方程代入 ? 求出 L 和 ? 的交点（即投影点） M 0 ：2 5 2 2 (t ? 1) ? 2(2t ? 2) ? (?t ) ? 1 ? 0 ? t ? ? ? M 0 ? (? , , ) 3 3 3 3★★★11．设? M 0 是直线 L 外一点， M 是直线 L 上任意一点，且直线的方向向量为 s ，试证：点 M 0 到直线 L 的距离 d?MM 0 ? s s。知识点：向量积和空间直线及其方程 思路：画简图可知：距离 d 是由 M 、 M 0 以及当把 s 的起点放在 M 时的终点坐标 M1 三点组成的三角形底边 MM1 上的高，见图 7-7-11M0dMsLM1图 7-7-11解：设当把 s 的起点放在 M 时 s 的终点坐标为 M1 ， d 即为 ?M 0 MM1 底边 MM1 上的高根据向量积的性质可知 ?M 0 MM1 的面积 S?? MM0 ? s ，又 S ?1 sd 2∴d?MM 0 ? s s?x ? y ? z ? 1 ? 0 L:? 在平面 ? : x ? y ? z ? 0 上的投影直线方程。 ?x ? y ? z ? 1 ? 0★★★12．求直线方法一：可根据求投影直线的过程逐步求得：（1）求过直线 L 垂直于 ? 的平面 ?1 ；（2） ? 与 ?1 的交线即为 L 在 ? 上的投影直线。解：过 L 的平面束方程为 x ? y ? z ? 1 ? ?( x ? y ? z ? 1) ? 0? (1 ? ?) x ? (1 ? ?) y ? (? ? 1) z ? ? ? 1 ? 0 ，此平面束中和 ? 垂直的平面应满足： (1 ? ?) ? (1 ? ?) ? (? ? 1) ? 0 ? ? ? ?1，∴过直线 L 垂直于 ? 的平面 ?1 ： x ? ∴ L 在平面 ? 上的投影直线方程为： ?y ? z ? 1 ? ( x ? y ? z ? 1) ? 0 ? y ? z ? 1，?x ? y ? z ? 0 ? y ? z ?1方法二：可通过求 L 和 ? 的交点以及 L 的方向矢写出所求投影直线的对称式方程?x ? y ? z ? 1 ? 0 1 1 ? 解： L 和 ? 的交点 M 0 ( x, y, z) 满足： ?x ? y ? z ? 1 ? 0 ? M 0 (0, , ? ) 2 2 ? x? y?z ?0 ? i j k L 的方向矢 s ? 1 1 ? 1 ? ?2 j ? 2k ，设 ? 的法矢为 n ， 1 ?1 1则 L 和它的投影直线组成平面的法矢 n1 满足： n1 投影直线的方向矢 s1 应满足： s1 ∴投影直线方程：? s 且 n1 ? n ? n1 ? n ? s ? ? j ? k? s 且 s1 ? n1 ? s1 ? n1 ? s ? 2i ? j ? kx y ? 0.5 z ? 0.5 ? ? 2 1 ?113．已知直线 L : ?? 2 y ? 3z ? 5 ? 0 ，求： ?x ? 2 y ? z ? 7 ? 0★（2）直线在 xoy 平面上的投影方程；★（1）直线在 yoz 平面上的投影方程； ★★★（3）直线在平面?: x ? y ? 3z ? 8 ? 0 上的投影直线方程。解：（1）由曲线在坐标面上投影知识可知： L : ?? 2 y ? 3z ? 5 ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 7 ? 0中消去 x，可得 L 在 yoz 面上的投影： ??2 y ? 3z ? 5 ? 0 x?0 ?注：也可参照习题 12 的方法做（2） L : ?? 2 y ? 3z ? 5 ? 0 ?3x ? 4 y ? 16 ? 0 中消去在，可得 L 在 xoy 面上的投影： ? z ?0 ?x ? 2 y ? z ? 7 ? 0 ??0注：也可参照习题 12 的方法做（3）过 L 的平面束方程为 2 y ? 3z ? 5 ? ? ( x ? 2 y ? z ? 7)? ?x ? (2 ? 2?) y ? (3 ? ?) z ? 7? ? 5 ? 0 ，此平面束中和 ? 垂直的平面应满足：? ? (2 ? 2?) ? 3(3 ? ?) ? 0 ? 无解，说明这些平面都不垂直于 ? ，过 L 且不在平面束方程中的平 面只有一个： x ? 2 y ? z ? 7 ? 0 ，此平面设为 ?1 ，确有： ?1 的平面∴ L 在平面 ? 上的投影直线方程为： ?? ? ， ?1 即为过直线 L 且垂直于 ?? x ? y ? 3z ? 8 ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 7 ? 0★★★14．证明直线x ?1 y ?1 z ? 3 x ?1 y ? 2 z ? 3 与直线 相交，并求它们交角的平分 ? ? ? ? 3 8 1 4 7 3线方程。知识点：直线及其方程 证：将直线 L1 ：直线 L2 （题有问题？）x ?1 y ?1 z ? 3 化为参数式： x ? 3t ? 1, y ? 8t ? 1, z ? t ? 3 ，代入 ? ? 3 8 1习题 7-81． 画出下列方程所表示的曲面： （1） 4x2? y2 ? z2 ? 4；（2） x2? y 2 ? 4z 2 ? 4 ；（3）z x2 y2 ? ? 3 4 9。zoyx图 7-8-1-1yxz图 7-8-1-2 zyo x图 7-8-1-3★★2．指出下列方程所表示的曲线：?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 （1） ? ； x?3 ?（3） ??x 2 ? 4 y 2 ? 9z 2 ? 36 （2 ） ? ； y ?1 ?（4 ） ??x 2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 25 ； x ? ? 3 ?2? y 2 ? z 2 ? 4x ? 8 ? 0 。 y ? 4 ?答：（1） x ? 3 平面上的圆 y（3） x? z 2 ? 16 ；（2） y ? 1 平面上的椭圆 x 2 ? 9z 2 ? 32 ；? ?3 平面上的双曲线 z 2 ? 4 y 2 ? 16 ；（4） y ? 4 平面上的抛物线 z 2 ? 4x ? 24 ? 0★★★3．画出下列各曲面所围成的立体的图形：（1） x? 0, y ? 0, z ? 0, x ? 2, y ? 1, 3x ? 4 y ? 2z ? 12 ? 0 ；zzyyx图 7-8-3-1x图 7-8-3-1 （2） x? 0, z ? 0, x ? 1, y ? 2, z ?zy 4yx（3）图 7-8-3-2z ? 0, z ? 3, x ? y ? 0, x ? 3y ? 0 , x 2 ? y 2 ? 1，在第一卦限内。yx图 7-8-3-3（4）x ? 0, y ? 0, z ? 0, x 2 ? y 2 ? R 2 , y 2 ? z 2 ? R 2 ，在第一卦限内。z0xy图 7-8-3-4x 总习题七★★★1．已知a , b , c 为单位向量，且满足 a ? b ? c ? 0 ，计算 a ? b ? b ? c ? c ? a 。2知识点：向量的数量积 解：∵ a ? b ? c ? 0 ，∴ (a ? b ? c) ? a ? 0 ? b ? a ? c ? a ? ? a同理可得： a ? b ? c ? b ? ? b2? ?1（1）? ?1（2） （3）b ? c ? a ? c ? ? c ? ?1（ a , b , c 为单位向量）2∵向量的数量积满足交换律，将（1）、（2）、（3）式相加 ? a ? b ? b ? c ? c ? a★★★2．设三角形的三边??3 2BC ? a , CA ? b , AB ? c ，三边中点依次为 D 、 E 、 F ，试证明AD ? BE ? CF ? 0知识点：向量及其线性运算1 DC ? BC, AC ? ?CA ? ?b 2 1 1 1 ? AD ? ?b ? a ，同理可得： BE ? ?c ? b , CF ? ?a ? c ； 2 2 2 3 ∴ AD ? BE ? CF ? ? (a ? b ? c) ，∵ a ? b ? ?c 2证明：根据向量线性运算的三角形法则， AD ? DC ? AC,∴AD ? BE ? CF ? 0(a ? 3 b) ? (7a ? 5 b), (a ? 4 b) ? (7a ? 2 b) ，求 (a, b) 。?★★★3．设知识点：向量的数量积及其性质 解：∵ (a ? 3 b) ? (7a ? 5 b), (a ? 4 b) ? (7a ? 2 b)∴ (a ? 3 b) ? (7a ? 5 b)? 0 ? 7 a ? 16 a ? b ? 15 b ? 0 ；2 222(a ? 4 b) ? (7a ? 2 b) ? 0 ? 7 a ? 30 a ? b ? 8 b ? 0∴46 a ? b ? 23 b ? a ? b ??2? ? 1 2 a?b 1 ? 2 2 b , a ? b ? cos(a, b) ? ? ? (a, b) ? 。 2 a b 2 3★★★4． 已知a ? 2 , b ? 5 , (a, b) ?2? 3， 问： 系数 ? 为何值时， 向量 m? ?a ? 17 b 与 n ? 3a ? b垂直知识点：向量的数量积及其性质 解：根据两向量垂直的充要条件，要使向量 m ? ?a ? 17 b 与 n ? 3a ? b 垂直，必须 m ? n ? 0 ? (?a ? 17 b) ? (3a ? b) ? 0 ? 3? a ? (51 ? ?)a ? b ? 17 b ? 0 ，由已知条件 ∴ 3? a222a ? 2 , b ? 5 , (a, b) ?2?? 2? ? a ? b ? a b cos(a, b) ? ?5 ， 3? (51 ? ?)a ? b ? 17 b ? 12? ? 5(51 ? ?) ? 17 ? 25 ? 0 ? ? ? 40a ? {2,?1 , 2}共线且满足方程 a ? x ? ?18的向量 x 。★★★5．求与向量知识点：向量的线性运算以及向量的数量积 解：根据已知条件： x 与 a 共线，可设 x ? ?a ? ?{2,?1,2} ，由a? x? ?18 ? a ? ?a ? ? a ? ?18 ? ? ? ?2 ? x ? {?4, 2,?4}a ? {?1 , 3,2} ，b ? {2, ? 3 , ? 4} ，c ? {?3, 12 , 6} ，证明三向量 a , b , c 共面，并用 a2★★★6． 设和b表示c知识点：向量的混合积 解：根据向量混合积的性质：三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零i j k 3 2 ? ?6i ? 3k ? (a ? b) ? c ? 6 ? 3 ? 3 ? 6 ? 0 ∵ a ? b ? ?1 2 ?3 ?4∴ a , b , c 共面 若设 c? x1a ? x2b ?{?3,12,6} ? {?x1 ? 2x2 , 3x1 ? 3x2 , 2x1 ? 4x2 }， 3x1 ? 3x2 ? 12, 2x1 ? 4x2 ? 6 ? x1 ? 5, x2 ? 1? ? x1 ? 2x2 ? ?3,∴c? 5a ? b★★★7．证明点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到 一 通 过 点 A(a, b, c) 、 方 向 平 行 于 向 量 s 的 直 线 的 距 离 为d?r?s s，其中 r? AM0 。证明：该题类似于习题 7-7 的 11 题，把向量 s 的起点放在 A(a, b, c) ，设此时 s 的终点坐标为 M1 ， d即为 ?M 0 AM1 底边AM1 （即 s ）上的高，根据习题 7-7 的 11 题的结论： d ?非零， 且不共线， 作cAM 0 ? s s★★★8． 已知向量a,b? ?a ? b ，? 是实数，证明： c最小的向量最小的向量c 垂直于 a，并求当 a? {1, 2,?2} ， b ? {1, ? 1 , 1}时，使 cc。知识点：向量的数量积及其性质、一元函数的最值 解： c ? ?a ? b设? c ? c ? (?a ? b) ? (?a ? b) ? c ? ?2 a ? 2?(a ? b) ? b2 2222f (? ) ? ?2 a ? 2?(a ? b) ? b，则由f ?(?) ? 2? a ? 2(a ? b) ? 02?? ? ?a?b （唯一驻点），∴ c 2 a最小的向量c??a?b a?b， 2 a∵c ? a ? (?a?b a ? b) ? a ? ?a ? b ? b ? a ? 0 ? c ? a ， 2 a最小的向量当a? {1, 2,?2} ， b ? {1, ? 1 , 1}时，使 cc??a?b 4 1 1 a ?b ?{ , ? , } 2 3 3 3 a★★9．将 xoy 坐标面上的双曲线4x 2 ? 9 y 2 ? 36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。知识点：旋转曲面及其方程 解：当 xoy 坐标面上的双曲线 4x2? 9 y 2 ? 36 绕 x 轴旋转时旋转曲面方程为：4x 2 ? 9(? y 2 ? z 2 ) 2 ? 36 ? 4x 2 ? 9 y 2 ? 9z 2 ? 36 。绕 y 轴旋转时旋转曲面方程为： 4(?★★★10．求直线x 2 ? z 2 ) 2 ? 9 y 2 ? 36 ? 4x 2 ? 4z 2 ? 9 y 2 ? 36L：x ?1 y z ?1 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程。 ? ? 1 2 1x ?1 y z ?1 上的某一点 ? ? 1 2 1知识点：求旋转曲面方程的原理 解 ：设所求旋转曲面上的动点坐标为 ( x, y, z) ，且它是由直线 L ：( x0 , y0 , z0 ) 绕 z 轴旋转得到，所以， ( x, y, z) 和 ( x0 , y0 , z0 ) 满足：（1 ） z2 2 ? z0 ；（2） x0 ? y0 ? x2 ? y 2，将x0 ? 1 y0 z0 ? 1 2 2 2 2 ? ? 代入（2）可得： x ? y ? z ? 4( z ? 1) 1 2 1? z ? 2 ? x2 ? y2 ★★11．求曲线 L : ? 在三个坐标面上的投影曲线方程。 2 2 ?z ? ( x ? 1) ? ( y ? 1)解：（1）方程组 ??z ? 2 ? x2 ? y2 消去 z， 2 2 ?z ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 z?0 ?可得 L 在 xoy 面上的投影曲线方程 ? （2）方程组 ???z ? 2 ? x 2 ? y 2 z ? 2 ? x2 ? y2 消去 x ? ? 2 2 ?z ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? z ? 2? x? y?2 y 2 ? 2 yz ? z 2 ? 4 y ? 3z ? 2 ? 0 可得 L 在 yoz 面上的投影曲线方程 ? x?0 ? ? z ? 2 ? x2 ? y2 ?z ? 2 ? x 2 ? y 2 （3）方程组 ? 消去 y ?? 2 2 ?z ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? z ? 2? x? y可得 L 在 yoz 面上的投影曲线方程 ??2x2 ? 2xz ? z 2 ? 4x ? 3z ? 2 ? 0 y?0 ?★★12．求曲线?6x ? 6 y ? z ? 16 ? 0 L:? 在三个坐标面上的投影方程。 ?2x ? 5 y ? 2z ? 3 ? 0 ?6x ? 6 y ? z ? 16 ? 0 消去 z， ?2x ? 5 y ? 2z ? 3 ? 0 ?2x ? y ? 5 ? 0 z ?0 ?解：（1）方程组 ?可得 L 在 xoy 面上的投影曲线方程 ?（2）方程组 ??6x ? 6 y ? z ? 16 ? 0 消去 x ?2x ? 5 y ? 2z ? 3 ? 0 ?3 y ? z ?1 ? 0 ? x?0可得 L 在 yoz 面上的投影曲线方程 ?（3）方程组 ??6x ? 6 y ? z ? 16 ? 0 消去 y ?2x ? 5 y ? 2z ? 3 ? 0 ?6x ? z ? 14 ? 0 y?0 ?可得 L 在 yoz 面上的投影曲线方程 ?★★★13．求螺旋线x ? a cos? , y ? a sin ? , z ? b? 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。解：（1）螺旋线 x ? a cos? , y ? a sin ? , z ? b? 消去 z，可得螺旋线在 xoy 面上的投影曲线方程：∵ x, y 总是满足： x2?x 2 ? y 2 ? a 2 ? y 2 ? a 2 ∴投影方程为 ? ? z?0（2）螺旋线 x? a cos? , y ? a sin ? , z ? b? 消去 x，可得螺旋线在 yoz 面上的投影曲线方程： ∵x? a cosz b，代入 x2z ? ? y ? a sin ? y 2 ? a 2 ，∴投影方程为 ? b ? ? x?0（3）螺旋线 x? a cos? , y ? a sin ? , z ? b? 消去 y，可得螺旋线在 xoz 面上的投影曲线方程：∵z y ? a sin b，代入 x2z ? ?x ? a cos ? y 2 ? a 2 ，∴投影方程为 ? b ? y ? 0 ?，柱面 x2★★★14．求由上半球面z ? a2 ? x2 ? y2? y 2 ? ax ? 0 及平面 z ? 0 所围成的立体在xoy 面和 xoz 面上的投影。解： （1）上半球面 z? a2 ? x2 ? y2含在柱面 x2? y 2 ? ax ? 0 内的立体在 xoy 面上的投影就是：?x 2 ? y 2 ? ax ? 0 ? z?0 ?（2）当投影到 xoz 面上，该立体投影的边界为 xoz 面上的： x2? z 2 ? a 2 , ( x ? 0, z ? 0) ，∴立体在 xoz 面上的投影为： ?? x2 ? z 2 ? a2 ,( x ? 0, z ? 0) y ?0 ?★★★15．求与已知平面2x ? y ? 2z ? 5 ? 0 平行且与三坐标面构成的四面体体积为 1 的平面方程。 ? D ，化为截距式方知识点：平面及其方程 解：所求平面 ? 和 2x ? y ? 2z ? 5 ? 0 平行，所以设 ? 的方程为 2x ? y ? 2z程：x y z ? ? ? 1， D/ 2 D D/ 2D 1 D ? ?D? ? 1 ? D ? ?23 3 6 2 2∵ ? 与三坐标面构成的四面体体积为 1，∴∴ ? ： 2x ?y ? 2z ? 23 3 ? 0?2x ? 3 y ? z ? 5 ? 0 (1, 2 , ? 1) 且与直线 ? 垂直的平面方程。 ?3x ? y ? 2z ? 4 ? 0★★★16．求通过点思路：所求平面和已知直线垂直，则直线的方向矢即为平面的法矢 解：设直线 L ??2x ? 3 y ? z ? 5 ? 0 的方向矢 s ，所求平面 ? 