一 : 椭圆的面积计算公式及推导

椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数k1和k2，椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式，一个为体，一个为用。

一、椭圆周长、面积计算公式

根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a b 0。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2 b）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式： s= ab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（ ）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程

常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种关系决定椭圆周长和面积。

椭圆的周长取值范围：4a

t是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得：

根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2 a-4a)，有：

计算k1、k2的值会发现k1、k2是两个非常奇特的数：

k1＝]照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数K1和K2，椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式，1个为体，1个为用。一、椭圆周长、面积计算公式

根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程

常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。

T是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得：

根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有：

计算K1、K2的值会发现K1、K2是2个非常奇特的数：

椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。

（二）椭圆周长公式推导

长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，f=b/a。根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0<f<1的范围。

K1+f<K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。

定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有：

（三）椭圆面积公式推导

椭圆面积的取值范围：0<S<πa2（5）(由于网上发文的遗憾，公式和符号输入略有缺陷，相信您能够看懂。如：πa2中a2为a的二次方。)

椭圆面积猜想：S=πa2T（6）

T是猜想的椭圆面积率。将（5）等式与（6）等式合并，得：

根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa2，则有：0<T<1。可得：

在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中：

椭圆面积计算公式：S=πab

二〇〇六年八月二十五日周五于武汉家中。

二〇〇六年八月十六日周三《亚苏日记》

易亚苏（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。）圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。一、椭圆第一定义

椭圆第一定义：平面内与2个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这2个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2

(由于网上发文的遗憾，公式和符号输入略有缺陷，相信您能够看懂。)

M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。二、椭圆定理

（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）

椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。

（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）

定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。

椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。

（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）

椭圆具有三特性，也称椭圆三态。

1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；

2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；

3、当椭圆b<c时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以b为半径的圆外。

定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位）

当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。

定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。

椭圆定理Ⅲ：椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。当椭圆b>c时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三常数（K3），椭圆离心率（e）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率（f）和椭圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对稳定型；当椭圆b<c时，椭圆离心率（e）大于椭圆第三常数（K3），椭圆向心率（f）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向内收缩型。三、椭圆周长、面积计算公式和定理

（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这2个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

“牛顿定律”从“开普勒定律”来，“开普勒定律”从椭圆中来。了解椭圆是科学新的开始，更是进1步深入研究宇宙的开始……

注：后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表（略）二〇〇六年八月十六日周三深夜于武汉家中附：《椭圆定理》完稿后感

此时的我平静、平静，平静得就像黑夜里的孤独。信念给我支撑，祖国给我力量！人的偏见让我心寒，我只有怀念中国古人老子，默念《道德经》……二〇〇六年八月十七日周四凌晨

三 : 李亚平：天体椭圆轨道运动瞬时速度的物理公式算法

百届论坛报告会（14）

天体椭圆轨道运动瞬时速度的物理公式算法

摘要：在经典力学的基础上导出了椭圆轨道运动瞬时速度的关系式，从而，在初等数学范围内解决了对椭圆轨道瞬时速度的求值，摆脱了长期以来对瞬时速度求值的微积分算法。简化了对瞬时速度求值数学计算中的复杂过程，提高了计算结果的精度。确定了椭圆运动瞬时速度与圆运动匀速度之间的物理关系及变换方法，并对椭圆轨道运动瞬时速度关系式进行了自然的客观验证，为椭圆运动理论奠定了基础。

关键词：瞬时速度，椭圆运动，万有引力

中图分类号：o311文献标识码：A

行星在环绕椭圆轨道的运动中，其速度每时每刻都处在变化中，对行星某时处于某位置上的速度求值，一直以来所采用的方法，无不是通过微积分的算法来得到。这种方法虽无不可，但一是计算过程复杂，二是微积分的方法理论上只是无穷逼近客观值，在物理上只有近似意义。三是微积分的算法只是纯数学方法而非物理公式法，因为其缺乏物理关联，例如它与质量、引力、角动量无关，更无法从经典力学理论中导出，因此缺乏物理根据没有物理意义。

然而，事实上在经典力学理论框架内，通过理论推导是能够得到瞬时速度关系式的。因此，对瞬时速度的求值是可以在初等数学范围内实现的，无须微积分的算法也可以得到行星椭圆轨道任意位置上的瞬时速度。瞬时速度公式与以往的经验公式及微积分算法的不同则在于，通过理论推导建立的瞬时速度关系式更具有理论物理意义。因此，更简单、更准确、更客观。