的法矢 n ， ?3x ? y ? 2z ? 4 ? 0 i j k s ? 2 ? 3 1 ? 5i ? 7 j ? 11k ，∵ ? ? L ，∴取 n ? s ? 5i ? 7 j ? 11k 3 1 ?2∴ ? ： 5( x ? 1) ? 7( y ? 2) ? 11 ( z ? 1)? 0 ? 5x ? 7 y ? 11z ? 8★★17．求过直线?2x ? y ? 2z ? 1 ? 0 L:? 且在 y 轴和 z 轴有相同的非零截距的平面方程。 ? x ? y ? 4z ? 2 ? 0思路：所求平面 ? 过直线 L ，而 L 又表达为一般方程，因此可用平面束方程表示 ? 解：过已知直线 L 的平面束方程： 2x ? y ? 2z ? 1 ? ?( x ? y ? 4z ? 2) ? 0此方程化为： (2 ? ?) x ? (? ? 1) y ? (4? ? 2) z? 2? ? 1 ，其中在 y 轴和 z 轴有相同的非零截距的平面应满足： ? ? 1 ? 4? ? 2 ? ? 代入得所求平面 ? ： 7 x ? 2 y ? 2z ? 1 ? 0★★★18．在平面?1 32x ? y ? 3z ? 2 ? 0 和平面 5x ? 5 y ? 4z ? 3 ? 0 所确定的平面束内，求两个相互 A(4,?3 , 1) 。垂直的平面，其中一个平面经过解：过 ?? 2x ? y ? 3z ? 2 ? 0 的平面束方程： 2x ? y ? 3z ? 2 ? ? (5x ? 5 y ? 4z ? 3) ? 0 ， ?5x ? 5 y ? 4z ? 3 ? 0将A(4,?3 , 1) 代入： 4 ? 4? ? 0 ? ? ? ?1 A(4,?3 , 1) 的平面 ?1 ： 3x ? 4 y ? z ? 1 ? 0∴经过平面束中和 ?1 垂直的 ?2 应满足： 3(2 ? 5?) ? 4(1 ? 5?) ? (3 ? 4?) ∴ ? 2 ： x ? 2 y ? 5z ? 3 ? 0? 0?? ? ?1 3★★19．用对称式方程及参数方程表示直线? x ? y ? z ?1 。 ? ?2x ? y ? z ? 4知识点：直线三种方程形式之间的转换 解：设直线 L ： ?? x ? y ? z ?1 的方向矢为 s ，平面 ?1 x ? y ? z ? 1 的法矢 n1 ，平面 ?2x ? y ? z ? 4?2 2x ? y ? z ? 4 的法矢 n2 ∵s? n1 , s ? n2i j k ∴ s ? n1 ? n2 ? 1 ? 1 1 ? ?2i ? j ? 3k ， 2 1 13 / 2, 5 / 2) ，得 L 的对称式方程：再取 L 上的一点 (0,x y ? 3/ 2 z ? 5/ 2 ， ? ? ?2 1 33 5 L 的参数方程： x ? ?2t, y ? ? t, z ? ? 3t 2 2★★★★20．求与两直线? x ? 3z ? 1 ? y ? 2x ? 5 L1 : ? 和 L2 : ? 垂直且相交的直线方程。 ? y ? 2z ? 3 ?z ? 7x ? 2方法一：所求直线 L （公垂线）应该既在过 L 、 L1 的平面上，又在过 L 、 L2 的平面上，所以 L 是两平面的交线。i j k 解： L1 的方向矢： s1 ? 1 0 ? 3 ? 3i ? 2 j ? k ， 0 1 ?2 i j k L2 的方向矢： s 2 ? 2 ? 1 0 ? i ? 2 j ? 7k ， 7 0 ?1 i j k } 公垂线 L 的方向矢 s ? 3 2 1 ? 12i ? 20 j ? 4k ? 4{3,?5,1 1 2 7过 L1 的平面束方程： x ? 3z ? 1 ? ?1 ( y ? 2z ? 3) ? 0 ? x ? ?1 y ? (2?1 其中垂直于 L 的平面应满足： 3 ? 5?1? 3)z ? 3?1 ?1 ? 0 ，? (2?1 ? 3) ? 0 ? ?1 ? 0 ，得到过 L1 、 L 的平面 ?1 ： x ? 3z ? 1 ? 0 过 L2 的平面束方程： 2x ? y ? 5 ? ?2 (7x ? z ? 2) ? 0 ? (7?2 其中垂直于 L 的平面应满足： 3(7?2? 2)x ? y ? ?2 z ? 2?1 ? 5 ? 011 20? 2) ? 5 ? ?2 ? 0 ? ?2 ? ?得到过 L2 、 L 的平面 ?1 ： 37x ? 20 y ? 11z ? 122 ? 0∴ L： ?x ? 3z ? 1 ? 0 ? ?37x ? 20 y ? 11z ? 122 ? 0方法二：所求直线 L ? L1 , L ? L2 ，因此可求得 L 的方向矢，再求 L 、 L2 （或 L 、 L1 ）的交点就可求出 L 的对称式方程或参数式方程 i j k } 解：如方法一所解，可得公垂线 L 的方向矢 s ? 3 2 1 ? 12i ? 20 j ? 4k ? 4{3,?5,1 1 2 7设 L 、 L1 的交点为 ( x0 , y0 , z 0 ) ，则有： x0? 3z0 ? 1, y0 ? 2z0 ? 3 ，? L ： x ? 3t ? 3z0 ? 1, y ? ?5t ? 2z0 ? 3, z ? t ? z0 ，代入 L23 5 43 94 5 ? t ? , z0 ? ? ? L ： x ? 3t ? , y ? ?5t ? , z ? t ? 7 28 28 14 28方法三 ：设 L 、 L1 的交点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ， L 、 L2 的交点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) ，根据条件可知：M 0 M1 ? s1 , M 0 M1 ? s2 ，从而求得 M 0 , M1 ，得到过两点的直线方程解：设已求出 s1? 3i ? 2 j ? k ， s2 ? i ? 2 j ? 7k ，M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 满足： x0 ? 3z0 ? 1, y0 ? 2z0 ? 3 ，M1 (x1 , y1 , z1 ) 满足： y1 ? 2x1 ? 5, z1 ? 7x1 ? 2 ，M 0 M1 ? {x1 ? 3z0 ? 1, 2x1 ? 2z0 ? 2, 7x1 ? z0 ? 2}，由 M 0 M1 ? s1 , M 0 M1 ? s2 ，1 ? ?3( x1 ? 3z0 ? 1) ? 2(2x1 ? 2z0 ? 2) ? (7 x1 ? z0 ? 2) ? 0 ? x1 ? ? 4 ?? 得： ? ?( x1 ? 3z0 ? 1) ? 2(2x1 ? 2z0 ? 2) ? 7(7 x1 ? z0 ? 2) ? 0 ?z0 ? ? 5 28 ? 43 94 5 1 11 1 ∴ M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ? (? ,? ,? ) ， M1 ( x1 , y1 , z1 ) ? (? ,? , ) 28 28 28 4 2 4 x ? 1/ 4 y ? 11/ 2 z ? 1/ 4 ∴ L： ? ? 3 ?5 1★★★21．求与原点关于平面6x ? 2 y ? 9z ? 121 ? 0 对称的点。思路：过原点作平面的垂线 L ，在 L 上找出原点关于平面的对称点。 解：过原点垂直于平面的垂线 L 方向式就是平面的法矢∴ L ：x y z ， ? ? 6 2 ?9设在 L 上原点关于平面的对称点的坐标为： M ( x0 , y0 , z0 ) ，则有：x0 ? 6t0 , y0 ? 2t0 , z0 ? ?9t0 ，又 M 和原点到平面的距离相等可得：36t0 ? 4t0 ? 81t0 ? 121 ? 121? t0 ? ?2 ，（舍去 t 0 ? 0 ）∴原点关于平面 6x ? 2 y ? 9z ? 121 ? 0 对称的点： (?12, ? 4, 18) ★★★22．求点? x ? y ? z ?1 ? 0 的距离。 P(3, ? 1 , 2) 到直线 ? ?2x ? y ? z ? 4 ? 0方法一：可参照习题 7-7 第 11 题的方法做i j k ? x ? y ? z ?1 ? 0 1 ? 1 ? ?3 j ? 3k ? ?3{0,1,1} 解：直线 L ： ? 的方向矢 s ? 1 ?2x ? y ? z ? 4 ? 0 2 ?1 1可取 s? {0,1,1} ，在 L 上取一点 M (1,?2, 0) ，则点 P(3, ? 1 , 2) 到直线 L 的距离 d ?MP ? s s，i j k 3 MP ? s ? 2 1 2 ? ?i ? 2 j ? 2k ? MP ? s ? 3 ? d ? 2 2 0 1 1方法二：过 P 作直线 L 的垂直平面 ? ， ? 和 L 的交点即为 P 在 L 上的垂足。 解：设已求出直线 L 的方向矢 s ? {0,1,1 } ，则过 P 垂直于直线 L 的平面 ? ： y ? 1 ? z ? 2 ? 0 ，? x ? y ? z ?1 ? 0 ? x ?1 3 ? ? ? 和 L 的交点 M ： ?2x ? y ? z ? 4 ? 0 ? ? y ? ?1/ 2 ，∴ d ? MP ? 2 2 ? y ? z ?1 ? 0 ? z ? 3/ 2 ? ?★★23．求直线? x ? y ? z ?1 ? 0 与平面 x ? 2 y ? 3z ? 3 ? 0 间夹角的正弦。 ? ?x ? y ? 2 z ? 2 ? 0知识点：直线与平面的夹角i j k ? x ? y ? z ?1 ? 0 ? 1 ? i ? 3 j ? 2k ， 解：直线 L ： ? 的方向矢 s ? 1 1 ?x ? y ? 2 z ? 2 ? 0 1 ?1 21, ? 2, 3} 平面 x ? 2 y ? 3z ? 3 ? 0 的法矢 n ? {则由直线与平面的夹角 ? 公式： sin ?? cos(s, n) ??s?n 1 ? s n 14★★★★24．设直线通过点? y ? 3x ? 5 ? y ? 4x ? 7 P(?3, 5 , ? 9) ，且和两直线 L1 : ? ， L2 : ? 相交， ? z ? 2x ? 3 ?z ? 5x ? 10求此直线方程。方法一：若设所求直线 L 和已知直线 L1 、 L2 的交点分别为 M1 , M 2 ，直线 PM1（即 L ）一定在过 P和 L1 的平面上，直线 PM2 （即 L ）也一定在过 P 和 L2 的平面上。由此求得直线 L 的一般方程。 解：过 L1 : ?? y ? 3x ? 5 的平面束方程为： 3x ? y ? 5 ? ?1 (2x ? z ? 3) ? 0 ，将 P(?3, 5 , ? 9) 代 ? z ? 2x ? 3? 2x ? 3 就经过 P(?3, 5 , ? 9) ， ? 2x ? 3入可得 ?1 无解，可验证包含 L1 的平面 z∴通过点 P(?3, 5 , ? 9) 和直线 L1 的平面方程： z过 L2? y ? 4x ? 7 :? 的平面束方程为： 4x ? y ? 7 ? ?2 (5x ? z ? 10) ? 0 ，将 P(?3, 5 , ? 9) 代入 ?z ? 5x ? 10可得： ?2? 6 ，∴通过点 P(?3, 5 , ? 9) 和直线 L2 的平面方程： 34x ? y ? 6z ? 53 ? 0∴ L： ?z ? 2x ? 3 ? ?34x ? y ? 6z ? 53 ? 0方法二：所求直线 L 在过 P 和直线 L1 的平面 ?1 上，也在过 P 和直线 L2 的平面 ?2 上，因此 L 的方向矢垂直于两平面的法矢。i j k 解： L1 的方向矢： s1 ? 3 ? 1 0 ? i ? 3 j ? 2k ， L1 上取一点 M1 (0,5, ? 3) 2 0 ?1 i j k L2 的方向矢： s 2 ? 4 ? 1 0 ? i ? 4 j ? 5k ， L2 上取一点 M2 (0,?7, 10) 5 0 ?1 i j k 过 P 和直线 L1 的平面 ?1 的法矢 n1 ? s1 ? PM1 ? 1 3 2 ? 9(2i ? k ) 3 0 6 i j k 4 5 ? 4(34i ? j ? 6k ) 过 P 和直线 L2 的平面 ?2 的法矢 n2 ? s 2 ? PM 2 ? 1 3 ? 12 19 i j k 0 ? 1 ? ?i ? 22 j ? 2k ∴ L 的方向矢： s ? 2 34 ? 1 ? 6x ?3 y ?5 z ?9 ? ? 1 22 2 ? x ? t ?7 ? ★★★25．求点 (2,3,1) 在直线 ? y ? 2t ? 2 上的投影。 ? z ? 3t ? 2 ?∴ L： 思路：过点 (2,3,1) 作已知直线 L 的垂直平面 ? ， ? 和 L 的交点即为所求投影? x ? t ?7 ? 解：∵直线 L ： ? y ? 2t ? 2 的方向矢为 s ? { 1,2,3} ， ? z ? 3t ? 2 ?∴过点 (2,3,1) 垂直于 L 平面 ? ： ( x ? 2) ? 2( y ? 3) ? 3( z ? 1)? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 11? x ? t ?7 ?x0 ? ?5 ? ? 将 L ： ? y ? 2t ? 2 代入平面 ? ? t ? 2 ? ? y0 ? 2 ，该点即为所求投影点。 ? z ?4 ? z ? 3t ? 2 ? 0 ?★★★26．求直线?2x ? y ? z ? 1 ? 0 L:? 在平面 ? : x ? 2 y ? z ? 0 上的投影直线方程。 ? x ? y ? z ?1 ? 0思路：过 L 作垂直于 ? 的平面，投影直线在此平面上。 解：过 L 的平面束方程：2x ? y ? z ? 1 ? ?( x ? y ? z ? 1) ? 0 ? (2 ? ?) x ? (? ? 1) y ? (1 ? ?) z ? 1 ? ? ，其中垂直于 ? 的平面应满足： (2 ? ?) ? 2(? ? 1) ? (? ? 1) 则过 L 垂直于 ? 的平面方程为： 3x ? ∵投影直线也在 ? 上 ∴投影直线方程： ??0?? ?1 4y ? z ?1 ? 0 ，?3x ? y ? z ? 1 ? 0 ? x ? 2y ? z ? 0P(1,2,3) 的距离是它到平面 x ? 3 的距离的★★27．一动点与点1 ，试求动点的轨迹方程，并求该轨迹 3曲面与 yoz 平面的交线。解：设动点坐标 M ( x, y, z) ，根据条件可列式：( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ?1 x ?3 ? 轨迹方程： 2x2 ? 3( y ? 2)2 ? 3( z ? 3)2 ? 6 1 3?2x2 ? 3( y ? 2)2 ? 3( z ? 3)2 ? 6 ?( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ? 2 ?? 该轨迹曲面与 yoz 平面的交线： ? x ? 0 x?0 ? ?★★★★28．设有直线?x ? y ? 3 ? 0 L:? 及平面 ? : x ? y ? z ? 1 ? 0 ，光线沿直线 L 投射到平面 ? ? x ? z ?1 ? 0上，求反射线所在的直线方程 Ls1ss2?图 7-28方法一：可求出过 L 垂直于平面 ? 的平面 ?1 ，反射线一定在 ?1 上；又可求出过 L 和平面 ? 的交点且垂直于 ?1 的直线，再求过该直线与平面 ? 的法矢成入射角的平面 ?2 ，反射线也在 ?2 上。i j k ?x ? y ? 3 ? 0 解：直线 L : ? 的方向矢 s ? 1 1 0 ? i ? j ? k ，设 ? 的法矢为 n ? x ? z ?1 ? 0 1 0 1 ? x ? y ?3 ? 0 ?x0 ? ?3 ? ? 求出（1）、直线 L 和平面 ? 的交点 M 0 ： ? x ? z ? 1 ? 0 ? ? y0 ? 6 ?x ? y ? z ? 1 ? 0 ?z ? ?4 ? ? 0 ? 1 取和 n 成锐角的直线 L 的方向矢 s ? ?i ? j ? k ，（∵此时 cos(s, n) ? ） 3（2）、直线 L 的方向矢 s 和平面 ? 的法矢 n 的夹角 ? （入射角）成立： cos??s?n 1 ? sn 3则和 n 方向一致长度为 cos?s 的矢量 s1 ? cos? sn 1 ? {1,1,1}， n 3根据向量的三角形法则（见图 7-28）可知反射线的方向矢 s2 ∴反射线方程：x?3 x?6 z ?4 ? ? 5 ?1 ?1 注：取和 n 成锐角的直线 L 的方向矢 s ，是为保证能够根据三角形法则求出反射线的方向矢方法二：用两平面的交线表达反射线 解：过直线 L : ?1 ? s ? 2(s1 ? s) ? {5,?1,?1} ， 3?x ? y ? 3 ? 0 的平面束方程： x ? y ? 3 ? ?( x ? z ? 1) ? 0 ，从中求出： ? x ? z ?1 ? 0? 0 ? ? ? ?1（1）、过 L 垂直于平面 ? 的平面 ?1 应满足： (1 ? ? ) ? 1 ? ? ∴ ?1 ：y? z ?2 ? 0 i j k ?x ? y ? 3 ? 0 直线 L : ? 的方向矢 s ? 1 1 0 ? i ? j ? k ，设 ? 的法矢为 n ， ? x ? z ?1 ? 0 1 0 1则 L 和 ? 的夹角 ? 满足： sin ??s?n 1 ? ， sn 3? 2 2 3 ? (1 ? ? ) 2 ? 1 ? ?2 3 1? ? ?1? ?（2）过 L 和平面 ? 的夹角为 ? 的平面方程 ?2 应满足： cos? ∴?? 1 ? ?2 ： 2 x ? y ? z ? 4 ? 0 ，? x ? y ? z ?1 ? 0 ，事实上反射线 L2 也在过 L1 和 ? 成 ? 角的平面上， ?2x ? y ? z ? 4 ? 0 ? x ? y ? z ?1 ? 0 的平面束方程： x ? y ? z ? 1 ? ?1 (2x ? y ? z ? 4) ? 0 ， ?2x ? y ? z ? 4 ? 0∴得交线 L1 ： ?∴过直线 L1 ： ?过 L1 和 ? 成 ? 角的平面 ? 3 应满足： cos??2 2 3 ? (1 ? 2?1 ) 2 ? 2(1 ? ?1 ) 2 31 ? 2?1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ?13 ? ?1 ? ? ? ? 3 ： 2x ? 5 y ? 5z ? 20 ? 0 ， 8由于反射线既在 ?1 上，又在 ? 3 上，∴反射线 L2 ： ??2x ? 5 y ? 5z ? 20 ? 0 y?z?2 ?0 ?注：除了这两种方法以外，还有其他方法。 课外习题★ ★ ★ ★ 1 ． 如 图 7- （ 1 ） 已 知 向 量OA ? a, OB ? b, ?ODA??2。（1）求证?ODA 的 面 积?a ?b a?b 2b2；当 a, b 间的夹角 ? 为何值时， ?ODA的面积最大？ Aa?Ob图 7-（1）DB解： OD? Pr jb a ?a?b 1 a?b 1 , AD ? b ? a ? b ? AD ? b 2 2 b，∴ S ?ODA?a ?b a?b 1 OD AD ? 2 2 2ba ? {2,?3,6}, b ? {?1,2,?2} ，向量 c 在向量 a 与向量 b 的角平分线上，且★★★★ 2 ．已知向量c ? 3 42 ，求 c 的坐标思路：两个单位向量的和向量即是它们的角平分向量 解： a ? {2,?3,6}, b ? {?1,2,?2} ，所以单位化得到： a 01 1 ? {2,?3,6}, b0 ? {?1,2,?2} ， 7 3a 0 ? b0 ?∴ c// (a ∴c01 {?1,5,4} ，∵向量 c 在向量 a 与向量 b 的角平分线上 21? b0 ) ? c ? ?(a0 ? b0 ) ? ?1{?1,5,4} ，由 c ? 3 42 ，可得： ?1 ? 3? (?3,15,12) a ? b ? c ? d , a ? c ? b ? d ，则向量 a ? d 与 b ? c 共线★★★3．若思路：要证向量 a ? d 与 b ? c 共线，只要证 (a ? d ) ? (b ? c) ? 0 证明：∵ (a ? d ) ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c ? d ? b ? d ? c ? c ? d ? b ? d ? d ? b ? d ? c ? 0∴向量 a ? d 与 b ? c 共线★★★★4．试求平面2x ? y ? z ? 7 ? 0 和平面 x ? y ? 2z ? 11 ? 0 的夹角平分面方程思路：受课外习题 2 的启发，容易得到角平分线的方向矢 解：联立两平面 2x ? y ? z ? 7 ? 0 ， x ? y ? 2z ? 11 ? 0 可得它们的交线 L ，则根据平面束方程，得到过 L 的平面方程为 2x ?y ? z ? 7 ? ?( x ? y ? 2z ? 11) ? 0 ， 平面 2x ?y ? z ? 7 ? 0 和平面 x ? y ? 2z ? 11 ? 0 的法矢分别为 s1 ? {2,?1,1}, s2 ? {1,1,2}则 s10?1 1 1 3 0 0 {2,?1,1}, s2 ? {1,1,2} ? s10 ? s2 ? {3,0,3} ? {1,0,1} ， 6 6 6 6?1∴夹角平分面方程应满足： {2 ? ?, ? ? 1,2? ? 1 } //{1,0,1} ? ? ∴夹角平分面方程为 3x ? 3z ? 8 ? 0★★★★5．求证：原点在平面x y z ? ? ? 1上的投影是这这平面被三坐标面所截三角形的重心 a b cx y z ? ? ? 1被三坐标面所截三角形的顶点分别为 A(a,0,0), B(0, b,0), C(0,0, c) ， a b c x y z 原点 O 在平面 ? ? ? 1上的投影点为 D ，则根据向量的线性运算法则： a b c证：设平面AD ? OD ? OA ? AD ? BC ? OD ? BC ? OA? BC ? 0 ? AD ? BC ，同理可得： BD ? ∴原点在平面AC, CD ? ABx y z ? ? ? 1上的投影是这这平面被三坐标面所截三角形的重心 a b c(1,2,3) ，它在正 x 轴、正 y 轴上的截距相等。问当平面的截距为何值时，它与三个★★★★6．一平面通过坐标面所围成的立体体积最小？并写出此平面方程x y z ? ? ? 1，∵它在正 x 轴、正 y 轴上的截距相等，∴ a ? b, a ? 0, b ? 0 ， a b c 1 2 3 3a ∵平面又通过 (1,2,3) ，∴ ? ? ? 1 ? c ? ， a a c a ?3解：设平面方程为该平面与三个坐标面所围成的立体体积 Va 2 (3a ? 10) 1 a3 ? 0， ，由 V ? ? ? ? ab c ? 2(a ? 3) 2 6 2a ?310 10 或 a ? 0 （舍去），∵ a ? 是所求范围内的唯一驻点 3 3 10 10 ∴当平面在 x、y、z 轴上的截距分别为 , ,30 时，平面与三个坐标面所围成的立体体积最小 3 3得： a?此平面方程为 9x ? 9 y ? z? 30★★★★7．求过原点且与直线x ?1 y ? 2 z ? 1 x ? 2 y ? 1 z 及 ? ? ? ? 都相交的直线方程 2 1 1 1 2 2方法一：由于所求直线与已知两直线相交，若设两交点为 M1 、 M 2 ，则所求直线为过 O 、 M1 、 M 2 三点的直线 ?x ? 2t1 ? 1 x ?1 y ? 2 z ? 1 ? 解：设所求直线与已知直线 的交点为 M1 ： ? y ? t1 ? 2 ； ? ? 2 1 1 ? z ? t ?1 1 ? ? x ? t2 ? 2 x ? 2 y ?1 z ? 与已知直线 ? ? 的交点为 M 2 ： ? y ? 2t 2 ? 1 ， 1 2 2 ? z ? 2t 2 ?则 OM1? {2t1 ? 1, t1 ? 2, t1 ? 1}, OM2 ? {t 2 ? 2, 2t 2 ? 1, 2t 2 } ，∵所求直线过 O 、 M1 、 M 2 三点，∴ OM1 // OM 2?2t1 ? 1 t1 ? 2 t1 ? 1 ? ? ?k t 2 ? 2 2t 2 ? 1 2t 2??2t ? 3t 2 ? ?7 ?t1 ? ?5 t1 ? 2 t1 ? 1 ? ? k ? k ? ?3 ? ? 1 ?? 2t 2 ? 1 2t 2 ? t1 ? 6t 2 ? 1 ? t2 ? 1∴所求直线过原点方向矢为OM2 或 OM1 ，∴该直线方程为：方法二：所求直线应该在过原点和直线x ? 2 y ?1 z ? ? 的平面Ⅱ上 1 2 2x ?1 y ? 2 z ? 1 的平面Ⅰ上，又在在过原点和直线 ? ? 2 1 1x y z ? ? 3 1 2i j k x ?1 y ? 2 z ? 1 解：在过原点和直线 的平面Ⅰ的法矢： s1 ? 1 2 ? 1 ? 3i ? 3 j ? 3k ? ? 2 1 1 2 1 1∴平面Ⅰ的方程： x ?y? z ? 0；i j k x ? 2 y ?1 z 过原点和直线 ? ? 的平面Ⅱ的法矢： s1 ? 2 ? 1 0 ? ?2i ? 4 j ? 5k 1 2 2 1 2 2∴平面Ⅱ的方程： 2x ? 4 y ? 5z? 0，∴所求直线方程： ?? x? y?z ?0 ?2x ? 4 y ? 5z ? 0★★★★8．求过点(?1,0,4) ，平行于平面 3x ? 4 y ? z ? 10 且与直线 x ? 1 ? y ? 3 ?z 相交的直线方 2程方法一：设所求直线与已知直线 x ? 1 ?线y ?3 ?z 的交点为 M 0 ，过 M1 (?1 ,0,4) 和 M 0 即为所求直 2 ? x ? t ?1 z ? 解：设所求直线与已知直线 x ? 1 ? y ? 3 ? 的交点为 M 0 ： ? y ? t ? 3 2 ? z ? 2t ?M 0 M1 ? {t, t ? 3, 2t ? 4} ，∵ M 0 M1 // 平面 3x ? 4 y ? z ? 10 ，∴ 3t ? 4(t ? 3) ? (2t ? 4)? 0 ? t ? 16 ∴设所求直线方程：x ?1 y z ? 4 ? ? 16 19 28方法二：通过求交点求该直线方程 解：过点 M1 (?1,0,4) 平行于平面 3x ? 4 y ? z ? 10 的平面 ? ： 3( x ? 1) ? 4 y ? ( z ? 4) ? 0平面 ? 和直线 x ? 1 ?y ?3 ?z 的交点 M 0 ： 2? x ? 15 z ? 将 x ?1 ? y ? 3 ? ? k 代入 3( x ? 1) ? 4 y ? ( z ? 4) ? 0 ? k ? 16 ? 交点 M 0 ： ? y ? 19 2 ?z ? 32 ? x ?1 y z ? 4 所求直线即为过 M1 、 M 0 的直线，∴它的方程为： ? ? 16 19 28★★★★9．已知柱面的准线方程为?x 2 ? y 2 ? 25 ，母线平行于 s ? {3,?5,1 } ，求柱面方程 ? ? z?0知识点：求柱面方程的方法 解：见图 7-（9）z( x, y, z)syx图 7-（9）( x0 , y0 ,0)设柱面上的任一点 ( x, y, z) ，它落在经准线上的某点 ( x0 , y0 ,0) 作平行于 s 的母线上（如图），因此有：x ? x0 y ? y0 z ? x0 ? x ? 3z ? ? ?? ， 3 ?5 1 ? y0 ? y ? 5 z又 ( x0 , y0 ) 满足 x02? y0 2 ? 25，∴代入可得柱面方程： ( x ? 3z) 2 ? ( y ? 5z) 2 ? 25
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高等数学课后习题及参考答案（第八章）
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亲，第1题的(4)小题和第2小题怎么做
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高等数学(上册)第8章习题答案
第七章空间解析几何与向量代数内容概要名 称 向 量 及 线 性 运 算 主要性质：（1） a 单位化向量为 向量与数的乘法 向量的加减法 三角形法则 平行四边形法则 主要内容（7-1，7-2，7-3）?a ：当 ? ? 0 时， ?a 表示和 a 同向， ?a ? ? a 的向量； 当 ? ? 0 ， ?a 表示和 a 反向， ?a ? ? a 的向量；a a，（2） a//b ? a? ?b向 量 的 坐 标M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) 的距离： ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2向量的代数运算a ? ax i ? a y j ? az k b ? bx i ? by j ? bz ka ? b ? (ax ? bx )i ? (ay ? by ) j ? (az ? bz )k?a ? ?ax i ? ?a y j ? ?az k2 2 2 a ? ax ? ay ? az ， cos? ?向量 a 的模、方向余弦：ax b a , cos ? ? x , cos? ? z a a a向量 a 在μ 轴上的投影： Pr j μ a ? a cos(a, μ) ?定义及运算： a ? b ? 主要性质： （1 ） a ? a??a? μ μ数 量 积 向 量 积 混 合 积数量积a b cos(a, b) ? ax bx ? a y by ? az bz?a2； （2 ） a? b ? a?b ? 0， （3） cos(a, b) ?运算?a?b ab向量积定义a ? b 的模为 a ? b ? a b sin(a, b) ，方向为 a 指向 b 大拇指方向?i a ? b ? ax bxj ay byk az bz性质：（1） a ? b 表示以 a 、 b 为邻边的平行四边形面积； （2 ） a ? b ? a , a ? b ? b 混合积ax 定义及运算： (a ? b) ? c ? bx cx性质：（1） (a ? b) ? cay by cyaz bz cz? (b ? c) ? a ? (c ? a) ? b ?0（2） a, b, c 共面的充要条件： (a ? b) ? c 习题 7-1★★1．填空：（1） （2）★2．设要使 要使a ? b ? a ? b 成立，向量 a , b 应满足 a ? b a ? b ? a ? b 成立，向量 a , b 应满足 a // b，且同向u ? a ? b ? 2c , v ? ?a ? 3b ? c ，试用 a , b , c 表示向量 2u ? 3v知识点：向量的线性运算 解： 2u ? 3v ? 2a ? 2b ? 4c ? 3a ? 9b ? 3c ? 5a ? 11b ? 7c★3．设P , Q 两点的向径分别为 r1 , r2 ，点 R 在线段 PQ 上，且PR m ? ，证明点 R 的向径为 RQ nr ?n r1 ? m r2 m?n知识点：向量的线性运算 证明：在 ?OPQ 中，根据三角形法则 OQ ? OP ? PQ ，又 PR ?∴ OR ? OP ? PR ? r1m m PQ ? (r ? r ) ， m?n m?n 2 1?nr ? mr2 m (r2 ? r1 ) ? 1 m?n m?n★★4．已知菱形ABCD的对角线 AC ? a , BD ? b ，试用向量 a , b 表示 AB , BC , CD , DA。知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则，∴AB ? BC ? AC ? a , AD ? AB ? BD ? b ，又 ABCD为菱形，AD ? BC （自由向量），a ?b b ?a ? CD ? ?DC ? ? AB ? 2 2 a?b a ?b ∴ AD ? BC ? ， DA ? ? 2 2∴ 2 AB ?AC ? BD ? a ? b ? AB ?★★5．把?ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D1 , D2 , D3 , D4 ，再把各分点与点 A 连接，试以AB ? c , BC ? a 表示向量 D1 A , D2 A , D3 A 和 D4 A 。知识点：向量的线性运算 解：见图 7-1-5， AcaD1BCD2D3D4图 7-1-51 1 AB ? BD1 ? AD1 , BD1 ? BC ? D1 A ? ? AD1 ? ?(c ? a) 5 5 2 3 4 同理： D2 A ? ?((c ? a), D3 A ? ?(c ? a), D4 A ? ?(c ? a) 5 5 5根据三角形法则，习题 7-2★1 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(2 , ? 2 , 3) ；答：B(3 , 3 , ? 5) ； C(3 , ? 2 , ? 4) ；D(?4 , ? 3 , 2)A(2 , ? 2 , 3) 在 第 四 卦 限 ， B(3 , 3 , ? 5) 在 第 五 卦 限 ， C(3 , ? 2 , ? 4) 在 第 八 卦 限 ，D(?4 , ? 3 , 2) 在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A (2,3,0);B (0,3,2);C(2,0,0);D (0,?2,0)知识点：空间直角坐标 答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点A 在 xoy 坐标面上； B 在 yoz 坐标面上； C 在 x 轴上； D 在 y 轴上。(a,b,c)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。★3．求点答：（1）(a,b,c)关于 xoy 面的对称点的坐标为 (a, b,?c) ；关于 xoz 面的对称点的坐标为 (a,?b, c) ；关于 yoz 面的对称点的坐标为 (?a, b, c) 。 （2）(a,b,c)关于 x 轴的对称点的坐标为 (a,?b,?c) ；关于 y 轴的对称点的坐标为 (?a, b,?c) ； 关于 z 轴的对称点的坐标为 (?a,?b, c) （3）(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为 (?a,?b,?c)★★4．过点P (x , y0 ,z0 )分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xoy 坐标面的平面，问在它们上面的点的坐 0 0 标各有什么特点？答：过点 P (x , y0 ,z0 )平行于 z 轴的直线上的点 x、y 坐标一定为 x0 , y0 ，因此坐标为(x0 , y0 ,z)； 0 0过点 P (x , y0 ,z0 )平行于 xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为 z0 ，因此坐标为(x, y,z0 ) 0 0★5．求点M(5,?3,4)到各坐标轴的距离。解：∵ M ( x, y, z) 到 x 轴的距离为∴ M(5,?3,4)到 x 轴的距离为 同理 M(5,?3,4)到 y 轴的距离为z2 ? y2z 2 ? y 2 ? 9 ? 16 ? 5 ；x 2 ? z 2 ? 25 ? 16 ? 41 ；M(5,?3,4)到 z 轴的距离为 x 2 ? y 2 ? 25 ? 9 ? 34★★6．在 yoz 面上，求与三点A (3,1,2),B (4,?2,?2),C(0,5,1)等距离的点。知识点：空间两点的距离 解：∵所求点在 yoz 面上，∴设所求点的坐标为 (0, y, z) ，由条件可知：9 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 16 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( z ? 1) 2?3 y ? 4z ? ?5 ? y ? 1 ?? ?? ，∴所求点为 (0,1,?2) ? 4y ? z ? 6 ?z ? ?2★7．已知两点M1(0,1,2),M2(1,?1,0)，试用坐标表示式表示向量 M1M2 ,?2M1M2 。知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算 解： M 1 M 2? {1,?2 , ? 2} ； ? 2M1M 2 ? ?2{1,?2 , ? 2} ? {?2, 4, 4}a ? {6,7,?6}的单位向量 ? {6,7,?6}的单位向量有和 a 同向和反向两个，★8．求平行于向量知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：平行于向量 a∴a0??a 1 6 7 6 ?? {6,7,?6} ? ?{ , , ? } a 11 11 11 36 ? 49 ? 36★★9．已知两点M1(4, 2,1),M2(3,0,2)，计算向量 M1M2 的模、方向余弦、方向角。知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：M1M 2 ? {?1 , ? 2 , 1} ? M1M 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 , cos? ??1 ? 2 , cos ? ? 2 2 cos? ?1 2? 3? ? ?? ? ,? ? ,? ? 2 3 4 3★★10．已知向量a 的模为 3，且其方向角 ? ? ? ? 60 ,? ? 45 ，求向量 a 。知识点：向量的坐标表示及相关概念 解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：? ? ? 3 3 2 3 a ? a {cos? , cos ? , cos? } ? 3{cos , cos , cos } ? { , , } 3 4 3 2 2 2★★11．设向量a 的方向余弦分别满足(1)cos ? ? 0, (2)cos ? ? 