2 椭圆轨道运动瞬时速度的数学表达式

行星在椭圆轨道的瞬时速度的平方，等于引力常数与中心天体（为了简便本文以下均称为主星）质量及半焦弦的积，除以主星中心与行星中心连线距离的平方（即：椭圆轨道即时矢径的平方）。

式中为椭圆轨道的瞬时速度，G为引力常数，M为主星天体质量，d为椭圆半焦弦，r为主星中心与行星中心连线的距离，即：轨道半径（以下为了习惯及方便起见，本文中将椭圆轨道的即时矢径均称为椭圆轨道半径，以对应圆轨道半径）。

3 对瞬时速度数学表达式的理论推导

设：行星的质量为 ，行星椭圆轨道周期为 ，轨道半长轴为 ，轨道半短轴为 ，面积速度为 ，角速度为 ，为轨道半径。 为轨道速度。

令： 为2倍的面积速度，所以有

根据开普勒第二定律，行星在单位时间内扫过的面积是常数 ，但在周期 内，行星扫过的面积等于椭圆面积 ，所以有：

由解析几何可知 ，（ 是椭圆的半焦弦），代入得

因为有式（2） ，代入式（3）得

根据牛顿力学导出式（详见《理论物理概论》58页，高等教育出版社1991版）

两边同时乘以后，并开方得

由此推导出椭圆轨道运动瞬时速度的数学表达式，式（6）即椭圆轨道瞬时速度的数学表达式，式中 即椭圆轨道的瞬时速度。

以上对椭圆轨道瞬时速度数学表达式的推导充分地证明，对于行星椭圆轨道运动的瞬时速度，完全可以在初等数学范围内进行处理，从而可以摆脱对椭圆运动瞬时速度求值的微积分算法。

4 万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的关系

4.1牛顿万有引力中速度的数学表达式

设：向心加速度为 ，F为万有引力，M为主星质量，m为行星质量，

r为轨道半径（即主星中心与行星中心连线的距离）。

式（10）即是牛顿万有引力中速度的数学表达式。

4.2 万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的关系

为了区别椭圆轨道运动的瞬时速度与圆运动的速度，设椭圆轨道运动的瞬时速度为 。

根据：（1）椭圆运动中瞬时速度的表达式为

（2）万有引力中的速度为

将式（11）两边同时平方得

式（13）即万有引力中的速度 与椭圆轨道运动中瞬时速度 的变换关系式。

事实上万有引力中的速度就是圆周运动中的速度，这是毫无疑问的，因此，牛顿万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的变换关系，也就是圆周运动中的速度与椭圆运动中的瞬时速度的变换关系。

5 对椭圆轨道瞬时速度数学表达式的客观验证

下面将具体的运用瞬时速度关系式，仅对地球、火星的近日点、远日点位置上的瞬时速度进行客观验证，同时给出万有引力中速度的计算结果并加以对比。由此可证明，瞬时速度的关系式完全符合椭圆运动规律。