1, (3)cos ? ? cos ? ? 0问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？知识点：向量的方向余弦 解：（1） cos?（2） cos ? （3） cos? 于z轴★12．已知? 0 表示向量和 x 轴正向夹角为?2，因此该向量和 x 轴垂直，或平行于 yoz 面? 1表示向量和 y 轴正向夹角为零，因此该向量和 y 轴平行且方向相同 ? cos ? ? 0 表示向量和 x、y 轴正向夹角都为?2，说明该向量和 x、y 轴都垂直，因此平行r ? 4,r 与轴 ? 的夹角是 60?，求 Pr j? r 。知识点：向量在轴上的投影 解：根据投影公式 Pr j? r★★13．一向量的终点为? r cos(r, μ) ? 2B (2,?1,7)，它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4,?4,7 ，求该向量的起点A 的坐标。知识点：向量在坐标轴上的投影 解：∵向量的坐标分量即为它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影，设起点 A 为 A( x, y, z) ，则：AB ? {2 ? x, ? 1 ? y, 7 ? z} ? {4, ? 4, 7} ? ( x, y, z) ? (?2, 3, 0)★★14．求与向量a ? {16,?15,12}平行，方向相反，且长度为 75 的向量 b 。知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：由条件可得： b? ?a ， b 长度为 75，∴ ? ? 162 ? 152 ? 122 ? 75 ? ? ? ?3∵ b 和 a 反向，∴ ?? ?3 ? b ? ?a = {?48,45, ?36} ，习题 7-3★★1．设a ? 3 , b ? 5 ，且两向量的夹角 ? ? ? / 3 ，试求 (a ? 2b) ? (3a ? 2b) 。 知识点：向量的数量积及其运算规律 解：根据数量积的运算规律： (a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 3 a2? 2a ? b ? 6b ? a ? 4 b2? 3 a ? 4a ? b ? 4 b★★2．已知22，∵ a ? b ?a b cos(a ? b) ??15 ? (a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? ?103 2M1 (1,?1, 2), M 2 (3,3,1), M 3 (3,1,3)，求同时与 M1M 2 , M 2 M3 垂直的单位向量知识点：向量的向量积 解：∵由向量积性质： a ? b ? a, a ? b ? b ， M1M 2? {2,4,?1} , M 2 M3 ? {0,?2, 2}i j k 4 ? 1 ? 6i ? 4 j ? 4k 为同时与 M1M 2 , M 2 M3 垂直的向量 ∴ M1M 2 ? M 2 M 3 ? 2 0 ?2 2∴所求单位向量为 ?1 32 ? 22 ? 22{3,?2, ? 2} ? ?{3 2 2 ,? ,? } 17 17 17★3．设力f ? 2i ? 3 j ? 5k 作用在一质点上，质点由 M1 (1,1,2)沿直线移动到 M 2 (3,4,5)，求此力所做的功（设力的单位为 N，位移的单位为 m）知识点：数量积的物理意义 解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为 M 1 M 2 ? {2,3,3 }，∴W? f ? M1M 2 ? (2i ? 3 j ? 5k) ? (2i ? 3 j ? 3k) ? 10( N ? m)a ? {4,?3,4) 在向量 b ? {2,2,1}上的投影。★4．求向量知识点：向量在轴上的投影 解：根据公式 Pr jb a ?a cos(a, b) ? a?a?b a?b ? ? 2。 a?b b★★5．设a ? {3,5,?2} , b ? {2,1,4}，问 ? 与 ? 有怎样的关系能使 ?a ? ?b 与 z 轴垂直？知识点：两向量垂直的充要条件 解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取 z 轴的单位向量 {0,0,1) ，则(?a ? ?b) ?{0,0,1} ? ?2? ? 4? ? 0 ? ? ? 2?★★★6． 在杠杆上支点O 的一侧与点 O 的距离为 x1 的点 P 有一与 OP 在O 1 成角 ?1 的力 F1 作用着， 1 处，的另一侧与点 O 的距离为 x2 的点 P 2 成角 ? 2 的力 F2 作用着，如图，问 ?1 ， ? 2 ， x1 ， 2 处，有一与 OPx2 ， F1，F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ F2?2F1 x2x1?1o图 7-3-6知识点：向量积的物理应用 解： P 1 处 F1 作用产生的力矩 M 1杆平衡，只要★★7．设? OP 1 ? F1 ， P 2 ? F2 ，要使杠 2 处 F2 作用产生的力矩 M 2 ? OPM1 ? M 2 ? x1 F1 sin ?1 ? x2 F2 sin ? 2a ? 2i ? 3 j ? k , b ? i ? j ? 3k , c ? i ? 2 j ，求（2） (a ? b) ? (b ? c) ； （3） (a ? b) ? c（1） (a ? b)c ? (a ? c)b ；知识点：向量运算的坐标表示 解（1） (a ? b)c ? (a ? c)b ? 8c ? 8b ? {0 , ? 8, ? 24}i j k （2） (a ? b) ? (b ? c) ? {3,?4, 4} ? {2,?3, 3} ? 3 ? 4 4 ? ? j ? k 2 ?3 3 i j k 1,?2, 0} ? 2 （3） (a ? b) ? c ? ( 2 ? 3 1 ) ? c ? {?8, ? 5, 1}? { 1 ?1 3★★★8．直线L 通过点 A(?2,1,3)和 B(0,?1,2)求点 C(10,5,10)到直线 L 的距离。知识点：向量积 思路：在 A, B, C 为顶点组成的三角形中， AB 边上的高即为所求距离。 解：设所求的距离值为 h ，1 AB ? 3 ，又根据向量积的性质： S ? AB ? AC ?ABC 2i j k AB ? AC ? 2 ? 2 ? 1 ? ?10i ? 26 j ? 32k ? AB ? AC ? 30 2 12 4 7 ? S ?ABC ? 1 1 AB ? AC ? ? 3h ? h ? 10 2 2 2 ★★★★9．试证向量ab ? ba a?b表示向量 a 与 b 夹角的平分角线向量的方向。思路：按题意，只要证该向量在 a 方向上的投影和它在 b 方向上的投影相同。 解：设 c ?ab ? ba a?b， Pr ja c?ba?a ab?a ba a?c b?a ? ? ? ? , a a(a ? b) a(a ? b) a ? b a ? b而 Pr jbc ?b b?a a b?b ba b?c b?a ? ? ? ? ? Pr jac b b(a ? b) b(a ? b) a ? b a ? b又c?ab ? ba b ? ka ? (1 ? k )b , (k ? ) ∴ c 和 a 、 b 在同一平面上， a?b a?b∴ c 表示向量 a 与 b 夹角的平分角线向量的方向★★10．设m ? 2a ? b , n ? ka ? b ，其中 a ? 1 , b ? 2 ，且 a ? b 。? n？知识点：向量的数量积、向量积及其性质（1） k 为何值时， m解： m ? n ? m ? n ? 0 ，由 m ? n ? 0 ? (2a ? b ) ? (ka ? b) ? 2k ? (2 ? k )a ? b ? 4 ? 0? b ，∴ a ? b ? 0 ? k ? ?2 （2） k 为何值时， m 与 n 为邻边的平行四边形面积为 6。∵a解： m 与 n 为邻边的平行四边形面积 S∵a? m ? n ? (2a ? b ) ? (ka ? b) ? (2 ? k )a ? b? b ，∴ a ? b ? a b ? 2 ? S ? 2 2 ? k ? 6 ? k ? ?1 或 k ? 5★★★11．设a, b, c 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但 a ? b 与 c 共线， c ? b 与 a 共线，试证a?b?c ?0 。证明：∵ a ? b 与 c 共线， c ? b 与 a 共线，∴可设 ?1 (a ? b) ? c, c ? b ? ?2a , (?1代入可推得 ? (?2 零向量，可得：? 0, ?2 ? 0)? ?1 )a ? (1 ? ?1 )b ，又∵其中任意两个向量不共线，则由 a, b 不共线且为非?2 ? ?1 ? 1 ? ?1 ? 0 ? ?2 ? ?1 ? ?1 ? a ? b ? c ? 0★★★12．试证向量a ? ?i ? 3 j ? 2k , b ? 2i ? 3 j ? 4k , c ? ?3i ? 12 j ? 6k 在同一平面上，并沿a 和 b 分解 c 。知识点：向量的混合积及其几何意义 解：根据向量混合积的几何意义： a, b, c 共面 ?(a ? b) ? c ? 0 ， ?1 3 2 ? 3 ? 4 ? ?30 ? 3 ? 0 ? 2 ?15 ? 0 ，∴ a, b, c 共面 又 (a ? b) ? c ? 2 ? 3 12 6设 c = ?1a ? ?2 b ，将 a, b, c 代入 ? 2?2? ?1 ? ?3, 3(?1 ? ?2 ) ? 12, 2?1 ? 4?2 ? 6? ?1 ? 5, ?2 ? 1 ? c ? 5a ? b★★★13．设点A, B, C 的向径分别为 r1 ? 2i ? 4 j ? k , r2 ? 3i ? 7 j ? 5k , r3 ? 4i ? 10 j ? 9k ，试证：A, B, C 三点在一直线上。思路：只要证：向量 AB 和 AC 平行 证明： AB ? OB ? OA ? {3,7,5} ?{2,4,1} ? {1,3,4} ；AC ? OC ? OA ? {4,10,9} ?{2,4,1} ? {2,6,8}∵AC ? 2AB ? AB / / ACa ? {a1 , a2 , a3 } , b ? {b1 , b2 , b3 } , c ? {c1 , c2 , c3 } ，试利用行列式的性质证明：★★★14．已知(a ? b) ? c ? (b ? c) ? a ? (c ? a) ? ba1 a2 a3 证明： (a ? b) ? c ? b1 b2 b3 c1 c2 c3 b1 b2 c1 c2 a1 a2 b3 c3 a3，b1 b2 b3 (b ? c) ? a ? c1 c2 c3 a1 a2 a3 a3 b3 c3，而行列式a1 a2 是行列式 b1 b2 c1 c2交换两次两行得到，∴ (a ? b) ? c ∴ (a ? b) ? c? (b ? c) ? a 。同理可证： (b ? c) ? a ? (c ? a) ? b ， ? (b ? c) ? a ? (c ? a) ? b★★★15．试用向量证明不等式：a12 ? a2 2 ? a3 2 ? b12 ? b2 2 ? b3 2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3? {a1 , a2 , a3 } 的模；。思路：a12 ? a2 2 ? a3 2 b12 ? b2 2 ? b3 2可看作向量 a是向量 b? {b1 , b2 , b3 }的模，而 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 是 a ? b 的值。证明：设 a ? {a1 , a2 , a3 } ， b ? {b1 , b2 , b3 }，则a ? a12 ? a2 2 ? a3 2 , b ? b12 ? b2 2 ? b3 2 ∵a?b ? 即：a b cos(a ? b) ? a b ? a ? b?a12 ? a2 2 ? a3 2 ? b12 ? b2 2 ? b3 2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3内容概要主要内容（7-4，7-5，7-8） 旋转曲面 xoy 面上曲线f ( x, y) ? 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面方程： f ( x,? y 2 ? z 2 ? 0 f ( y, z) ? 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程： f (? x 2 ? y 2 , z) ? 0 f ( x, z) ? 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程： f (? x 2 ? y 2 , z) ? 02yoz 面上曲线xoz 面上曲线 常见旋转曲面 （1 ）圆锥面： z? a 2 ( x 2 ? y 2 ) （yoz 面上曲线 z ? y 绕 z 轴旋转而成）（2 ） 曲 面 及 其 方 程 柱面x2 ? y2 z 2 旋转单叶双曲面： ? 2 ? 1（zox a2 c轴旋转而成）x2 z 2 面上的曲线 2 ? 2 ? 1 绕 a cz? f ( x, y) ? 0 母线平行于 z 轴的柱面 f ( x, y) ? 0 表示准线为： ? ? z?0 ? f ( y, z) ? 0 母线平行于 x 轴的柱面 f ( y, z) ? 0 表示准线为： ? ? x?0 ? f ( x, z) ? 0 母线平行于 y 轴的柱面 f ( x, z) ? 0 表示准线为： ? ? y?0柱面方程特点：缺少某个变量常见柱面（1）抛物柱面：y 2 ? ax ? b 表示母线平行于 z 轴的抛物柱面（2）椭圆柱面：x2 z 2 ? ? 1表示母线平行于 y 轴的椭圆柱面 a 2 b2 y2 z2 ? ? 1表示母线平行于 x 轴的双曲柱面 a 2 b2（3）双曲柱面：二次曲面 空 间 曲 线椭球面、抛物面、双曲面L 的一般方程?F ( x, y, z) ? 0 ? ?G( x, y, z) ? 0L 的参数方程x ? ?(t ) , y ? ? (t ) , z ? ?(t ) 及 其 方 程L 在坐标面上的投影消去 L 方程中的变量 z 得到的 H ( x, y)? 0 即为 L 在 xoy 面上的投影柱面，?H ( x, y) ? 0 就是 L 在 xoy 面上的投影曲线（以此类推） ? ? z?0O(1,?2, 2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程。习题 7-4★1．求以点知识点：空间两点的距离 解：设球面上点的坐标为 ( x, y, z) ，则根据两点距离公式： ( x ? 1)∵原点在球面上， ∴R2? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2 ? R 2 ，? 12 ? (?2) 2 ? 22 ? 3, ∴球面方程：( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 9 。★2．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求该动点的轨迹方程。解：设动点的坐标为（ x, y, z ），则根据等距离的条件：( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( z ? 6) 2∴动点的轨迹方程为： 4x ? 4 y ? 10z ? 63 ? 0★3．方程x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2x ? 4 y ? 4z ? 7 ? 0 表示什么曲面？2解：方程可化为： ( x ? 1)为 4 的球面。? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 16 ∴该方程表达的是以 (1,?2, 2) 为球心、半径★★4．将 xoz 坐标面上的抛物线z 2 ? 5x 绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。 ? 5x 是绕 x 轴旋转知识点：旋转曲面 解：∵xoz 坐标面上的抛物线 z∴旋转曲面方程为 (?2y 2 ? z 2 ) 2 ? 5x ? y 2 ? z 2 ? 5 x★★5．将 xoz 坐标面上的抛物线2x 2 ? z 2 ? 9 绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。 ? z 2 ? 9 是绕 z 轴旋转解：∵xoz 坐标面上的抛物线 x∴旋转曲面方程为 (?x2 ? y 2 )2 ? z 2 ? 9 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 9 。2★★6．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？（1） x ? 0 ；（2）y ? x ?1 ；（3） x? y2 ? 4 ；（4） x2? y2 ? 1答：（1） x ? 0 在平面解析几何中表示 y 轴，在空间解析几何中表示 yoz 坐标面（2） y 影为? x ? 1 在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z 轴，在 xoy 坐标面上投y ? x ? 1 的一个平面。 （3） x2? y 2 ? 4 在平面解析几何中表示 xoy 面上，原点为心、半径为 2 的圆线，在空间解析几何中表2示准线为 xoy 面上的圆线 x （4） x2? y 2 ? 4 ，母线平行于 z 轴的圆柱面。? y 2 ? 1 在平面解析几何中表示 xoy 面上的双曲线，在空间解析几何中表示准线为 xoy 面上的2双曲线 x? y 2 ? 1 ，母线平行于 z 轴的双曲柱面。★★7．说明下列旋转曲面是怎样形成的：x2 y 2 z 2 （1） ? ? ? 1； 4 9 9知识点：旋转曲面y2 （2） x ? ? z 2 ? 1； 42（3） x2? y 2 ? z 2 ? 1。x 2 (? y 2 ? z 2 ) 2 x2 y 2 z 2 ? 1 ，∴方程表达的是：xoy 坐标面上的 解：方程 ? ? ? 1可变化为 ? 4 9 4 9 9曲线x2 y2 ? ? 1 绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面 4 9x2 y 2 z 2 x2 z 2 注：方程 ? ? ? 1也可看作是：xoz 坐标面上的曲线 ? ? 1 绕 x 轴旋转一周所得的旋 4 9 9 4 9转曲面★★8．指出下列各方程表示哪种曲面：（1） x2? y 2 ? 2z ? 0 ；（2） x2? y2 ? 0 ；（3） x2? y2 ? 0（4）y ? 3z ? 0 ；2（5）y2 ? 4y ? 3 ? 0 ；（6）x2 y 2 ? ?1 9 162y2 （7） x ? ? 1； 9（2） x （3） x2（8） x2? 4y ；（9） z? x2 ? y2 ? 0答：（1）方程表达开口向着 z 轴正向的圆抛物面（或旋转抛物面）? y2 ? 0 ? x ? y 或 x ? ? y ，∴表达两个垂直于 xoy 面的平面： x ? y ； x ? ? y ? y2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ∴表示 z 轴2（4）平行于 x 轴且经过 yoz 面上的直线 （5）y ? 3z ? 0 的平面y ? 3 和 y ? 1这两个平行于 xoz 坐标面的平面（6）准线为 xoy 坐标面上的椭圆x2 y 2 ? ? 1 ，母线平行于 z 轴的椭圆柱面 9 16 （7）准线为 xoy 坐标面上的双曲线 x2y2 ? ? 1 ，母线平行于 z 轴的双曲柱面 9? 4 y ，母线平行于 z 轴的抛物柱面（8）准线为 xoy 坐标面上的抛物线 x （9）yoz 坐标面上的直线2y ? z 绕 z 轴旋转一周所得的圆锥面习题 7-5★★★1．画出下列曲线在第一象限内的图形：（1） ??x ? 2 ?y ? 4；（2） ?? ?z ? 9 ? x 2 ? y 2 ? x? y ?0 ?；（3） ? 2?x 2 ? y 2 ? a 2 2 2 ?x ? z ? a解（1）z42yx7-5-1-（1）（2）zz ? 9 ? x2 ? y 2y0x? yx7-5-1-（2） （3）z0xyx7-5-1-（3）★★2．方程组? y ? 5x ? 2 在平面几何与空间解析几何中各表示什么？ ? ? y ? 2x ? 5xoy 坐标面答：方程组 ?? y ? 5x ? 2 在平面几何中表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于 ? y ? 2x ? 5的两平面的交线。? x2 y 2 ? ? ? 1 在平面几何与空间解析几何中各表示什么？ ★★3．方程组 ? 4 9 ? ? x?2 ? x2 y 2 ? ? ? 1 在平面几何 中表 示一个点 （ 2 ， 0 ） ，在空 间 解析几何 中表示 椭圆 柱面 答 ：方程组 ? 4 9 ? ? x?2?x ? 2 x2 y 2 。 ? ? 1 和平面 x ? 2 的交线： ? 4 9 ?y ? 0★★4．求曲面x 2 ? 9 y 2 ? 10z 与 yoz 平面的交线。解：yoz 平面方程为 x ? 0 ，∴交线为 ?? x2 ? 9 y 2 ? 10z ?9 y 2 ? 10z ?? x?0 ? ? x?0 ?2x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 的柱面方程。 ? 2 2 2 ? x ?z ?y ?0★★5．分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线 知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线 解：要求过曲线 ??2x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 且母线平行于 x 轴的柱面方程，只要方程组消去变量 x 2 2 2 ? x ?z ?y ?02∴所求柱面方程为 3 y? z 2 ? 16?2x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 要求过曲线 ? 2 且母线平行于 y 轴的柱面方程，只要方程组消去变量 y 2 2 ? x ?z ?y ?0∴所求柱面方程为 3x2? 2z 2 ? 16在 xoy 面上的投影方程。★★6．求曲线x ? z ?1 ? ? 2 2 2 ?x ? y ? z ? 9 x ? z ?1 2 2 2 ?x ? y ? z ? 9 ?2知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线 解：要求曲线 ?在 xoy 面上的投影方程，只需方程组消去变量 z∴所求柱面方程为： x? y 2 ? (1 ? x) 2 ? 9 ? 2x 2 ? y 2 ? 2x ? 8在 xoz 面上的投影方程。★★7．求曲线y ? z ?1 ? 0 ? ? 2 2 ?x ? z ? 3 yz ? 2x ? 3z ? 3 ? 0 y ? z ?1 ? 0 ?x ? z ? 3 yz ? 2x ? 3z ? 3 ? 0 ?2 2解：要求曲线 ?在 xoz 面上的投影方程，只需方程组消去变量 y? x2 ? 4 z 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ∴所求投影方程为： ? y?0 ?★★★8．将曲线?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 9 ? y?x ?2化为参数方程。思路：若将 y ? x 代入 x线的参数式。? y 2 ? z 2 ? 9 ，可得 2x 2 ? z 2 ? 9 ，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲解：将 y ? x 代入 x2? y 2 ? z 2 ? 9 ，可得 2x 2 ? z 2 ? 9 ，该方程可用参数式表达为：? 3 2 cos? ?x ? 2 ? ? ?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 9 3 2 ? ?x ? 3 2 cos? cos? ，∴曲线 的参数式为 ? y ? ? ? 2 2 y ? x ? ? ? ? z ? 3 sin ? ? z ? 3 sin ? ? ? ★★★9．将曲线的一般方程?( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( z ? 1) 2 ? 4 ? z?0 ?化为参数方程。解：将 z ? 0 代入 ( x ?1)该圆方程的参数式为： ?2? y 2 ? ( z ?1)2 ? 4 ， ? 可得： ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 ，?x ? 1 ? 3 cos? ， ? y ? 3 sin ??( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( z ? 1) 2 ? 4 ∴曲线 ? z?0 ?★★10．指出下列各方程组表示什么曲线：?x ? 1 ? 3 cos? ? 的参数方程为： ? y ? 3 sin ? ? z?0 ?。?x ? 2 ? 0 （1） ? ?y ? 3 ? 0?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 20 （2） ? z?2 ?0 ? ? x 2 ? 4 y 2 ? 8z （5） ? z ?8 ??x 2 ? 4 y 2 ? 9z 2 ? 36 （3） ? y ?1 ??x 2 ? 4 y 2 ? 4 z （4） ? ? y ? ?2（2）表示球面 x2答：（1）两平面的交线，该直线平行于 z 轴? y2 ? z 2 ? 20 与平行于 xoy 面的平面 z ? 2 的交线，为一在 z ? 2 平面上的圆线：? x2 ? y2 ? 16 ? ? z?2（ 3 ）表示单叶双曲面x2 ? 4 y2 ? 9z 2 ? 36 和 y ? 1 平面的交线，为一在 y ? 1 平面上的椭圆线：? x2 ? 9z 2 ? 40 ? y ?1 ?（4）表示双曲抛物面（即马鞍面） x2? 4 y2 ? 4z 与 y ? ?2 平面的交线，为一在 y ? ?2 平面上的抛物线： ?? x2 ?16 ? 4z ? y ? ?22（5）表示双曲抛物面（即马鞍面） x? 4 y2 ? 8z 与 z ? 8 平面的交线，为一在 z ? 8 平面上的双曲线：? x2 ? 4 y2 ? 64 ? z ?8 ?★★★11．求旋转抛物面z ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 4) 在三坐标面上的投影。知识点：曲面的投影和空间区域的投影 解：见图 7-5-11， zzyyo x图 7-5-11o x?z ? x 2 ? y 2 （1）由于旋转抛物面 z ? x ? y (0 ? z ? 4) 投影到 xoy 面上时，它的边界线是 ? ， ? z?42 2?x 2 ? y 2 ? 4 ∴在 xoy 面上的投影为： ? ； ? z?0（2）由于旋转抛物面 z? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 4) 投影到 yoz 面上时，它的边界线是：?z ? x 2 ? y 2 , (0 ? z ? 4) ?y2 ? z ? 4 ∴在 yoz 面上的投影为： ? ? x?0 ? ? x?0 ?x 2 ? z ? 4 （3）同理，旋转抛物面 z ? x ? y (0 ? z ? 4) 在 xoz 面上的投影为： ? ? y?02 2★★★ 12 ．假定直线L在yoz 平面上的投影方程为 ??2 y ? 3z ? 1 ，而在 ? x?0zox 平面上的投影方程为?x ? z ? 2 ，求直线 L 在 xoy 面上的投影方程。 ? ? y?0解：∵直线 L 在 yoz 平面上的投影方程为 ??2 y ? 3z ? 1 ，∴直线 L 一定在投影柱面 2 y ? 3z ? 1上， ? x?0z 得到直线 L 在同理，直线 L 也一定在投影柱面 x ? z?2 y ? 3z ? 1 ? 2 上，∴直线 L 方程为 ? ，消去 ? x?z ?2xoy 面上的投影方程： ??3x ? 2 y ? 7 ? z?0 内容概要主要内容（7-6，7-7） 空 间 平 面 及 其 方 程 平面的截距式方程 平面的一般方程 平面的点法式方程 过 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，法矢为 n ? {A, B, C} 的平面方程：A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C( z ? z0 ) ? 0Ax ? By ? Cz ? D ? 0x y z ? ? ?1 a b cAx ? By ? Cz ? D ? 0 的距离： d ?点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D A2 ? B 2 ? C 2两平面的夹角 ? ： cos??A1 A2 ? B1 B2 ? C1C2 A12 ? B12 ? C12（ ?1 ： A 1x ? B 1 y ? C1 z ? D 1 空 间 直 线 及 其 方 程 参数方程 一般方程 对称式方程? 0 ， ?2 ： A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0 ）? {m, n, p} 的直线方程：对称式方程和一般方程的 关系：过 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，方向矢为 sx ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? m n p? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0x ? mt ? x0 , y ? nt ? y0 , z ? pt ? z0i s ? A1 A2j k B1 C1 B2 C2两直线的夹角 ? ：cos? ?s1 ? s 2 m1m2 ? n1n2 ? p1 p2 ? 2 2 2 s1 s 2 m12 ? n12 ? p12 m2 ? n2 ? p2（ L1 的方向矢 s1 直线和平面的夹角 ? ： sin ?? {m1 , n1 , p1}， L2 的方向矢 s2 ? {m2 , n2 , p2 } ）?n? s mA ? nB ? pC ? ns m 2 ? n 2 ? p 2 A2 ? B 2 ? C 2， L 的方向矢为 s（直线 L ：x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? m n p? {m, n, p} ；平面 ? ：Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ）， ? 的法矢为 n ? {A, B, C}平面束方程（ L 为一般方程式）： A 1x ? B 1 y ? C1 z ? D 1? ?( A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ) ? 0 习题 7-6★ 1． 求通过点(2,4,?3) 且与平面 2x ? 3y ? 5z ? 5 平行的平面方程。知识点：平面及其方程 思路：已知平面上的一点和平面的法矢，可求出平面方程 解：∵所求平面 ? 与已知平面 2x ? 3 y ? 5z ? 5 平行，∴ ? 的法矢 n ? {2,3,?5} ，由平面的点法式方程可得 ? ： 2( x ? 2) ? 3( y ? 4) ? 5( z ? 3)★2．求过点? 0 ? 2x ? 3y ? 5z ? 31M0 (2,9, ?6) 且与连接坐标原点及点 M 0 的线段 OM0 垂直的平面方程。知识点：平面及其方程 解：∵所求平面 ? 与 OM0 垂直，∴ ? 的法矢 n ? OM0? {2,9, ?6} ，又 ? 过点 M0 (2,9, ?6) ，∴ ? ： 2( x ? 2) ? 9( y ? 9) ? 6( z ? 6) ? 0 ? 2x ? 9 y ? 6z ? 121★★3．求过点M1 (1,1,2) , M 2 (3,2,3) , M 3 (2,0,3) 三点的平面方程。思路：根据条件，平面过已知点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。 解：∵所求平面 ? 过三点 M1 (1,1,2) , M 2 (3,2,3) , M 3 (2,0,3) ，∴平面 ? 的法矢 n 应满足：n ? M1M 2 , n ? M1M 3 ， M1M 2 ? {2,1,1}, M1M 3 ? {1,?1, 1}；i j k 1 1 ? 2i ? j ? 3k ， ∴可选择 n ? M 1 M 2 ? M 1 M 3 ? 2 1 ?1 1∴ ? ： 2( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 3( z ? 2)? 0 ? 2x ? y ? 3z ? 5 ? 0注：三点 M1 (1,1,2) , M 2 (3,2,3) , M 3 (2,0,3) 组成的任意两个向量的向量积都可作为平面 ? 的法矢 n★★4．平面过原点O ，且垂直于平面 ?1 : x ? 2 y ? 3z ? 2 ? 0 ， ?2 : 6x ? y ? 5z ? 2 ? 0 求此平面方程。思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。 解：设所求平面 ? 和已知平面 ?1 、 ?2 的法矢分别为 n 、 n1 、 n2 ，i j k 2 3 ? 13i ? 13 j ? 13k ∵ ? ? ?1 ， ? ? ?2 ，∴ n ? n1 ， n ? n2 ? n ? n1 ? n2 ? 1 6 ?1 5可选择 ? 的法矢 n? {1,1,?1} ，∴ ? ： x ? y ? z ? 0★★5．指出下列各平面的特殊位置： （1） x （5）? 1；（2） 3 y ? 2 ? 0 ； （6） x ? 2z（3） 2x ? 3 y ? 6 ? 0 ； （7） 6x ? 5 y ? z（4） x ?3y ? 0 ；y? z ? 2；?0；?0。答：（1）该平面平行于 yoz 面；（2）该平面平行于 xoz 面；（3）该平面平行于 z 轴；（4）该平面平行于 z 轴且过原点，即过 z 轴； （5）该平面平行于 x 轴； （6）该平面平行于 y 轴且过原点， 即过 y 轴（7）该平面过原点★★6．求平面2x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 和各坐标轴的夹角余弦知识点：平面及向量的方向余弦 解：∵平面 2x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 的法矢 n ? {2,?2, 1 } ，∴和 x、y、z 轴的夹角余弦分别为：2 2 1 cos? ? , cos ? ? ? , cos? ? 3 3 3★★★7．已知A(?5,?11,3) , B(7,10, ?6) 和 C(1,?3 ,?2) ，求平行于 ?ABC 所在的平面且与它的距离等于 2 的平面方程。思路：可先借鉴本单元的习题 3，求出过 A, B, C 的平面的法矢，也是所求平面的法矢。i j k 1 解：设所求平面 ? 的法矢为 n ， n ? ( AB) ? AC ? 4 7 ? 3 ? ?11i ? 2 j ? 10k 3 6 8 ?5∴设 ? 的平面一般方程为： 11x ? 2 y ? 10z ? D ? 0 ，有条件 ?ABC 所在的平面与 ? 的距离等于 2∴点 C 到平面的距离 d?11 ? 2 ? (?3) ? 10 ? (?2) ? D 112 ? 22 ? 102或? 2 ? D ? ?27 or 33∴ ? 的方程为： 11x ? 2 y ? 10z ? 33 ? 0★★8．确定11x ? 2 y ? 10z ? 27 ? 0k 的值，使平面 x ? ky ? 2z ? 9 适合下列条件之一：（2）与 2x ? 4 y ? 3z（1）经过点 (5,?4 , ? 6) ； （4）与 2x ? 3 y ? z? 3 垂直； （3）与 3x ? 7 y ? 6z ? 1 ? 0 平行；（6）在 y 轴上的截距为 ? 3 。?0成?4角； （5）与原点的距离等于 3；解：（1）平面 x ? ky ? 2z ? 9 经过点 (5,?4 , ? 6) ，∴点代入平面方程可得： k（2）平面 x ? ky ? 2z ∴ n1?2? 9 与平面 2x ? 4 y ? 3z ? 3 垂直，∴两平面的法矢 n1 , n2 垂直，? n2 ? 2 ? 4k ? 6 ? 0 ? k ? 1? 9 与平面 3x ? 7 y ? 6z ? 1 ? 0 平行，两平面的法矢 n1 , n2 平行（3）平面 x ? ky ? 2z ∴ n1// n2 ? 3 ??7 6 7 ? ?k ?? k 2 3? 9 与平面 2x ? 3y ? z ? 0 成（4）平面 x ? ky ? 2z??4角，两平面的法矢 n1, n2 夹角为?4∴ cos (n1 , n2 )?2 ? 3k ? 2 2 2 70 ? ? ?k ?? 2 2 2 2 5 ? k ? 14? 9 与原点的距离等于 3，∴（5）平面 x ? ky ? 