设： 为太阳的质量， 为引力常数， 为椭圆半焦弦。

验证一 地球在轨道近日点位置上的瞬时速度

求：地球在轨道近日点位置上的瞬时速度 。

解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后：

得地球在轨道近日点位置上的瞬时速度

实际的速度不是精确值，可见计算结果与实际值两者是完全吻合的。

（2）根据万有引力中的速度公式：

应用万有引力中的速度公式及已知条件，代入各相应值后

比较实际值可见两者差距很大相去甚远。

验证二 地球在轨道远日点位置上的瞬时速度

求：地球在轨道远日点位置上的瞬时速度 。

解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后：

得地球在轨道远日点位置上的瞬时速度

实际的速度不是精确值，可见计算结果与实际值两者是完全吻合的。

（2）根据万有引力中的速度公式：

应用万有引力中的速度公式及已知条件，代入各相应值后

比较实际值可见两者差距仍然是很大。

验证三 火星在轨道近日点位置上的瞬时速度

求：火星在轨道近日点位置上的瞬时速度 。

解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后

得火星在轨道近日点位置上的瞬时速度

实际瞬时速度（非精确值）为

可见计算结果与实际值两者完全吻合。

（2）根据前面牛顿万有引力的速度公式，及已知条件，代入各相应值后

比较实际值可见差距同样是非常之大。

验证四 火星在轨道远日点位置上的瞬时速度

求：火星在轨道远日点位置上的瞬时速度 。

解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后

得火星在轨道远日点位置上的瞬时速度

实际瞬时速度值（非精确值）为

可见计算结果与实际值两者完全吻合。

（2）根据万有引力的速度公式，及已知条件，代入各相应值后

比较实际值两者同样是存在误差问题。

由此可见，以万有引力导出的速度公式得到的速度值，与客观实际值两者相去甚远。这就充分说明，牛顿的万有引力是基于理想化条件下的圆运动建立的，其基础核心是圆运动的匀速度，而椭圆轨道运动是变速度，两者有着本质的区别，所以，万有引力不适用于椭圆轨道运动。因此，椭圆轨道的瞬时速度只能通过瞬时速度的关系式来解决。事实证明瞬时速度关系式完全符合椭圆运动规律。

必须指出的是，对于瞬时速度的求值，微积分的算法仅仅是一种数学方法，其对物理而言，更像是数学化了的物理“代用品”只有数学意义没有物理意义。而瞬时速度关系式则是根据经典力学导出的，因此是基于物理关系的纯粹的物理公式法，更是椭圆运动理论的基础。

最后，关于验证中的各物理参数，由于长期以来关于太阳系行星的各物理参数并没有一个统一的标准精确值，各种版本的参数互不一致，为此本人采用了维客网上的资料，本节客观验证中的轨道参数及实际速度参数均取自维客网上的资料，个人认为比较精确。

由于本人并非理论物理专业人士，文中难免疏漏不当，还望体谅、批评、赐教 ，本人在此一并感谢。

学术动态№5813北京相对论研究联谊会学术委员会主办

四 : 椭圆的面积怎么算

椭圆的面积怎么算的参考答案

椭圆面积公式：S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆。犇-嫑。长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积.

一 : 椭圆的面积计算公式及推导

椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数k1和k2，椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式，一个为体，一个为用。

一、椭圆周长、面积计算公式

根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a b 0。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2 b）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式： s= ab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（ ）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程

常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种关系决定椭圆周长和面积。

椭圆的周长取值范围：4a

t是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得：

根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2 a-4a)，有：

计算k1、k2的值会发现k1、k2是两个非常奇特的数：

k1＝]照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数K1和K2，椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式，1个为体，1个为用。一、椭圆周长、面积计算公式

根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程

常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。

T是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得：

根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有：

计算K1、K2的值会发现K1、K2是2个非常奇特的数：

椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。

（二）椭圆周长公式推导

长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，f=b/a。根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0<f<1的范围。

K1+f<K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。

定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有：

（三）椭圆面积公式推导

椭圆面积的取值范围：0<S<πa2（5）(由于网上发文的遗憾，公式和符号输入略有缺陷，相信您能够看懂。如：πa2中a2为a的二次方。)

椭圆面积猜想：S=πa2T（6）

T是猜想的椭圆面积率。将（5）等式与（6）等式合并，得：

根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa2，则有：0<T<1。可得：

在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中：

椭圆面积计算公式：S=πab

二〇〇六年八月二十五日周五于武汉家中。

二〇〇六年八月十六日周三《亚苏日记》

易亚苏（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。）圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。一、椭圆第一定义

椭圆第一定义：平面内与2个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这2个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2

(由于网上发文的遗憾，公式和符号输入略有缺陷，相信您能够看懂。)

M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。二、椭圆定理

（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）

椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。

（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）

定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。

椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。

（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）

椭圆具有三特性，也称椭圆三态。

1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；

2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；

3、当椭圆b<c时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以b为半径的圆外。

定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位）

当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。

定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。

椭圆定理Ⅲ：椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。当椭圆b>c时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三常数（K3），椭圆离心率（e）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率（f）和椭圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对稳定型；当椭圆b<c时，椭圆离心率（e）大于椭圆第三常数（K3），椭圆向心率（f）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向内收缩型。三、椭圆周长、面积计算公式和定理

（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这2个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