2z9 5? k2? 3 ? k ? ?2（6）平面 x ? ky ? 2zx y z ? 9 在 y 轴上的截距为 ? 3 ，根据平面的截距式方程： ? ? ?1 9 9 / k 9 /(?2)? 9 / k ? ?3 ? k ? ?3★9．求点(1,2,1) 到平面 x ? 2 y ? 2z ? 10 ? 0 的距离。解：根据点到平面的距离公式： d?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 10 1? 2 ? 22 2?1★★★10．求平行于平面x ? y ? z ? 100 且与球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 相切的平面方程。 ? 100 ，所以可知 ? 的法矢，由 ? 与球面相切的条件又可知球心 ? 100 ，∴ ? 的法矢 n ? {1,1,1} ，设 ? 的方程为：思路：所求平面 ? //平面 x ? y ? z到平面的距离。解：∵所求平面 ? //平面 x ? y ? zx ? y ? z ? D ? 0 ，∵ ? 与球面相切，∴球心到平面的距离为球半径 10，∴d?D 3? 2 ? D ? ?2 3 ? ? ： x ? y ? z ? 2 3 ? 0x ? 2 y ? 2z ? 21 ? 0 与 7x ? 24z ? 5 ? 0 的夹角的平分面的方程。★★★11．求平面知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离 思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等 解：设所求平面 ? 上的动点坐标 ( x, y, z) ，∵ ? 是平面 x ? 2 y ? 2z ? 21 ? 0 与平面7x ? 24z ? 5 ? 0 的夹角的平分面，∴ ( x, y, z) 到两平面的距离相等，于是：x ? 2 y ? 2z ? 21 7 x ? 24z ? 5 ? ? 25( x ? 2 y ? 2z ? 21) ? ?3(7 x ? 24z ? 5) ， 3 25? 2x ? 25y ? 11z ? 270 ? 0, or 23x - 25y ? 61z ? 255 ? 0 习题 7-7★1．求过点(3,?1, 2) 且平行于直线x ?3 z ?1 的直线方程。 ?y? 4 3知识点：直线的对称式方程x ?3 z ?1 ，∴ L 的方向矢 s ? {4,1,3} ，又已知 L 过点 (3,?1 , 2) ?y? 4 3 x ? 3 y ?1 z ? 2 ∴ L： ? ? 4 1 3解：所求直线 L //直线★2．求过两点M1 (2,?1, 5) 和 M 2 (?1, 0,6) 的直线方程。知识点：直线的对称式方程 解：∵所求直线 L 过两点 M1 (2,?1, 5) 和 M 2 (?1, 0,6) ， L 的方向矢 s 可取为s ? M1M 2 ? {?3, 1,1} ，∴ L ：x ? 2 y ?1 z ? 5 ? ? ?3 1 1?2x ? y ? 3z ? 2 ? 0 。 ? ? x ? 2y ? z ? 6 ? 0 ?2x ? y ? 3z ? 2 ? 0 ，则 L 的方向矢 s 和两平面的法 ? x ? 2y ? z ? 6 ? 0★★3．用对称式方程及参数方程表示直线知识点：直线的各种表达式之间的转换 解：∵直线 L 表达为两平面交的一般方程形式： ?i j k ?2x ? y ? 2 ? 0 矢都垂直，∴ s ? 2 ? 1 ? 3 ? 7i ? j ? 5k ，取 L 上的一点：令 z ? 0 ? ? ?x ? 2 y ? 6 ? 0 1 2 ?12 14 x ? 2 / 5 y ?14 / 5 z ? ( , , 0) ，∴ L 的对称式方程： ? ? ， 5 5 7 ?1 5 x ? 2 / 5 y ?14 / 5 z 2 14 ? ? ? t ? x ? 7t ? , y ? ?t ? , z ? 5t L 的参数方程： 7 ?1 5 5 5★★4．证明两直线? x ? 2 y ? z ? 7 ?3x ? 6 y ? 3z ? 8 与? 平行。 ? ?? 2x ? y ? z ? 7 ? 2x ? y ? z ? 0i j k ? x ? 2y ? z ? 7 2 ? 1 ? 3i ? j ? 5k 证明：根据上一题解答可知直线 L1 ? 的方向矢 s1 ? 1 ?? 2x ? y ? z ? 7 ?2 1 1 i j k ?3x ? 6 y ? 3z ? 8 2 ? 1 ? ?3i ? j ? 5k ? s1 ? ?s2 ， 直线 L2 ? 的方向矢 s 2 ? 1 ? 2x ? y ? z ? 0 2 ?1 ?1∴ L1 // L2 ★★★5．求过点?x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ?2x ? y ? z ? 0 和? 都平行的平面方程。 (1,2 , 1) 且与两直线 ? ? x ? y ? z ?1 ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ?2x ? y ? z ? 0 和 L2 ： ? 的方向矢 ? x ? y ? z ?1 ? 0 ? x? y?z ?0思路：所求平面 ? 和两直线平行，则说明 ? 的法矢和两直线的方向矢都垂直。 解：设所求平面 ? 的法矢为 n ；两直线 L1 ： ?分别为 s1 , s2 。 ∵ ? // L1 ， ? // L2? n ? s1 , n ? s2 ? n ? s1 ? s2 ，其中i j k i j k s1 ? 1 2 ? 1 ? i ? 2 j ? 3k , s2 ? 2 ? 1 1 ? ? j ? k ， 1 ?1 1 1 ?1 1 i j k ∴ n ? s1 ? s 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? i ? j ? k ， 0 1 1∴ ? ： ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? ( z ? 1)★★6．求过点?0?x? y?z ?0(0, 2 , 4) 且与两平面 x ? 2z ? 1 和 y ? 3z ? 2 平行的直线方程。思路：所求直线 L 与两已知平面平行，所以 L 的方向矢和两平面的法矢都垂直。 解：设所求直线 L 的方向矢为 s ，两平面 ?1 ： x ? 2z ? 1 和 ?2 ： y ? 3z ? 2 的法矢分别为 n1 , n2i j k 2 ? ?2i ? 3 j ? k ， ∵ L // ?1 , L // ? 2 ? s ? n1 , s ? n2 ? s ? n1 ? n2 ? 1 0 0 1 ?3∴ L：x y?2 z ?4 ? ? ?2 3 1(3, 1 , ? 2) 且通过直线★★★7．求过点x?4 y ?3 z ? ? 的平面方程。 5 2 1 x?4 y ?3 z ? ? 的方向矢 s ， s ? {5,2,1} 5 2 1思路：易知：已知点不在直线上，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。 解：设所求的平面 ? 的法矢为 n ，直线 L ：∵ L 在 ? 上，∴ n ?s；取直线上的一点 M (4,?3, 0) ，和已知点 M 0 (3, 1 , ? 2) 组成向量 MM0? {?1, 4,?2}，i j k 2 1 ? ?8i ? 9 j ? 22k ， 易知： n ? MM0 ? n ? s ? MM 0 ? 5 ?1 4 ? 2 ∴ ? ： ? 8( x ? 3) ? 9( y ? 1) ? 22( z ? 2)? 0 ? ?8x ? 9 y ? 22z ? 59 ? 0★8．求直线?x ? y ? 3z ? 0 与平面 x ? y ? z ? 1 ? 0 的夹角。 ? ? x? y?z ?0 ?x ? y ? 3z ? 0 的方向矢为 s ，平面 ? ： x ? y ? z ? 1 ? 0 的法矢为 n ，直线 L 与 ? x? y?z ?0知识点：直线与平面的夹角 解：设直线 L ： ?平面 ? 的夹角为 ? 。i j k 3 ? 2i ? 4 j ? 2k , n ? {1,?1, ? 1} ，可取 s ? {1,2,?1} 则s ? 1 1 1 ?1 ?1∴ sin ?? cos(n, s) ??n? s ? 0 ? ? ? 0 ? L // ? ns★★9．试确定下列各组中的直线和平面间的关系：x?3 ? ?2 x?2 （3） ? 3（1）y?4 z ? 和 4x ? 2 y ? 2z ? 3 ； ?7 3 y ? 2 z ?3 和 x? y ? z ? 3。 ? 1 ?4（2）x y z ? ? 和 3x ? 2 y ? 7z ? 8 ； 3 ?2 7思路：通过直线和平面的夹角即可确定它们的关系 解：在每道小题中都设直线 L 的方向矢为 s ，平面 ? 的法矢为 n ，直线 L 与平面 ? 的夹角为 ? 。则（1） s? {?2, ? 7, 3}, n ? {2,?1, ? 1} ? sin ? ? cos(s, n) ??s?n ? 0 ? L // ? ， sn又 L 上的点 (?3, ? 4, 0) 不满足 4x ? 2 y ? 2z? 3 ，∴ L 不在 ? 上，∴ L // ??（2） s? {3, ? 2, 7}, n ? {3,?2, 7} ? sin ? ? cos(s, n) ? ? {3, 1, ? 4}, n ? {1,1, 1} ? sin ? ? cos (s, n) ??s?n ?1? L ? ? sn（3） ss?n ? 0 ? L // ? sn又 L 上的点 (2, ? 2, 3) 满足 x ?★★★10．求点y ? z ? 3 ，∴ L 在 ? 上。(?1 , 2, 0) 在平面 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 上的投影。思路：根据点在平面上的投影的定义可知求投影点的过程：（1）过点作平面的垂线；（2）垂线和平面的交点（即投影点）解：过点 M(?1 , 2, 0) 作平面 ? ： x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 的垂线 L ，设 L 的方向矢为 s ，平面 ? 的法 ? x ? t ?1 x ?1 y ? 2 z ? ? ? ? t ? ? y ? 2t ? 2 ， 矢为 n ，则可选 s ? n ，∴ L ： 1 2 ?1 ? z ? ?t ?将 L 的参数方程代入 ? 求出 L 和 ? 的交点（即投影点） M 0 ：2 5 2 2 (t ? 1) ? 2(2t ? 2) ? (?t ) ? 1 ? 0 ? t ? ? ? M 0 ? (? , , ) 3 3 3 3★★★11．设? M 0 是直线 L 外一点， M 是直线 L 上任意一点，且直线的方向向量为 s ，试证：点 M 0 到直线 L 的距离 d?MM 0 ? s s。知识点：向量积和空间直线及其方程 思路：画简图可知：距离 d 是由 M 、 M 0 以及当把 s 的起点放在 M 时的终点坐标 M1 三点组成的三角形底边 MM1 上的高，见图 7-7-11M0dMsLM1图 7-7-11解：设当把 s 的起点放在 M 时 s 的终点坐标为 M1 ， d 即为 ?M 0 MM1 底边 MM1 上的高根据向量积的性质可知 ?M 0 MM1 的面积 S?? MM0 ? s ，又 S ?1 sd 2∴d?MM 0 ? s s?x ? y ? z ? 1 ? 0 L:? 在平面 ? : x ? y ? z ? 0 上的投影直线方程。 ?x ? y ? z ? 1 ? 0★★★12．求直线方法一：可根据求投影直线的过程逐步求得：（1）求过直线 L 垂直于 ? 的平面 ?1 ；（2） ? 与 ?1 的交线即为 L 在 ? 上的投影直线。解：过 L 的平面束方程为 x ? y ? z ? 1 ? ?( x ? y ? z ? 1) ? 0? (1 ? ?) x ? (1 ? ?) y ? (? ? 1) z ? ? ? 1 ? 0 ，此平面束中和 ? 垂直的平面应满足： (1 ? ?) ? (1 ? ?) ? (? ? 1) ? 0 ? ? ? ?1，∴过直线 L 垂直于 ? 的平面 ?1 ： x ? ∴ L 在平面 ? 上的投影直线方程为： ?y ? z ? 1 ? ( x ? y ? z ? 1) ? 0 ? y ? z ? 1，?x ? y ? z ? 0 ? y ? z ?1方法二：可通过求 L 和 ? 的交点以及 L 的方向矢写出所求投影直线的对称式方程?x ? y ? z ? 1 ? 0 1 1 ? 解： L 和 ? 的交点 M 0 ( x, y, z) 满足： ?x ? y ? z ? 1 ? 0 ? M 0 (0, , ? ) 2 2 ? x? y?z ?0 ? i j k L 的方向矢 s ? 1 1 ? 1 ? ?2 j ? 2k ，设 ? 的法矢为 n ， 1 ?1 1则 L 和它的投影直线组成平面的法矢 n1 满足： n1 投影直线的方向矢 s1 应满足： s1 ∴投影直线方程：? s 且 n1 ? n ? n1 ? n ? s ? ? j ? k? s 且 s1 ? n1 ? s1 ? n1 ? s ? 2i ? j ? kx y ? 0.5 z ? 0.5 ? ? 2 1 ?113．已知直线 L : ?? 2 y ? 3z ? 5 ? 0 ，求： ?x ? 2 y ? z ? 7 ? 0★（2）直线在 xoy 平面上的投影方程；★（1）直线在 yoz 平面上的投影方程； ★★★（3）直线在平面?: x ? y ? 3z ? 8 ? 0 上的投影直线方程。解：（1）由曲线在坐标面上投影知识可知： L : ?? 2 y ? 3z ? 5 ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 7 ? 0中消去 x，可得 L 在 yoz 面上的投影： ??2 y ? 3z ? 5 ? 0 x?0 ?注：也可参照习题 12 的方法做（2） L : ?? 2 y ? 3z ? 5 ? 0 ?3x ? 4 y ? 16 ? 0 中消去在，可得 L 在 xoy 面上的投影： ? z ?0 ?x ? 2 y ? z ? 7 ? 0 ??0注：也可参照习题 12 的方法做（3）过 L 的平面束方程为 2 y ? 3z ? 5 ? ? ( x ? 2 y ? z ? 7)? ?x ? (2 ? 2?) y ? (3 ? ?) z ? 7? ? 5 ? 0 ，此平面束中和 ? 垂直的平面应满足：? ? (2 ? 2?) ? 3(3 ? ?) ? 0 ? 无解，说明这些平面都不垂直于 ? ，过 L 且不在平面束方程中的平 面只有一个： x ? 2 y ? z ? 7 ? 0 ，此平面设为 ?1 ，确有： ?1 的平面∴ L 在平面 ? 上的投影直线方程为： ?? ? ， ?1 即为过直线 L 且垂直于 ?? x ? y ? 3z ? 8 ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 7 ? 0★★★14．证明直线x ?1 y ?1 z ? 3 x ?1 y ? 2 z ? 3 与直线 相交，并求它们交角的平分 ? ? ? ? 3 8 1 4 7 3线方程。知识点：直线及其方程 证：将直线 L1 ：直线 L2 （题有问题？）x ?1 y ?1 z ? 3 化为参数式： x ? 3t ? 1, y ? 8t ? 1, z ? t ? 3 ，代入 ? ? 3 8 1习题 7-81． 画出下列方程所表示的曲面： （1） 4x2? y2 ? z2 ? 4；（2） x2? y 2 ? 4z 2 ? 4 ；（3）z x2 y2 ? ? 3 4 9。zoyx图 7-8-1-1yxz图 7-8-1-2 zyo x图 7-8-1-3★★2．指出下列方程所表示的曲线：?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 （1） ? ； x?3 ?（3） ??x 2 ? 4 y 2 ? 9z 2 ? 36 （2 ） ? ； y ?1 ?（4 ） ??x 2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 25 ； x ? ? 3 ?2? y 2 ? z 2 ? 4x ? 8 ? 0 。 y ? 4 ?答：（1） x ? 3 平面上的圆 y（3） x? z 2 ? 16 ；（2） y ? 1 平面上的椭圆 x 2 ? 9z 2 ? 32 ；? ?3 平面上的双曲线 z 2 ? 4 y 2 ? 16 ；（4） y ? 4 平面上的抛物线 z 2 ? 4x ? 24 ? 0★★★3．画出下列各曲面所围成的立体的图形：（1） x? 0, y ? 0, z ? 0, x ? 2, y ? 1, 3x ? 4 y ? 2z ? 12 ? 0 ；zzyyx图 7-8-3-1x图 7-8-3-1 （2） x? 0, z ? 0, x ? 1, y ? 2, z ?zy 4yx（3）图 7-8-3-2z ? 0, z ? 3, x ? y ? 0, x ? 3y ? 0 , x 2 ? y 2 ? 1，在第一卦限内。yx图 7-8-3-3（4）x ? 0, y ? 0, z ? 0, x 2 ? y 2 ? R 2 , y 2 ? z 2 ? R 2 ，在第一卦限内。z0xy图 7-8-3-4x 总习题七★★★1．已知a , b , c 为单位向量，且满足 a ? b ? c ? 0 ，计算 a ? b ? b ? c ? c ? a 。2知识点：向量的数量积 解：∵ a ? b ? c ? 0 ，∴ (a ? b ? c) ? a ? 0 ? b ? a ? c ? a ? ? a同理可得： a ? b ? c ? b ? ? b2? ?1（1）? ?1（2） （3）b ? c ? a ? c ? ? c ? ?1（ a , b , c 为单位向量）2∵向量的数量积满足交换律，将（1）、（2）、（3）式相加 ? a ? b ? b ? c ? c ? a★★★2．设三角形的三边??3 2BC ? a , CA ? b , AB ? c ，三边中点依次为 D 、 E 、 F ，试证明AD ? BE ? CF ? 0知识点：向量及其线性运算1 DC ? BC, AC ? ?CA ? ?b 2 1 1 1 ? AD ? ?b ? a ，同理可得： BE ? ?c ? b , CF ? ?a ? c ； 2 2 2 3 ∴ AD ? BE ? CF ? ? (a ? b ? c) ，∵ a ? b ? ?c 2证明：根据向量线性运算的三角形法则， AD ? DC ? AC,∴AD ? BE ? CF ? 0(a ? 3 b) ? (7a ? 5 b), (a ? 4 b) ? (7a ? 2 b) ，求 (a, b) 。?★★★3．设知识点：向量的数量积及其性质 解：∵ (a ? 3 b) ? (7a ? 5 b), (a ? 4 b) ? (7a ? 2 b)∴ (a ? 3 b) ? (7a ? 5 b)? 0 ? 7 a ? 16 a ? b ? 15 b ? 0 ；2 222(a ? 4 b) ? (7a ? 2 b) ? 0 ? 7 a ? 30 a ? b ? 8 b ? 0∴46 a ? b ? 23 b ? a ? b ??2? ? 1 2 a?b 1 ? 2 2 b , a ? b ? cos(a, b) ? ? ? (a, b) ? 。 2 a b 2 3★★★4． 已知a ? 2 , b ? 5 , (a, b) ?2? 3， 问： 系数 ? 为何值时， 向量 m? ?a ? 17 b 与 n ? 3a ? b垂直知识点：向量的数量积及其性质 解：根据两向量垂直的充要条件，要使向量 m ? ?a ? 17 b 与 n ? 3a ? b 垂直，必须 m ? n ? 0 ? (?a ? 17 b) ? (3a ? b) ? 0 ? 3? a ? (51 ? ?)a ? b ? 17 b ? 0 ，由已知条件 ∴ 3? a222a ? 2 , b ? 5 , (a, b) ?2?? 2? ? a ? b ? a b cos(a, b) ? ?5 ， 3? (51 ? ?)a ? b ? 17 b ? 12? ? 5(51 ? ?) ? 17 ? 25 ? 0 ? ? ? 40a ? {2,?1 , 2}共线且满足方程 a ? x ? ?18的向量 x 。★★★5．求与向量知识点：向量的线性运算以及向量的数量积 解：根据已知条件： x 与 a 共线，可设 x ? ?a ? ?{2,?1,2} ，由a? x? ?18 ? a ? ?a ? ? a ? ?18 ? ? ? ?2 ? x ? {?4, 2,?4}a ? {?1 , 3,2} ，b ? {2, ? 3 , ? 4} ，c ? {?3, 12 , 6} ，证明三向量 a , b , c 共面，并用 a2★★★6． 设和b表示c知识点：向量的混合积 解：根据向量混合积的性质：三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零i j k 3 2 ? ?6i ? 3k ? (a ? b) ? c ? 6 ? 3 ? 3 ? 6 ? 0 ∵ a ? b ? ?1 2 ?3 ?4∴ a , b , c 共面 若设 c? x1a ? x2b ?{?3,12,6} ? {?x1 ? 2x2 , 3x1 ? 3x2 , 2x1 ? 4x2 }， 3x1 ? 3x2 ? 12, 2x1 ? 4x2 ? 6 ? x1 ? 5, x2 ? 1? ? x1 ? 2x2 ? ?3,∴c? 5a ? b★★★7．证明点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到 一 通 过 点 A(a, b, c) 、 方 向 平 行 于 向 量 s 的 直 线 的 距 离 为d?r?s s，其中 r? AM0 。证明：该题类似于习题 7-7 的 11 题，把向量 s 的起点放在 A(a, b, c) ，设此时 s 的终点坐标为 M1 ， d即为 ?M 0 AM1 底边AM1 （即 s ）上的高，根据习题 7-7 的 11 题的结论： d ?非零， 且不共线， 作cAM 0 ? s s★★★8． 已知向量a,b? ?a ? b ，? 是实数，证明： c最小的向量最小的向量c 垂直于 a，并求当 a? {1, 2,?2} ， b ? {1, ? 1 , 1}时，使 cc。知识点：向量的数量积及其性质、一元函数的最值 解： c ? ?a ? b设? c ? c ? (?a ? b) ? (?a ? b) ? c ? ?2 a ? 2?(a ? b) ? b2 2222f (? ) ? ?2 a ? 2?(a ? b) ? b，则由f ?(?) ? 2? a ? 2(a ? b) ? 02?? ? ?a?b （唯一驻点），∴ c 2 a最小的向量c??a?b a?b， 2 a∵c ? a ? (?a?b a ? b) ? a ? ?a ? b ? b ? a ? 0 ? c ? a ， 2 a最小的向量当a? {1, 2,?2} ， b ? {1, ? 1 , 1}时，使 cc??a?b 4 1 1 a ?b ?{ , ? , } 2 3 3 3 a★★9．将 xoy 坐标面上的双曲线4x 2 ? 9 y 2 ? 36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。知识点：旋转曲面及其方程 解：当 xoy 坐标面上的双曲线 4x2? 9 y 2 ? 36 绕 x 轴旋转时旋转曲面方程为：4x 2 ? 9(? y 2 ? z 2 ) 2 ? 36 ? 4x 2 ? 9 y 2 ? 9z 2 ? 36 。绕 y 轴旋转时旋转曲面方程为： 4(?★★★10．求直线x 2 ? z 2 ) 2 ? 9 y 2 ? 36 ? 4x 2 ? 4z 2 ? 9 y 2 ? 36L：x ?1 y z ?1 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程。 ? ? 1 2 1x ?1 y z ?1 上的某一点 ? ? 1 2 1知识点：求旋转曲面方程的原理 解 ：设所求旋转曲面上的动点坐标为 ( x, y, z) ，且它是由直线 L ：( x0 , y0 , z0 ) 绕 z 轴旋转得到，所以， ( x, y, z) 和 ( x0 , y0 , z0 ) 满足：（1 ） z2 2 ? z0 ；（2） x0 ? y0 ? x2 ? y 2，将x0 ? 1 y0 z0 ? 1 2 2 2 2 ? ? 代入（2）可得： x ? y ? z ? 4( z ? 1) 1 2 1? z ? 2 ? x2 ? y2 ★★11．求曲线 L : ? 在三个坐标面上的投影曲线方程。 2 2 ?z ? ( x ? 1) ? ( y ? 1)解：（1）方程组 ??z ? 2 ? x2 ? y2 消去 z， 2 2 ?z ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 z?0 ?可得 L 在 xoy 面上的投影曲线方程 ? （2）方程组 ???z ? 2 ? x 2 ? y 2 z ? 2 ? x2 ? y2 消去 x ? ? 2 2 ?z ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? z ? 2? x? y?2 y 2 ? 2 yz ? z 2 ? 4 y ? 3z ? 2 ? 0 可得 L 在 yoz 面上的投影曲线方程 ? x?0 ? ? z ? 2 ? x2 ? y2 ?z ? 2 ? x 2 ? y 2 （3）方程组 ? 消去 y ?? 2 2 ?z ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? z ? 2? x? y可得 L 在 yoz 面上的投影曲线方程 ??2x2 ? 2xz ? z 2 ? 4x ? 3z ? 2 ? 0 y?0 ?★★12．求曲线?6x ? 6 y ? z ? 16 ? 0 L:? 在三个坐标面上的投影方程。 ?2x ? 5 y ? 2z ? 3 ? 0 ?6x ? 6 y ? z ? 16 ? 0 消去 z， ?2x ? 5 y ? 2z ? 3 ? 0 ?2x ? y ? 5 ? 0 z ?0 ?解：（1）方程组 ?可得 L 在 xoy 面上的投影曲线方程 ?（2）方程组 ??6x ? 6 y ? z ? 16 ? 0 消去 x ?2x ? 5 y ? 2z ? 3 ? 0 ?3 y ? z ?1 ? 0 ? x?0可得 L 在 yoz 面上的投影曲线方程 ?（3）方程组 ??6x ? 6 y ? z ? 16 ? 0 消去 y ?2x ? 5 y ? 2z ? 3 ? 0 ?6x ? z ? 14 ? 0 y?0 ?可得 L 在 yoz 面上的投影曲线方程 ?★★★13．求螺旋线x ? a cos? , y ? a sin ? , z ? b? 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。解：（1）螺旋线 x ? a cos? , y ? a sin ? , z ? b? 消去 z，可得螺旋线在 xoy 面上的投影曲线方程：∵ x, y 总是满足： x2?x 2 ? y 2 ? a 2 ? y 2 ? a 2 ∴投影方程为 ? ? z?0（2）螺旋线 x? a cos? , y ? a sin ? , z ? b? 消去 x，可得螺旋线在 yoz 面上的投影曲线方程： ∵x? a cosz b，代入 x2z ? ? y ? a sin ? y 2 ? a 2 ，∴投影方程为 ? b ? ? x?0（3）螺旋线 x? a cos? , y ? a sin ? , z ? b? 消去 y，可得螺旋线在 xoz 面上的投影曲线方程：∵z y ? a sin b，代入 x2z ? ?x ? a cos ? y 2 ? a 2 ，∴投影方程为 ? b ? y ? 0 ?，柱面 x2★★★14．求由上半球面z ? a2 ? x2 ? y2? y 2 ? ax ? 0 及平面 z ? 0 所围成的立体在xoy 面和 xoz 面上的投影。解： （1）上半球面 z? a2 ? x2 ? y2含在柱面 x2? y 2 ? ax ? 0 内的立体在 xoy 面上的投影就是：?x 2 ? y 2 ? ax ? 0 ? z?0 ?（2）当投影到 xoz 面上，该立体投影的边界为 xoz 面上的： x2? z 2 ? a 2 , ( x ? 0, z ? 0) ，∴立体在 xoz 面上的投影为： ?? x2 ? z 2 ? a2 ,( x ? 0, z ? 0) y ?0 ?★★★15．求与已知平面2x ? y ? 2z ? 5 ? 0 平行且与三坐标面构成的四面体体积为 1 的平面方程。 ? D ，化为截距式方知识点：平面及其方程 解：所求平面 ? 和 2x ? y ? 2z ? 5 ? 0 平行，所以设 ? 的方程为 2x ? y ? 2z程：x y z ? ? ? 1， D/ 2 D D/ 2D 1 D ? ?D? ? 1 ? D ? ?23 3 6 2 2∵ ? 与三坐标面构成的四面体体积为 1，∴∴ ? ： 2x ?y ? 2z ? 23 3 ? 0?2x ? 3 y ? z ? 5 ? 0 (1, 2 , ? 1) 且与直线 ? 垂直的平面方程。 ?3x ? y ? 2z ? 4 ? 0★★★16．求通过点思路：所求平面和已知直线垂直，则直线的方向矢即为平面的法矢 解：设直线 L ??2x ? 3 y ? z ? 5 ? 0 的方向矢 s ，所求平面 ? 的法矢 n ， ?3x ? y ? 2z ? 4 ? 0 i j k s ? 2 ? 3 1 ? 5i ? 7 j ? 11k ，∵ ? ? L ，∴取 n ? s ? 5i ? 7 j ? 11k 3 1 ?2∴ ? ： 5( x ? 1) ? 7( y ? 2) ? 11 ( z ? 1)? 0 ? 5x ? 7 y ? 11z ? 8★★17．求过直线?2x ? y ? 2z ? 1 ? 0 L:? 且在 y 轴和 z 轴有相同的非零截距的平面方程。 ? x ? y ? 4z ? 2 ? 0思路：所求平面 ? 过直线 L ，而 L 又表达为一般方程，因此可用平面束方程表示 ? 解：过已知直线 L 的平面束方程： 2x ? y ? 2z ? 1 ? ?( x ? y ? 4z ? 2) ? 0此方程化为： (2 ? ?) x ? (? ? 1) y ? (4? ? 2) z? 2? ? 1 ，其中在 y 轴和 z 轴有相同的非零截距的平面应满足： ? ? 1 ? 4? ? 2 ? ? 代入得所求平面 ? ： 7 x ? 2 y ? 2z ? 1 ? 0★★★18．在平面?1 32x ? y ? 3z ? 2 ? 0 和平面 5x ? 5 y ? 4z ? 3 ? 0 所确定的平面束内，求两个相互 A(4,?3 , 1) 。垂直的平面，其中一个平面经过解：过 ?? 2x ? y ? 3z ? 2 ? 0 的平面束方程： 2x ? y ? 3z ? 2 ? ? (5x ? 5 y ? 4z ? 3) ? 0 ， ?5x ? 5 y ? 4z ? 3 ? 0将A(4,?3 , 1) 代入： 4 ? 4? ? 0 ? ? ? ?1 A(4,?3 , 1) 的平面 ?1 ： 3x ? 4 y ? z ? 1 ? 0∴经过平面束中和 ?1 垂直的 ?2 应满足： 3(2 ? 5?) ? 4(1 ? 5?) ? (3 ? 4?) ∴ ? 2 ： x ? 2 y ? 5z ? 3 ? 0? 0?? ? ?1 3★★19．用对称式方程及参数方程表示直线? x ? y ? z ?1 。 ? ?2x ? y ? z ? 4知识点：直线三种方程形式之间的转换 解：设直线 L ： ?? x ? y ? z ?1 的方向矢为 s ，平面 ?1 x ? y ? z ? 1 的法矢 n1 ，平面 ?2x ? y ? z ? 4?2 2x ? y ? z ? 4 的法矢 n2 ∵s? n1 , s ? n2i j k ∴ s ? n1 ? n2 ? 1 ? 1 1 ? ?2i ? j ? 3k ， 2 1 13 / 2, 5 / 2) ，得 L 的对称式方程：再取 L 上的一点 (0,x y ? 3/ 2 z ? 5/ 2 ， ? ? ?2 1 33 5 L 的参数方程： x ? ?2t, y ? ? t, z ? ? 3t 2 2★★★★20．求与两直线? x ? 3z ? 1 ? y ? 2x ? 5 L1 : ? 和 L2 : ? 垂直且相交的直线方程。 ? y ? 2z ? 3 ?z ? 7x ? 2方法一：所求直线 L （公垂线）应该既在过 L 、 L1 的平面上，又在过 L 、 L2 的平面上，所以 L 是两平面的交线。i j k 解： L1 的方向矢： s1 ? 1 0 ? 3 ? 3i ? 2 j ? k ， 0 1 ?2 i j k L2 的方向矢： s 2 ? 2 ? 1 0 ? i ? 2 j ? 7k ， 7 0 ?1 i j k } 公垂线 L 的方向矢 s ? 3 2 1 ? 12i ? 20 j ? 4k ? 4{3,?5,1 1 2 7过 L1 的平面束方程： x ? 3z ? 1 ? ?1 ( y ? 2z ? 3) ? 0 ? x ? ?1 y ? (2?1 其中垂直于 L 的平面应满足： 3 ? 5?1? 3)z ? 3?1 ?1 ? 0 ，? (2?1 ? 3) ? 0 ? ?1 ? 0 ，得到过 L1 、 L 的平面 ?1 ： x ? 3z ? 1 ? 0 过 L2 的平面束方程： 2x ? y ? 5 ? ?2 (7x ? z ? 2) ? 0 ? (7?2 其中垂直于 L 的平面应满足： 3(7?2? 2)x ? y ? ?2 z ? 2?1 ? 5 ? 011 20? 2) ? 5 ? ?2 ? 0 ? ?2 ? ?得到过 L2 、 L 的平面 ?1 ： 37x ? 20 y ? 11z ? 122 ? 0∴ L： ?x ? 3z ? 1 ? 0 ? ?37x ? 20 y ? 11z ? 122 ? 0方法二：所求直线 L ? L1 , L ? L2 ，因此可求得 L 的方向矢，再求 L 、 L2 （或 L 、 L1 ）的交点就可求出 L 的对称式方程或参数式方程 i j k } 解：如方法一所解，可得公垂线 L 的方向矢 s ? 3 2 1 ? 12i ? 20 j ? 4k ? 4{3,?5,1 1 2 7设 L 、 L1 的交点为 ( x0 , y0 , z 0 ) ，则有： x0? 3z0 ? 1, y0 ? 2z0 ? 3 ，? L ： x ? 3t ? 3z0 ? 1, y ? ?5t ? 2z0 ? 3, z ? t ? z0 ，代入 L23 5 43 94 5 ? t ? , z0 ? ? ? L ： x ? 3t ? , y ? ?5t ? , z ? t ? 7 28 28 14 28方法三 ：设 L 、 L1 的交点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ， L 、 L2 的交点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) ，根据条件可知：M 0 M1 ? s1 , M 0 M1 ? s2 ，从而求得 M 0 , M1 ，得到过两点的直线方程解：设已求出 s1? 3i ? 2 j ? k ， s2 ? i ? 2 j ? 7k ，M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 满足： x0 ? 3z0 ? 1, y0 ? 2z0 ? 3 ，M1 (x1 , y1 , z1 ) 满足： y1 ? 2x1 ? 5, z1 ? 7x1 ? 2 ，M 0 M1 ? {x1 ? 3z0 ? 1, 2x1 ? 2z0 ? 2, 7x1 ? z0 ? 2}，由 M 0 M1 ? s1 , M 0 M1 ? s2 ，1 ? ?3( x1 ? 3z0 ? 1) ? 2(2x1 ? 2z0 ? 2) ? (7 x1 ? z0 ? 2) ? 0 ? x1 ? ? 4 ?? 得： ? ?( x1 ? 3z0 ? 1) ? 2(2x1 ? 2z0 ? 2) ? 7(7 x1 ? z0 ? 2) ? 0 ?z0 ? ? 5 28 ? 43 94 5 1 11 1 ∴ M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ? (? ,? ,? ) ， M1 ( x1 , y1 , z1 ) ? (? ,? , ) 28 28 28 4 2 4 x ? 1/ 4 y ? 11/ 2 z ? 1/ 4 ∴ L： ? ? 3 ?5 1★★★21．求与原点关于平面6x ? 2 y ? 9z ? 121 ? 0 对称的点。思路：过原点作平面的垂线 L ，在 L 上找出原点关于平面的对称点。 解：过原点垂直于平面的垂线 L 方向式就是平面的法矢∴ L ：x y z ， ? ? 6 2 ?9设在 L 上原点关于平面的对称点的坐标为： M ( x0 , y0 , z0 ) ，则有：x0 ? 6t0 , y0 ? 2t0 , z0 ? ?9t0 ，又 M 和原点到平面的距离相等可得：36t0 ? 4t0 ? 81t0 ? 121 ? 121? t0 ? ?2 ，（舍去 t 0 ? 0 ）∴原点关于平面 6x ? 2 y ? 9z ? 121 ? 0 对称的点： (?12, ? 4, 18) ★★★22．求点? x ? y ? z ?1 ? 0 的距离。 P(3, ? 1 , 2) 到直线 ? ?2x ? y ? z ? 4 ? 0方法一：可参照习题 7-7 第 11 题的方法做i j k ? x ? y ? z ?1 ? 0 1 ? 1 ? ?3 j ? 3k ? ?3{0,1,1} 解：直线 L ： ? 的方向矢 s ? 1 ?2x ? y ? z ? 4 ? 0 2 ?1 1可取 s? {0,1,1} ，在 L 上取一点 M (1,?2, 0) ，则点 P(3, ? 1 , 2) 到直线 L 的距离 d ?MP ? s s，i j k 3 MP ? s ? 2 1 2 ? ?i ? 