“牛顿定律”从“开普勒定律”来，“开普勒定律”从椭圆中来。了解椭圆是科学新的开始，更是进1步深入研究宇宙的开始……

注：后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表（略）二〇〇六年八月十六日周三深夜于武汉家中附：《椭圆定理》完稿后感

此时的我平静、平静，平静得就像黑夜里的孤独。信念给我支撑，祖国给我力量！人的偏见让我心寒，我只有怀念中国古人老子，默念《道德经》……二〇〇六年八月十七日周四凌晨

三 : 李亚平：天体椭圆轨道运动瞬时速度的物理公式算法

百届论坛报告会（14）

天体椭圆轨道运动瞬时速度的物理公式算法

摘要：在经典力学的基础上导出了椭圆轨道运动瞬时速度的关系式，从而，在初等数学范围内解决了对椭圆轨道瞬时速度的求值，摆脱了长期以来对瞬时速度求值的微积分算法。简化了对瞬时速度求值数学计算中的复杂过程，提高了计算结果的精度。确定了椭圆运动瞬时速度与圆运动匀速度之间的物理关系及变换方法，并对椭圆轨道运动瞬时速度关系式进行了自然的客观验证，为椭圆运动理论奠定了基础。

关键词：瞬时速度，椭圆运动，万有引力

中图分类号：o311文献标识码：A

行星在环绕椭圆轨道的运动中，其速度每时每刻都处在变化中，对行星某时处于某位置上的速度求值，一直以来所采用的方法，无不是通过微积分的算法来得到。这种方法虽无不可，但一是计算过程复杂，二是微积分的方法理论上只是无穷逼近客观值，在物理上只有近似意义。三是微积分的算法只是纯数学方法而非物理公式法，因为其缺乏物理关联，例如它与质量、引力、角动量无关，更无法从经典力学理论中导出，因此缺乏物理根据没有物理意义。

然而，事实上在经典力学理论框架内，通过理论推导是能够得到瞬时速度关系式的。因此，对瞬时速度的求值是可以在初等数学范围内实现的，无须微积分的算法也可以得到行星椭圆轨道任意位置上的瞬时速度。瞬时速度公式与以往的经验公式及微积分算法的不同则在于，通过理论推导建立的瞬时速度关系式更具有理论物理意义。因此，更简单、更准确、更客观。

2 椭圆轨道运动瞬时速度的数学表达式

行星在椭圆轨道的瞬时速度的平方，等于引力常数与中心天体（为了简便本文以下均称为主星）质量及半焦弦的积，除以主星中心与行星中心连线距离的平方（即：椭圆轨道即时矢径的平方）。

式中为椭圆轨道的瞬时速度，G为引力常数，M为主星天体质量，d为椭圆半焦弦，r为主星中心与行星中心连线的距离，即：轨道半径（以下为了习惯及方便起见，本文中将椭圆轨道的即时矢径均称为椭圆轨道半径，以对应圆轨道半径）。

3 对瞬时速度数学表达式的理论推导

设：行星的质量为 ，行星椭圆轨道周期为 ，轨道半长轴为 ，轨道半短轴为 ，面积速度为 ，角速度为 ，为轨道半径。 为轨道速度。

令： 为2倍的面积速度，所以有

根据开普勒第二定律，行星在单位时间内扫过的面积是常数 ，但在周期 内，行星扫过的面积等于椭圆面积 ，所以有：

由解析几何可知 ，（ 是椭圆的半焦弦），代入得

因为有式（2） ，代入式（3）得

根据牛顿力学导出式（详见《理论物理概论》58页，高等教育出版社1991版）

两边同时乘以后，并开方得

由此推导出椭圆轨道运动瞬时速度的数学表达式，式（6）即椭圆轨道瞬时速度的数学表达式，式中 即椭圆轨道的瞬时速度。

以上对椭圆轨道瞬时速度数学表达式的推导充分地证明，对于行星椭圆轨道运动的瞬时速度，完全可以在初等数学范围内进行处理，从而可以摆脱对椭圆运动瞬时速度求值的微积分算法。

4 万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的关系

4.1牛顿万有引力中速度的数学表达式

设：向心加速度为 ，F为万有引力，M为主星质量，m为行星质量，

r为轨道半径（即主星中心与行星中心连线的距离）。

式（10）即是牛顿万有引力中速度的数学表达式。

4.2 万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的关系

为了区别椭圆轨道运动的瞬时速度与圆运动的速度，设椭圆轨道运动的瞬时速度为 。

根据：（1）椭圆运动中瞬时速度的表达式为

（2）万有引力中的速度为

将式（11）两边同时平方得

式（13）即万有引力中的速度 与椭圆轨道运动中瞬时速度 的变换关系式。

事实上万有引力中的速度就是圆周运动中的速度，这是毫无疑问的，因此，牛顿万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的变换关系，也就是圆周运动中的速度与椭圆运动中的瞬时速度的变换关系。

5 对椭圆轨道瞬时速度数学表达式的客观验证

下面将具体的运用瞬时速度关系式，仅对地球、火星的近日点、远日点位置上的瞬时速度进行客观验证，同时给出万有引力中速度的计算结果并加以对比。由此可证明，瞬时速度的关系式完全符合椭圆运动规律。

设： 为太阳的质量， 为引力常数， 为椭圆半焦弦。

验证一 地球在轨道近日点位置上的瞬时速度

求：地球在轨道近日点位置上的瞬时速度 。

解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后：

得地球在轨道近日点位置上的瞬时速度

实际的速度不是精确值，可见计算结果与实际值两者是完全吻合的。

（2）根据万有引力中的速度公式：

应用万有引力中的速度公式及已知条件，代入各相应值后

比较实际值可见两者差距很大相去甚远。

验证二 地球在轨道远日点位置上的瞬时速度

求：地球在轨道远日点位置上的瞬时速度 。

解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后：

得地球在轨道远日点位置上的瞬时速度

实际的速度不是精确值，可见计算结果与实际值两者是完全吻合的。

（2）根据万有引力中的速度公式：

应用万有引力中的速度公式及已知条件，代入各相应值后

比较实际值可见两者差距仍然是很大。

验证三 火星在轨道近日点位置上的瞬时速度

求：火星在轨道近日点位置上的瞬时速度 。

解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后

得火星在轨道近日点位置上的瞬时速度

实际瞬时速度（非精确值）为

可见计算结果与实际值两者完全吻合。

（2）根据前面牛顿万有引力的速度公式，及已知条件，代入各相应值后

比较实际值可见差距同样是非常之大。

验证四 火星在轨道远日点位置上的瞬时速度

求：火星在轨道远日点位置上的瞬时速度 。

解：（1）根据瞬时速度关系式 ，及已知条件，代入各相应值后

得火星在轨道远日点位置上的瞬时速度

实际瞬时速度值（非精确值）为

可见计算结果与实际值两者完全吻合。

（2）根据万有引力的速度公式，及已知条件，代入各相应值后

比较实际值两者同样是存在误差问题。

由此可见，以万有引力导出的速度公式得到的速度值，与客观实际值两者相去甚远。这就充分说明，牛顿的万有引力是基于理想化条件下的圆运动建立的，其基础核心是圆运动的匀速度，而椭圆轨道运动是变速度，两者有着本质的区别，所以，万有引力不适用于椭圆轨道运动。因此，椭圆轨道的瞬时速度只能通过瞬时速度的关系式来解决。事实证明瞬时速度关系式完全符合椭圆运动规律。

必须指出的是，对于瞬时速度的求值，微积分的算法仅仅是一种数学方法，其对物理而言，更像是数学化了的物理“代用品”只有数学意义没有物理意义。而瞬时速度关系式则是根据经典力学导出的，因此是基于物理关系的纯粹的物理公式法，更是椭圆运动理论的基础。

最后，关于验证中的各物理参数，由于长期以来关于太阳系行星的各物理参数并没有一个统一的标准精确值，各种版本的参数互不一致，为此本人采用了维客网上的资料，本节客观验证中的轨道参数及实际速度参数均取自维客网上的资料，个人认为比较精确。

由于本人并非理论物理专业人士，文中难免疏漏不当，还望体谅、批评、赐教 ，本人在此一并感谢。

学术动态№5813北京相对论研究联谊会学术委员会主办

四 : 椭圆的面积怎么算

椭圆的面积怎么算的参考答案

椭圆面积公式：S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆。犇-嫑。长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积.