2 j ? 2k ? MP ? s ? 3 ? d ? 2 2 0 1 1方法二：过 P 作直线 L 的垂直平面 ? ， ? 和 L 的交点即为 P 在 L 上的垂足。 解：设已求出直线 L 的方向矢 s ? {0,1,1 } ，则过 P 垂直于直线 L 的平面 ? ： y ? 1 ? z ? 2 ? 0 ，? x ? y ? z ?1 ? 0 ? x ?1 3 ? ? ? 和 L 的交点 M ： ?2x ? y ? z ? 4 ? 0 ? ? y ? ?1/ 2 ，∴ d ? MP ? 2 2 ? y ? z ?1 ? 0 ? z ? 3/ 2 ? ?★★23．求直线? x ? y ? z ?1 ? 0 与平面 x ? 2 y ? 3z ? 3 ? 0 间夹角的正弦。 ? ?x ? y ? 2 z ? 2 ? 0知识点：直线与平面的夹角i j k ? x ? y ? z ?1 ? 0 ? 1 ? i ? 3 j ? 2k ， 解：直线 L ： ? 的方向矢 s ? 1 1 ?x ? y ? 2 z ? 2 ? 0 1 ?1 21, ? 2, 3} 平面 x ? 2 y ? 3z ? 3 ? 0 的法矢 n ? {则由直线与平面的夹角 ? 公式： sin ?? cos(s, n) ??s?n 1 ? s n 14★★★★24．设直线通过点? y ? 3x ? 5 ? y ? 4x ? 7 P(?3, 5 , ? 9) ，且和两直线 L1 : ? ， L2 : ? 相交， ? z ? 2x ? 3 ?z ? 5x ? 10求此直线方程。方法一：若设所求直线 L 和已知直线 L1 、 L2 的交点分别为 M1 , M 2 ，直线 PM1（即 L ）一定在过 P和 L1 的平面上，直线 PM2 （即 L ）也一定在过 P 和 L2 的平面上。由此求得直线 L 的一般方程。 解：过 L1 : ?? y ? 3x ? 5 的平面束方程为： 3x ? y ? 5 ? ?1 (2x ? z ? 3) ? 0 ，将 P(?3, 5 , ? 9) 代 ? z ? 2x ? 3? 2x ? 3 就经过 P(?3, 5 , ? 9) ， ? 2x ? 3入可得 ?1 无解，可验证包含 L1 的平面 z∴通过点 P(?3, 5 , ? 9) 和直线 L1 的平面方程： z过 L2? y ? 4x ? 7 :? 的平面束方程为： 4x ? y ? 7 ? ?2 (5x ? z ? 10) ? 0 ，将 P(?3, 5 , ? 9) 代入 ?z ? 5x ? 10可得： ?2? 6 ，∴通过点 P(?3, 5 , ? 9) 和直线 L2 的平面方程： 34x ? y ? 6z ? 53 ? 0∴ L： ?z ? 2x ? 3 ? ?34x ? y ? 6z ? 53 ? 0方法二：所求直线 L 在过 P 和直线 L1 的平面 ?1 上，也在过 P 和直线 L2 的平面 ?2 上，因此 L 的方向矢垂直于两平面的法矢。i j k 解： L1 的方向矢： s1 ? 3 ? 1 0 ? i ? 3 j ? 2k ， L1 上取一点 M1 (0,5, ? 3) 2 0 ?1 i j k L2 的方向矢： s 2 ? 4 ? 1 0 ? i ? 4 j ? 5k ， L2 上取一点 M2 (0,?7, 10) 5 0 ?1 i j k 过 P 和直线 L1 的平面 ?1 的法矢 n1 ? s1 ? PM1 ? 1 3 2 ? 9(2i ? k ) 3 0 6 i j k 4 5 ? 4(34i ? j ? 6k ) 过 P 和直线 L2 的平面 ?2 的法矢 n2 ? s 2 ? PM 2 ? 1 3 ? 12 19 i j k 0 ? 1 ? ?i ? 22 j ? 2k ∴ L 的方向矢： s ? 2 34 ? 1 ? 6x ?3 y ?5 z ?9 ? ? 1 22 2 ? x ? t ?7 ? ★★★25．求点 (2,3,1) 在直线 ? y ? 2t ? 2 上的投影。 ? z ? 3t ? 2 ?∴ L： 思路：过点 (2,3,1) 作已知直线 L 的垂直平面 ? ， ? 和 L 的交点即为所求投影? x ? t ?7 ? 解：∵直线 L ： ? y ? 2t ? 2 的方向矢为 s ? { 1,2,3} ， ? z ? 3t ? 2 ?∴过点 (2,3,1) 垂直于 L 平面 ? ： ( x ? 2) ? 2( y ? 3) ? 3( z ? 1)? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 11? x ? t ?7 ?x0 ? ?5 ? ? 将 L ： ? y ? 2t ? 2 代入平面 ? ? t ? 2 ? ? y0 ? 2 ，该点即为所求投影点。 ? z ?4 ? z ? 3t ? 2 ? 0 ?★★★26．求直线?2x ? y ? z ? 1 ? 0 L:? 在平面 ? : x ? 2 y ? z ? 0 上的投影直线方程。 ? x ? y ? z ?1 ? 0思路：过 L 作垂直于 ? 的平面，投影直线在此平面上。 解：过 L 的平面束方程：2x ? y ? z ? 1 ? ?( x ? y ? z ? 1) ? 0 ? (2 ? ?) x ? (? ? 1) y ? (1 ? ?) z ? 1 ? ? ，其中垂直于 ? 的平面应满足： (2 ? ?) ? 2(? ? 1) ? (? ? 1) 则过 L 垂直于 ? 的平面方程为： 3x ? ∵投影直线也在 ? 上 ∴投影直线方程： ??0?? ?1 4y ? z ?1 ? 0 ，?3x ? y ? z ? 1 ? 0 ? x ? 2y ? z ? 0P(1,2,3) 的距离是它到平面 x ? 3 的距离的★★27．一动点与点1 ，试求动点的轨迹方程，并求该轨迹 3曲面与 yoz 平面的交线。解：设动点坐标 M ( x, y, z) ，根据条件可列式：( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ?1 x ?3 ? 轨迹方程： 2x2 ? 3( y ? 2)2 ? 3( z ? 3)2 ? 6 1 3?2x2 ? 3( y ? 2)2 ? 3( z ? 3)2 ? 6 ?( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ? 2 ?? 该轨迹曲面与 yoz 平面的交线： ? x ? 0 x?0 ? ?★★★★28．设有直线?x ? y ? 3 ? 0 L:? 及平面 ? : x ? y ? z ? 1 ? 0 ，光线沿直线 L 投射到平面 ? ? x ? z ?1 ? 0上，求反射线所在的直线方程 Ls1ss2?图 7-28方法一：可求出过 L 垂直于平面 ? 的平面 ?1 ，反射线一定在 ?1 上；又可求出过 L 和平面 ? 的交点且垂直于 ?1 的直线，再求过该直线与平面 ? 的法矢成入射角的平面 ?2 ，反射线也在 ?2 上。i j k ?x ? y ? 3 ? 0 解：直线 L : ? 的方向矢 s ? 1 1 0 ? i ? j ? k ，设 ? 的法矢为 n ? x ? z ?1 ? 0 1 0 1 ? x ? y ?3 ? 0 ?x0 ? ?3 ? ? 求出（1）、直线 L 和平面 ? 的交点 M 0 ： ? x ? z ? 1 ? 0 ? ? y0 ? 6 ?x ? y ? z ? 1 ? 0 ?z ? ?4 ? ? 0 ? 1 取和 n 成锐角的直线 L 的方向矢 s ? ?i ? j ? k ，（∵此时 cos(s, n) ? ） 3（2）、直线 L 的方向矢 s 和平面 ? 的法矢 n 的夹角 ? （入射角）成立： cos??s?n 1 ? sn 3则和 n 方向一致长度为 cos?s 的矢量 s1 ? cos? sn 1 ? {1,1,1}， n 3根据向量的三角形法则（见图 7-28）可知反射线的方向矢 s2 ∴反射线方程：x?3 x?6 z ?4 ? ? 5 ?1 ?1 注：取和 n 成锐角的直线 L 的方向矢 s ，是为保证能够根据三角形法则求出反射线的方向矢方法二：用两平面的交线表达反射线 解：过直线 L : ?1 ? s ? 2(s1 ? s) ? {5,?1,?1} ， 3?x ? y ? 3 ? 0 的平面束方程： x ? y ? 3 ? ?( x ? z ? 1) ? 0 ，从中求出： ? x ? z ?1 ? 0? 0 ? ? ? ?1（1）、过 L 垂直于平面 ? 的平面 ?1 应满足： (1 ? ? ) ? 1 ? ? ∴ ?1 ：y? z ?2 ? 0 i j k ?x ? y ? 3 ? 0 直线 L : ? 的方向矢 s ? 1 1 0 ? i ? j ? k ，设 ? 的法矢为 n ， ? x ? z ?1 ? 0 1 0 1则 L 和 ? 的夹角 ? 满足： sin ??s?n 1 ? ， sn 3? 2 2 3 ? (1 ? ? ) 2 ? 1 ? ?2 3 1? ? ?1? ?（2）过 L 和平面 ? 的夹角为 ? 的平面方程 ?2 应满足： cos? ∴?? 1 ? ?2 ： 2 x ? y ? z ? 4 ? 0 ，? x ? y ? z ?1 ? 0 ，事实上反射线 L2 也在过 L1 和 ? 成 ? 角的平面上， ?2x ? y ? z ? 4 ? 0 ? x ? y ? z ?1 ? 0 的平面束方程： x ? y ? z ? 1 ? ?1 (2x ? y ? z ? 4) ? 0 ， ?2x ? y ? z ? 4 ? 0∴得交线 L1 ： ?∴过直线 L1 ： ?过 L1 和 ? 成 ? 角的平面 ? 3 应满足： cos??2 2 3 ? (1 ? 2?1 ) 2 ? 2(1 ? ?1 ) 2 31 ? 2?1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ?13 ? ?1 ? ? ? ? 3 ： 2x ? 5 y ? 5z ? 20 ? 0 ， 8由于反射线既在 ?1 上，又在 ? 3 上，∴反射线 L2 ： ??2x ? 5 y ? 5z ? 20 ? 0 y?z?2 ?0 ?注：除了这两种方法以外，还有其他方法。 课外习题★ ★ ★ ★ 1 ． 如 图 7- （ 1 ） 已 知 向 量OA ? a, OB ? b, ?ODA??2。（1）求证?ODA 的 面 积?a ?b a?b 2b2；当 a, b 间的夹角 ? 为何值时， ?ODA的面积最大？ Aa?Ob图 7-（1）DB解： OD? Pr jb a ?a?b 1 a?b 1 , AD ? b ? a ? b ? AD ? b 2 2 b，∴ S ?ODA?a ?b a?b 1 OD AD ? 2 2 2ba ? {2,?3,6}, b ? {?1,2,?2} ，向量 c 在向量 a 与向量 b 的角平分线上，且★★★★ 2 ．已知向量c ? 3 42 ，求 c 的坐标思路：两个单位向量的和向量即是它们的角平分向量 解： a ? {2,?3,6}, b ? {?1,2,?2} ，所以单位化得到： a 01 1 ? {2,?3,6}, b0 ? {?1,2,?2} ， 7 3a 0 ? b0 ?∴ c// (a ∴c01 {?1,5,4} ，∵向量 c 在向量 a 与向量 b 的角平分线上 21? b0 ) ? c ? ?(a0 ? b0 ) ? ?1{?1,5,4} ，由 c ? 3 42 ，可得： ?1 ? 3? (?3,15,12) a ? b ? c ? d , a ? c ? b ? d ，则向量 a ? d 与 b ? c 共线★★★3．若思路：要证向量 a ? d 与 b ? c 共线，只要证 (a ? d ) ? (b ? c) ? 0 证明：∵ (a ? d ) ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c ? d ? b ? d ? c ? c ? d ? b ? d ? d ? b ? d ? c ? 0∴向量 a ? d 与 b ? c 共线★★★★4．试求平面2x ? y ? z ? 7 ? 0 和平面 x ? y ? 2z ? 11 ? 0 的夹角平分面方程思路：受课外习题 2 的启发，容易得到角平分线的方向矢 解：联立两平面 2x ? y ? z ? 7 ? 0 ， x ? y ? 2z ? 11 ? 0 可得它们的交线 L ，则根据平面束方程，得到过 L 的平面方程为 2x ?y ? z ? 7 ? ?( x ? y ? 2z ? 11) ? 0 ， 平面 2x ?y ? z ? 7 ? 0 和平面 x ? y ? 2z ? 11 ? 0 的法矢分别为 s1 ? {2,?1,1}, s2 ? {1,1,2}则 s10?1 1 1 3 0 0 {2,?1,1}, s2 ? {1,1,2} ? s10 ? s2 ? {3,0,3} ? {1,0,1} ， 6 6 6 6?1∴夹角平分面方程应满足： {2 ? ?, ? ? 1,2? ? 1 } //{1,0,1} ? ? ∴夹角平分面方程为 3x ? 3z ? 8 ? 0★★★★5．求证：原点在平面x y z ? ? ? 1上的投影是这这平面被三坐标面所截三角形的重心 a b cx y z ? ? ? 1被三坐标面所截三角形的顶点分别为 A(a,0,0), B(0, b,0), C(0,0, c) ， a b c x y z 原点 O 在平面 ? ? ? 1上的投影点为 D ，则根据向量的线性运算法则： a b c证：设平面AD ? OD ? OA ? AD ? BC ? OD ? BC ? OA? BC ? 0 ? AD ? BC ，同理可得： BD ? ∴原点在平面AC, CD ? ABx y z ? ? ? 1上的投影是这这平面被三坐标面所截三角形的重心 a b c(1,2,3) ，它在正 x 轴、正 y 轴上的截距相等。问当平面的截距为何值时，它与三个★★★★6．一平面通过坐标面所围成的立体体积最小？并写出此平面方程x y z ? ? ? 1，∵它在正 x 轴、正 y 轴上的截距相等，∴ a ? b, a ? 0, b ? 0 ， a b c 1 2 3 3a ∵平面又通过 (1,2,3) ，∴ ? ? ? 1 ? c ? ， a a c a ?3解：设平面方程为该平面与三个坐标面所围成的立体体积 Va 2 (3a ? 10) 1 a3 ? 0， ，由 V ? ? ? ? ab c ? 2(a ? 3) 2 6 2a ?310 10 或 a ? 0 （舍去），∵ a ? 是所求范围内的唯一驻点 3 3 10 10 ∴当平面在 x、y、z 轴上的截距分别为 , ,30 时，平面与三个坐标面所围成的立体体积最小 3 3得： a?此平面方程为 9x ? 9 y ? z? 30★★★★7．求过原点且与直线x ?1 y ? 2 z ? 1 x ? 2 y ? 1 z 及 ? ? ? ? 都相交的直线方程 2 1 1 1 2 2方法一：由于所求直线与已知两直线相交，若设两交点为 M1 、 M 2 ，则所求直线为过 O 、 M1 、 M 2 三点的直线 ?x ? 2t1 ? 1 x ?1 y ? 2 z ? 1 ? 解：设所求直线与已知直线 的交点为 M1 ： ? y ? t1 ? 2 ； ? ? 2 1 1 ? z ? t ?1 1 ? ? x ? t2 ? 2 x ? 2 y ?1 z ? 与已知直线 ? ? 的交点为 M 2 ： ? y ? 2t 2 ? 1 ， 1 2 2 ? z ? 2t 2 ?则 OM1? {2t1 ? 1, t1 ? 2, t1 ? 1}, OM2 ? {t 2 ? 2, 2t 2 ? 1, 2t 2 } ，∵所求直线过 O 、 M1 、 M 2 三点，∴ OM1 // OM 2?2t1 ? 1 t1 ? 2 t1 ? 1 ? ? ?k t 2 ? 2 2t 2 ? 1 2t 2??2t ? 3t 2 ? ?7 ?t1 ? ?5 t1 ? 2 t1 ? 1 ? ? k ? k ? ?3 ? ? 1 ?? 2t 2 ? 1 2t 2 ? t1 ? 6t 2 ? 1 ? t2 ? 1∴所求直线过原点方向矢为OM2 或 OM1 ，∴该直线方程为：方法二：所求直线应该在过原点和直线x ? 2 y ?1 z ? ? 的平面Ⅱ上 1 2 2x ?1 y ? 2 z ? 1 的平面Ⅰ上，又在在过原点和直线 ? ? 2 1 1x y z ? ? 3 1 2i j k x ?1 y ? 2 z ? 1 解：在过原点和直线 的平面Ⅰ的法矢： s1 ? 1 2 ? 1 ? 3i ? 3 j ? 3k ? ? 2 1 1 2 1 1∴平面Ⅰ的方程： x ?y? z ? 0；i j k x ? 2 y ?1 z 过原点和直线 ? ? 的平面Ⅱ的法矢： s1 ? 2 ? 1 0 ? ?2i ? 4 j ? 5k 1 2 2 1 2 2∴平面Ⅱ的方程： 2x ? 4 y ? 5z? 0，∴所求直线方程： ?? x? y?z ?0 ?2x ? 4 y ? 5z ? 0★★★★8．求过点(?1,0,4) ，平行于平面 3x ? 4 y ? z ? 10 且与直线 x ? 1 ? y ? 3 ?z 相交的直线方 2程方法一：设所求直线与已知直线 x ? 1 ?线y ?3 ?z 的交点为 M 0 ，过 M1 (?1 ,0,4) 和 M 0 即为所求直 2 ? x ? t ?1 z ? 解：设所求直线与已知直线 x ? 1 ? y ? 3 ? 的交点为 M 0 ： ? y ? t ? 3 2 ? z ? 2t ?M 0 M1 ? {t, t ? 3, 2t ? 4} ，∵ M 0 M1 // 平面 3x ? 4 y ? z ? 10 ，∴ 3t ? 4(t ? 3) ? (2t ? 4)? 0 ? t ? 16 ∴设所求直线方程：x ?1 y z ? 4 ? ? 16 19 28方法二：通过求交点求该直线方程 解：过点 M1 (?1,0,4) 平行于平面 3x ? 4 y ? z ? 10 的平面 ? ： 3( x ? 1) ? 4 y ? ( z ? 4) ? 0平面 ? 和直线 x ? 1 ?y ?3 ?z 的交点 M 0 ： 2? x ? 15 z ? 将 x ?1 ? y ? 3 ? ? k 代入 3( x ? 1) ? 4 y ? ( z ? 4) ? 0 ? k ? 16 ? 交点 M 0 ： ? y ? 19 2 ?z ? 32 ? x ?1 y z ? 4 所求直线即为过 M1 、 M 0 的直线，∴它的方程为： ? ? 16 19 28★★★★9．已知柱面的准线方程为?x 2 ? y 2 ? 25 ，母线平行于 s ? {3,?5,1 } ，求柱面方程 ? ? z?0知识点：求柱面方程的方法 解：见图 7-（9）z( x, y, z)syx图 7-（9）( x0 , y0 ,0)设柱面上的任一点 ( x, y, z) ，它落在经准线上的某点 ( x0 , y0 ,0) 作平行于 s 的母线上（如图），因此有：x ? x0 y ? y0 z ? x0 ? x ? 3z ? ? ?? ， 3 ?5 1 ? y0 ? y ? 5 z又 ( x0 , y0 ) 满足 x02? y0 2 ? 25，∴代入可得柱面方程： ( x ? 3z) 2 ? ( y ? 5z) 2 ? 25
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